Sử dụng DESMOS để giải bài toán hàm số bậc nhất phản chiếu qua trục tung

Trong các bài thi chuẩn hóa quốc tế về năng lực toán, chẳng hạn như Digital SAT, thí sinh có thể sẽ được cung cấp phần mềm DESMOS, phần mềm máy tính khoa học giúp giải quyết các vấn đề liên quan đến đồ thị, thống kê và các phép tính cơ bản. Nắm được các tính năng của DESMOS cũng như thao tác sử dụng sẽ giúp thí sinh tăng tốc độ làm bài, đơn giản hóa các bước tính toán, từ đó nâng cao hiệu quả bài thi. Trong phạm vi bài viết này, tác giả sẽ hướng dẫn người đọc cách sử dụng DESMOS để giải quyết các bài toán hàm số tuyến tính phản chiếu qua trục tung, một dạng bài phổ biến trong bài thi Digital SAT.

Lý thuyết về hàm số tuyến tính và đồ thị hàm số tuyến tính

Hàm số tuyến tính còn có tên gọi là hàm số bậc nhất. Phương trình hàm số tuyến tính có dạng tổng quát là:

Ax+By+C=0

Trong đó: A, B và C là các hằng số thực, với A và B không đồng thời bằng 0.

Ngoài dạng tổng quát, hàm số tuyến tính có thể xuất hiện dưới dạng slope-intercept (hệ số góc-tung độ gốc):

y=f(x)=mx+b

Trong đó:

• y là biến số phụ thuộc.

• x là biến số độc lập.

• m là hệ số góc (hay còn gọi là độ dốc), thể hiện mức độ biến đổi của biến y khi biến x thay đổi.

• b là tung độ gốc (hay còn gọi là điểm cắt trục tung y), là giá trị ban đầu của hàm số khi x = 0.

Mối liên hệ giữa hàm số tuyến tính và đồ thị

Ngoài cách tính giá trị bằng công thức đại số, tính chất của hàm số tuyến tính còn có thể được hiểu rõ thông qua đồ thị. Xét hàm số tuyến tính dạng f(x) = mx + b (m ≠ 0), hàm số này được thể hiện lên Oxy là một đường thẳng. Các điểm thuộc đường thẳng này là tập hợp các giá trị (x, y) sao cho y = mx + b.

Ví dụ: Xét hàm số y = 3x + 5

Ta có thể xét hai trường hợp giá trị xy để thử nghiệm.

• Xét điểm (-1, 2): 2 = 3 x (-1) + 5 -> Đúng -> (x, y) = (-1, 2) là điểm thuộc đồ thị hàm số.

• Xét điểm (3, 0): 0 = 3 x 3 - 5 -> Sai -> (x, y) = (3, 0) không phải là điểm thuộc đồ thị hàm số.

• Đồ thị hàm số này là một đường thẳng dốc lên.

Fig. 1. Line y = 3x + 5 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [1])

Sự phản chiếu qua trục tung của hàm số tuyến tính

Trong các bài toán SAT, việc giải quyết các bài toán hàm số tuyến tính phản chiếu qua trục tung là một dạng bài quen thuộc. Thay vì cho trực tiếp ký hiệu toán học, đề bài thường dùng từ ngữ miêu tả đồ thị. Nhiệm vụ của người học là diễn giải ngôn ngữ đó thành ký hiệu hàm số. Xét hàm số f(x) và g(x): Khi phản chiếu dọc hoặc phản chiếu qua trục tung (Reflecting across the y-axis), thì g(x) = f(-x).

Ví dụ: Xét hàm số sau.

f(x) = 2x + 1

Nếu đề bài yêu cầu tìm một hàm số g(x), mà g(x) là f(x) được “reflected across the y-axis”, ta sẽ có được: g(x) = f(-x) = 2(-x) + 1 = -2x + 1.

Fig. 2. Functions f(x) = 2x + 1 and f(-x) on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [2])

Kết luận: Hàm số g(x) = -2x + 1 là hàm số f(x) = 2x + 1 sau khi phản chiếu qua trục tung.

Mặt khác, nếu đề bài cho hàm số đã biến đổi và người học cần tìm hàm số trước khi biến đổi, thì người học cũng có thể tìm hàm số theo cách này. Nếu g(x) được cho trước và được tìm ra bằng cách phản chiếu f(x), thì g(x) = f(-x), và ngược lại f(x) = g(-x).

Giải quyết các bài toán hàm số tuyến tính phản chiếu qua trục tung trong câu hỏi Digital SAT

Trong bài thi Digital SAT, các câu hỏi về giải quyết các bài toán hàm số tuyến tính phản chiếu qua trục tung là rất đa dạng. Thí sinh có thể được hỏi về việc tìm hàm số trước hay sau khi đã được phản chiếu qua trục tung, tìm nghiệm hay x-intercept và y-intercept của hàm số trước/sau khi biến đổi và trả lời các câu hỏi thực tế liên quan đến sự phản chiếu qua trục tung của hàm số.

Giới thiệu máy tính khoa học DESMOS

DESMOS là một phần mềm máy tính khoa học được thiết kế bởi DESMOS Studio. Đây là phần mềm chính thức được tích hợp trong phần mềm Bluebook của bài thi Digital SAT nhằm hỗ trợ thí sinh giải quyết đa dạng câu hỏi Toán học ở nhiều chuyên đề khác nhau.

Fig. 3. Official logo of Desmos Studio PBC. (Source: [3])

Các tính năng cơ bản của DESMOS

Với công cụ DESMOS, người học và thí sinh sẽ cần làm quen với một số tính năng cơ bản, bao gồm:

• Các phép cộng, trừ, nhân, chia cơ bản

• Vẽ đồ thị phương trình từ bậc thấp đến cao

• Sử dụng bảng biểu

• Tính năng thanh trượt

• Các phép tính thống kê cơ bản

• Các phép tính lượng giác cơ bản

• …

Trên màn hình giao diện DESMOS, người học có thể nhận diện được các vùng cơ bản. Thứ nhất, vùng bên tay trái là nơi người học nhập phương trình (VD: 2x + y = 0). Thứ hai, vùng mặt phẳng toạ độ Oxy là nơi đồ thị của phương trình hiển thị. Cuối cùng, nút cài đặt (có biểu tượng hình cờ lê) bên góc phải là nơi người học điều chỉnh một số cài đặt để phù hợp nhu cầu (VD: chuyển đổi từ Degree sang Radian.)

Fig. 4. Interface of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [4])

Lưu ý: Phần mềm DESMOS hiện tại mà người học có thể tìm trên mạng có thể được chia làm hai phiên bản: Nguyên bản (đen) và Khảo thí (testing - xanh lá). Phần mềm DESMOS nguyên bản sẽ có nhiều tính năng hơn bản khảo thí, bao gồm tính năng chia sẻ biểu đồ, thư mục, hoặc hình ảnh. Tuy vậy, các tính năng quan trọng dùng trong bài thi SAT vẫn có đầy đủ ở cả hai phiên bản.

Hướng dẫn sử dụng DESMOS để giải quyết các bài toán hàm số tuyến tính phản chiếu qua trục tung

Để sử dụng DESMOS để giải quyết các bài toán hàm số tuyến tính phản chiếu qua trục tung, người học cần vận dụng tính năng vẽ đồ thị và diễn giải hình ảnh đồ thị. Dưới đây là hướng dẫn chi tiết từng bước:

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp.

Người học đọc kĩ đề bài để xác định những dữ liệu được cho như hàm số ban đầu, hàm số cần tìm và dữ kiện đề bài cần tìm.

Bước 2: Người học cần nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài vào ô nhập dữ liệu của DESMOS. Trước hết, người học cần nhập hàm số được cho sẵn của đề bài.DESMOS sẽ tự động cho thấy đồ thị hàm số này trên mặt phẳng tọa độ.

Nếu người học cần gõ các ký tự đặc biệt, người học có thể bấm vào ký hiệu bàn phím ở góc dưới trái của màn hình để hiện ra chức năng bàn phím để hỗ trợ trong việc bấm biểu thức.

Bước 3: Sau khi người học thấy được hàm số được cho trên mặt phẳng tọa độ, người học xuống dòng tiếp theo và nhập hàm số được biến đổi. Người học sẽ phải tự biến đổi hàm số dựa trên lý thuyết đã cho ở phần trên.

DESMOS sẽ tự động vẽ các hàm số mới này trên mặt phẳng tọa độ.

Bước 4: Tuỳ vào đề bài, người học tìm nghiệm hay hệ số góc của hàm số mới tìm được thì người học tiếp tục hoàn tất các bước tính toán còn lại để có được đáp án. 

Ví dụ minh hoạ:

Câu hỏi: 

The function f(x) = −3x + 5 is graphed in the xy-plane.

If g(x) is defined as f(-x), what point DOESN’T lie on g(x)?

A. (0, 5)
B. (-2, -1)
C. (-1, 8)
D. (-5/3, 0)

Hướng dẫn giải bằng DESMOS

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp

• Hàm số được cho: f(x) = -3x + 5

• Hàm số được phản chiếu qua trục tung

• Người học cần tìm xem điểm nào KHÔNG thuộc hàm số mới.

Bước 2: Người học nhập hàm số được cho vào dòng đầu của DESMOS.

DESMOS sẽ tự hiện hàm số trên mặt phẳng tọa độ.

Fig. 5. Function f(x) = -3x + 5 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [5])

Lưu ý, với những dấu không có trên bàn phím thông thường như dấu phân số hay căn thức, người học nên sử dụng phần bàn phím như đã nêu trên.

Fig. 6. The Calculator function on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [6])

Bước 3: Người học tìm hàm số được biến đổi và viết lên một dòng mới. Trong trường hợp này, ta phải tìm hàm g(x) = f(-x). Như vậy, ta viết f(-x) vào một dòng mới của DESMOS.

Fig. 7. Function f(x) = -3x + 5 and f(-x) on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [5])

DESMOS cũng sẽ tự hiện hàm số này trên mặt phẳng tọa độ. 

Bước 4: Đề bài bắt người học tìm điểm KHÔNG nằm trên hàm số mới. Với trường hợp này, người học có thể viết các điểm lên DESMOS để thử.

• (0, 5) nằm trên f(-x) -> Loại

• (-2, -1) nằm trên f(-x) -> Loại

• (-1, 8) không nằm trên f(-x) -> Chọn

• (-5/3, 0) nằm trên f(-x) -> Loại

⇒ Chọn đáp án C.

Fig. 8. Function f(x) = -3x + 5 and f(-x) with Points on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [5])

Lưu ý: DESMOS luôn hiển thị giá trị dưới dạng số thập phân. Do đó, DESMOS hữu dụng khi giá trị cần tìm là giá trị nguyên (1,2,3,...), giá trị thập phân hữu hạn (1.5, 2.5,...), giá trị thập phân vô hạn tuần hoàn (0.6666), hoặc giá trị thập phân không tuần hoàn thông dụng (3.141592). Nếu người học chưa quen nhận diện các giá trị này (VD: 10/3 có thể được biểu diễn là 3.33333), điều nên làm là luôn kiểm tra lại đáp án trước khi chọn.

Xem thêm:

• Sử dụng DESMOS để tìm phương trình tuyến tính qua toạ độ hai điểm

• Sử dụng DESMOS để tìm đồ thị hàm số tuyến tính trước/sau khi biến đổi

• Sử dụng DESMOS để tìm hàm số tuyến tính, biết một điểm và hệ số góc

Bài tập vận dụng

Sau đây, bài viết sẽ giới thiệu đến người học một số câu hỏi Digital SAT có sử dụng DESMOS để giải quyết các bài toán hàm số tuyến tính phản chiếu qua trục tung [7]. Người học hãy sử dụng tính năng DESMOS đã giới thiệu để giải các câu hỏi sau.

Question 1:

A linear function p has slope -5 and passes through the point (1, 2). Function q is defined as: q(x) = p(-x). What is the equation of q(x)?

A. q(x) = -5x + 7
B. q(x) = 5x + 7
C. q(x) = 5x - 7
D. q(x) = -5x - 7

Answer: B

Question 2: 

A linear function f(x) has slope 4 and passes through the point (3,- 2). Function g(x) is defined by g(x) = f(-x). What is the y-intercept of g(x)?

A. (0, −14)
B. (0, 10)
C. (0, −2)
D. (0, 14)

Answer: A

Question 3:

Function f passes through the points (1, -1) and (2, 2). Function g is defined as g(x) = f(-x). Which of the following statements is true?

A. The graph of g is a horizontal line with a y-intercept of (0, -4).
B. The graph of g has a slope of 3 and passes through the point (1, -7).
C. The graph of g is the result of reflecting the graph of f across the y-axis and has a slope of -3.
D. The graph of g is the result of reflecting the graph of f across the x-axis and has a y-intercept of (0, 4).

Answer: C

Question 4:

A linear function r(x) has slope -3 and passes through the point (2, 7). Function s(x) is defined as s(x) = r(-x). Which of the following points lies on the graph of s(x)?

A. (2, -5)
B. (2, 7)
C. (-2, -5)
D. (-2, 7)

Answer: D

Question 5:

The function h(x) = (x - 2)/2 + (x + 5)/3 is transformed to create k(x), where k(x) = h(-x). If k(x) = mx + b, what is 2m/b?

A. 5/2
B. -5/2
C. 13/2
D. -13/2

Answer: B

Question 6:

A linear function r(x) has slope 5 and y-intercept -4. Function s(x) is defined as s(x) = r(−x) + k. If the x-intercept of s(x) is (-2, 0), what is the value of k?

A. -6
B. -5
C. -4
D. -3

Answer: A

Question 7:

The graph of a linear function p(x) passes through the points (0, -3) and (4, 5). Function q(x) is defined as q(x) = p(−x). Which point DOESN’T lie on q(x)?

A. (-5/2, 2)
B. (0, -3)
C. (-1/2, -4)
D. (2, -7)

Answer: C

Question 8:

The function q is defined as q(x) = p(-x) + k, where p is linear. The graph of q passes through (2, 3) and (6, 9), and the graph of p passes through (-1, -4). What is k?

A. 7/2
B. 5/2
C. 3/2
D. 11/2

Answer: D

Question 9:

A linear function h is defined by h(x) + 5 = 2(-3x + 5) - 3(-x + 7). Function t is defined as t(x)= h(-x) + k. If the y-intercept of t(x) is (0, 5), what is the value of k?

A. 18
B. 20
C. 21
D. 19

Answer: C

Question 10:

A scientist models the in a laboratory experiment with the linear function T(x), where x represents minutes after the experiment begins. The temperature increases at a constant rate of 3 degrees per minute, and the initial temperature is 12 degrees. A second model is defined as S(x) =T(−x). What is the slope of S(x)?

A. -3
B. 3
C. -5
D. 5

Answer: A

Tổng kết

Như vậy, bài viết đã giới thiệu về phần mềm DESMOS và hướng dẫn chi tiết cách sử dụng phần mềm này trong bài thi Digital SAT để giải quyết các bài toán hàm số tuyến tính phản chiếu qua trục tung. Việc vận dụng linh hoạt các tính năng vẽ đồ thị không chỉ giúp thí sinh trực quan hóa các phép biến đổi hình học mà còn là công cụ đắc lực để đối chiếu và xác định chính xác phương trình hàm số cần tìm.

Hy vọng người học có thể vận dụng các nội dung và quy trình thao tác trong bài viết để cải thiện hiệu suất ôn tập, đơn giản hóa các bước tính toán phức tạp và nâng cao hiệu quả làm bài của bản thân trong các kỳ thi sắp tới.

Tham khảo chương trình luyện thi SAT cam kết đầu ra tại ZIM Academy để được hướng dẫn chuyên sâu và bứt phá điểm số.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.