Sử dụng DESMOS để tìm đồ thị hàm số bậc hai trước và sau biến đổi

Trong các bài thi chuẩn hóa quốc tế về năng lực toán, chẳng hạn như Digital SAT, thí sinh có thể sẽ được cung cấp phần mềm DESMOS, phần mềm máy tính khoa học giúp giải quyết các vấn đề liên quan đến đồ thị, thống kê và các phép tính cơ bản. Nắm được các tính năng của DESMOS cũng như thao tác sử dụng sẽ giúp thí sinh tăng tốc độ làm bài, đơn giản hóa các bước tính toán, từ đó nâng cao hiệu quả bài thi. Trong phạm vi bài viết này, tác giả sẽ hướng dẫn người đọc tìm đồ thị hàm số bậc hai trước/sau biến đổi, một dạng bài phổ biến trong bài thi Digital SAT.

Lý thuyết chung về hàm số bậc hai

Hàm số bậc hai trong tiếng Anh được gọi là Quadratic function, là một trong những hàm số cơ bản và quan trọng trong bài thi SAT Math. Dạng đồ thị của hàm số bậc hai là một đường cong Parabol.

Hàm số bậc hai có dạng tổng quát là:

y = f(x) = ax² + bx + c

Trong đó:

• a, b, c là các hằng số thực, với a ≠ 0. Trong đó, giá trị của a sẽ quyết định hàm số có giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất. Giá trị c là giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung

Một điểm quan trọng của hàm số bậc hai là Đỉnh (Vertex) có tọa độ là (x,y) được xác định như sau:

• x= -b/2a

• y= -Δ/4a = -(b²-4ac)/4a = f(-b/2a)

Sau khi xác định được tọa độ đỉnh, ta có thể xác định thêm trục đối xứng (Axis of symmetry) của hàm số bậc hai. Trục đối xứng là đường thẳng đi qua đỉnh và chia đồ thị của hàm số bậc hai thành hai phần đối xứng nhau qua đường thẳng đó. Phương trình của trục đối xứng có dạng x = -b/2a.

Để xác định Đỉnh (Vertex) là giá trị lớn nhất (Max) hay giá trị nhỏ nhất (Min), ta xét hệ số a:

• Trường hợp 1: a < 0. Khi a < 0, dạng đồ thị của hàm số bậc hai sẽ hướng xuống, tạo thành hình “ngọn núi”. Từ đó, hàm số bậc hai sẽ có giá trị lớn nhất.

• Trường hợp 2: a > 0. Khi a > 0, dạng đồ thị của hàm số bậc hai sẽ hướng lên, tạo thành hình “chữ U”. Từ đó, hàm số bậc hai sẽ có giá trị nhỏ nhất.

Với toạ độ đỉnh, người học có thể viết hàm số bậc hai dưới dạng đỉnh (Vertex form):

y = f(x) = a(x - h)² + k

Trong đó:

• Tọa độ đỉnh (Vertex) là (h, k).

• Trục đối xứng của dạng Vertex form này có dạng x = h.

Lưu ý: 

• Khi nói về giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất, ta sẽ nói về tung độ của đỉnh (Vertex). Còn hoành độ sẽ là giá trị của x mà tại đó hàm số đạt giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất.

• Đối với các hàm số không ở dạng tổng quát hoặc dạng đỉnh, ta cần khai triển ra dạng tổng quát/đỉnh để dễ dàng xác định.

Lý thuyết về sự biến đổi của hàm số bậc hai

Trong các bài toán SAT, các bài toán hàm số bậc hai biến đổi là một dạng bài quen thuộc. Thay vì cho trực tiếp ký hiệu toán học, đề bài thường dùng từ ngữ miêu tả đồ thị. Nhiệm vụ của người học là diễn giải ngôn ngữ đó thành ký hiệu hàm số.

Xét hai hàm số bậc hai f(x) và g(x), ta có các trường hợp biến đổi hàm số để biến đổi đồ thị trên mặt phẳng Oxy:

• Dịch chuyển lên/xuống: g(x) = f(x) + k

  • k < 0: đồ thị dịch chuyển xuống dưới k đơn vị

  • k > 0: đồ thị dịch chuyển lên trên k đơn vị

• Dịch chuyển trái/phải: g(x) = f(x - h) hoặc g(x) = f(x + h)

  • g(x) = f(x - h) → dịch chuyển sang phải

  • g(x) = f(x + h) → dịch chuyển sang trái

• Đối xứng

  • Qua trục Ox: g(x) = -f(x)

  • Qua trục Oy: g(x) = f(-x)

Ví dụ minh họa: Xét hàm số f(x) = 2x² - 4x + 8. Nếu đề bài yêu cầu ta tìm một hàm số g(x), mà g(x) được xác định bằng f(x) được “shift/translated to the left 2 units”, ta có thể hiểu đơn giản là đề bài yêu cầu tìm f(x+2): → g(x) = f(x+2) = 2(x+2)² - 4(x+2) + 8 = 2(x² + 4x + 4) - 4x - 8 + 8 = 2x² + 4x + 8. Ta có thể kết luận rằng g(x) = 2x² + 4x + 8 chính là f(x) = 2x² - 4x + 8 sau khi dịch chuyển sang trái 2 đơn vị.

Fig. 1. Function f(x) = 2x² -4x + 8 and f(x+2) on the Desmos Graphing Calculator (Source [1])

Tìm đồ thị hàm số bậc hai trước/sau biến đổi trong câu hỏi Digital SAT

Trong bài thi Digital SAT, các câu hỏi về tìm đồ thị hàm số bậc hai trước/sau biến đổi là rất đa dạng. Thí sinh có thể được hỏi về dịch chuyển đồ thị sang trái/phải, lên/xuống, hoặc tìm đồ thị đối xứng qua hệ trục tọa độ.

Sample question:

Fig. 2. Quadratic function  x² - 4x + 6 on the Desmos Graphing Calculator (Source [2])

Giới thiệu máy tính khoa học DESMOS

DESMOS là một phần mềm máy tính khoa học được thiết kế bởi DESMOS Studio. Đây là phần mềm chính thức được tích hợp trong phần mềm Bluebook của bài thi Digital SAT nhằm hỗ trợ thí sinh giải quyết đa dạng câu hỏi Toán học ở nhiều chuyên đề khác nhau.

Fig. 3. Official logo of Desmos Studio PBC. (Source: [3])

Các tính năng cơ bản của DESMOS

Với phần mềm DESMOS, người học và thí sinh sẽ cần làm quen với một số tính năng cơ bản, bao gồm:

• Các phép cộng, trừ, nhân, chia cơ bản

• Vẽ đồ thị phương trình từ bậc thấp đến cao

• Sử dụng bảng biểu

• Tính năng thanh trượt

• Các phép tính thống kê cơ bản

• Các phép tính lượng giác cơ bản

• V.v.

Trên màn hình giao diện DESMOS, người học có thể nhận diện được các vùng cơ bản. Thứ nhất, vùng bên tay trái là nơi người học nhập phương trình (VD: 2x + y = 0). Thứ hai, vùng mặt phẳng toạ độ Oxy là nơi đồ thị của phương trình hiển thị. Cuối cùng, nút cài đặt (có biểu tượng hình cờ lê) bên góc phải là nơi người học điều chỉnh một số cài đặt để phù hợp nhu cầu (VD: chuyển đổi từ Degree sang Radian.)

Fig. 4. Interface of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [4])

Lưu ý: Phần mềm DESMOS hiện tại mà người học có thể tìm trên mạng có thể được chia làm hai phiên bản: Nguyên bản (đen) và Khảo thí (testing - xanh lá). Phần mềm DESMOS nguyên bản sẽ có nhiều tính năng hơn bản khảo thí, bao gồm tính năng chia sẻ biểu đồ, thư mục, hoặc hình ảnh. Tuy vậy, các tính năng quan trọng dùng trong bài thi SAT vẫn có đầy đủ ở cả hai phiên bản.

Hướng dẫn sử dụng DESMOS để tìm đồ thị hàm số bậc hai trước/sau biến đổi

Để sử dụng DESMOS để tìm đồ thị hàm số bậc hai trước/sau biến đổi, người học cần vận dụng tính năng vẽ đồ thị và tính năng thanh trượt (slider) nếu cần thiết. Dưới đây là hướng dẫn chi tiết từng bước:

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp

Người đọc đọc kĩ phương trình của hàm số bậc hai được đề bài cung cấp và xác định yêu cầu của bài toán.

Bước 2: Người đọc nhập hàm số bậc hai vào ô nhập dữ liệu của phần mềm DESMOS.

DESMOS sẽ tự động vẽ đồ thị của hàm số bậc hai tương ứng.

Bước 3: Người học phân tích đề bài và xác định xem đồ thị sẽ dịch chuyển lên/xuống hay sang trái/phải.

• Nếu dịch chuyển theo phương dọc:

  • Dịch chuyển lên k đơn vị: g(x) = f(x) + k

  • Dịch chuyển xuống k đơn vị: g(x) = f(x) - k

• Nếu dịch chuyển theo phương ngang:

  • Dịch chuyển sang phải h đơn vị: g(x) = f(x-h)

  • Dịch chuyển sang trái h đơn vị: g(x) = f(x+h)

Sau đó, phần mềm sẽ vẽ đồ thị tương ứng sau khi đã dịch chuyển. Người học quan sát và đối chiếu để xác định đáp án đúng.

Ví dụ minh họa:

Đề bài:

The function f(x) = x² - 4x + 6 is graphed in the xy-plane. If g(x) is the result of shifting f(x) left 3 units and down 2 units, which of the following graphs represents g(x)?

Fig. 5. Quadratic function  x² - 4x + 6 on the Desmos Graphing Calculator (Source [5])

Bước 1: Người học đọc kĩ đề và xác định dữ kiện đề bài

• Hàm số: f(x) = x² - 4x + 6

• Tìm hàm số g(x) sau khi dịch chuyển f(x)

• Dịch chuyển: sang trái 3 đơn vị, xuống 2 đơn vị

Bước 2: Người đọc nhập hàm số bậc hai vào ô nhập dữ liệu của phần mềm DESMOS.

Fig. 6. Quadratic function x² - 4x + 6 on the Desmos Graphing Calculator (Source [5])

Bước 3: Người đọc cần xác định sự dịch chuyển của đồ thị. Ở đề bài này, đồ thị sang trái 3 đơn vị và đi xuống 2 đơn vị.

→ g(x) = f(x+3) - 2

Người học nhập hàm số này vào phần mềm DESMOS

Fig. 7. Quadratic function x² - 4x + 6 and g(x) = f(x+3) - 2 on the Desmos Graphing Calculator (Source [6])

→ Từ đó ta suy ra được đáp án đúng là A.

Lưu ý: DESMOS luôn hiển thị giá trị dưới dạng số thập phân. Do đó, DESMOS hữu dụng khi giá trị cần tìm là giá trị nguyên (1,2,3,...), giá trị thập phân hữu hạn (1.5, 2.5,...), giá trị thập phân vô hạn tuần hoàn (0.6666), hoặc giá trị thập phân không tuần hoàn thông dụng (3.141592). Nếu người học chưa quen nhận diện các giá trị này (VD: 10/3 có thể được biểu diễn là 3.33333), điều nên làm là luôn kiểm tra lại đáp án trước khi chọn.

Xem thêm:

• Cách làm dạng bài Solving quadratic equations trong SAT Math & Bài tập

• Cách làm dạng bài Quadratic Graphs trong SAT Math và bài tập

• Cách làm dạng bài Factoring Quadratic and Polynomial Expressions trong SAT Math

Bài tập vận dụng

Sau đây, bài viết sẽ giới thiệu đến người học một số câu hỏi Digital SAT có sử dụng DESMOS để tìm đồ thị hàm số bậc hai trước/sau biến đổi [7]. Người học hãy sử dụng tính năng DESMOS đã giới thiệu để giải các câu hỏi sau.

Question 1:

The function f(x) = x² + 2x + 1  is graphed in the xy-plane.

If g(x) is the result of shifting f(x) right 4 units, which graph represents g(x)?

A.	B.
C.	D.

Images are created on the Desmos Graphing Calculator, used with permission from Desmos Studio PBC.

Fig. 9. Quadratic function f(x) = x² + 2x + 1 on the Demos Graphing Calculator (Source [8])

Answer: B

Question 2:

The function  f(x) = x² − 3x + 2
is graphed in the xy-plane.

If g(x) is the result of shifting f(x) up 5 units, which graph represents g(x)?

A.	B.
C.	D.

Images are created on the Desmos Graphing Calculator, used with permission from Desmos Studio PBC.

Fig. 10. Quadratic function f(x) = x² − 3x + 2 on the Demos Graphing Calculator (Source [9])

Answer: A

Question 3: 

The function f(x) = x² + 6x + 8 is graphed in the xy-plane.

If g(x) is the result of shifting f(x) left 2 units, which graph represents g(x)?

A.	B.
C.	D.

Images are created on the Desmos Graphing Calculator, used with permission from Desmos Studio PBC.

Fig. 11. Quadratic function f(x) = x² + 6x + 8 on the Desmos Graphing Calculator (Source [10])

Answer: B

Question 4: 

The function f(x) = x² + 4x + 7 is graphed in the xy-plane. If g(x) is the result of shifting f(x) down 3 units, which graph represents g(x)?

A.	B.
C.	D.

Images are created on the Desmos Graphing Calculator, used with permission from Desmos Studio PBC.

Fig. 12. Quadratic function f(x) = x² + 4x + 7 on the Desmos Graphing Calculator (Source [11])

Answer: A

Question 5:

The function f(x) = x² − 2x + 3 is graphed in the xy-plane.

If g(x) is the result of shifting f(x) right 1 unit and up 4 units, which graph represents g(x)?

A.	B.
C.	D.

Images are created on the Desmos Graphing Calculator, used with permission from Desmos Studio PBC.

Fig. 13. Quadratic function f(x) = x² − 2x + 3 on the Desmos Graphing Calculator (Source [12])

Answer: A

Question 6:

The function

 g(x) = x² + 3x + 10

is obtained by shifting the function

f(x) = x² + 3x + 2.

Which transformation was applied?

A. Shift up 8 units
B. Shift down 8 units
C. Shift right 8 units
D. Shift left 8 units

Answer: A

Question 7: 

The function f(x) = x² + 3x + 5 is graphed in the xy-plane. If g(x) is the result of shifting f(x) left 3 units and down 2 units, which graph represents g(x)?

A.	B.
C.	D.

Images are created on the Desmos Graphing Calculator, used with permission from Desmos Studio PBC.

Fig. 14. Quadratic function f(x) = x² + 3x + 5 on the Desmos Graphing Calculator (Source [13])

Answer: A

Question 8:

The function g(x) = (x + 2)² − 6 is obtained by shifting a function f(x) left 2 units and down 6 units. Which function represents f(x)?

A. f(x) = x²
B. f(x) = x² + 6
C. f(x) = (x − 2)²
D. f(x) = x² − 6

Answer: A

Question 9:

The function g(x) = (x − 4)² − 1 is obtained by shifting f(x) = x².

Which transformation was applied?

A. Left 1 unit and up 4 units
B. Left 4 units and up 1 unit
C. Right 1 unit and down 4 units
D. Right 4 units and down 1 unit

Answer: D

Question 10:

The function g(x) = (x − 5)² + 4 is obtained by shifting a function f(x) right 5 units and up 4 units.

Which graph represents f(x)?

A.	B.
C.	D.

Images are created on the Desmos Graphing Calculator, used with permission from Desmos Studio PBC.

Fig. 15. Quadratic function g(x) = (x − 5)² + 4 on the Desmos Graphing Calculator (Source [14])

Answer: A

Tổng kết

Như vậy, bài viết đã giới thiệu về phần mềm DESMOS và hướng dẫn chi tiết cách sử dụng phần mềm này trong bài thi Digital SAT để tìm đồ thị hàm số bậc hai trước/sau biến đổi. Việc vận dụng linh hoạt các tính năng vẽ đồ thị không chỉ giúp thí sinh trực quan hóa các phép biến đổi hình học mà còn là công cụ đắc lực để đối chiếu và xác định chính xác phương trình hàm số cần tìm.

Hy vọng người học có thể vận dụng các nội dung và quy trình thao tác trong bài viết để cải thiện hiệu suất ôn tập, đơn giản hóa các bước tính toán phức tạp và nâng cao hiệu quả làm bài của bản thân trong các kỳ thi sắp tới.

Tham khảo chương trình luyện thi SAT cam kết đầu ra tại ZIM Academy để được hướng dẫn chuyên sâu và bứt phá điểm số.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.