DESMOS Guide - Tìm điểm thuộc nghiệm bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Trong các bài thi chuẩn hóa quốc tế về năng lực toán, chẳng hạn như Digital SAT, thí sinh có thể sẽ được cung cấp phần mềm DESMOS, phần mềm máy tính khoa học giúp giải quyết các vấn đề liên quan đến đồ thị, thống kê và các phép tính cơ bản. Trong phạm vi bài viết này, tác giả sẽ hướng dẫn người đọc cách sử dụng DESMOS để xác định điểm thuộc miền nghiệm bất phương trình bậc nhất hai ẩn, một dạng bài phổ biến trong bài thi Digital SAT. Nắm được các tính năng của DESMOS cũng như thao tác sử dụng sẽ giúp thí sinh tăng tốc độ làm bài, đơn giản hóa các bước tính toán, từ đó nâng cao hiệu quả bài thi.

Nội dung chính

Lý thuyết về bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát là:

Ax+By<,≤,>,≥ C

Trong đó: 

• A/B là hệ số góc của bất phương trình (với B ≠ 0)

• A, B và C là các hằng số, với A và B không đồng thời bằng 0

Khi biểu diễn dưới dạng slope-intercept, bất phương trình bậc nhất hai ẩn cũng có thể được viết dưới dạng:

y<,≤,>,≥ mx + b

Trong đó: 

• m là hệ số góc của bất phương trình.

• Ngoài ra, b là hệ số tự do của bất phương trình.

Mối liên hệ giữa nghiệm bất phương trình và đồ thị

Ngoài cách giải đại số, nghiệm của bất phương trình còn có thể hiểu dưới góc độ đồ thị. 

Đối với bất phương trình bậc nhất hai ẩn (VD: Ax + By + C > 0), nghiệm (miền nghiệm) của nó không phải là một khoảng trên trục số mà là một miền mặt phẳng. Khi đó, đường thẳng Ax + By + C = 0 đóng vai trò là ranh giới chia mặt phẳng tọa độ Oxy thành hai nửa riêng biệt. Một nửa mặt phẳng sẽ chứa các điểm (x, y) thỏa mãn dấu của bất phương trình, nửa còn lại chứa các điểm (x,y) khiến bất phương trình bị sai.

Nếu bất phương trình có dấu “≥” hoặc “≤” thì miền nghiệm sẽ bao gồm điểm đường thẳng Ax + By + C = 0, được biểu diễn trên đồ thị dưới dạng đường gạch liền. Nếu bất phương trình có dấu “>” hoặc “<”, miền nghiệm không bao gồm đường thẳng này và đường này được biểu diễn bằng đường gạch đứt.  

Ví dụ: Xét bất phương trình y ≥ 3x - 5.

Fig. 1. Inequality y ≥ 3x - 5 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [1])

Bất phương trình có giao điểm với trục Ox tại (5/3, 0). Như vậy, bất phương trình  y ≥ 3x - 5 sẽ có miền nghiệm là tất cả giá trị của x và y sao cho y ≥ 3x - 5. Ta có thể xét hai trường hợp giá trị (x, y) để thử nghiệm miền nghiệm này.

• Xét điểm (0, 2): 2 > 3 x 0 - 5 -> Đúng -> (0, 2) thuộc miền nghiệm bất phương trình.

• Xét điểm (3, 0): 0 > 3 x 3 - 5 -> Sai -> (3, 0) không thuộc miền nghiệm bất phương trình. 

Xác định điểm thuộc miền nghiệm bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong câu hỏi Digital SAT

Trong bài thi Digital SAT, các câu hỏi về bất phương trình bậc nhất rất đa dạng. Thí sinh có thể được hỏi về nghiệm của bất phương trình, xét những giá trị thỏa mãn là nghiệm của bất phương trình, xác định số nghiệm của bất phương trình hoặc đánh giá tính đúng - sai của các mệnh đề liên quan đến nghiệm.

Giới thiệu máy tính khoa học DESMOS

DESMOS là một phần mềm máy tính khoa học được thiết kế bởi DESMOS Studio. Đây là phần mềm chính thức được tích hợp trong phần mềm Bluebook của bài thi Digital SAT nhằm hỗ trợ thí sinh giải quyết đa dạng các câu hỏi Toán học ở nhiều chuyên đề khác nhau.

Fig. 2. Official logo of Desmos Studio PBC. (Source: [2])

Các tính năng cơ bản của DESMOS

Với phần mềm DESMOS, người học và thí sinh sẽ cần làm quen với một số tính năng cơ bản, bao gồm:

• Các phép cộng, trừ, nhân, chia cơ bản

• Vẽ đồ thị phương trình từ bậc thấp đến cao

• Sử dụng bảng biểu

• Tính năng thanh trượt

• Các phép tính thống kê cơ bản

• Các phép tính lượng giác cơ bản

• V.v.

Trên màn hình giao diện DESMOS, người học có thể nhận diện được các vùng cơ bản. Thứ nhất, vùng bên tay trái là nơi người học nhập phương trình (VD: 2x + y = 0). Thứ hai, vùng mặt phẳng tọa độ Oxy là nơi đồ thị của phương trình hiển thị. Cuối cùng, nút cài đặt (có biểu tượng hình cờ lê) bên góc phải là nơi người học điều chỉnh một số cài đặt để phù hợp với nhu cầu (VD: chuyển đổi từ Degree sang Radian).

Fig. 3. Interface of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [3])

Lưu ý: Phần mềm DESMOS hiện tại mà người học có thể tìm trên mạng có thể được chia làm hai phiên bản: Nguyên bản (đen) và Khảo thí (testing - xanh lá). Phần mềm DESMOS nguyên bản sẽ có nhiều tính năng hơn bản khảo thí, bao gồm tính năng chia sẻ biểu đồ, thư mục hoặc hình ảnh. Tuy vậy, các tính năng quan trọng dùng trong bài thi SAT vẫn có đầy đủ ở cả hai phiên bản.

Hướng dẫn sử dụng DESMOS để xác định điểm thuộc miền nghiệm bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Để sử dụng DESMOS để xác định điểm thuộc miền nghiệm bất phương trình bậc nhất hai ẩn, người học cần vận dụng tính năng vẽ đồ thị phương trình và biểu diễn tọa độ điểm lên đồ thị. Dưới đây là hướng dẫn chi tiết từng bước:

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp.

Người học đọc kĩ bất phương trình để xác định biểu thức chứa ẩn x và y. 

Bước 2: Nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài vào ô nhập dữ liệu của phần DESMOS graphing calculator. DESMOS sẽ tự động vẽ đồ thị của bất phương trình tương ứng.

Nếu người học cần gõ các ký tự đặc biệt, người học có thể bấm vào ký hiệu bàn phím ở góc dưới trái của màn hình để hiện ra chức năng bàn phím để hỗ trợ trong việc bấm biểu thức.

Bước 3: Người học quan sát giao diện của DESMOS sẽ thấy được một khoảng được tô màu bên trái/phải của đường thẳng. Phần được tô màu này cho thấy khoảng giá trị mà sẽ làm cho bất phương trình có nghiệm. Bây giờ người học có thể đối chiếu đáp án để xem chúng có nằm trong tập nghiệm không.

Bước 4: Người học điền các giá trị mà đề bài cho (nếu có) vào phần mềm và xem các điểm đó có trong miền nghiệm được tô màu hay không. Người học cũng có thể chọn một vài giá trị x thuộc miền nghiệm suy ra, thay vào biểu thức ban đầu để kiểm tra tính đúng đắn của kết luận.

Ví dụ minh hoạ:

Câu hỏi: 

Which of the following values is a solution to the inequality?

x − y - 5 ≥ 0

A. (6, 1)

B. (2, 3)

C. (4, 0)

D. (-1, -2)

Hướng dẫn giải bằng DESMOS

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp

• Bất phương trình được cho: x − y - 5 ≥ 0

Bước 2: Nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài vào ô nhập dữ liệu của DESMOS. Trong đó:

• Nhập ở dòng đầu tiên: bất phương trình x − y - 5 ≥ 0

Lưu ý, với dấu “≥”, người học nên sử dụng phần bàn phím như đã nêu trên.

Fig. 4. The Calculator function on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [4])

Bước 3: DESMOS sẽ hiển thị đường thẳng và khoảng có nghiệm (miền nghiệm) của phương trình. Bây giờ ta có thể xét những giá trị.

Fig. 5. Inequality x − y - 5 ≥ 0 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [5])

Bước 4: Viết các tọa độ điểm được cho trong đáp án vào trong DESMOS để thử.

• (2, 3) không nằm trong khoảng được tô màu -> không phải là nghiệm

• (4, 0) không nằm trong khoảng được tô màu -> không phải là nghiệm

• (-1, -2) không nằm trong khoảng được tô màu -> không phải là nghiệm

• (6, 1) nằm trong khoảng được tô màu -> là nghiệm.

⇒ Chọn đáp án A.

Fig. 6. Inequality x − y - 5 ≥ 0, (2, 3), (4, 0), (6, 1) and (-1, -2) on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [6])

Lưu ý: DESMOS luôn hiển thị giá trị dưới dạng số thập phân. Do đó, DESMOS hữu dụng khi giá trị cần tìm là giá trị nguyên (1, 2, 3, …), giá trị thập phân hữu hạn (1.5, 2.5, …), giá trị thập phân vô hạn tuần hoàn (0.6666), hoặc giá trị thập phân không tuần hoàn thông dụng (3.141592). Nếu người học chưa quen nhận diện các giá trị này (VD: 10/3 có thể được biểu diễn là 3.33333), điều nên làm là luôn kiểm tra lại đáp án trước khi chọn.

Xem thêm:

Sử dụng DESMOS để giải bài toán hàm số bậc nhất phản chiếu qua trục tung

Bài tập vận dụng

Sau đây, bài viết sẽ giới thiệu đến người học một số câu hỏi Digital SAT có sử dụng DESMOS để xác định điểm thuộc miền nghiệm bất phương trình bậc nhất hai ẩn  [7]. Người học hãy sử dụng tính năng DESMOS đã giới thiệu để giải các câu hỏi sau.

Question 1: 

Which of the following represents the solution to the inequality?

x − y - 3 ≤ 0

A. (5, 1)

B. (0, -1)

C. (4, 0)

D. (1, -3)

Answer: B

Question 2: 

Which possible value of (x, y) satisfies the inequality y < 2x + 3?

A. (-2, 2)

B. (-3/2, 0)

C. (2, 3)

D. (1, 6)

Answer: C

Question 3:

The inequality y ≤ 2x − 3 is graphed in the coordinate plane. Which description best represents the solution set?

A. All points above a dashed line with slope 2

B. All points below a solid line with slope 2

C. All points to the right of a vertical line

D. All points between two parallel lines

Answer: B

Question 4:

If the inequality is

y ≤ − x + 4

Which of the following points lies BELOW the boundary line and satisfies the inequality?

A. (4, 0)

B. (3, 1)

C. (-1, 5)

D. (-2, 2)

Answer: D

Question 5:

Which inequality is satisfied by the point (0, -2)?

A. y ≤ -1

B. y > x − 1

C. y > 0

D. y ≥ x + 3

Answer: A

Question 6:

A point (x, y) is tested in the inequality

3(x - 1) + 2y  ≤ 4.

Point A(m, n) lies on the boundary line and makes the inequality true. Which could be the set of values of (m, n)?

A. (1,1)

B. (2, 0)

C. (0, 3)

D. (3, -1)

Answer: D

Question 7:

Consider the following inequality:

2y − x < 6

Which of the points below does NOT satisfy the inequality?

A. (1, 1)

B. (2, 0)

C. (3, -2)

D. (0, 3)

Answer: D

Question 8:

The inequality y > −2x + 5 is tested using the point (2, y). What must be true about the value of y for the point to satisfy the inequality?

A. y > 1
B. y ≥ 1
C. y < 1
D. y ≤ 1

Answer: A

Question 9:

Solve the inequality below.

(x/3) + (y/4) < 1

Which of the following points is a possible solution?

A. (3, 0)

B. (2, -2)

C. (3, 4)

D. (6, -2)

Answer: B

Question 10:

A child wants to use his lucky money to buy snacks and candies. A bag of snacks costs $2, while a candy costs $1, and the child currently has $10 from his lucky money. The inequality 2x + y ≤  10 represents his situation, where x is the number of snack bags, and y is the number of candy bags.

Which of the following combinations meets the child’s budget limit?

A. 3 snack bags and 5 candy bags

B. 4 snack bags and 3 candy bags

C. 2 snack bags and 6 candy bags

D. 5 snack bags and 1 candy bag

Answer: C

Xem thêm:

• Sử dụng DESMOS để tìm đồ thị hàm số bậc hai trước và sau biến đổi

• Sử dụng DESMOS để tìm hàm số tuyến tính có yếu tố biến đổi

• Sử dụng DESMOS để giải bài toán hàm số bậc nhất phản chiếu qua trục tung

Như vậy, bài viết đã giới thiệu về phần mềm DESMOS và hướng dẫn chi tiết cách sử dụng DESMOS để xác định điểm thuộc miền nghiệm bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Hy vọng người học có thể vận dụng các nội dung trong bài viết để cải thiện hiệu suất ôn tập và nâng cao hiệu quả làm bài của bản thân.

Tham khảo chương trình luyện thi SAT cam kết đầu ra tại ZIM Academy để được hướng dẫn chuyên sâu và bứt phá điểm số.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.

Tác giả: JOHN MARK PHẠM DACUSIN