Sử dụng DESMOS để giải phương trình trị tuyệt đối cơ bản

Trong các bài thi chuẩn hóa quốc tế về năng lực toán, chẳng hạn như Digital SAT, thí sinh có thể sẽ được cung cấp phần mềm DESMOS, phần mềm máy tính khoa học giúp giải quyết các vấn đề liên quan đến đồ thị, thống kê và các phép tính cơ bản. Nắm được các tính năng của DESMOS cũng như thao tác sử dụng sẽ giúp thí sinh tăng tốc độ làm bài, đơn giản hóa các bước tính toán, từ đó nâng cao hiệu quả bài thi. Trong phạm vi bài viết này, tác giả sẽ hướng dẫn người học giải phương trình trị tuyệt đối cơ bản, một dạng bài phổ biến trong bài thi Digital SAT.

Lý thuyết chung về phương trình trị tuyệt đối cơ bản

Phương trình trị tuyệt đối cơ bản thường có dạng tổng quát là: 

a|f(x)| + k = c

Trong đó:

• a, k, và c là các hằng số.

• f(x) là một biểu thức đại số chứa ẩn x (phổ biến nhất là biểu thức bậc nhất dạng mx + n).

Giá trị tuyệt đối của một biểu thức đại diện cho khoảng cách từ giá trị của biểu thức đó đến số 0 trên trục số thực. Do khoảng cách không thể là số âm, kết quả của phép lấy giá trị tuyệt đối luôn mang giá trị không âm.

Lý thuyết về cách giải phương trình trị tuyệt đối cơ bản

Để tìm được nghiệm của phương trình trị tuyệt đối cơ bản, bước đầu tiên là người học cần cô lập phần chứa giá trị tuyệt đối, đưa phương trình về dạng tinh gọn nhất: |f(x)| = p (với p là một hằng số được tính từ các hệ số ban đầu)

Sau khi đã cô lập được trị tuyệt đối, người học sẽ dựa vào giá trị của hằng số p để xét các trường hợp nghiệm của phương trình:

• Trường hợp 1: p < 0. Vì giá trị tuyệt đối không thể nhận giá trị âm, phương trình vô nghiệm.

• Trường hợp 2: p = 0. Phương trình chỉ có một trường hợp duy nhất là f(x) = 0. Người học giải phương trình này để tìm x.

• Trường hợp 3: p > 0. Phương trình sẽ có hai nghiệm, người học cần tách thành hai trường hợp để giải:

  • f(x) = p

  • f(x) = -p

Như vậy, với phương trình:

a|f(x)|+k =c

Ta sẽ cô lập trị tuyệt đối và giải hai phương trình

f(x)=(c-k)/a 

Và

f(x)=-(c-k)/a

Bây giờ, người học có thể giải các phương trình như một phương trình thông thường, và tìm ra được các nghiệm x.

Ví dụ: Giải phương trình 2|x - 5| + 3 = 11 

Trước tiên, người học cần cô lập phần chứa trị tuyệt đối: 2|x - 5| = 11 - 3 -> 2|x - 5| = 8 -> |x - 5| = 4

Sau đó, người học sẽ xét 2 trường hợp: 

Trường hợp 1: x - 5 = 4 -> x = 9 

Trường hợp 2: x - 5 = -4 -> x = 1

Sau khi tìm được nghiệm, người học có thể thử lại nghiệm bằng cách thế lại nghiệm vào phương trình ban đầu. 

Trong trường hợp này: 

Thay x = 9 và x = 1 vào phương trình: 

2|x - 5| + 3 = 11 2|9 - 5| + 3 = 2|4| + 3 = 8 + 3 = 11 -> Đúng 

2|1 - 5| + 3 = 2|-4| + 3 = 8 + 3 = 11 -> Đúng 

Như vậy, x = 9 và x = 1 là nghiệm của phương trình.

Tham khảo thêm tại: Sử dụng DESMOS để tìm nghiệm bất phương trình bậc nhất trong bài toán thực tế

Giải phương trình trị tuyệt đối cơ bản trong câu hỏi Digital SAT

Trong bài thi Digital SAT, các câu hỏi về giải phương trình trị tuyệt đối cơ bản là rất đa dạng. Thí sinh có thể được hỏi về việc tìm nghiệm dương/âm của phương trình, tìm tổng hoặc tích các nghiệm, hoặc xác định số nghiệm thỏa mãn một điều kiện cho trước.

Giới thiệu máy tính khoa học DESMOS

DESMOS là một phần mềm máy tính khoa học được thiết kế bởi DESMOS Studio. Đây là phần mềm chính thức được tích hợp trong phần mềm Bluebook của bài thi Digital SAT nhằm hỗ trợ thí sinh giải quyết đa dạng các câu hỏi Toán học ở nhiều chuyên đề khác nhau.

Fig. 1. Official logo of Desmos Studio PBC. (Source: [1])

Các tính năng cơ bản của DESMOS

Với phần mềm DESMOS, người học và thí sinh sẽ cần làm quen với một số tính năng cơ bản, bao gồm:

• Các phép cộng, trừ, nhân, chia cơ bản

• Vẽ đồ thị phương trình từ bậc thấp đến cao

• Sử dụng bảng biểu

• Tính năng thanh trượt

• Các phép tính thống kê cơ bản

• Các phép tính lượng giác cơ bản

• V.v.

Trên màn hình giao diện DESMOS, người học có thể nhận diện được các vùng cơ bản. Thứ nhất, vùng bên tay trái là nơi người học nhập phương trình (VD: 2x + y = 0). Thứ hai, vùng mặt phẳng toạ độ Oxy là nơi đồ thị của phương trình hiển thị. Cuối cùng, nút cài đặt (có biểu tượng hình cờ lê) bên góc phải là nơi người học điều chỉnh một số cài đặt để phù hợp nhu cầu (VD: chuyển đổi từ Degree sang Radian.)

Fig. 2. Interface of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [2])

Lưu ý: Phần mềm DESMOS hiện tại mà người học có thể tìm trên mạng có thể được chia làm hai phiên bản: Nguyên bản (đen) và Khảo thí (testing - xanh lá). Phần mềm DESMOS nguyên bản sẽ có nhiều tính năng hơn bản khảo thí, bao gồm tính năng chia sẻ biểu đồ, thư mục, hoặc hình ảnh. Tuy vậy, các tính năng quan trọng dùng trong bài thi SAT vẫn có đầy đủ ở cả hai phiên bản.

Xem thêm: Học SAT mất bao lâu? Tổng quan về quá trình học và thi SAT

Hướng dẫn sử dụng DESMOS để giải phương trình trị tuyệt đối cơ bản 

Để sử dụng DESMOS giải quyết phương trình trị tuyệt đối cơ bản, người học cần vận dụng tính năng vẽ đồ thị phương trình và xác định giao điểm. Dưới đây là hướng dẫn các bước:

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp.
Người học đọc kĩ đề bài để xác định phương trình trị tuyệt đối cơ bản được cung cấp, cùng với yêu cầu cụ thể của bài toán (ví dụ: tìm nghiệm dương, nghiệm âm, tổng nghiệm hay số nghiệm).

Bước 2: Nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài vào ô nhập dữ liệu của phần DESMOS graphing calculator.
Người học cần tách phương trình thành hai vế độc lập để biểu diễn dưới dạng đường cong/đường thẳng trên đồ thị:

• Vế trái: Nhập toàn bộ biểu thức chứa biến x và dấu trị tuyệt đối. Nếu đề bài có yêu cầu giới hạn nghiệm (chẳng hạn chỉ tìm nghiệm dương x > 0), người học có thể thêm điều kiện x > 0 ngay sau biểu thức ở dòng này để DESMOS chỉ hiển thị phần đồ thị tương ứng.

• Vế phải: Nhập giá trị hằng số của vế đối diện (ví dụ: y = c).

Lưu ý: Để gõ dấu giá trị tuyệt đối, người học có thể sử dụng nút |a| trên bàn phím ảo hiển thị ở góc dưới bên trái màn hình DESMOS hoặc dùng phím Shift + \ trên bàn phím. DESMOS sẽ tự động vẽ đồ thị vế trái và đường thẳng nằm ngang của vế phải.

Bước 3: Tìm giao điểm và đọc nghiệm.
Sau khi đồ thị hiển thị, người học nhấp chuột vào giao điểm (hoặc các giao điểm) giữa đồ thị vế trái và đường thẳng vế phải. DESMOS sẽ hiển thị tọa độ giao điểm dưới dạng (x, y). Hoành độ x của các giao điểm chính là nghiệm x cần tìm của phương trình. Dựa vào yêu cầu đề bài, người học chọn đúng giá trị nghiệm (hoặc thực hiện các phép tính tổng/tích nghiệm nếu được yêu cầu).

Bước 4: Thử lại nghiệm vào phương trình (tùy chọn).
Người học có thể thế trực tiếp các giá trị x tìm được vào phương trình ban đầu để kiểm tra tính chính xác. Phương pháp đồ thị trên DESMOS giúp người học hoàn toàn loại bỏ nguy cơ mắc bẫy nghiệm ngoại lai vì đồ thị chỉ cắt nhau tại đúng các điểm là nghiệm thực sự của phương trình.

Ví dụ minh họa:

7|2x - 3| - 2|2x - 3| = 35

In the equation above, what is the value of the positive solution for x?

Hướng dẫn giải bằng DESMOS:

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp.

• Phương trình cho trước: 7|2x - 3| - 2|2x - 3| = 35

• Yêu cầu: Tìm giá trị của nghiệm dương (x > 0) cho phương trình.

Bước 2: Nhập dữ kiện vào ô nhập dữ liệu của DESMOS.

• Ở dòng thứ nhất, nhập biểu thức vế trái kèm điều kiện x > 0: y = 7|2x - 3| - 2|2x - 3| 

• Ở dòng thứ hai, nhập biểu thức vế phải: y = 35

DESMOS sẽ vẽ phần đồ thị vế trái thỏa mãn x > 0 và đường thẳng nằm ngang y = 35.

Bước 3: Tìm giao điểm và đọc nghiệm.
Nhấp chuột vào giao điểm của hai đồ thị trên màn hình, DESMOS hiển thị tọa độ giao điểm là (5, 35).
Hoành độ của giao điểm là x = 5. Vì đề bài yêu cầu tìm nghiệm dương, giá trị cần tìm chính là 5.

Bước 4: Thử lại nghiệm vào phương trình ban đầu.
Thay x = 5 vào phương trình ban đầu: 7|2(5) - 3| - 2|2(5) - 3| = 7|10 - 3| - 2|10 - 3| -> 7(7) - 2(7) -> 49 - 14 = 35 -> Đúng.

-> Kết quả chính xác là 5.

Fig. 3. Equation ∣7|2x - 3| - 2|2x - 3| = 35 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [3])

Lưu ý: DESMOS luôn hiển thị giá trị dưới dạng số thập phân. Do đó, DESMOS hữu dụng khi giá trị cần tìm là giá trị nguyên (1,2,3,...), giá trị thập phân hữu hạn (1.5, 2.5,...), giá trị thập phân vô hạn tuần hoàn (0.6666), hoặc giá trị thập phân không tuần hoàn thông dụng (3.141592). Nếu người học chưa quen nhận diện các giá trị này (VD: 10/3 có thể được biểu diễn là 3.33333), điều nên làm là luôn kiểm tra lại đáp án trước khi chọn.

Đọc thêm tại: Desmos - Các tính năng, cách cài đặt và sử dụng trong SAT

Bài tập vận dụng

Sau đây, bài viết sẽ giới thiệu đến người học một số câu hỏi Digital SAT có sử dụng DESMOS để giải phương trình trị tuyệt đối cơ bản. Người học hãy sử dụng tính năng DESMOS đã giới thiệu để giải các câu hỏi sau.

Question 1: 

8|3x - 2| - 3|3x - 2| = 40 In the equation above, what is the value of the positive solution for x? 

A. 2.67

B. 3.33 

C. 4.44 

D. 10.34 

Answer: B

Question 2: 

What is the sum of all solutions to the equation |2x + 5| = 13? 

A. -5 

B. 0 

C. 5

D. 13 

Answer: A

Question 3: 

A quality control engineer uses the formula |d - 25| = 0.05 to find the minimum and maximum acceptable diameter d, in millimeters, of a metal rod. What is the maximum acceptable diameter of the rod? 

A. 24.95 

B. 25.00 

C. 25.05 

D. 25.50 

Answer: C

Question 4: 

5|x + 4| + 2 = 22 

In the equation above, what is the negative solution for x? 

Answer: -8

Question 5: 

What is the product of the solutions to the equation 3|4x - 1| - 7 = 14? 

A. -3 

B. -1.25 

C. 1.25 

D. 3 

Answer: A

Question 6: 

How many real solutions does the equation 4|x - 7| + 12 = 4 satisfy? 

A. 0 

B. 1 

C. 2 

D. Infinitely many 

Answer: A

Question 7: 

A company produces chocolate bars that are supposed to weigh 100 grams each. Due to minor manufacturing variations, the acceptable weight w, in grams, satisfies the equation 3|2w - 200| + 4 = 16. What is the positive difference between the maximum and minimum acceptable weights of a chocolate bar? 

A. 2 

B. 4 

C. 8 

D. 12 

Answer: B

Question 8: 

Let x = a and x = b be the solutions to the equation 2|3x - 1| - 5 = 11, where a > b. What is the value of a - 3b? 

A. 7 

B. 10 

C. 11 

D. 14 

Answer: B

Question 9: 

If 2|x - 3| + 4 = 18 and x < 0, what is the value of |x + 2|? 

A. 2 

B. 4 

C. 6 

D. 8 

Answer: A

Question 10: 

For the equation 2|x - 5| + k = 14, where k is a constant, the equation has exactly one real solution. What is the value of k? 

A. 0 

B. 7 

C. 14 

D. 28 

Answer: C

Như vậy, bài viết đã giới thiệu về phần mềm DESMOS và hướng dẫn chi tiết cách sử dụng phần mềm này trong bài thi Digital SAT để giải phương trình trị tuyệt đối cơ bản. Việc vận dụng linh hoạt các tính năng vẽ đồ thị không chỉ giúp thí sinh trực quan hóa các phép biến đổi hình học mà còn là công cụ đắc lực để đối chiếu và xác định chính xác phương trình hàm số cần tìm.

Hy vọng người học có thể vận dụng các nội dung và quy trình thao tác trong bài viết để cải thiện hiệu suất ôn tập, đơn giản hóa các bước tính toán phức tạp và nâng cao hiệu quả làm bài của bản thân trong các kỳ thi sắp tới.

Tham khảo chương trình luyện thi SAT cam kết đầu ra tại ZIM Academy để được hướng dẫn chuyên sâu và bứt phá điểm số.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.