Sử dụng DESMOS để tìm đồ thị hàm số tuyến tính trước/sau khi biến đổi

Trong các bài thi chuẩn hóa quốc tế về năng lực toán, chẳng hạn như Digital SAT, thí sinh có thể sẽ được cung cấp phần mềm DESMOS, phần mềm máy tính khoa học giúp giải quyết các vấn đề liên quan đến đồ thị, thống kê, và các phép tính cơ bản. Nắm được các tính năng của DESMOS cũng như thao tác sử dụng sẽ giúp thí sinh tăng tốc độ làm bài, đơn giản hóa các bước tính toán, từ đó nâng cao hiệu quả bài thi. Trong phạm vi bài viết này, tác giả sẽ hướng dẫn người đọc cách sử dụng DESMOS để tìm đồ thị hàm số tuyến tính trước/sau khi biến đổi, một dạng bài phổ biến trong bài thi Digital SAT.

Lý thuyết về hàm số tuyến tính và đồ thị hàm số tuyến tính

Hàm số tuyến tính còn có tên gọi là hàm số bậc nhất. Phương trình hàm số tuyến tính có dạng tổng quát là:

Ax+By+C=0

Trong đó: A, B và C là các hằng số thực, với A và B không đồng thời bằng 0.

Ngoài dạng tổng quát, hàm số tuyến tính có thể xuất hiện dưới dạng slope-intercept (hệ số góc-tung độ gốc):

y=f(x)=mx+b

Trong đó:

• y là biến số phụ thuộc.

• x là biến số độc lập.

• m là hệ số góc (hay còn gọi là độ dốc), thể hiện mức độ biến đổi của biến y khi biến x thay đổi.

• b là tung độ gốc (hay còn gọi là điểm cắt trục tung y), là giá trị ban đầu của hàm số khi x = 0.

Mối liên hệ giữa hàm số tuyến tính và đồ thị

Ngoài cách tính giá trị bằng công thức đại số, tính chất của hàm số tuyến tính còn có thể được hiểu rõ thông qua đồ thị. Xét hàm số tuyến tính dạng f(x) = mx + b (m ≠ 0), hàm số này được thể hiện trên Oxy là một đường thẳng.

Ví dụ: Xét hàm số y = 3x + 5

Ta có thể xét hai trường hợp giá trị xy để thử nghiệm.

• Xét điểm (-1, 2): 2 = 3 x (-1) + 5 -> Đúng -> (x, y) = (-1, 2) là điểm thuộc đồ thị hàm số.

• Xét điểm (3, 0): 0 = 3 x 3 - 5 -> Sai -> (x, y) = (3, 0) không phải là điểm thuộc đồ thị hàm số.

Fig. 1. Line y = 3x + 5 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [1])

Sự biến đổi của hàm số tuyến tính

Trong các bài toán SAT, đồ thị hàm số tuyến tính trước/sau khi biến đổi là một dạng bài quen thuộc. Thay vì cho trực tiếp ký hiệu toán học, đề bài thường dùng từ ngữ miêu tả đồ thị. Nhiệm vụ của người học là diễn giải ngôn ngữ đó thành ký hiệu hàm số.

Từ vựng thường gặp trong đề SAT về biến đổi đồ thị hàm số:

Xét hàm số f(x) và g(x):

Dịch chuyển đồ thị:

• Dịch chuyển dọc (Vertical shift): g(x) = f(x) + k -> khi k < 0 thì hàm số sẽ di chuyển xuống dưới, khi k > 0 thì hàm số di chuyển lên trên.

• Dịch chuyển ngang (Horizontal shift): g(x) = f(x - h) -> khi h > 0 thì hàm số sẽ di chuyển sang phải, khi h < 0 thì hàm số sẽ di chuyển sang trái.

Biến đổi đồ thị:

• Giãn/Nén theo chiều dọc (Vertical stretch/compression): g(x) = af(x) -> “stretch” là khi ∣a∣ > 1 và “compress” là khi 0 < ∣a∣ < 1.

• Giãn/Nén theo chiều ngang (Horizontal stretch/compression): g(x) = f(ax) -> “compress” là khi ∣a∣ > 1 và “stretch” là khi 0 < ∣a∣ < 1.

• Phản chiếu ngang (Reflecting across the x-axis): g(x) = -f(x).

• Phản chiếu dọc (Reflecting across the y-axis): g(x) = f(-x).

Ví dụ: Xét hàm số sau.

f(x) = 2x + 1

Nếu đề bài yêu cầu tìm một hàm số g(x), mà g(x) là f(x) được “shift to the right 3 units” và “shift down 4 units”, ta có thể hiểu là đề bài muốn tìm hàm số f(x - 3) - 4.
-> g(x) = f(x - 3) - 4 = 2(x − 3) + 1 - 4 = 2x − 9.

Fig. 2. Functions f(x) = 2x + 1 and f(x - 3) - 4 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [2])

Kết luận: Hàm số g(x) = 2x - 9 là hàm số f(x) = 2x + 1 sau khi dịch chuyển sang phải 3 đơn vị và dịch chuyển dọc xuống 4 đơn vị.

Mặt khác, nếu đề bài cho trước hàm số đã biến đổi và người học cần tìm hàm số trước khi biến đổi, thì người học cũng có thể tìm hàm số theo cách này.

Ví dụ: A line has the equation y = 2x + 6. This line was obtained by shifting the graph of a function f(x) down 2 units and to the left 2 units.

Which equation represents f(x)?

Giả sử ta có hàm sau biến đổi: y = 2x + 6

Đề bài cho biết đường thẳng này được tạo bằng cách:

• shift down 2 units

• shift left 2 units

từ đồ thị f(x). Nếu: g(x) tương đương f(x) sau khi biến đổi thì để tìm f(x), ta làm ngược dấu biến đổi:

Ta có:

• down 2 -> khi tìm lại: up 2

• left 2 -> khi tìm lại: right 2

-> f(x) = g(x - 2) + 2 = 2(x - 2) + 6 + 2 = 2x + 4

Fig. 3. Functions g(x) = 2x + 6 and g(x - 2) + 2 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [3])

Kết luận: Hàm số f(x) = 2x + 4 là hàm số g(x) = 2x + 6 sau khi dịch chuyển sang phải 2 đơn vị và dịch chuyển dọc lên 2 đơn vị. Hay phát biểu ngược lại: g(x) là hàm số f(x) sau khi dịch chuyển sang trái 2 đơn vị và dịch chuyển dọc xuống 2 đơn vị.

Tìm đồ thị hàm số tuyến tính trước/ sau khi biến đổi trong câu hỏi Digital SAT

Trong bài thi Digital SAT, các câu hỏi về tìm đồ thị hàm số tuyến tính trước/sau khi biến đổi là rất đa dạng. Thí sinh có thể được hỏi về việc di chuyển lên/xuống hay trái/phải của đồ thị, sự kéo giãn của đồ thị, hay những sự biến đổi này dưới dạng câu hỏi thực tế.

Giới thiệu máy tính khoa học DESMOS

DESMOS là một phần mềm máy tính khoa học được thiết kế bởi DESMOS Studio. Đây là phần mềm chính thức được tích hợp trong phần mềm Bluebook của bài thi Digital SAT nhằm hỗ trợ thí sinh giải quyết đa dạng câu hỏi Toán học ở nhiều chuyên đề khác nhau.

Fig. 4. Official logo of Desmos Studio PBC. (Source: [4])

Các tính năng cơ bản của DESMOS

Với phần mềm DESMOS, người học và thí sinh sẽ cần làm quen với một số tính năng cơ bản, bao gồm:

• Các phép cộng, trừ, nhân, chia cơ bản

• Vẽ đồ thị phương trình từ bậc thấp đến cao

• Sử dụng bảng biểu

• Tính năng thanh trượt

• Các phép tính thống kê cơ bản

• Các phép tính lượng giác cơ bản

• …

Trên màn hình giao diện DESMOS, người học có thể nhận diện được các vùng cơ bản. Thứ nhất, vùng bên tay trái là nơi người học nhập phương trình (VD: 2x + y = 0). Thứ hai, vùng mặt phẳng toạ độ Oxy là nơi đồ thị của phương trình hiển thị. Cuối cùng, nút cài đặt (có biểu tượng hình cờ lê) bên góc phải là nơi người học điều chỉnh một số cài đặt để phù hợp với nhu cầu (VD: chuyển đổi từ Degree sang Radian).

Fig. 5. Interface of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [5])

Lưu ý: Phần mềm DESMOS hiện tại mà người học có thể tìm trên mạng có thể được chia làm hai phiên bản: Nguyên bản (đen) và Khảo thí (testing - xanh lá). Phần mềm DESMOS nguyên bản sẽ có nhiều tính năng hơn bản khảo thí, bao gồm tính năng chia sẻ biểu đồ, thư mục hoặc hình ảnh. Tuy vậy, các tính năng quan trọng dùng trong bài thi SAT vẫn có đầy đủ ở cả hai phiên bản.

Hướng dẫn sử dụng DESMOS để tìm đồ thị hàm số tuyến tính trước/ sau khi biến đổi

Để sử dụng DESMOS để tìm đồ thị hàm số tuyến tính trước/sau khi biến đổi, người học cần vận dụng tính năng vẽ đồ thị và diễn giải hình ảnh đồ thị hoặc sử dụng slider. Dưới đây là hướng dẫn chi tiết từng bước:

Cách 1

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp.

Người học đọc kĩ đề bài để xác định những dữ liệu được cho như hàm số ban đầu và hàm số cần tìm (đề bài muốn dịch chuyển hay kéo dãn hàm số,…).

Bước 2: Người học cần nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài vào ô nhập dữ liệu của DESMOS. Trước hết, người học cần nhập hàm số được cho sẵn của đề bài.

DESMOS sẽ tự động cho thấy đồ thị hàm số này trên mặt phẳng tọa độ.

Nếu người học cần gõ các ký tự đặc biệt, người học có thể bấm vào ký hiệu bàn phím ở góc dưới trái của màn hình để hiện ra chức năng bàn phím để hỗ trợ trong việc bấm biểu thức.

Bước 3: Sau khi người học thấy được hàm số được cho trên mặt phẳng tọa độ, người học xuống dòng tiếp theo và nhập hàm số được biến đổi. Người học sẽ phải tự biến đổi hàm số dựa trên lý thuyết đã cho ở phần trên.

DESMOS sẽ tự động cho các hàm số mới này trên mặt phẳng tọa độ.

Bước 4: (tùy chọn) Nếu cần, người học có thể bấm thử đáp án bằng cách bấm các lựa chọn vào trong Desmos, nếu lựa chọn khớp với hàm số đã biến đổi đã tìm được, thì người học có thể chọn đáp án đó.

Ví dụ minh hoạ:

Câu hỏi: 

The function f(x) = −3x + 4 is graphed in the xy-plane.

Which equation represents the graph of f(x) shifted right 1 unit and up 5 units?

A. f(x) = -3x + 12
B. f(x) = -3x + 6
C. f(x) = -3x + 2
D. f(x) = -3x + 10

Hướng dẫn giải bằng DESMOS

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp

• Hàm số được cho: f(x) = -3x + 4

• Hàm số được dịch chuyển sang phải và lên trên.

• Người học cần tìm phương trình của hàm số mới

Bước 2: Người học nhập hàm số được cho vào dòng đầu của DESMOS.

DESMOS sẽ tự hiện hàm số trên mặt phẳng tọa độ.

Fig. 6. Function f(x) = -3x + 4 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [6])

Lưu ý, với những dấu không có trên bàn phím thông thường như dấu phân số hay căn thức, người học nên sử dụng phần bàn phím như đã nêu trên.

Fig. 7. The Calculator function on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [7])

Bước 3: Người học tìm hàm số được biến đổi và viết lên một dòng mới. Trong trường hợp này, ta phải tìm hàm “f(x) shifted right 1 unit and up 5 units”, có thể hiểu là tìm hàm f(x - 1) + 5. Như vậy, ta viết f(x - 1) + 5 vào một dòng mới của DESMOS.

Fig. 8. Function f(x) = -3x + 4 and f(x - 1) + 5 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [8])

DESMOS cũng sẽ tự hiện hàm số này trên mặt phẳng tọa độ.

Bước 4: Người học thay những lựa chọn được cho trong đề bài vào để thử. Lựa chọn khớp với hàm số đã được vẽ sẵn là lựa chọn đúng. Người học có thể cần lần lượt xét từng hàm số một cách đơn giản và tránh bị vướng bằng cách bấm vào những hình tròn cạnh từng biểu thức để lần lượt hiện/ẩn từng đồ thị trên giao diện.

• f(x) = -3x + 12 khớp -> thỏa mãn

• f(x) = -3x + 6 không khớp -> không thỏa mãn

• f(x) = -3x + 2 không khớp -> không thỏa mãn

• f(x) = -3x + 10 không khớp -> không thỏa mãn

⇒ Chọn đáp án A.

Fig. 9. Function f(x) = -3x + 4 with Transformations on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [9])

Cách 2

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp.

Người học đọc kĩ đề bài để xác định những dữ liệu được cho như hàm số ban đầu và hàm số cần tìm (đề bài muốn dịch chuyển hay kéo dãn hàm số, v.v.).

Bước 2: Người học cần nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài vào ô nhập dữ liệu của DESMOS. Trước hết, người học cần nhập hàm số được cho sẵn của đề bài.

DESMOS sẽ tự động cho thấy đồ thị hàm số này trên mặt phẳng tọa độ.

Nếu người học cần gõ các ký tự đặc biệt, người học có thể bấm vào ký hiệu bàn phím ở góc dưới trái của màn hình để hiện ra chức năng bàn phím để hỗ trợ trong việc bấm biểu thức.

Bước 3: Người học có thể biểu diễn hàm số cần tìm dựa theo hàm số gốc với các ẩn để thử trên slider.

Ví dụ: Hàm g(x) = mx + n sau khi biến đổi sẽ thành hàm f(x) = m(x - a) + b - c.

DESMOS sẽ tự động cho các hàm số mới này trên mặt phẳng tọa độ.

Sau đó, người học có thể bấm các giá trị của a, b, c lên Desmos để hiện lên các thanh slider bằng cách bấm vào nút “add slider” cho những ẩn cần tìm.

Bước 4: Người học kéo các thanh slider đến khi các hàm số được viết trùng nhau. Sau đó người học có thể diễn giải hàm số để tìm ra đáp án.

Ví dụ minh hoạ:

Câu hỏi: 

A line has the equation g(x) = 3x - 1. This line was obtained by shifting the graph of a function f(x) up 2 units and to the right 3 units.

Which equation represents f(x)?

A. y = 3x + 12
B. y = 3x + 6
C. y = 3x + 2
D. y = 3x + 10

Hướng dẫn giải bằng DESMOS

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp

• Hàm số được cho: g(x) = 3x - 1

• Hàm số được tạo bởi hàm số f(x) được dịch lên trên 2 và sang phải 3.

• Người học cần tìm phương trình của hàm số cũ.

Bước 2: Người học nhập hàm số được cho vào dòng đầu của DESMOS.

DESMOS sẽ tự hiện hàm số trên mặt phẳng tọa độ.

Fig. 10. Function g(x) = 3x - 1 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [10])

Lưu ý, với những dấu không có trên bàn phím thông thường như dấu phân số hay căn thức, người học nên sử dụng phần bàn phím như đã nêu trên.

Bước 3: Người học biểu diễn hàm số g(x) dựa trên hàm số gốc và viết lên một dòng mới. Trong trường hợp này, đề bài cho hàm g(x) là hàm “f(x) up 2 units and to the right 3 units”, nên có thể hiểu hàm g(x) = 3x - 1 = 3(x - 3) + b + 2. Như vậy, ta viết g(x) = 3(x - 3) + b + 2 vào một dòng mới của DESMOS.

DESMOS cũng sẽ tự hiện hàm số này trên mặt phẳng tọa độ. Sau đó, người học bấm “add slider” cho ẩn b để hiện slider trên DESMOS.

Fig. 11. Function g(x) = 3x - 1 and Transformations on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [11])

Bước 4: Người học kéo thanh slider đến khi hai đường thẳng trùng nhau. Sau đó, người học có thể diễn giải hàm số tìm được và ra đáp án.

Fig. 12. Function g(x) = 3x - 1 and Transformations on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [11])

Trong trường hợp này, ta tìm được b = 6, nên ta sẽ có phương trình gốc là 3x + 6.

⇒ Chọn đáp án B.

Lưu ý: DESMOS luôn hiển thị giá trị dưới dạng số thập phân. Do đó, DESMOS hữu dụng khi giá trị cần tìm là giá trị nguyên (1, 2, 3, …), giá trị thập phân hữu hạn (1.5, 2.5, …), giá trị thập phân vô hạn tuần hoàn (0.6666), hoặc giá trị thập phân không tuần hoàn thông dụng (3.141592). Nếu người học chưa quen nhận diện các giá trị này (VD: 10/3 có thể được biểu diễn là 3.33333), điều nên làm là luôn kiểm tra lại đáp án trước khi chọn.

Xem thêm:

• Sử dụng DESMOS để tìm phương trình tuyến tính qua toạ độ hai điểm

• Graph of a linear function trong SAT Math: Chiến lược làm bài hiệu quả

• Cách làm dạng bài Linear equations in one variable trong SAT Math

Bài tập vận dụng

Sau đây, bài viết sẽ giới thiệu đến người học một số câu hỏi Digital SAT có sử dụng DESMOS để tìm đồ thị hàm số tuyến tính trước/sau khi biến đổi [12]. Người học hãy sử dụng tính năng DESMOS đã giới thiệu để giải các câu hỏi sau.

Question 1: 

The function f(x)= 2x - 5 is graphed in the xy-plane. Which equation represents the graph of f(x) shifted left 3 units and down 4 units?

A. y = 2x − 15
B. y = 2x − 3 
C. y = 2x − 5
D. y = 2x − 9

Answer: B

Question 2: 

A line has the equation y = 3x + 8. This line was obtained by shifting the graph of a function f(x) down 6 units and to the left 1 unit.

Which equation represents f(x)?

A. y = 3x + 2
B. y = 3x + 11
C. y = 3x − 5 
D. y = 3x + 6 

Answer: B

Question 3:

The function h(x) = 2x − 7 is graphed in the xy-plane.

Which equation represents the graph of h(x) reflected across the y-axis and shifted down 3 units?

A. y = −2x − 10
B. y = −2x + 10
C. y = 2x + 10
D. y = 2x − 10

Answer: A

Question 4:

The graph of y = 5x - 2 is transformed to produce the graph of

 y = −5x + 13.

Which sequence of transformations could describe this change?

A. Reflect across the x-axis, then shift down 11 units
B. Reflect across the y-axis, then shift down 11 units
C. Reflect across the x-axis, then shift up 15 units
D. Reflect across the y-axis, then shift up 15 units

Answer: D

Question 5:

The function f(x) = 2x + 1 is graphed in the xy-plane.

Which equation represents the graph of f(x) after a horizontal compression by a factor of 2, followed by a reflection across the x-axis?

A. y = −4x - 2
B. y = −4x - 1
C. y = −2x - 2
D. y = −2x - 4

Answer: C

Question 6:

The function h(x) = −x + 3 is graphed in the xy-plane.

A sequence of transformations is applied:

• shift right r units,

• reflect across the x-axis,

• shift up 8 units.

The resulting graph passes through the point (2, 5).

What is the value of r?

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

Answer: B

Question 7:

The function g(x) = −2x + 7 is graphed in the xy-plane.

A sequence of transformations is applied:

1. The graph is reflected across the x-axis.

2. The graph is shifted left 4 units.

3. The graph is vertically stretched by a factor of 3.

The final equation is y = mx + k.

What is the value of 2k + m?

A. 12
B. 15
C. 10
D. 9

Answer: A

Question 8:

The function f(x) = 2x + b, where b is a constant, is graphed in the xy-plane.

The graph of f(x) is transformed as follows:

1. Reflected across the y-axis,

2. Shifted right 4 units,

3. Shifted down 6 units.

The resulting graph passes through the point (1,−10).

What is the value of b?

A. −8
B. −4
C. −2
D. −10

Answer: D

Question 9:

The function g(x) = −3x + 5 is graphed in the xy-plane.

A new function is created by:

• shifting the graph left 2 units,

• reflecting it across the x-axis,

• applying a vertical stretch by a factor of 2,

• and shifting it up 4 units.

What are the x-intercept and y-intercept of the new function?

A. (2, 0), (0, 2)
B. (-1, 0), (0, 6)
C. (3, 0), (0, 5)
D. (-2, 0), (0, -1)

Answer: B

Question 10:

A company tracks net weekly gain (revenue minus expenses) in thousands of dollars:

G(x) = 3x − 8.

Because bulk production now causes steep overtime and maintenance expenses, each additional hundred items reduces the net gain. The company:

• reverses the rate of change,

• doubles its magnitude,

• shifts the model right 2 units,

• adds 10 to all values after receiving a fixed bonus.

Which equation represents the new gain function?

A. y = −6x + 14
B. y = −6x + 22
C. y = 6x + 14
D. y = 6x + 22

Answer: A

Tổng kết

Như vậy, bài viết đã giới thiệu về phần mềm DESMOS và hướng dẫn chi tiết cách sử dụng phần mềm này trong bài thi Digital SAT để tìm đồ thị hàm số tuyến tính trước/sau khi biến đổi. Hy vọng người học có thể vận dụng các nội dung trong bài viết để cải thiện hiệu suất ôn tập và nâng cao hiệu quả làm bài của bản thân.

Để nâng cao kỹ năng làm bài Digital SAT một cách toàn diện, người học có thể tham gia khoá học SAT tại ZIM Academy. Chương trình cung cấp hướng dẫn chi tiết về chiến lược làm bài, sử dụng công cụ hiệu quả như DESMOS, và luyện tập với đề thi thực tế, giúp học viên tối ưu thời gian và đạt điểm số mục tiêu trong kỳ thi.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.