Sử dụng DESMOS để tìm hàm chứa căn tương ứng với số x-intercept cho sẵn

Trong các bài thi chuẩn hóa quốc tế về năng lực toán, chẳng hạn như Digital SAT, thí sinh có thể sẽ được cung cấp phần mềm DESMOS, phần mềm máy tính khoa học giúp giải quyết các vấn đề liên quan đến đồ thị, thống kê và các phép tính cơ bản. Nắm được các tính năng của DESMOS cũng như thao tác sử dụng sẽ giúp thí sinh tăng tốc độ làm bài, đơn giản hóa các bước tính toán, từ đó nâng cao hiệu quả bài thi. Trong phạm vi bài viết này, tác giả sẽ hướng dẫn người học tìm hàm chứa căn tương ứng với số x-intercept cho sẵn.

Lý thuyết chung về hàm căn thức

Hàm căn thức, hay còn được gọi là hàm chứa căn, là một hàm số phi tuyến, chứa biến độc lập nằm trong dấu căn. Hàm căn thức có dạng tổng quát như sau:

\[y=fx=angx+k\]Trong đó:

• x, y là các biến

• g(x) là biểu thức chứa biến x

• n là căn bậc của hàm

• a là hệ số co giãn của đồ thị hàm căn thức (a≠0)

• k là hằng số - tung độ gốc.

Với các bậc khác nhau của hàm căn thức, các hàm có điều kiện xác định khác nhau. Xét căn bậc n của hàm căn thức:

• Với n là số chẵn, hàm căn thức xác định khi g(x) không âm.

• Với n là số lẻ, hàm căn thức xác định khi g(x) xác định.

Ví dụ: Cho hàm căn thức \(y=4x2-16\)

• Hàm căn thức trên có n = 4, đây là hàm căn thức bậc chẵn.

• Để hàm số xác định, ta có x^2 - 16 ≥ 0.

Xem thêm: Solving quadratic equations

Lý thuyết về đồ thị của hàm căn thức

Phụ thuộc vào biểu thức nằm trong dấu căn và bậc của hàm căn thức, đồ thị của hàm căn thức sẽ khác nhau. Xét hàm căn thức \(y=fx=angx+k\), ta có các trường hợp như sau:

Trường hợp 1: Khi a > 0, n là số chẵn, g(x) là hàm số bậc nhất

Khi n là số chẵn, hàm căn thức là hàm xác định khi g(x) ≥ 0. Đồ thị của hàm căn thức bậc chẵn là một đường cong nằm ở phía trên trục hoành, với giá trị y luôn dương với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định.

Đồ thị này sẽ cắt trục hoành tại duy nhất 1 hoành độ g(x) = 0.

Ví dụ: Xét đồ thị của hàm \(y=(x+6)\)

Fig. 1. The graph of y = (x + 6)^(½) on Desmos Graphing Calculator (Source: [1])

Quan sát đồ thị trên, ta thấy đồ thị của hàm căn thức trên là một đường cong nằm phía trên trục hoành, có 1 x-intercept, và đồng biến với mọi x xác định.

Ngược lại, khi g(x) có hệ số góc nhỏ hơn 0, hàm số trên có đường cong nằm phía trên trục hoành, là hàm nghịch biến.

Fig. 2. Graph of y = sqrt(-2x + 1) on Desmos Graphing Calculator ( Source:[2])

Trường hợp 2: a < 0, n là bậc chẵn, g(x) là hàm số bậc nhất.

Với n là bậc chẵn, đồ thị của hàm số vẫn là một đường cong nằm ở một phía của trục hoành. Với a < 0, đường cong nằm phía dưới của trục hoành, các giá trị của y tương ứng với x đều là các số âm.

Dạng hàm số trên cũng cho duy nhất một hoành độ giao điểm.

Fig. 3. y = -sqrt(2x + 3) on Desmos Graphing Calculator (Source: [3])

Tương tự, khi g(x) là hàm bậc nhất có hệ số góc nhỏ hơn 0, đồ thị của hàm căn thức trên là một đường cong nằm phía dưới trục hoành, đồng biến với x, y tiến tới âm vô cùng.

Fig. 4. The graph of y = -sqrt(-3x + 2) on Desmos Graphing Calculator (Source: [4])

Trường hợp 3: n là bậc lẻ, g(x) là hàm bậc nhất

Với hàm số căn thức bậc lẻ, hàm căn thức xác định với mọi giá trị của x, tạo thành một đường cong S, cắt trục tại một hoành độ giao điểm.

Fig. 5. y = (2x+1)^⅓ on Desmos Graphing Calculator (Source: [5])

Trường hợp 4: g(x) là hàm phi tuyến

Trong trường hợp g(x) là hàm phi tuyến, ngoài căn bậc của hàm số, ta cần dựa vào dạng đồ thị cơ bản của g(x) trước chứa dấu căn. Từ đó, ta có thể xác định số hoành độ giao điểm của hàm số đó.

Khi chuyển từ g(x) về hàm số căn, số hoành độ giao điểm là không đổi.

Ví dụ: Quan sát đồ thị của y = x^2 -16 và y = (x^2 -16)^(½)

Ta thấy 2 đồ thị đều có chung số hoành độ giao điểm, với tọa độ tương tự nhau. Vậy để tìm số hoành độ giao điểm, người học cần tìm số nghiệm của g(x) = 0.

Fig. 6 Graph of y = x^2 - 16 and y = (x^2 - 16)^(½) on Desmos Graphing Calculator ( Source: [6])

Tìm hàm chứa căn tương ứng với số x - intercept cho sẵn trong câu hỏi Digital SAT

Trong bài thi Digital SAT, các câu hỏi về tìm hàm chứa căn tương ứng với số x-intercept cho sẵn là rất đa dạng. Thí sinh có thể được hỏi về hàm căn thức tương ứng, số lượng hàm căn thức thỏa mãn điều kiện và vô số dạng câu hỏi khác.

Giới thiệu máy tính khoa học DESMOS

DESMOS là một phần mềm máy tính khoa học được thiết kế bởi DESMOS Studio. Đây là phần mềm chính thức được tích hợp trong phần mềm Bluebook của bài thi Digital SAT nhằm hỗ trợ thí sinh giải quyết đa dạng các câu hỏi Toán học ở nhiều chuyên đề khác nhau.

Fig. 7. Official logo of Desmos Studio PBC. (Source: [7])

Các tính năng cơ bản của DESMOS

Với phần mềm DESMOS, người học và thí sinh sẽ cần làm quen với một số tính năng cơ bản, bao gồm:

• Các phép cộng, trừ, nhân, chia cơ bản

• Vẽ đồ thị phương trình từ bậc thấp đến cao

• Sử dụng bảng biểu

• Tính năng thanh trượt

• Các phép tính thống kê cơ bản

• Các phép tính lượng giác cơ bản

• V.v.

Trên màn hình giao diện DESMOS, người học có thể nhận diện được các vùng cơ bản. Thứ nhất, vùng bên tay trái là nơi người học nhập phương trình (VD: 2x + y = 0). Thứ hai, vùng mặt phẳng toạ độ Oxy là nơi đồ thị của phương trình hiển thị. Cuối cùng, nút cài đặt (có biểu tượng hình cờ lê) bên góc phải là nơi người học điều chỉnh một số cài đặt để phù hợp nhu cầu (VD: chuyển đổi từ Degree sang Radian.)

Fig. 8. Interface of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [8])

Lưu ý: Phần mềm DESMOS hiện tại mà người học có thể tìm trên mạng có thể được chia làm hai phiên bản: Nguyên bản (đen) và Khảo thí (testing - xanh lá). Phần mềm DESMOS nguyên bản sẽ có nhiều tính năng hơn bản khảo thí, bao gồm tính năng chia sẻ biểu đồ, thư mục, hoặc hình ảnh. Tuy vậy, các tính năng quan trọng dùng trong bài thi SAT vẫn có đầy đủ ở cả hai phiên bản.

Hướng dẫn sử dụng DESMOS để tìm hàm chứa căn tương ứng với số x-intercept cho sẵn

Đề tìm hàm chứa căn tương ứng với số x-intercept cho sẵn bằng DESMOS, ta sử dụng chức năng vẽ đồ thị.

Bước 1: Xác định dữ kiện đề bài

Người học xác định số hoành độ giao điểm đề bài cho, các dạng hàm số căn thức của đáp án.

Bước 2: Nhập dữ liệu và quan sát số hoành độ giao điểm

Người học nhập từng hàm căn thức vào Desmos và quan sát số giao điểm hiển thị bằng cách dùng con trỏ chuột nhấn vào đồ thị được vẽ trên Desmos.

Lưu ý: Đối với dạng căn bậc hai, người học có thể nhập nhanh bằng cách đánh sqrt(f(x)). Đối với dạng căn bậc cao hơn, người học có thể chuyển về dạng f(x)^1/a với a là bậc của căn thức hoặc dùng function trong bàn phím có sẵn của Desmos.

Fig 9. Intergrated keyboard on Desmos Graphing Calculator (Source: [9])

Bước 3: Kiểm tra lại

Để chắc chắn hàm căn thức thỏa mãn số hoành độ giao điểm cho sẵn, người học có thể cho y = 0 và kiểm tra lại.

Ví dụ:

Which of the following functions has exactly 2 x - intercepts?

A. \(y=3x2-5x+4\)

B. \(y=x3+1\)

C. \(y=x2+9\)

D. \(y=xx-3x-2\)

Bước 1: Xác định dữ kiện đề bài

• Số hoành độ giao điểm cho trước là 2.

Bước 2: Nhập dữ kiện lên Desmos

• Người học có thể nhập cùng lúc 4 hàm căn thức cùng lúc hoặc nhập đơn lẻ để dễ dàng quan sát.

Fig. 10. 4 different radical graphs on Desmos Graphing Calculator (Source: [10])

Từ hình trên, ta thấy hàm \(Ax=3x2-5x+4\) cho 2 hoành độ giao điểm.

→ Chọn A

Bước 3: Thử lại

• \(Ax=3x2-5x+4\) ⇔ x^2 - 5x + 4 = 0 ⇔ (x - 1)(x - 4) = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = 4 → Tồn tại 2 hoành độ gốc.

• B(x) = \(x3+1\)⇔ x^3 + 1 = 0 ⇔ (x + 1)(x^2 - x + 1) = 0 ⇔ x = 1 → Tồn tại 1 hoành độ gốc.

• C(x) =\(x2+9\) ⇔ x^2 + 9 = 0 (vô nghiệm) → Không tồn tại hoành độ gốc.

• D(x) =\(xx-3x-2\)⇔ x(x-3)(x-2) = 0 ⇔ x = {1; 2; 3} → Tồn tại 3 hoành độ gốc.

Vậy đáp án A là đáp án đúng.

Lưu ý: DESMOS luôn hiển thị giá trị dưới dạng số thập phân. Do đó, DESMOS hữu dụng khi giá trị cần tìm là giá trị nguyên (1,2,3,...), giá trị thập phân hữu hạn (1.5, 2.5,...), giá trị thập phân vô hạn tuần hoàn (0.6666), hoặc giá trị thập phân không tuần hoàn thông dụng (3.141592). Nếu người học chưa quen nhận diện các giá trị này (VD: 10/3 có thể được biểu diễn là 3.33333), điều nên làm là luôn kiểm tra lại đáp án trước khi chọn.

Xem thêm: Sách luyện thi SAT Math được đánh giá tốt

Bài tập vận dụng

Sau đây, bài viết sẽ giới thiệu đến người học một số câu hỏi Digital SAT có sử dụng DESMOS để tìm hàm chứa căn tương ứng với số x - intercept cho sẵn [11]. Người học hãy sử dụng tính năng DESMOS đã giới thiệu để giải các câu hỏi sau.

Question 1:

The function f is defined by \(f(x)=x2-8x+k-5\)

If the graph of y=f(x) in the xy-plane has exactly one x-intercept, what is the value of the constant k?

A. 36

B. 41

C. 16

D. 25

Answer: B

Question 2:

A function is given by\(f(x)=2x+b-c\)

The graph of f has an x-intercept at (5,0) and a y-intercept at (0,−2). What is the value of the constant b?

A. 2.25

B. 4

C. 8

D. 16

Answer: A

Question 3:

A student is looking for a function f that has exactly zero x-intercepts in the xy-plane. Which of the following functions satisfies this condition?

A. y =\(-x-2\)

B. y = \(x2-4\)

C. y = \(x+2-5\)

D. y =\(x-5+2\)

Answer: D

Question 4:

Which radical function has exactly two x-intercepts?

A.\(f(x)=x-4\)

B. \(fx=x2+4\)

C.\(f(x)=16-x2\)

D.\(f(x)=\left\vert\sqrt{x}-2\right\vert\)

Answer: C

Question 5:

For what value of the constant c does the function \(g(x)=x2-4x+c-3\)have exactly one x-intercept?

A.16

B.9

C.13

D.4

Answer: C

Question 6:

Let \(f(x)=x-a-b-x\). If the graph of f has exactly one x-intercept at x=7, which of the following must be true about the constants a and b?

A. a+b=14

B. a=b

C. ab=49

D. a−b=7

Answer: A

Question 7:

The function g is defined by \(g(x)=x2-6x+k-4\). For which value of the constant k does the graph of y=g(x) have exactly one x-intercept?

A. 16

B. 9

C. 7

D. 25

Answer: D

Question 8:

Which of the following radical functions has no x-intercepts and a domain of all real numbers x such that x ≥ 2?

A. y = \(x-2-3\)

B. y = \(x-2+3\)

C. y = \(x+2+3\)

D. y = \(1x-2\)

Answer: B

Question 9:

Consider the function \(p(x)=\sqrt{x-3}-\vert x-k\vert\). If the graph of p has an x-intercept at x=7, which of the following could be a value of k?

A. 2

B. 3

C. 5

D. 7

Answer: C

Question 10:

A function is defined as \(hx=x+7-4x-k\). For which value of the constant k does the graph of h have zero x-intercepts even though the numerator has a real root?

A. 9

B. 16

C. 7

D. 4

Answer: A

Tổng kết

Như vậy, bài viết đã giới thiệu về phần mềm DESMOS và hướng dẫn chi tiết cách sử dụng phần mềm này trong bài thi Digital SAT để tìm hàm chứa căn tương ứng với số x-intercept cho sẵn. Việc vận dụng linh hoạt các tính năng vẽ đồ thị không chỉ giúp thí sinh trực quan hóa các phép biến đổi hình học mà còn là công cụ đắc lực để đối chiếu và xác định chính xác phương trình hàm số cần tìm.

Hy vọng người học có thể vận dụng các nội dung và quy trình thao tác trong bài viết để cải thiện hiệu suất ôn tập, đơn giản hóa các bước tính toán phức tạp và nâng cao hiệu quả làm bài của bản thân trong các kỳ thi sắp tới.

Tham khảo chương trình luyện thi SAT cam kết đầu ra tại ZIM Academy để được hướng dẫn chuyên sâu và bứt phá điểm số.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.