Sử dụng DESMOS để tìm số nghiệm của phương trình bậc nhất một ẩn

Trong bài viết này, tác giả sẽ giới thiệu tới người đọc cách sử dụng DESMOS để tìm số nghiệm của phương trình bậc nhất một ẩn, một dạng bài nằm trong chuyên đề Đại số (Algebra) của bài thi Digital SAT. Máy tính DESMOS là một công cụ hỗ trợ vô cùng đắc lực với các thí sinh tham gia các bài thi chuẩn hóa quốc tế có chứa phần thi Toán như SAT, AP, ACT hoặc PSAT.  Đây là một công cụ hỗ trợ với khả năng giải quyết nhiều các vấn đề, từ các phép tính cơ bản cho đến các phép tính và chức năng phức tạp hơn như tạo bảng, hồi quy, tạo đồ thị, v.v.. Việc làm chủ được máy tính DESMOS này sẽ đem lại một lợi thế cho thí sinh, giúp thí sinh có thể tối ưu hóa thời gian và cách xử lí các bài toán, từ đó giúp thí sinh nâng cao điểm số.

Lý thuyết về Phương trình Bậc nhất một ẩn và số nghiệm của phương trình bậc nhất một ẩn. 

Phương trình bậc nhất một ẩn (Linear equation with one variable) có dạng: 

ax + b=0

Trong đó:

a, b là các số cho trước và a ≠ 0.

Ví dụ: 

• 2x + 3 = 0 là phương trình bậc nhất một ẩn x.

• 5t + 6 = 0 là phương trình bậc nhất một ẩn t.

Các trường hợp nghiệm của phương trình bậc nhất một ẩn

Phương trình bậc nhất có một nghiệm

Phương trình bậc nhất ax + b = 0 có một nghiệm khi a ≠ 0. Khi đó phương trình có duy nhất 1 nghiệm x = -b/a. Đối với phương trình bậc nhất một ẩn có ẩn ở hai vế ax + b = cx + d, phương trình này có một nghiệm khi a khác c, đồng thời a/b khác c/d. Khi biểu diễn phương trình này lên mặt phẳng toạ độ Oxy, người học tưởng tượng vế trái là hàm số y = ax + b trong khi vế phải là hàm số y = cx + d. Khi đó nghiệm của phương trình chính là hoành độ giao điểm của hai đường thẳng này.

Ví dụ: How many solutions does the equation 5(4 - x) = 6(x + 7) have?  

• Đầu tiên ta nhân phân phối phần trong ngoặc ở cả hai vế với hệ số, thu được phương trình 20 - 5x = 6x + 42.

• Sau đó ta cộng 5x vào cả hai vế thu được phương trình 20 = 11x + 42.

• Ta trừ 20 vào cả hai vế, thu được phương trình 11x + 22 = 0.

• Phương trình này có a= 11 ≠ 0 , vì vậy phương trình này sẽ có 1 nghiệm và nghiệm này là x = -2.

Fig.1. Line 5(4 - x) and line 6(x+7) on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [1])

Phương trình bậc nhất có vô số nghiệm

Phương trình bậc nhất ax + b = 0 có vô số nghiệm khi a và b đồng thời bằng 0. Khi đó phương trình này sẽ có dạng 0x = 0. Đối với phương trình ax + b = cx + d, phương trình này có vô số nghiệm khi ta có đồng thời a = c và b = d. Khi biểu diễn phương trình này lên mặt phẳng toạ độ Oxy, người học tưởng tượng vế trái là hàm số y = ax + b trong khi vế phải là hàm số y = cx + d. Khi được biểu diễn trên hệ tọa độ Oxy, ta sẽ thấy đồ thị này tạo thành hai đường thẳng trùng với nhau.

Ví dụ: How many solutions does the equation -3(4x - 6) = 2(9 - 6x) have?

• Đầu tiên ta nhân phân phối phần trong ngoặc ở cả hai vế với hệ số, ta thu được phương trình -12x +18 = 18 - 12x.

• Ta cộng 12x vào cả hai vế, thu được phương trình: 18 = 18 -> Đúng với mọi giá trị của x thuộc tập R -> Phương trình này có vô số nghiệm.

 Fig.2. Line -3(4x-6) and line 2(9-6x)on the Desmos Graphing Calculator.  (Source: [2]). 

Phương trình bậc nhất vô nghiệm

Phương trình bậc nhất ax + b = 0 vô nghiệm xảy ra khi a = 0 và b khác 0. Khi đó phương trình sẽ tạo thành một trường hợp vô lí, ví dụ như 0x + 3 = 0 => 3 = 0 (vô lí) [3]. Đối với phương trình ax + b = cx + d, phương trình này vô nghiệm khi ta có a = c nhưng b khác d. Khi biểu diễn phương trình này lên mặt phẳng toạ độ Oxy, người học tưởng tượng vế trái là hàm số y = ax + b trong khi vế phải là hàm số y = cx + d. Khi thể hiện trên hệ tọa độ Oxy, ta sẽ thấy hai vế của phương trình này tạo thành hai đồ thị song song với nhau.  

Ví dụ: How many solutions does the equation 4(3x + 3) = 6(5 + 2x) have? 

• Đầu tiên ta nhân phân phối phần trong ngoặc ở cả hai vế với hệ số, thu được phương trình 12x + 12 = 30 + 12x.

• Ta trừ 12x vào cả hai vế, thu được phương trình: 12 = 30 (vô lí) -> Phương trình này vô nghiệm.

Fig.3. Line 4(3x+3) and line 6(5+2x) on the Desmos Graphing Calculator.  (Source: [4]). 

Các bài toán về tìm số nghiệm của phương trình bậc nhất trong Digital SAT

Các bài toán về tìm số nghiệm của phương trình bậc nhất thuộc Domain Algebra trong Digital SAT, trải dài ở các mức độ khó khác nhau và với các cách hỏi khác nhau. Thí sinh có thể được hỏi về các dạng bài khác nhau như dạng bài toán có chứa tham số m, tìm số nghiệm của hệ phương trình bậc nhất,…

Giới thiệu máy tính khoa học DESMOS

DESMOS là một phần mềm máy tính khoa học được thiết kế bởi DESMOS Studio. Đây là phần mềm chính thức được tích hợp trong phần mềm Bluebook của bài thi Digital SAT nhằm hỗ trợ thí sinh giải quyết đa dạng câu hỏi Toán học ở nhiều chuyên đề khác nhau.

Fig. 4. Official logo of Desmos Studio PBC. (Source: [5])

Các tính năng cơ bản của DESMOS

Với phần mềm DESMOS, người học và thí sinh sẽ cần làm quen với một số tính năng cơ bản, bao gồm:

• Các phép cộng, trừ, nhân, chia cơ bản

• Vẽ đồ thị phương trình từ bậc thấp đến cao

• Sử dụng bảng biểu

• Tính năng thanh trượt

• Các phép tính thống kê cơ bản

• Các phép tính lượng giác cơ bản

• …

Trên màn hình giao diện DESMOS, người học có thể nhận diện được các vùng cơ bản. Thứ nhất, vùng bên tay trái là nơi người học nhập phương trình (VD: 2x + y = 0). Thứ hai, vùng mặt phẳng toạ độ Oxy là nơi đồ thị của phương trình hiển thị. Cuối cùng, nút cài đặt (có biểu tượng hình cờ lê) bên góc phải là nơi người học điều chỉnh một số cài đặt để phù hợp nhu cầu (VD: chuyển đổi từ Degree sang Radian.)

Fig. 5. Interface of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [6])

Lưu ý: Phần mềm DESMOS hiện tại mà người học có thể tìm trên mạng có thể được chia làm hai phiên bản: Nguyên bản (đen) và Khảo thí (testing - xanh lá). Phần mềm DESMOS nguyên bản sẽ có nhiều tính năng hơn bản khảo thí, bao gồm tính năng chia sẻ biểu đồ, thư mục, hoặc hình ảnh. Tuy vậy, các tính năng quan trọng dùng trong bài thi SAT vẫn có đầy đủ ở cả hai phiên bản.

Hướng dẫn sử dụng DESMOS để tìm số nghiệm của phương trình hàm số bậc nhất một ẩn

DESMOS là một công cụ hữu hiệu giúp thí sinh có thể tiết kiệm thời gian trong phòng thi. Đối với dạng bài tìm số nghiệm của phương trình hàm số bậc nhất một ẩn, người học có thể vận dụng ý nghĩa giao điểm các đường thẳng trên Oxy hoặc tính năng thanh trượt (sliders) từ DESMOS. Dưới đây là hướng dẫn chi tiết từng bước. 

Bước 1: Đọc đề bài và tìm dữ kiện được cung cấp

Người học đọc đề bài và tìm ra: 

• Phương trình bậc nhất mà đề bài cung cấp. 

• Xác định xem câu hỏi có yêu cầu tìm tham số hay không hay chỉ cần tính toán phương trình. 

• Xác định yêu cầu đề bài về số nghiệm: Chỉ một nghiệm duy nhất, vô số nghiệm, vô nghiệm -> Từ đó xác định hình dạng đồ thị tương ứng để phù hợp với đề bài. 

Bước 2: Nhập phương trình mà đề bài cung cấp vào trong DESMOS.  Xác định xem phương trình đó có 1 hoặc 2 vế. 

• Nhập ở dòng đầu tiên: Nếu phương trình chỉ có 1 vế thì nhập phương trình đó vào DESMOS. Nếu phương trình có tham số, người học bấm chọn “Add slider” -> DESMOS xuất hiện một thanh trượt thể hiện các giá trị của tham số với giá trị mặc định từ -10 đến 10 (với bước nhảy = 1). 

• Nhập ở dòng 2: Nếu phương trình có 2 vế thì nhập mỗi vế thành một dòng phương trình trong DESMOS. Sau đó, chọn “Add slider” nếu phương trình có chứa tham số -> DESMOS xuất hiện một thanh trượt thể hiện các giá trị của b với giá trị mặc định từ -10 đến 10 (với bước nhảy = 1). 

Bước 3: Người học nhìn vào đồ thị để xác định số nghiệm của hàm số. 

• Nếu đề bài yêu cầu có 1 nghiệm duy nhất: Hai đồ thị cắt nhau ở một điểm.

• Nếu đề bài yêu cầu có vô số nghiệm: Hai đồ thị trùng nhau.

• Nếu đề bài yêu cầu có vô nghiệm: Hai đồ thị song song với nhau. 

Nếu đề bài có tham số, người học tiến hành thao tác kéo trên thanh trượt cho đến khi đồ thị của hàm số thỏa mãn số nghiệm đề bài yêu cầu.

Bước 4 (tùy chọn, thực hiện nếu phương trình có tham số): Thay giá trị của tham số vào phương trình ban đầu để kiểm tra đáp án. 

Lưu ý: Khi dùng thanh trượt, DESMOS luôn hiển thị giá trị dưới dạng số thập phân. Do đó, DESMOS hữu dụng khi giá trị cần tìm là giá trị nguyên (1,2,3,...), giá trị thập phân hữu hạn (1.5, 2.5,...), giá trị thập phân vô hạn tuần hoàn (0.6666), hoặc giá trị thập phân không tuần hoàn thông dụng (3.141592). Nếu người học chưa quen nhận diện các giá trị này (VD: 10/3 có thể được biểu diễn là 3.33333), điều nên làm là luôn kiểm tra lại đáp án trước khi chọn.

Ví dụ minh họa

Câu hỏi: 

How many solutions does the equation -4(6x + 3) = 3(4 - 8x) have?

A. Zero
B. Exactly 2
C. Exactly 1
D. Infinitely many

Hướng dẫn giải bằng DESMOS

Bước 1: Đọc đề bài và tìm dữ kiện được cung cấp

• Ta có 2 vế của phương trình, vế trái là -4(6x + 3) và vế phải là 3(4 - 8x)

• Không có tham số

Bước 2: Nhập phương trình hàm số mà đề bài cung cấp vào trong DESMOS

• Nhập ở dòng 1: Nhập phương trình ở vế phải là phương trình -4(6x+3) vào DESMOS

• Nhập ở dòng 2: Nhập phương trình ở vế trái là phương trình  3(4-8x) vào DESMOS. 

• Không có tham số nên bỏ qua bước chọn “Add Slider”. 

Fig.6. Line -4(6x+3) and 3(4-8x) on the Desmos Graphing Calculator.  (Source: [7]). 

Bước 3:

Ta thấy hai đồ thị này có dạng song song với nhau -> Phương trình này vô nghiệm -> C. 

Xem thêm:

• Sử dụng DESMOS để tìm hàm số tuyến tính, biết một điểm và hệ số góc

• Phương pháp giải các dạng bài trong SAT Math

• Cách làm dạng bài Linear equations in one variable trong SAT Math

Bài tập vận dụng

Dưới đây sẽ là một số các câu hỏi Digital SAT có sử dụng DESMOS để tìm số lượng nghiệm của phương trình hàm số bậc nhất. Người học hãy sử dụng các tính năng lập phương trình và slider của Desmos để giải các câu hỏi sau. 

Question 1: 

How many solutions does the given equation have? 

-23x = -46x

A. Zero
B. Exactly one
C. Exactly two
D. Infinitely many

Answer: B

Question 2: 

How many solutions does the given equation have? 

13x + 5 = -26x - 10

A. Zero
B. Exactly one
C. Exactly two
D. Infinitely many

Answer: D

Question 3:

How many solutions does the given equation have? 

7x + 64 = 7x - 10

A. Zero
B. Exactly one
C. Exactly two
D. Infinitely many

Answer: A

Question 4: 

Given the equation 6z - 2pz = 13

In the given equation, p is a constant. The equation has no solution. What is the value of p? 

A. 0
B. 3
C. 2
D. 13

Answer: B

Question 5: 

4 (px + 13) = 8104x + 17

In the given equation, p is a constant. The equation has no solution. What is the value of p? 

Answer: 2026

Question 6: 

Given the equation 8 - 28x = 14mx -4m

In the given equation, m is a constant. The equation has infinitely many solutions. What is the value of m? 

A. 0
B. 7
C. -4/3
D. -2

Answer: D

Question 7: 

The equation 5x + 3 = a (x - b), where a and b are constants, has infinitely many solutions. Which of the following must be wrong? 

I. a ≠ 5
II. a = 5
III. b= 2

A. I only 
B. II only 
C. None
D. I and III only

Answer: D

Question 8:  

The equation 7x - 4 = \(\frac{a\left(x-b\right)}{3}\) , where a and b are constants, has infinitely many solutions. Which of the following must be true? 

I. a = 21
II. b ≠ \(\frac{21}{12}\)
III. b = \(\frac{12}{21}\)

A. I only 
B. II only 
C. None
D. I and III only

Answer: D

Question 9:

In the given equation, p and q are constants, and p > 0. If the equation has infinitely many solutions, what is the sum of p and q? 

\(\frac{33x+27}{3}\) - \(\frac{p}{11}\)= q(x-7)

Answer: 957

Question 10:  

In the given equation, p and q are constants and integers, and p > 0; p < q 

33x + 273 - 11p = q (x-7)

If the equation has no solution, what is the biggest difference between q and p? 

Answer: 32

Tổng kết

Qua bài viết trên, tác giả đã giới thiệu được cho các học viên về phần mềm DESMOS cũng như cách học viên có thể áp dụng DESMOS để có thể giải các bài toán trong Digital SAT, nhất là các bài toán tìm số nghiệm của phương trình bậc nhất một ẩn. Hi vọng bài viết này đã góp phần giải đáp các thắc mắc của người đọc với dạng bài này cũng như hướng dẫn người đọc một cách giải mới đối với dạng bài này để người đọc có thể sử dụng DESMOS để tìm số nghiệm của phương trình bậc nhất một ẩn.

Để nâng cao kỹ năng làm bài Digital SAT một cách toàn diện, người học có thể tham gia khóa luyện thi SAT tại ZIM Academy. Chương trình cung cấp hướng dẫn chi tiết về chiến lược làm bài, sử dụng công cụ hiệu quả như DESMOS, và luyện tập với đề thi thực tế, giúp học viên tối ưu thời gian và đạt điểm số mục tiêu trong kỳ thi.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.