Sử dụng DESMOS để giải bất phương trình có trị tuyệt đối

Trong các bài thi chuẩn hóa quốc tế về năng lực toán, chẳng hạn như Digital SAT, thí sinh có thể sẽ được cung cấp phần mềm DESMOS, phần mềm máy tính khoa học giúp giải quyết các vấn đề liên quan đến đồ thị, thống kê và các phép tính cơ bản. Nắm được các tính năng của DESMOS cũng như thao tác sử dụng sẽ giúp thí sinh tăng tốc độ làm bài, đơn giản hóa các bước tính toán, từ đó nâng cao hiệu quả bài thi. Trong phạm vi bài viết này, tác giả sẽ hướng dẫn người học giải bất phương trình có trị tuyệt đối, một dạng bài phổ biến trong bài thi Digital SAT.

Lý thuyết chung về bất phương trình có trị tuyệt đối

Bất phương trình trị tuyệt đối cơ bản thường có dạng: |A| < m, |A| ≤ m, |A| > m, hoặc |A| ≥ m (với m là hằng số).

Về mặt đại số, khi m > 0:

• Bất phương trình dạng |A| < m tương đương với: -m < A < m.

• Bất phương trình dạng |A| ≤ m tương đương với: -m ≤ A ≤ m.

• Bất phương trình dạng |A| > m tương đương với: A > m hoặc A < -m.

• Bất phương trình dạng |A| ≥ m tương đương với: A ≥ m hoặc A ≤ -m.

Lưu ý: Vì giá trị tuyệt đối của một biểu thức luôn không âm (|A| ≥ 0 với mọi A), nên nếu m < 0:

• Bất phương trình |A| < m hoặc |A| ≤ m sẽ vô nghiệm.

• Bất phương trình |A| > m hoặc |A| ≥ m sẽ đúng với mọi x thuộc tập xác định.

Tham khảo thêm tại: DESMOS Guide - Tìm điểm thuộc nghiệm bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Lý thuyết về bất phương trình có trị tuyệt đối biểu diễn trên đồ thị

Biểu thức trị tuyệt đối dạng tổng quát y = f(x) = a|x - h| + k có đồ thị là một đường gấp khúc hình chữ V trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

Khi xét bất phương trình dạng f(x) < m hoặc f(x) > m, người học đang so sánh độ cao tương quan giữa đồ thị hình chữ V và đường thẳng nằm ngang y = m:

Trường hợp 1: Bất phương trình f(x) < m (hoặc f(x) ≤ m) biểu diễn tập hợp các giá trị hoành độ x sao cho đồ thị chữ V nằm bên dưới (hoặc chạm vào) đường thẳng y = m.

Ví dụ: Xét bất phương trình |x - 1| + 2 ≤ 5. Đặt f(x) = |x - 1| + 2. Ta cần tìm tập hợp x sao cho f(x) ≤ 5.

Fig. 1. Inequality |x - 1| + 2 ≤ 5 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [1])

Ta có thể thấy:

• Đồ thị hàm số f(x) = |x - 1| + 2 có đỉnh tại điểm (1, 2).

• Đường thẳng y = 5 cắt đồ thị chữ V tại hai điểm có hoành độ x = -2 và x = 4.

• Phần đồ thị chữ V nằm bên dưới và chạm vào đường thẳng y = 5 tương ứng với các điểm có hoành độ x nằm trong khoảng từ -2 đến 4 (bao gồm hai đầu mút).

• Do đó, nghiệm của bất phương trình là: -2 ≤ x ≤ 4.

Trường hợp 2: Bất phương trình f(x) > m (hoặc f(x) ≥ m) biểu diễn tập hợp các giá trị hoành độ x sao cho đồ thị chữ V nằm phía trên (hoặc chạm vào) đường thẳng y = m.

Ví dụ: Xét bất phương trình |x - 1| + 2 ≥ 5. Đặt f(x) = |x - 1| + 2. Ta cần tìm tập hợp x sao cho f(x) ≥ 5.

Fig. 2. Inequality |x - 1| + 2 ≥ 5 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [2])

Ta có thể thấy:

• Hai giao điểm của đồ thị chữ V và đường thẳng y = 5 vẫn là x = -2 và x = 4.

• Phần đồ thị chữ V nằm phía trên và chạm vào đường thẳng y = 5 chia làm hai nhánh riêng biệt kéo dài về hai phía ngoài hai giao điểm.

• Nhánh bên trái tương ứng với các giá trị x nhỏ hơn hoặc bằng -2 (x ≤ -2).

• Nhánh bên phải tương ứng với các giá trị x lớn hơn hoặc bằng 4 (x ≥ 4).

• Do đó, nghiệm của bất phương trình là: x ≤ -2 hoặc x ≥ 4.

Lý thuyết về giải bất phương trình có trị tuyệt đối 

Để giải bài toán bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, người học thực hiện theo các bước chung sau đây:

Bước 1: Cô lập biểu thức trị tuyệt đối.
Sử dụng các phép biến đổi đại số để đưa bất phương trình về dạng cơ bản: |A| < m, |A| ≤ m, |A| > m, hoặc |A| ≥ m.

Bước 2: Áp dụng quy tắc phá dấu giá trị tuyệt đối.
Xác định dấu của m và áp dụng công thức biến đổi tương đương phù hợp để đưa về bất phương trình không còn dấu trị tuyệt đối.

Bước 3: Giải bất phương trình đại số.
Thực hiện các phép tính đại số thông thường để tìm khoảng giá trị của x.

Bước 4: Đối chiếu kết quả và chọn đáp án.
Tổng hợp tập nghiệm tìm được và đối chiếu với các phương án trắc nghiệm của đề bài.

Ví dụ minh họa:

Câu hỏi:

|2x - 6| + 4 ≤ 14

Which of the following describes the complete set of values for x that satisfy the inequality above?

A) x ≤ 8

B) -2 ≤ x ≤ 8

C) x ≤ -2 or x ≥ 8

D) 1 ≤ x ≤ 9

Hướng dẫn giải:

Bước 1: Cô lập biểu thức trị tuyệt đối
Chuyển 4 sang vế phải:
|2x - 6| ≤ 14 - 4
|2x - 6| ≤ 10

Bước 2: Áp dụng quy tắc phá dấu giá trị tuyệt đối
Bất phương trình có dạng |A| ≤ m với A = 2x - 6 và m = 10 (m > 0).
Biến đổi thành bất phương trình kép:
-10 ≤ 2x - 6 ≤ 10

Bước 3: Giải bất phương trình đại số

• Cộng 6 vào cả ba vế:
  -10 + 6 ≤ 2x ≤ 10 + 6
  -4 ≤ 2x ≤ 16

• Chia cả ba vế cho 2:
  -2 ≤ x ≤ 8

Bước 4: Đối chiếu kết quả và chọn đáp án
Tập nghiệm đầy đủ thỏa mãn bất phương trình là -2 ≤ x ≤ 8.
-> Chọn B.

Giải bất phương trình có trị tuyệt đối trong câu hỏi Digital SAT

Trong bài thi Digital SAT, các câu hỏi về giải bất phương trình có trị tuyệt đối là rất đa dạng. Thí sinh có thể được hỏi về tìm khoảng nghiệm đầy đủ thỏa mãn bất phương trình, tìm số lượng nghiệm nguyên thỏa mãn điều kiện, hoặc xác định giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của x trong tập nghiệm.

Tham khảo thêm tại: Sử dụng DESMOS để tìm nghiệm bất phương trình bậc nhất trong bài toán thực tế

Giới thiệu máy tính khoa học DESMOS

DESMOS là một phần mềm máy tính khoa học được thiết kế bởi DESMOS Studio. Đây là phần mềm chính thức được tích hợp trong phần mềm Bluebook của bài thi Digital SAT nhằm hỗ trợ thí sinh giải quyết đa dạng các câu hỏi Toán học ở nhiều chuyên đề khác nhau.

Fig. 3. Official logo of Desmos Studio PBC. (Source: [3])

Các tính năng cơ bản của DESMOS

Với phần mềm DESMOS, người học và thí sinh sẽ cần làm quen với một số tính năng cơ bản, bao gồm:

• Các phép cộng, trừ, nhân, chia cơ bản

• Vẽ đồ thị phương trình từ bậc thấp đến cao

• Sử dụng bảng biểu

• Tính năng thanh trượt

• Các phép tính thống kê cơ bản

• Các phép tính lượng giác cơ bản

• V.v.

Trên màn hình giao diện DESMOS, người học có thể nhận diện được các vùng cơ bản. Thứ nhất, vùng bên tay trái là nơi người học nhập phương trình (VD: 2x + y = 0). Thứ hai, vùng mặt phẳng toạ độ Oxy là nơi đồ thị của phương trình hiển thị. Cuối cùng, nút cài đặt (có biểu tượng hình cờ lê) bên góc phải là nơi người học điều chỉnh một số cài đặt để phù hợp nhu cầu (VD: chuyển đổi từ Degree sang Radian.)

Fig. 4. Interface of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [4])

Lưu ý: Phần mềm DESMOS hiện tại mà người học có thể tìm trên mạng có thể được chia làm hai phiên bản: Nguyên bản (đen) và Khảo thí (testing - xanh lá). Phần mềm DESMOS nguyên bản sẽ có nhiều tính năng hơn bản khảo thí, bao gồm tính năng chia sẻ biểu đồ, thư mục, hoặc hình ảnh. Tuy vậy, các tính năng quan trọng dùng trong bài thi SAT vẫn có đầy đủ ở cả hai phiên bản.

Đọc thêm tại: Desmos - Các tính năng, cách cài đặt và sử dụng trong SAT

Hướng dẫn sử dụng DESMOS để giải bất phương trình có trị tuyệt đối

Để giải bất phương trình trị tuyệt đối bằng DESMOS thông qua việc so sánh đồ thị vế trái và vế phải, người học thực hiện theo các bước chung sau:

Bước 1: Đọc kỹ đề để xác định dữ kiện được cung cấp.
Xác định biểu thức vế trái, vế phải, dấu của bất phương trình (<, ≤, >, ≥) và yêu cầu đề bài (tìm tập nghiệm, đếm số nghiệm nguyên,...).

Bước 2: Nhập dữ kiện vào ô nhập dữ liệu của DESMOS.

• Dòng 1: Giữ nguyên vế trái và dấu của bất phương trình, thay vế bên phải bằng biến y (Ví dụ: [Vế trái] ≤ y). DESMOS sẽ tự động vẽ đồ thị và tô màu miền nghiệm tương ứng.

• Dòng 2: Nhập y = [Vế phải của bất phương trình] để tạo một đường thẳng nằm ngang.

Bước 3: Xác định giao điểm và phân tích miền được tô màu.

Bấm vào các giao điểm giữa đường thẳng y và đường ranh giới của miền được tô màu để đọc hoành độ x tại các điểm đó.

Quan sát phần miền được tô màu cắt ngang qua đường thẳng y. Tập nghiệm x chính là dải hoành độ nằm trong vùng được tô màu đó.

Bước 4: Đọc khoảng nghiệm và chọn đáp án.
Xác định khoảng giá trị của x tương ứng với vùng màu phủ qua, đối chiếu với các phương án trắc nghiệm trong đề bài để chọn đáp án đúng.

Ví dụ minh họa:

Câu hỏi:

|2x - 6| + 4 ≤ 14

Which of the following describes the complete set of values for x that satisfy the inequality above?

A) x ≤ 8

B) -2 ≤ x ≤ 8

C) x ≤ -2 or x ≥ 8

D) 1 ≤ x ≤ 9

Hướng dẫn giải bằng DESMOS:

Bước 1: Đọc kỹ đề để xác định dữ kiện được cung cấp

• Bất phương trình: |2x - 6| + 4 ≤ 14

• Vế trái: |2x - 6| + 4

• Vế phải: 14

• Dấu bất phương trình: ≤

• Yêu cầu: Tìm tập hợp đầy đủ các giá trị của x thỏa mãn bất phương trình.

Bước 2: Nhập dữ kiện vào ô nhập dữ liệu của DESMOS

• Dòng 1: Nhập |2x - 6| + 4 ≤ y (giữ nguyên vế trái, dấu ≤, và thay vế phải bằng y). DESMOS sẽ tô màu miền mặt phẳng phía trên đường chữ V.

• Dòng 2: Nhập y = 14

Bước 3: Xác định giao điểm và phân tích miền được tô màu

Nhấp chuột vào giao điểm giữa đường thẳng y = 14 và đường ranh giới của miền màu. Màn hình hiển thị hai giao điểm tại (-2, 14) và (8, 14), tương ứng với hai giá trị hoành độ x = -2 và x = 8.

Quan sát đường thẳng y = 14 và vùng được tô màu, ta thấy dải màu cắt ngang và phủ trọn đoạn đường thẳng từ x = -2 đến x = 8.

Bước 4: Đọc khoảng nghiệm và chọn đáp án

Miền nghiệm x nằm trong vùng được tô màu tương ứng với khoảng từ -2 đến 8.

Do bất phương trình chứa dấu ≤, ta lấy cả hai điểm mút -2 và 8.

Kết luận tập nghiệm thỏa mãn là: -2 ≤ x ≤ 8.
-> Chọn B.

Fig. 5. Inequality |2x - 6| + 4 ≤ 14 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [5])

Lưu ý: DESMOS luôn hiển thị giá trị dưới dạng số thập phân. Do đó, DESMOS hữu dụng khi giá trị cần tìm là giá trị nguyên (1,2,3,...), giá trị thập phân hữu hạn (1.5, 2.5,...), giá trị thập phân vô hạn tuần hoàn (0.6666), hoặc giá trị thập phân không tuần hoàn thông dụng (3.141592). Nếu người học chưa quen nhận diện các giá trị này (VD: 10/3 có thể được biểu diễn là 3.33333), điều nên làm là luôn kiểm tra lại đáp án trước khi chọn.

Bài tập vận dụng

Sau đây, bài viết sẽ giới thiệu đến người học một số câu hỏi Digital SAT có sử dụng DESMOS để giải bất phương trình có trị tuyệt đối. Người học hãy sử dụng tính năng DESMOS đã giới thiệu để giải các câu hỏi sau.

Question 1: 

How many integer solutions satisfy the inequality |2x - 3| < 8? 

A. 6 

B. 7 

C. 8 

D. 9 

Answer: C

Question 2: 

What is the minimum positive integer value of x that satisfies the inequality 4|x - 1| - 2 ≥ 10? 

A. 2 

B. 3

C. 4 

D. 1 

Answer: C

Question 3: 

Which of the following describes the complete set of values of x that satisfy the inequality -3|x + 4| + 15 > 0? 

A. -9 < x < 1 

B. x > 1 or x < -9 

C. -1 < x < 9 

D. No real solutions 

Answer: A

Question 4: 

Let p(x) = (1/2)|4x - 6| + 2. If p(x) ≤ 8, what is the sum of the maximum and minimum possible integer values of x? 

A. 0 

B. 3 

C. 4 

D. 6 

Answer: B

Question 5: 

Which of the following describes the set of real values of x that satisfy 7 - 2|x + 5| > 15? 

A. x > -1 

B. x < -9 

C. -9 < x < -1 

D. No real solutions 

Answer: D

Question 6: 

If a and b (b > a) are the boundaries of the solution set for 5|2x - 1| - 3 ≤ 22, what is the value of b - a? 

A. 4 

B. 5 

C. 6 

D. 10 

Answer: B

Question 7: 

A quality control inspector checks the weight of coffee bags. The ideal weight is 250 grams. A bag passes inspection if the absolute difference between its actual weight w, in grams, and the ideal weight is less than or equal to 2.5 grams. Which inequality represents all acceptable weights w? 

A. |w - 2.5| ≤ 250 

B. |w - 250| ≥ 2.5 

C. |w - 250| ≤ 2.5 

D. |w + 250| ≤ 2.5 

Answer: C

Question 8: 

A species of fish can only survive in water temperatures ranging from 68 degrees F to 76 degrees F, inclusive. Which absolute value inequality describes the acceptable water temperatures T? 

A. |T - 72| ≤ 4 

B. |T - 70| ≤ 6 

C. |T - 76| ≤ 68 

D. |T - 4| ≤ 72 

Answer: A

Question 9: 

A manufacturer produces metal rods that must be precisely 15.0 centimeters long. A rod is rejected if the absolute difference between its actual length L, in centimeters, and the target length is greater than 0.15 centimeters. Which of the following lengths L would cause a rod to be rejected? 

A. 14.82 

B. 14.95 

C. 15.10 

D. 15.05 

Answer: A

Question 10: 

The safety capacity of an elevator is designed for a target weight of 1200 pounds. An alarm sounds if the absolute difference between the current load W, in pounds, and the target weight exceeds 150 pounds. If the elevator currently holds a load of 1020 pounds, what is the minimum additional weight needed to stop the alarm from sounding? 

A. 30 pounds 

B. 150 pounds 

C. 180 pounds 

D. 330 pounds 

Answer: A

Như vậy, bài viết đã giới thiệu về phần mềm DESMOS và hướng dẫn chi tiết cách sử dụng phần mềm này trong bài thi Digital SAT để giải bất phương trình có trị tuyệt đối. Việc vận dụng linh hoạt các tính năng vẽ đồ thị không chỉ giúp thí sinh trực quan hóa các phép biến đổi hình học mà còn là công cụ đắc lực để đối chiếu và xác định chính xác phương trình hàm số cần tìm.

Hy vọng người học có thể vận dụng các nội dung và quy trình thao tác trong bài viết để cải thiện hiệu suất ôn tập, đơn giản hóa các bước tính toán phức tạp và nâng cao hiệu quả làm bài của bản thân trong các kỳ thi sắp tới.

Tham khảo chương trình luyện thi SAT cam kết đầu ra tại ZIM Academy để được hướng dẫn chuyên sâu và bứt phá điểm số.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.