Sử dụng DESMOS để xác định khoảng cách giữa hai điểm trên mặt phẳng Oxy

Trong các bài thi chuẩn hóa quốc tế về năng lực toán, chẳng hạn như Digital SAT, thí sinh có thể sẽ được cung cấp phần mềm DESMOS, phần mềm máy tính khoa học giúp giải quyết các vấn đề liên quan đến đồ thị, thống kê và các phép tính cơ bản. Trong phạm vi bài viết này, tác giả sẽ hướng dẫn người đọc cách sử dụng DESMOS để xác định khoảng cách giữa hai điểm, một dạng bài phổ biến trong bài thi Digital SAT. Nắm được các tính năng của DESMOS cũng như thao tác sử dụng sẽ giúp thí sinh tăng tốc độ làm bài, đơn giản hóa các bước tính toán, từ đó nâng cao hiệu quả bài thi.

Tham khảo chương trình luyện thi SAT cam kết đầu ra tại ZIM Academy để được hướng dẫn chuyên sâu và bứt phá điểm số.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.

Tác giả: JOHN MARK PHẠM DACUSIN

Lý thuyết về hàm số tuyến tính và đồ thị hàm số tuyến tính

Hàm số tuyến tính còn có tên gọi là hàm số bậc nhất. Phương trình hàm số tuyến tính có dạng tổng quát là:

Ax + By + C = 0

Trong đó: A, B và C là các hằng số thực, với A và B không đồng thời bằng 0.

Ngoài dạng tổng quát, hàm số tuyến tính có thể xuất hiện dưới dạng slope-intercept (hệ số góc-tung độ gốc):

y = f(x) = mx + b

Trong đó:

• y là biến số phụ thuộc.

• x là biến số độc lập.

• m là hệ số góc (hay còn gọi là độ dốc), thể hiện mức độ biến đổi của biến y khi biến x thay đổi.

• b là tung độ gốc (hay còn gọi là điểm cắt trục tung y), là giá trị ban đầu của hàm số khi x = 0.

Mối liên hệ giữa hàm số tuyến tính và đồ thị

Ngoài cách tính giá trị bằng công thức đại số, tính chất của hàm số tuyến tính còn có thể được hiểu rõ thông qua đồ thị. 

Khi xét hàm số tuyến tính dạng y = mx + b (m ≠ 0), đồ thị của hàm số là một đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Đường thẳng này biểu diễn tập hợp tất cả các điểm (x, y) thỏa mãn y = mx + b. Mỗi giá trị của x sẽ tương ứng với duy nhất một giá trị của y, do đó, mỗi điểm trên đồ thị chính là một nghiệm của phương trình hàm số.

Hệ số m quyết định độ dốc (chiều tăng/giảm) của đường thẳng:

• Nếu m > 0: hàm số đồng biến (đường thẳng đi lên từ trái sang phải).

• Nếu m < 0: hàm số nghịch biến (đường thẳng đi xuống từ trái sang phải).

Hệ số b là tung độ gốc, tức là giao điểm của đường thẳng với trục Oy, tại điểm (0, b). Ngoài ra, giao điểm với trục Ox được tìm bằng cách cho y = 0. Cuối cùng, một nghiệm của hàm số sẽ nằm trên đồ thị của hàm số đó.

Ví dụ: Xét hàm số y = f(x) = 3x + 5

Ta có thể xét hai trường hợp giá trị (x, y) để thử nghiệm.

• Điểm (-1, 2): 2 = 3 x (-1) + 5 -> Đúng -> (x, y) = (-1, 2) là điểm thuộc đồ thị hàm số.

• Điểm (3, 0): 0 = 3 x 3 - 5 -> Sai -> (x, y) = (3, 0) không phải là điểm thuộc đồ thị hàm số.

Fig. 1. Line y = 3x + 5 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [1])

Cách xác định khoảng cách giữa hai điểm

Khoảng cách giữa hai điểm trên mặt phẳng tọa độ còn có thể được xác định bằng công thức đại số.

Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(x, y) và B(a, b)

Khoảng cách giữa hai điểm chính là độ dài đoạn thẳng AB, theo công thức:

\[AB=\sqrt{\left(a-x\right)^2+\left(b-y\right)^2}\]

Công thức này có được nhờ sự áp dụng của định lý Pythagoras. Khi biểu diễn lên không gian Oxy, khoảng cách của hai điểm là độ dài cạnh huyền của tam giác vuông có 3 đỉnh A(x, y), B(a, b) và C(x, b).

Ta kẻ:

• Đoạn ngang: độ dài ∣a - x​∣​

• Đoạn dọc: độ dài ∣b - y​∣

Hai đoạn này vuông góc nên ta có thể tạo thành tam giác vuông với cạnh huyền là khoảng cách AB. 

Vậy nên

\[AB=\sqrt{\left(a-x\right)^2+\left(b-y\right)^2}\]

Ví dụ:

Cho hai điểm A(1, 2) và B(4, 6).

Ta có:

\[AB=\sqrt{\left(4-1\right)^2+\left(6-2\right)^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5\]

Vậy khoảng cách giữa hai điểm A và B là 5 đơn vị độ dài.

Xem thêm: SAT Math 700+ | Kiến thức cần nắm và chiến lược làm bài

Xác định khoảng cách giữa hai điểm trong câu hỏi Digital SAT

Trong bài thi Digital SAT, các câu hỏi về việc xác định khoảng cách giữa hai điểm rất đa dạng. Thí sinh có thể được hỏi về khoảng cách giữa hai điểm, khoảng cách giữa hai điểm trên một đường thẳng cho sẵn, xác định giá trị để thỏa mãn khoảng cách cho sẵn hoặc đánh giá tính đúng - sai của các mệnh đề liên quan đến khoảng cách giữa hai điểm.

Giới thiệu máy tính khoa học DESMOS

DESMOS là một phần mềm máy tính khoa học được thiết kế bởi DESMOS Studio. Đây là phần mềm chính thức được tích hợp trong phần mềm Bluebook của bài thi Digital SAT nhằm hỗ trợ thí sinh giải quyết đa dạng các câu hỏi Toán học ở nhiều chuyên đề khác nhau.

Fig. 2. Official logo of Desmos Studio PBC. (Source: [2])

Các tính năng cơ bản của DESMOS

Với phần mềm DESMOS, người học và thí sinh sẽ cần làm quen với một số tính năng cơ bản, bao gồm:

• Các phép cộng, trừ, nhân, chia cơ bản

• Vẽ đồ thị phương trình từ bậc thấp đến cao

• Sử dụng bảng biểu

• Tính năng thanh trượt

• Các phép tính thống kê cơ bản

• Các phép tính lượng giác cơ bản

• V.v.

Trên màn hình giao diện DESMOS, người học có thể nhận diện được các vùng cơ bản. Thứ nhất, vùng bên tay trái là nơi người học nhập phương trình (VD: 2x + y = 0). Thứ hai, vùng mặt phẳng tọa độ Oxy là nơi đồ thị của phương trình hiển thị. Cuối cùng, nút cài đặt (có biểu tượng hình cờ lê) bên góc phải là nơi người học điều chỉnh một số cài đặt để phù hợp với nhu cầu (VD: chuyển đổi từ Degree sang Radian).

Fig. 3. Interface of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [3])

Lưu ý: Phần mềm DESMOS hiện tại mà người học có thể tìm trên mạng có thể được chia làm hai phiên bản: Nguyên bản (đen) và Khảo thí (testing - xanh lá). Phần mềm DESMOS nguyên bản sẽ có nhiều tính năng hơn bản khảo thí, bao gồm tính năng chia sẻ biểu đồ, thư mục hoặc hình ảnh. Tuy vậy, các tính năng quan trọng dùng trong bài thi SAT vẫn có đầy đủ ở cả hai phiên bản.

Xem thêm: Cách làm dạng bài Heart of Algebra trong SAT Math

Hướng dẫn sử dụng DESMOS để tìm khoảng cách hai điểm trên mặt phẳng toạ độ Oxy

Để sử dụng DESMOS để xác định khoảng cách giữa hai điểm, người học cần vận dụng tính năng vẽ đồ thị phương trình và tính năng tính khoảng cách (distance). Dưới đây là hướng dẫn chi tiết từng bước:

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp.

Người học đọc kĩ đề bài để xác định các dữ kiện được cho. Nếu mà người học đã được cho tọa độ điểm ngay từ đầu thì người học có thể bắt đầu tính luôn, nếu không thì người học sẽ phải tìm tọa độ điểm trong các bước tiếp theo.

Bước 2: Nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài vào ô nhập dữ liệu của phần DESMOS graphing calculator. Nếu các tọa độ điểm chưa được cho trước, người học sẽ phải tìm tọa độ điểm theo nhiều cách khác nhau. Nếu người học cần gõ các ký tự đặc biệt, người học có thể bấm vào ký hiệu bàn phím ở góc dưới trái của màn hình để hiện ra chức năng bàn phím để hỗ trợ trong việc bấm biểu thức.

DESMOS sẽ tự động vẽ đồ thị của các đường thẳng và dữ liệu tương ứng.

Bước 3: Sau khi người học tìm được tọa độ điểm, người học nhập từ “distance” vào một dòng mới của giao diện và nhập các tọa độ điểm vào. Với những giá trị điểm khó viết hay lẻ, để tránh sai sót, người đọc có thể bấm chuột vào các điểm trên mặt phẳng tọa độ và bấm vào mũi tên hướng xuống, rồi copy paste vào các tính toán cần thiết.

DESMOS sẽ tự động tính ra khoảng cách giữa hai điểm được cho.

Bước 4: Người học đối chiếu khoảng cách có được với những lựa chọn được cho để tìm ra đáp án.

Ví dụ minh hoạ:

Câu hỏi: 

A line in the xy-plane is defined by the equation: y = 2x - 7. 

What is the distance between the point on the line where x = 2 and the point where x = 3 (rounded down)?

A. 2
B. 3
C. 4
D. 5

Hướng dẫn giải bằng DESMOS

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp

• Phương trình được cho: y = 2x - 7

• Hai điểm cần tìm: (2, y1) và (3, y2)

Bước 2: Nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài vào ô nhập dữ liệu của DESMOS. Trong đó:

• Viết ở dòng đầu tiên: y = 5x - 2 để hiện đồ thị hàm số trên mặt phẳng toạ độ

• VIết ở những dòng tiếp theo: x = 2 và x = 3

Desmos sẽ hiển thị đường thẳng y = 5x - 2 cũng như là đường thẳng x = 2 và x = 3 trên mặt phẳng tọa độ. Người học có thể bấm vào giao điểm của các đường thẳng này để hiện ra tọa độ các điểm cần tìm.

Fig. 4. Line y = 2x - 7 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [4])

Bước 3: Người học sử dụng phép tính toán khoảng cách bằng cách viết distance vào một dòng mới rồi cho tọa độ của các điểm tìm được trong ngoặc đơn. Desmos sẽ lập tức hiển thị khoảng cách tính được.

Fig. 5.Line y = 2x - 7 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [4])

Bước 4: Đề bài cần tìm khoảng cách làm tròn xuống (rounded down), nên khoảng cách 2.2360679775 có thể được làm tròn thành 2. Người học đối chiếu khoảng cách này với các lựa chọn được cho.

⇒ Chọn đáp án A.

Lưu ý: DESMOS luôn hiển thị giá trị dưới dạng số thập phân. Do đó, DESMOS hữu dụng khi giá trị cần tìm là giá trị nguyên (1, 2, 3, …), giá trị thập phân hữu hạn (1.5, 2.5, …), giá trị thập phân vô hạn tuần hoàn (0.6666), hoặc giá trị thập phân không tuần hoàn thông dụng (3.141592). Nếu người học chưa quen nhận diện các giá trị này (VD: 10/3 có thể được biểu diễn là 3.33333), điều nên làm là luôn kiểm tra lại đáp án trước khi chọn.

Bài tập vận dụng

Sau đây, bài viết sẽ giới thiệu đến người học một số câu hỏi Digital SAT có sử dụng DESMOS để xác định khoảng cách giữa hai điểm [5]. Người học hãy sử dụng tính năng DESMOS đã giới thiệu để giải các câu hỏi sau.

Question 1: 

A line in the xy-plane is defined by the equation: y = 3x - 5. What is the distance between the point on the line where x = 0 and the point where x = 2 (rounded up)?

A. 3.5
B. 4.5
C. 5.5
D. 6.5

Answer: D

Question 2: 

Points A and B lie on the line y = 4x - 1. Point A has an x-coordinate of 1, while point B has a y-coordinate of 19. What is the distance between points A and B?

A. 2√17

B. 3√17

C. 4√17

D. 5√17

Answer: C

Question 3:

Consider the equation:

2x - 5y + 6 = 0

What is the distance between the x-intercept and the y-intercept of this equation, rounded to the nearest integer?

A. 2

B. 4

C. 5

D. 3

Answer: D

Question 4:

Points A and B lie on the line y = - 3x + 5.

Point A has an x-coordinate of k, and point B has an x-coordinate of k + 4.

What is the distance between points A and B?

A. 4√10

B. 5√10

C. 6√10

D. 7√10

Answer: A

Question 5:

Points A(2, 3) and B(x, -1) are such that the distance between them is 5. Which of the following could be the value of x?

A. −1

B. 1

C. 4

D. 7

Answer: A

Question 6:

Two points are defined as follows:

Point P lies on the graph of y = 3x − 4, where x = 1.

Point Q lies on the graph of y = −x + 8, where y = 2.

What is the distance between points P and Q, rounded up to the nearest integer?

A. 5

B. 6

C. 7

D. 8

Answer: B

Question 7:

Two points have x-coordinates whose average is 6 and y-coordinates whose average is 4. One of the points is (2,1). What is the distance between the two points? 

A. 7

B. 8

C. 9

D. 10

Answer: D

Question 8:

Points A and B lie on the line y = −x + 9.

Point A has an x-coordinate that is 4 less than the x-coordinate of point B.

The y-coordinate of point B is 3.

What is the distance between points A and B?

A. 3√2

B. 4√2

C. 2√2

D. 5√2

Answer: B

Question 9:

Points P(x, y) and Q(6, 2) satisfy the conditions: x + y = 6, and x − y = 2. What is the distance between points P and Q?

A. 3

B. 4

C. 2

D. 1

Answer: C

Question 10:

A city map is drawn on a coordinate plane.

A bus stop is located at the intersection of the lines x + y = 10 and y = 2x− 2.

A train station is located at the intersection of the lines y = −x + 12 and y = x + 2.

What is the distance between the bus stop and the train station?

A. 2

B. √3

C. √2

D. 2√2

Answer: C

Như vậy, bài viết đã giới thiệu về phần mềm DESMOS và hướng dẫn chi tiết cách sử dụng phần mềm này trong bài thi Digital SAT để xác định khoảng cách giữa hai điểm. Hy vọng người học có thể vận dụng các nội dung trong bài viết để cải thiện hiệu suất ôn tập và nâng cao hiệu quả làm bài của bản thân.

Tham khảo chương trình luyện thi SAT cam kết đầu ra tại ZIM Academy để được hướng dẫn chuyên sâu và bứt phá điểm số.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.

Tác giả: JOHN MARK PHẠM DACUSIN