DESMOS Guide - Nghiệm bất phương trình bậc nhất trong bài toán thực tế

Trong các bài thi chuẩn hóa quốc tế về năng lực toán, chẳng hạn như Digital SAT, thí sinh có thể sẽ được cung cấp phần mềm DESMOS, phần mềm máy tính khoa học giúp giải quyết các vấn đề liên quan đến đồ thị, thống kê và các phép tính cơ bản. Trong phạm vi bài viết này, tác giả sẽ hướng dẫn người đọc cách sử dụng DESMOS để tìm nghiệm bất phương trình bậc nhất một ẩn trong bài toán thực tế, một dạng bài phổ biến trong bài thi Digital SAT. Nắm được các tính năng của DESMOS cũng như thao tác sử dụng sẽ giúp thí sinh tăng tốc độ làm bài, đơn giản hóa các bước tính toán, từ đó nâng cao hiệu quả bài thi.

Lý thuyết về bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bất phương trình bậc nhất một ẩn có dạng tổng quát là:

Ax+B > 0

Trong đó: A là hệ số của x, với A không bằng 0, còn B là hệ số tự do. Bất phương trình cũng có thể được biểu diễn như Ax + B < 0, Ax + B ≤ 0 hoặc Ax + B ≥ 0

Để giải phương trình, ta thực hiện các phép biến đổi đại số.

Ví dụ

Ax+B >0 => Ax > -B

Bây giờ, ta có hai trường hợp. Nếu A > 0, bất phương trình bậc nhất một ẩn sẽ có các giá trị nghiệm nằm trong khoảng:

x > -B/A

Ngược lại, nếu A < 0, thì bất phương trình bậc nhất một ẩn sẽ có các giá trị nghiệm nằm trong khoảng:

x < -B/A

Mối liên hệ giữa nghiệm bất phương trình và đồ thị

Ngoài cách giải đại số, nghiệm của phương trình bậc nhất một ẩn còn có thể hiểu dưới góc độ đồ thị. 

Đối với bất phương trình bậc nhất một ẩn (VD: Ax + B > 0), nghiệm của nó được phân định bởi đường thẳng cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x = -B/A và đường thẳng này vuông góc với Ox. Nếu bất phương trình có dấu “>” hoặc “≥”, nửa trục Ox bên tay phải là nghiệm của bất phương trình và ngược lại, nếu bất phương trình có dấu “<” hoặc “≤” thì nửa trục Ox bên tay trái sẽ là nghiệm của bất phương trình.

Nếu bất phương trình có dấu “≥” hoặc “≤” thì nghiệm sẽ bao gồm điểm x = -B/A; nếu bất phương trình có dấu “>” hoặc “<”, nghiệm không bao gồm giá trị x này. Đến đây, người học thấy rằng đối với bất phương trình, giá trị của x không phải duy nhất mà chỉ cần thỏa mãn điều kiện “lớn hơn/bé hơn”. Do đó, người học có thể gọi tập hợp các giá trị x này là miền nghiệm của bất phương trình.

Ví dụ: Xét bất phương trình 3x - 2 > 0

Fig. 1. Inequality 3x - 2 > 0 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [1])

Bất phương trình có giao điểm với trục Ox tại (2/3 , 0). Như vậy, bất phương trình  3x - 2 > 0 sẽ có miền nghiệm là tất cả giá trị của x > 23. Ta có thể xét hai trường hợp giá trị x để thử nghiệm miền nghiệm này.

• 3 · (1/2) - 2 > 0 -> Sai -> x = 1/2  không thuộc miền nghiệm bất phương trình.

• 3 · 2 - 2 > 0  -> Đúng -> x = 2 thuộc miền nghiệm bất phương trình. 

Bất phương trình bậc nhất một ẩn trong bài toán thực tế

Trong các bài toán SAT, bất phương trình bậc nhất một ẩn thường xuất hiện dưới dạng bài toán thực tế: tiền bạc, thời gian, khoảng cách, số lượng vật dụng, v.v. Thay vì cho trực tiếp ký hiệu toán học, đề bài thường dùng từ ngữ đời thường. Nhiệm vụ của người học là diễn giải ngôn ngữ đó thành ký hiệu bất phương trình.

Từ vựng thường gặp trong đề SAT

• more than, greater than, above: >

• less than, fewer than, below: <

• at least, no less than, minimum: ≥

• at most, no more than, maximum: ≤

Ví dụ: Xét đề bài sau.

A gym charges a $25 membership fee plus $8 per visit. A new member has at most $65 to spend. What is the biggest number of visits that this new member can make?

Trong trường hợp này, người học sẽ phải chuyển đổi đề bài thành một bất phương trình.

• Gọi x là số lần đến phòng gym. -> Tổng chi phí = 25 + 8x

• Cụm từ “at most $65” có nghĩa là ≤ 65. -> Bất phương trình: 25 + 8x ≤ 65.

Như vậy, số lần đến phòng gym nhiều nhất mà thành viên này có thể thực hiện là 5 lần. Nếu người này đến phòng gym lần thứ 6, số tiền phải chi trả sẽ vượt mức $65.

Tìm nghiệm bất phương trình bậc nhất một ẩn trong bài toán thực tế trong câu hỏi Digital SAT

Trong bài thi Digital SAT, các câu hỏi về việc tìm nghiệm bất phương trình bậc nhất một ẩn trong bài toán thực tế rất đa dạng. Thí sinh có thể được hỏi về nghiệm của bất phương trình, xét những giá trị thỏa mãn là nghiệm của bất phương trình, xác định số nghiệm của bất phương trình hoặc đánh giá tính đúng - sai của các mệnh đề liên quan đến nghiệm.

Giới thiệu máy tính khoa học DESMOS

DESMOS là một phần mềm máy tính khoa học được thiết kế bởi DESMOS Studio. Đây là phần mềm chính thức được tích hợp trong phần mềm Bluebook của bài thi Digital SAT nhằm hỗ trợ thí sinh giải quyết đa dạng câu hỏi Toán học ở nhiều chuyên đề khác nhau.

Fig. 2. Official logo of Desmos Studio PBC. (Source: [2])

Các tính năng cơ bản của DESMOS

Với phần mềm DESMOS, người học và thí sinh sẽ cần làm quen với một số tính năng cơ bản, bao gồm:

• Các phép cộng, trừ, nhân, chia cơ bản

• Vẽ đồ thị phương trình từ bậc thấp đến cao

• Sử dụng bảng biểu

• Tính năng thanh trượt

• Các phép tính thống kê cơ bản

• Các phép tính lượng giác cơ bản

• V.v.

Trên màn hình giao diện DESMOS, người học có thể nhận diện được các vùng cơ bản. Thứ nhất, vùng bên tay trái là nơi người học nhập phương trình (VD: 2x + y = 0). Thứ hai, vùng mặt phẳng tọa độ Oxy là nơi đồ thị của phương trình hiển thị. Cuối cùng, nút cài đặt (có biểu tượng hình cờ lê) bên góc phải là nơi người học điều chỉnh một số cài đặt để phù hợp với nhu cầu (VD: chuyển đổi từ Degree sang Radian).

Fig. 3. Interface of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [3])

Lưu ý: Phần mềm DESMOS hiện tại mà người học có thể tìm trên mạng có thể được chia làm hai phiên bản: Nguyên bản (đen) và Khảo thí (testing - xanh lá). Phần mềm DESMOS nguyên bản sẽ có nhiều tính năng hơn bản khảo thí, bao gồm tính năng chia sẻ biểu đồ, thư mục hoặc hình ảnh. Tuy vậy, các tính năng quan trọng dùng trong bài thi SAT vẫn có đầy đủ ở cả hai phiên bản.

Hướng dẫn sử dụng DESMOS để tìm nghiệm bất phương trình bậc nhất một ẩn trong bài toán thực tế

Để sử dụng DESMOS để tìm nghiệm bất phương trình bậc nhất một ẩn trong bài toán thực tế, người học cần vận dụng tính năng vẽ đồ thị phương trình và kĩ năng diễn giải đồ thị. Dưới đây là hướng dẫn chi tiết từng bước:

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp.

Với các dạng bài toán thực tế, người học phải xác định được dữ liệu được cho và biến đổi chúng thành những bất phương trình tương ứng. Vậy nên, người học cần xác định đề bài đang hỏi gì, cũng như nhận diện được ẩn, hệ số góc và biến của bất phương trình.

Bất phương trình của người học nên chứa ẩn ở một vế và so sánh với 0. Khi đó, vế chứa ẩn được xem là một hàm số bậc nhất theo biến x. 

Bước 2: Nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài vào ô nhập dữ liệu của phần DESMOS graphing calculator. Nếu người học cần gõ các ký tự đặc biệt, người học có thể bấm vào ký hiệu bàn phím ở góc dưới trái của màn hình để hiện ra chức năng bàn phím để hỗ trợ trong việc bấm biểu thức.

DESMOS sẽ tự động vẽ đồ thị bất phương trình đường thẳng tương ứng kèm theo miền nghiệm của bất phương trình.

Bước 3: Người học quan sát giao diện của DESMOS sẽ thấy được một khoảng được tô màu bên trái/phải của đường thẳng. Phần được tô màu này cho thấy khoảng giá trị mà sẽ làm cho bất phương trình có nghiệm.

Bước 4: Người học điền các tọa độ mà đề bài cho (nếu có) vào phần mềm và xem các điểm đó có trong miền nghiệm được tô màu hay không. Người học cũng có thể chọn một vài giá trị x thuộc miền nghiệm suy ra, thay vào biểu thức ban đầu để kiểm tra tính đúng đắn của kết luận.

Ví dụ minh hoạ:

Câu hỏi: 

A test awards 4 points for each correct answer and subtracts 1 point for each incorrect answer. A student answers 20 questions in total and wants a score of at least 60 points. Which of the following values is a possible number of incorrect answers?

A. 2
B. 10
C. 6
D. 8

Hướng dẫn giải bằng DESMOS

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp

• Đề bài yêu cầu tìm số câu sai -> Gọi số câu sai là x

• Tổng số câu là 20 -> số câu đúng = 20 - x

• Mỗi câu đúng: +4 điểm -> điểm đúng = 4(20 - x)

• Mỗi câu sai: –1 điểm -> điểm sai = −1(x)

-> Tổng điểm = điểm đúng + điểm sai = 4(20 - x) - x = 80 - 5x

Vì cần ít nhất 60 điểm, người học có thể viết bất phương trình là

80 - 5x ≥ 60 -> 20 - 5x ≥ 0

Bước 2: Nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài vào ô nhập dữ liệu của DESMOS. Trong đó:

• Nhập ở dòng đầu tiên: bất phương trình 20 - 5x ≥ 0

Lưu ý, với dấu “≥”, người học nên sử dụng phần bàn phím như đã nêu trên.

Fig. 4. The Calculator function on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [4])

Bước 3: DESMOS sẽ hiển thị đường thẳng và miền nghiệm của phương trình. Ta có thể thấy là tất cả các giá trị x nhỏ hơn 4 sẽ thỏa mãn bất phương trình.

Fig. 5. Inequality 20 - 5x ≥ 0 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [5])

Bước 4: Viết các giá trị được cho trong đáp án vào trong DESMOS để thử.

• x = 10 không nằm trong khoảng được tô màu -> không phải là nghiệm

• x = 6 không nằm trong khoảng được tô màu -> không phải là nghiệm

• x = 8 không nằm trong khoảng được tô màu -> không phải là nghiệm

• x = 2 nằm trong khoảng được tô màu

⇒ Chọn đáp án A.

Fig. 6. Inequality 20 - 5x ≥ 0, x = 2, x = 6, x = 8 and x = 10 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [6])

Lưu ý: DESMOS luôn hiển thị giá trị dưới dạng số thập phân. Do đó, DESMOS hữu dụng khi giá trị cần tìm là giá trị nguyên (1, 2, 3, …), giá trị thập phân hữu hạn (1.5, 2.5, …), giá trị thập phân vô hạn tuần hoàn (0.6666), hoặc giá trị thập phân không tuần hoàn thông dụng (3.141592). Nếu người học chưa quen nhận diện các giá trị này (VD: 10/3 có thể được biểu diễn là 3.33333), điều nên làm là luôn kiểm tra lại đáp án trước khi chọn.

Xem thêm:

• DESMOS Guide - Giải phương trình mũ khác cơ số trong câu hỏi SAT Math

• Sử dụng DESMOS để tìm hàm số tuyến tính có yếu tố biến đổi

• Sử dụng DESMOS để giải bài toán hàm số bậc nhất phản chiếu qua trục tung

Bài tập vận dụng

Sau đây, bài viết sẽ giới thiệu đến người học một số câu hỏi Digital SAT có sử dụng DESMOS để tìm nghiệm bất phương trình bậc nhất một ẩn trong bài toán thực tế [7]. Người học hãy sử dụng tính năng DESMOS đã giới thiệu để giải các câu hỏi sau.

Question 1: 

A gym class already has 38 members signed up, and the gym only plans to admit no more than 120 members to each class. How many more members can the gym admit without becoming overbooked?

A. 81

B. 83

C. 84

D. 86

Answer: A

Question 2: 

A streaming service charges a one-time setup fee of $15 plus $6 per month. A customer wants the total cost to be no more than $75.

Which of the following values could represent the biggest number of months the customer uses the service?

A. 12

B. 13

C. 10

D. 11

Answer: C

Question 3:

A student is given some money to go shopping for supplies. He wants to use more than $10 for a discount, but he must stay within the $20 budget. Which of the following values could represent the amount of money the student ends up spending on the shopping trip?

A. 10

B. 5

C. 25

D. 20

Answer: D

Question 4:

A freelance designer earns $55 per project, but pays a weekly platform fee of $120. The designer wants to earn more than $500 in a week. Which of the following values is the smallest number of projects the designer has to complete to meet his goal?

A. 10

B. 11

C. 12

D. 9

Answer: C

Question 5:

A factory produces x parts per hour. To ensure that the factory machines are not overloaded, the factory must produce no more than 560 parts in an 8-hour workday. Which of the following values of x would NOT satisfy this condition?

A. 65

B. 68

C. 70

D. 72

Answer: D

Question 6:

A student’s final grade is calculated using the inequality

0.6c + 0.4e ≥ 75,

where c is the classwork average, e is the exam score, and 75 is the minimum score a student needs if he or she wants to be awarded as a “distinct student”. The student has a classwork average of 82. Which of the following values could represent the minimum exam score needed for a student to earn the award?

A. 64.5

B. 66.5

C. 68.5

D. 70.5

Answer: A

Question 7:

A science lab prepares a solution using 30 milliliters of chemical A and x milliliters of chemical B. For safety reasons, chemical B must make up less than 40% of the total mixture. Which of the following values of x satisfies this condition?

A. 24

B. 22 

C. 20 

D. 18

Answer: D

Question 8:

An event planner charges a flat fee of $120 plus $18 per guest. The total budget for the event is no more than $450. Which of the following values could represent the maximum number of guests that can attend the event?

A. 18

B. 17

C. 16

D. 25

Answer: A

Question 9:

An employee earns $18 per hour for regular hours and $27 per hour for overtime. The employee works 40 regular hours and x overtime hours in one week. To stay within a budget, the company must pay the employee less than $900. Which of the following values of x does NOT satisfy this condition?

A. 5

B. 4

C. 7

D. 6

Answer: C

Question 10:

Gym A charges $40 per month. Gym B charges $20 per month plus a one-time signup fee of $120. 

If a customer plans to keep a membership for m months and wants Gym B to cost less than Gym A, which of the following values of m would satisfy this condition?

A. 4 

B. 5

C. 6 

D. 7

Answer: D

Như vậy, bài viết đã giới thiệu về phần mềm DESMOS và hướng dẫn chi tiết cách sử dụng phần mềm này trong bài thi Digital SAT để giải quyết các dạng bài liên quan đến tìm nghiệm bất phương trình bậc nhất một ẩn trong bài toán thực tế. Hy vọng người học có thể vận dụng các nội dung trong bài viết để cải thiện hiệu suất ôn tập và nâng cao hiệu quả làm bài của bản thân.

Tham khảo chương trình luyện thi SAT cam kết đầu ra tại ZIM Academy để được hướng dẫn chuyên sâu và bứt phá điểm số.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.

Tác giả: JOHN MARK PHẠM DACUSIN