Sử dụng DESMOS để tìm x-intercept và y-intercept của hàm số chứa căn

Trong các bài thi chuẩn hóa quốc tế về năng lực toán, chẳng hạn như Digital SAT, thí sinh có thể sẽ được cung cấp phần mềm DESMOS, phần mềm máy tính khoa học giúp giải quyết các vấn đề liên quan đến đồ thị, thống kê và các phép tính cơ bản. Nắm được các tính năng của DESMOS cũng như thao tác sử dụng sẽ giúp thí sinh tăng tốc độ làm bài, đơn giản hóa các bước tính toán, từ đó nâng cao hiệu quả bài thi. Trong phạm vi bài viết này, tác giả sẽ hướng dẫn người học tìm x-intercept và y-intercept của hàm số chứa căn, một dạng bài phổ biến trong bài thi Digital SAT.

Lý thuyết chung về hàm số chứa căn bậc hai cơ bản

Hàm số chứa căn bậc hai cơ bản có dạng tổng quát là:

f(x) =a√(x-h)+k

Trong đó: 

• a, h, và k là các hằng số.

Điều kiện xác định: (x - h) ≥ 0.

X-intercept và y-intercept của hàm số chứa căn thức

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tung độ gốc (y-intercept) của hàm số chứa căn thức là giao điểm giữa đồ thị của hàm số và trục tung. Với hàm số: f(x) = a√(x - h) + k, để tìm y-intercept, ta thay x = 0 (chỉ thực hiện được khi  0 ≥ h, vì biểu thức trong căn phải không âm).

Khi đó: f(0) = a√(-h) + k

Nếu 0 ≥ h -> Người học có thể tìm ra tung độ gốc là: (0,  a√(-h) + k)

Ngược lại, nếu 0 <h, hàm số không xác định tại x = 0, nên đồ thị không có y-intercept.

Ngoài ra, hoành độ gốc (x-intercept) của hàm số là giao điểm giữa đồ thị và trục hoành. Khi đó: Trong trường hợp này, f(x) = 0 và hàm số sẽ được biến đổi thành a√(x - h) + k = 0. Như vậy, ta sẽ quay về việc tìm nghiệm của phương trình a√(x - h) + k = 0, và các giá trị x tìm được sẽ là hai hoành độ gốc.

Người học giải phương trình a√(x - h) + k = 0 bằng việc đổi vế, đặt điều kiện, và bình phương.

Trong trường hợp này, ta có √(x - h) = -k/a (Điều kiện, -k/a ≥ 0)

-> x - h = (-k/a)^2 -> x = h + (-k/a)^2.

-> Hoành độ gốc của hàm số f(x) = a√(x - h) + k có toạ độ (h + (-k/a)^2, 0)

Ví dụ: Xét hàm số y = f(x) = 2√(x + 1) - 4.

1. Tìm y-intercept

Ta có điều kiện x + 1 ≥ 0 -> x ≥ 1 -> x = 0 thỏa mãn và hàm số có x-intercept.

Cho x = 0: -> y = 2√1 - 4 = -2

Vậy (0, -2) là tung độ gốc của hàm số.

2. Tìm x-intercept

Cho y = 0:

2√(x + 1) - 4 = 0 -> √(x + 1) = 2 -> x + 1 = 4 -> x = 3 (thoả mãn)

Vậy (3, 0) là hoành độ gốc của hàm số.

Xem thêm: Trung tâm luyện thi SAT tốt và uy tín tại TPHCM

Diễn giải đồ thị hàm số chứa căn thức trên mặt phẳng toạ độ Oxy

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy:

• Đồ thị của hàm số y = f(x) = a√(x - h) + k là một đường cong bắt đầu từ điểm (h, k).

• Hàm số chỉ xác định khi x ≥ h, nên đồ thị chỉ tồn tại về phía bên phải của đường thẳng x = h.

• Điểm (h, k) là điểm đầu của đồ thị, được gọi là endpoint.

• Các cặp giá trị (x, y) thoả mãn hàm số sẽ nằm trên đồ thị.

Ngoài ra, người học có thể thấy hệ số a sẽ quyết định chiều biến thiên của đồ thị.

• Nếu a > 0, đồ thị tăng dần từ điểm (h, k).

• Nếu a < 0, đồ thị giảm dần từ điểm (h, k).

Cuối cùng, như đã nêu trên, x-intercept là điểm mà đồ thị hàm số sẽ giao trục Ox, và y-intercept là điểm mà đồ thị hàm số sẽ giao trục Oy.

Ví dụ: Xét hàm số y = f(x) = 2√(x + 1) - 4.

Người học đã tìm được hàm số có x-intercept là (3, 0) và y-intercept là (0, -2)

Vì vậy, parabol cắt trục hoành tại hai điểm (3, 0) và cắt trục Oy tại (0, -2).

Fig. 1. Function f(x) = 2√(x + 1) - 4 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [1])

Mặt khác, nếu hàm số không có x-intercept hay y-intercept, thì đồ thị sẽ không cắt trục Ox và Oy.

Ví dụ: Xét f(x) = √(x - 2) ​+ 1.

1. Tìm y-intercept

Cho x = 0. Tuy nhiên, x = 0 không thoả mãn điều kiện xác định là x - 2 ≥ 0 -> x ≥ 2.

-> Hàm số không có y-intercept.

2. Tìm x-intercept

Cho f(x) = 0:

√(x - 2) ​+ 1 = 0 -> √(x - 2) ​ = -1 -> Vô lý.

Vì căn bậc hai luôn không âm nên phương trình vô nghiệm. Do đó, hàm số không có x-intercept.

Như vậy, hàm số f(x) = √(x - 2) ​+ 1 không có x-intercept và y-intercept, và sẽ không cắt trục Ox và Oy.

Fig. 2. Function f(x) = √(x - 2) ​+ 1 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [2])

Tìm x-intercept và y-intercept của hàm số chứa căn trong câu hỏi Digital SAT

Trong bài thi Digital SAT, các câu hỏi về tìm x-intercept và y-intercept của hàm số chứa căn là rất đa dạng. Thí sinh có thể được hỏi về việc tìm x-intercept hay y-intercept của một hàm số, xác định tính đúng sai của x-intercept và y-intercept, hoặc tìm hằng số để x-intercept và y-intercept đạt giá trị nhất định.

Giới thiệu máy tính khoa học DESMOS

DESMOS là một phần mềm máy tính khoa học được thiết kế bởi DESMOS Studio. Đây là phần mềm chính thức được tích hợp trong phần mềm Bluebook của bài thi Digital SAT nhằm hỗ trợ thí sinh giải quyết đa dạng các câu hỏi Toán học ở nhiều chuyên đề khác nhau.

Fig. 3. Official logo of Desmos Studio PBC. (Source: [3])

Các tính năng cơ bản của DESMOS

Với phần mềm DESMOS, người học và thí sinh sẽ cần làm quen với một số tính năng cơ bản, bao gồm:

• Các phép cộng, trừ, nhân, chia cơ bản

• Vẽ đồ thị phương trình từ bậc thấp đến cao

• Sử dụng bảng biểu

• Tính năng thanh trượt

• Các phép tính thống kê cơ bản

• Các phép tính lượng giác cơ bản

• V.v.

Trên màn hình giao diện DESMOS, người học có thể nhận diện được các vùng cơ bản. Thứ nhất, vùng bên tay trái là nơi người học nhập phương trình (VD: 2x + y = 0). Thứ hai, vùng mặt phẳng toạ độ Oxy là nơi đồ thị của phương trình hiển thị. Cuối cùng, nút cài đặt (có biểu tượng hình cờ lê) bên góc phải là nơi người học điều chỉnh một số cài đặt để phù hợp nhu cầu (VD: chuyển đổi từ Degree sang Radian.)

Fig. 4. Interface of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [4])

Lưu ý: Phần mềm DESMOS hiện tại mà người học có thể tìm trên mạng có thể được chia làm hai phiên bản: Nguyên bản (đen) và Khảo thí (testing - xanh lá). Phần mềm DESMOS nguyên bản sẽ có nhiều tính năng hơn bản khảo thí, bao gồm tính năng chia sẻ biểu đồ, thư mục, hoặc hình ảnh. Tuy vậy, các tính năng quan trọng dùng trong bài thi SAT vẫn có đầy đủ ở cả hai phiên bản.

Hướng dẫn sử dụng DESMOS để tìm x-intercept và y-intercept của hàm số chứa căn

Để sử dụng DESMOS để tìm x-intercept và y-intercept của hàm số chứa căn, người học cần vận dụng tính năng vẽ đồ thị. Dưới đây là hướng dẫn chi tiết từng bước:

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp.

Người học đọc kĩ đề bài để xác định các dữ kiện được cho, trong trường hợp này là hàm số chứa căn bậc hai cũng như câu hỏi của đề bài.

Bước 2: Nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài vào ô nhập dữ liệu của phần DESMOS graphing calculator. 

Trong trường hợp này, người học trước hết viết hàm số được cho sẵn trong đề bài vào DESMOS.

Nếu người học cần gõ các ký tự đặc biệt, người học có thể bấm vào ký hiệu bàn phím ở góc dưới trái của màn hình để hiện ra chức năng bàn phím để hỗ trợ trong việc bấm biểu thức.

DESMOS sẽ tự động vẽ đồ thị của hàm số tương ứng.

Bước 3: Sau khi người học thấy được đồ thị được vẽ, người học có thể bấm vào giao điểm giữa đồ thị của hàm số với trục Ox và Oy.

DESMOS sẽ tự động hiện toạ độ của các giao điểm này trên giao diện. Đây chính là x-intercept và y-intercept của hàm số. Nếu đề bài bắt tìm thêm dữ liệu gì, người học có thể dựa vào tọa độ tìm được và hoàn thành các bước tính toán còn lại.

Bước 4: (tuỳ chọn) Người học có thể thế các toạ độ của x-intercept và y-intercept vào trong hàm số để xét tính đúng/sai của chúng.

Ví dụ minh hoạ:

The function f is defined by

f(x) = √(2x + 5) - 3.

What is the x-intercept of the graph of f?

A. (2 ,0)
B. (1, 0)
C. (0, 2)
D. (-5/2, 0)

Hướng dẫn giải bằng DESMOS

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp

• Hàm số được cho: f(x) = √(2x + 5) - 3

• Đề bài bắt tìm x-intercept của hàm số. 

Bước 2: Nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài vào ô nhập dữ liệu của DESMOS. Trong đó:

• Viết ở dòng đầu tiên: f(x) = √(2x + 5) - 3 để hiện đồ thị hàm số trên mặt phẳng toạ độ

Lưu ý, với dấu căn thức, người học nên sử dụng phần bàn phím như đã nêu trên.

Fig. 5. The Calculator function on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [5])

Desmos sẽ hiển thị đường cong f(x) = √(2x + 5) - 3 trên mặt phẳng tọa độ. 

Fig. 6. Function f(x) = √(2x + 5) - 3 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [6])

Bước 3: Người học bấm vào giao điểm giữa đồ thị f(x) = √(2x + 5) - 3 với trục hoành để tìm ra tọa độ của x-intercept của hàm số.

Fig. 7. Function f(x) = √(2x + 5) - 3 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [6])

Người học có thể thấy được x-intercept là (2, 0).

Bước 4: Người học có thể thử lại hai giá trị của x-intercept vào hàm số. Thay x = 2 và y = 0 vào f(x) = √(2x + 5) - 3, ta có:

0 = √(2 ⋅ 2 + 5) - 3 -> 0 = √9 - 3 -> 0 = 3 - 3 -> 0 = 0 (Đúng).

⇒ Chọn đáp án A.

Lưu ý: DESMOS luôn hiển thị giá trị dưới dạng số thập phân. Do đó, DESMOS hữu dụng khi giá trị cần tìm là giá trị nguyên (1,2,3,...), giá trị thập phân hữu hạn (1.5, 2.5,...), giá trị thập phân vô hạn tuần hoàn (0.6666), hoặc giá trị thập phân không tuần hoàn thông dụng (3.141592). Nếu người học chưa quen nhận diện các giá trị này (VD: 10/3 có thể được biểu diễn là 3.33333), điều nên làm là luôn kiểm tra lại đáp án trước khi chọn.

Xem thêm: 6 chiếc mũ tư duy là gì? Phương pháp tư duy toàn diện

Bài tập vận dụng

Sau đây, bài viết sẽ giới thiệu đến người học một số câu hỏi Digital SAT có sử dụng DESMOS để tìm x-intercept và y-intercept của hàm số chứa căn [7]. Người học hãy sử dụng tính năng DESMOS đã giới thiệu để giải các câu hỏi sau.

Question 1: 

The function g is defined by g(x) = 2 - √(x - 4).

Which statement about the intercepts of the graph of g is true?

A. The graph has an x-intercept at (4, 0) and a y-intercept at (0, 2).

B. The graph has a y-intercept at (0, 2) but no x-intercept.

C. The graph has an x-intercept at (8, 0) but no y-intercept.

D. The graph has neither an x-intercept nor a y-intercept. 

Answer: C

Question 2: 

The function g is defined by g(x) = √(3x + 1) - 6.

Which point is the y-intercept of the graph of g?

A. (0,-3)

B. (0, 3)

C. (0, -6)

D. (0, -5)

Answer: D

Question 3:

The function q(x) = 2√(x + 5) - 8 has an x-intercept at (a, 0).

What is the value of a?

A. 13
B. 11
C. 9
D. 7

Answer: B

Question 4:

The function f is defined by f(x) = 4 - √(3x + 7).

What is the x-intercept of the graph of f?

A. (3 ,0)

B. (2, 0)

C. (4, 0)

D. (-7/3, 0)

Answer: A

Question 5:

Which function has (5/2, 0) as an x-intercept?

A. f(x) = 3√(2x + 1) + 6

B. f(x) = 3√(2x - 1) + 6

C. f(x) = 3√(2x - 1) - 6

D. f(x) = 3√(2x + 1) - 6

Answer: C

Question 6:

The function f(x) = 2 - √(5x + 2) has x-intercept (m, 0) and y-intercept (0, n). What is 3(m - n), rounded up?

A. 0

B. -1

C. 1

D. 2

Answer: A

Question 7:

The functions f(x) = √(x + 4) - 2 and g(x) = a√(x + 4) - 5 have the same x-intercept.

What is the value of 2a - 1?

A. 5

B. 4

C. 3

D. 2

Answer: B

Question 8:

The graph of p(x) = √(2x + b) - 1, where b is a constant, has a y-intercept at (0, 2).

If the x-intercept of the graph is (a, 0), what is ab?

A. 36

B. 18

C. -18

D. -36

Answer: D

Question 9:

The graph of p(x) = √(x + k) - √2k, where k > 0, passes through the point (5, 0).

If (0, b) is the y-intercept of p(x), what is 2b, rounded down?

A. 2

B. -2

C. 6

D. -4

Answer: B

Question 10:

The height, in feet, of water sprayed from a fountain is modeled by h(t) = 5  - √(4t + 9), where t is the time, in seconds, after the water begins falling.

At what time does the water reach the ground?

A. 2

B. 7/2

C. 4

D. 11/2

Answer: C

Như vậy, bài viết đã giới thiệu về phần mềm DESMOS và hướng dẫn chi tiết cách sử dụng phần mềm này trong bài thi Digital SAT để tìm x-intercept và y-intercept của hàm số chứa căn. Việc vận dụng linh hoạt các tính năng vẽ đồ thị không chỉ giúp thí sinh trực quan hóa các phép biến đổi hình học mà còn là công cụ đắc lực để đối chiếu và xác định chính xác phương trình hàm số cần tìm.

Hy vọng người học có thể vận dụng các nội dung và quy trình thao tác trong bài viết để cải thiện hiệu suất ôn tập, đơn giản hóa các bước tính toán phức tạp và nâng cao hiệu quả làm bài của bản thân trong các kỳ thi sắp tới.

Tham khảo chương trình luyện thi SAT cam kết đầu ra tại ZIM Academy để được hướng dẫn chuyên sâu và bứt phá điểm số.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.