Sử dụng DESMOS để tìm nghiệm phương trình bậc nhất bằng tính năng bảng

Trong các bài thi chuẩn hoá quốc tế về năng lực toán, chẳng hạn như Digital SAT, thí sinh có thể sẽ được cung cấp phần mềm DESMOS, phần mềm máy tính khoa học giúp giải quyết các vấn đề liên quan đến đồ thị, thống kê, và các phép tính cơ bản. Trong phạm vi bài viết này, tác giả sẽ hướng dẫn người đọc cách sử dụng DESMOS để tìm nghiệm phương trình bậc nhất bằng tính năng bảng, một dạng bài phổ biến trong bài thi Digital SAT. Nắm được các tính năng của DESMOS cũng như thao tác sử dụng sẽ giúp thí sinh tăng tốc độ làm bài, đơn giản hoá các bước tính toán, từ đó nâng cao hiệu quả bài thi.

Lý thuyết về phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương trình bậc nhất hai ẩn có hai dạng là:

Dạng slope-intercept:

y = mx + b

Trong đó: 

• m là hệ số góc của phương trình.

• b là hệ số tự do của phương trình.

Phương trình bậc nhất hai ẩn cũng có thể được viết dưới dạng tổng quát (standard/general form).

Ax + By = C

Trong đó: 

• -A/B là hệ số góc của phương trình (với B ≠ 0)

• A, B và C là các hằng số, với A và B không đồng thời bằng 0.

Nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn

Nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn là các giá trị (x, y) mà thoả mãn phương trình được cho. Để tìm nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn, người học có thể chọn trước giá trị của một ẩn để tìm ẩn còn lại.

Ví dụ: Cho 2x + y = 5

• Cho x = 1 -> y = 5 − 2(1) = 3 -> (1, 3) là nghiệm.

• Cho x = 0 -> y = 5 -> (0, 5) là nghiệm.

Phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng toạ độ

Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, mỗi phương trình bậc nhất hai ẩn biểu diễn dưới dạng một đường thẳng. Như vậy, mỗi cặp nghiệm (x, y) thoả mãn phương trình là một điểm trên đường thẳng đó.

Ví dụ: Cho phương trình y = 2(x + 4) - 2

• Thay x = 0, y = 6 -> 6 = 2(0 + 4) - 2 -> 6 = 6 ->  thỏa mãn là nghiệm của phương trình

• Thay x = -2, y = 2 -> 2 = 2(-2 + 4) - 2 -> 2 = 2 -> thỏa mãn là nghiệm của phương trình

• Thay x = -3, y = 0 -> 0 = 2(-3 + 4) - 2 -> 0 = 0 -> thỏa mãn là nghiệm của phương trình

Khi ta biểu diễn phương trình y = 2(x + 4) - 2 cũng như là ba điểm (0, 6), (-2, 2) và (-3, 0), ta sẽ thấy rằng ba điểm này đều nằm trên đường thẳng được cho.

Fig. 1. Line y = 2(x + 4) - 2 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [1])

Tìm nghiệm phương trình bậc nhất hai ẩn trong câu hỏi Digital SAT

Trong kỳ thi Digital SAT, các câu hỏi về việc tìm nghiệm phương trình bậc nhất hai ẩn rất đa dạng. Thí sinh có thể được hỏi về nghiệm của phương trình, xét những giá trị thỏa mãn là nghiệm của phương trình, xác định số nghiệm của phương trình hoặc đánh giá tính đúng - sai của các mệnh đề liên quan đến nghiệm. Nhiều dạng bài này có thể được giải quyết bằng tính năng bảng.

Giới thiệu máy tính khoa học DESMOS

DESMOS là một phần mềm máy tính khoa học được thiết kế bởi DESMOS Studio. Đây là phần mềm chính thức được tích hợp trong phần mềm Bluebook của bài thi Digital SAT nhằm hỗ trợ thí sinh giải quyết đa dạng câu hỏi Toán học ở nhiều chuyên đề khác nhau.

Fig. 2. Official logo of Desmos Studio PBC. (Source: [2])

Các tính năng cơ bản của DESMOS

Với phần mềm DESMOS, người học và thí sinh sẽ cần làm quen với một số tính năng cơ bản, bao gồm:

• Các phép cộng, trừ, nhân, chia cơ bản

• Vẽ đồ thị phương trình từ bậc thấp đến cao

• Sử dụng bảng biểu

• Tính năng thanh trượt

• Các phép tính thống kê cơ bản

• Các phép tính lượng giác cơ bản

• …

Trên màn hình giao diện DESMOS, người học có thể nhận diện được các vùng cơ bản. Thứ nhất, vùng bên tay trái là nơi người học nhập phương trình (VD: 2x + y = 0). Thứ hai, vùng mặt phẳng toạ độ Oxy là nơi đồ thị của phương trình hiển thị. Cuối cùng, nút cài đặt (có biểu tượng hình cờ lê) bên góc phải là nơi người học điều chỉnh một số cài đặt để phù hợp nhu cầu (VD: chuyển đổi từ Degree sang Radian.)

Fig. 3. Interface of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [3])

Lưu ý: Phần mềm DESMOS hiện tại mà người học có thể tìm trên mạng có thể được chia làm hai phiên bản: Nguyên bản (đen) và Khảo thí (testing - xanh lá). Phần mềm DESMOS nguyên bản sẽ có nhiều tính năng hơn bản khảo thí, bao gồm tính năng chia sẻ biểu đồ, thư mục, hoặc hình ảnh. Tuy vậy, các tính năng quan trọng dùng trong bài thi SAT vẫn có đầy đủ ở cả hai phiên bản.

Hướng dẫn sử dụng DESMOS để tìm nghiệm phương trình bậc nhất bằng tính năng bảng

Để sử dụng DESMOS để tìm nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn bằng tính năng bảng., người học cần vận dụng tính năng vẽ đồ thị phương trình kèm theo tính năng bảng. Dưới đây là hướng dẫn chi tiết từng bước:

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp.

Người học đọc kĩ phương trình để hiểu rõ được những dữ kiện được cho và hiểu rõ đề bài đang hỏi gì.

Ví dụ, với đề bài được giao trên mục sample question, ta xác định được một vài dữ kiện.

• Phương trình cần thử nghiệm: y = 3x - 9

• Những nghiệm cần phải thử: (1, 2), (3, 0), (1, 6), etc

Bước 2: Nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài vào ô nhập dữ liệu của phần DESMOS graphing calculator. Trong đó, trước hết là phải nhập phương trình y = 3x - 9 vào dòng đầu tiên. 

Sau đó, người đọc cần mở chức năng table bằng cách bấm vào dấu cộng để “add item”.

Sau đó, người học cần nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài (toạ độ điểm) vào ô nhập dữ liệu của phần bảng trong DESMOS graphing calculator. 

DESMOS sẽ tự động cho thấy hai điểm này trên mặt phẳng toạ độ.

Người học cũng có thể sửa dòng đầu của bảng để cho bảng biểu diễn các điểm một cách dễ hơn bằng cách chỉnh sửa cột biểu diễn giá trị y để biểu diễn giá trị y bằng phương trình được cho. Theo cách này, khi người đọc nhập một giá trị x vào, bảng sẽ tự động tính ra giá trị y.

Lưu ý: Nếu phương trình đang theo dạng standard form hoặc y có hệ số đằng trước, thì ta trước hết phải biến đổi để y không có hệ số ở trước trước khi nhập giá trị vào bảng.

Ví dụ: Xét phương trình: 2y = 5x + 3 => y = (5x+3)/2 , người học sẽ nhập (5x+3)/2 vào phần y1 trong bảng.

Bước 3: Người học quan sát bảng và so sánh với các lựa chọn phương án được cho để tìm ra phương án mà khớp với các giá trị x và y trong bảng.

Ví dụ minh hoạ:

Câu hỏi: 

y = 3x - 9

Which of the following points all lie on the line provided?

A. (1, 2), (0, -9), (2, 0)
B. (0, -9), (2, -3), (5, 6)
C. (3, 0), (0, -9), (1, 6)
D. (2, -3), (1, 0), (5, 5)

Hướng dẫn giải bằng DESMOS

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp.

• Phương trình cần thử nghiệm: y = 3x - 9

Sau đó, người học mở phần bảng. 

Fig. 4. Interface of the Desmos Graphing Calculator with the Table function. (Source: [4])

Sau đó, người học bắt đầu nhập các giá trị đề bài cho vào bảng.

Fig. 5. The Table function of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [5])

Bước 2: Nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài vào ô nhập dữ liệu của DESMOS. Trong đó:

• Nhập ở dòng đầu tiên: y = 3x - 9

• Dần dần nhập ở phần bảng các dữ liệu được cho. Người học có thể sửa lại bảng để cho nó hiện hai giá trị x và 3x - 9 (thay y). Như vậy thì người học sẽ chỉ cần nhập x và sẽ lập tức ra được giá trị y để hoàn thành tập nghiệm.

Fig. 6. Line y = 3x - 9 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [6])

Bước 3: DESMOS sẽ hiển thị những giá trị là nghiệm của phương trình trên đường thẳng. Ta có thể thấy là trong những giá trị được thử, có những giá trị thỏa mãn là nghiệm của phương trình là (2, -3), (1, -6), (0, -9) và (5, 6). Ta không cần nhất thiết phải thử các giá trị còn lại vì đã có thể thấy đáp án B chỉ chứa những giá trị là nghiệm.

-> Chọn đáp án B.

Lưu ý: DESMOS luôn hiển thị giá trị dưới dạng số thập phân. Do đó, DESMOS hữu dụng khi giá trị cần tìm là giá trị nguyên (1,2,3,...), giá trị thập phân hữu hạn (1.5, 2.5,...), giá trị thập phân vô hạn tuần hoàn (0.6666), hoặc giá trị thập phân không tuần hoàn thông dụng (3.141592). Nếu người học chưa quen nhận diện các giá trị này (VD: 10/3 có thể được biểu diễn là 3.33333), điều nên làm là luôn kiểm tra lại đáp án trước khi chọn.

Xem thêm:

• Sử dụng DESMOS để tìm hàm số tuyến tính, biết một điểm và hệ số góc

• Sử dụng DESMOS để tìm số nghiệm của phương trình bậc nhất một ẩn

• Cách làm dạng bài Linear equations in one variable trong SAT Math

Bài tập vận dụng

Sau đây bài viết sẽ giới thiệu đến người học một số câu hỏi Digital SAT có sử dụng DESMOS để tìm nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn bằng tính năng bảng [7]. Người học hãy sử dụng tính năng DESMOS đã giới thiệu để giải các câu hỏi sau.

Question 1: 

Consider the equation 2x + y = 7.

Which ordered pair (x, y) is a solution to the equation?

A. (2, 3)
B. (1, 4)
C. (3, 2)
D. (4, 1)

Answer: A

Question 2: 

Consider the point (6, 1). 

Which equation is this point a solution of?

A. x - y = -5
B. y = x + 2
C. x + y = 5
D. y = x - 5

Answer: D

Question 3:

Consider the following equation:

3x + 2y = 5

Which of the following points lie on the line representing this equation?

A. (1, 1), (2, 0)
B. (3, -2), (0, 2)
C. (-1, 4), (1, 1)
D. (4, -2), (1, 1)

Answer: C

Question 4:

The table below shows the possible solutions of a linear equation. 

Which equation has the solutions shown?

A. y = x + 4
B. y = 2x + 4
C. y = 4x + 2
D. y = 2x + 2 

Answer: B

Question 5:

The graph of the equation below is shown as a straight line.

5x - y = 2

Which choice below only shows solutions to this equation?

A. x = 1, y = 3 and x = 0, y = -2
B. x = 0, y = 2 and x = 2, y = 8
C. x = 2, y = 8 and x = -1, y = 7
D. x = -1, y = -7, x = 0, y = -3

Answer: A

Question 6:

Consider the following equation

2y = 3x + 1

Which of the following points all lie on the line provided?

A. (2, 1), (-1, 0), (0, 1)
B. (3, 5), (2, 3), (-2, -3)
C.(1, 2), (3, 5), (-1, -1)
D. (5, 8), (-2, -3), (0, 0)

Answer: C

Question 7:

y = -2x + 6

Which table gives three values of x and their corresponding values of y for each equation?

A. 

B.

C. 

D. 

Answer: C

Question 8:

Three points are tested in the equation

y = mx + 1

The points (0,1), (2,5) and (4, 9) all lie on the line. What is the value of m?

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

Answer: B

Question 9:

Consider the equation

y = -2x + 4

Which option lists only points that do not lie on the line?

A. (0, 4), (2, 0), (1, 2)
B. (3, -2), (1, 2), (0, 4)
C. (-1, 6), (0, 4), (2, 1)
D. (1, 1), (2, 1), (3, -1)

Answer: D

Question 10:

A delivery service uses the equation

y = 1.5x + 8

to model the total cost y, in dollars, for delivering a package that weighs x pounds.

Which option lists only weights that would result in a total cost equal to or greater than $14?

A. 2 lb, 3 lb, 4 lb
B. 3 lb, 4 lb, 5 lb
C. 4 lb, 6 lb, 8 lb
D. 1 lb, 2 lb, 3 lb

Answer: C

Tổng kết

Như vậy, bài viết đã giới thiệu về phần mềm DESMOS và hướng dẫn chi tiết cách sử dụng DESMOS để tìm nghiệm phương trình bậc nhất bằng tính năng bảng trong các câu hỏi bài thi Digital SAT. Hi vọng người học có thể vận dụng các nội dung trong bài viết để cải thiện hiệu suất ôn tập và nâng cao hiệu quả làm bài của bản thân.

Để nâng cao kỹ năng làm bài Digital SAT một cách toàn diện, người học có thể tham gia khóa học ôn thi SAT tại ZIM Academy. Chương trình cung cấp hướng dẫn chi tiết về chiến lược làm bài, sử dụng công cụ hiệu quả như DESMOS, và luyện tập với đề thi thực tế, giúp học viên tối ưu thời gian và đạt điểm số mục tiêu trong kỳ thi.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.