Sử dụng DESMOS để tìm mối quan hệ giữa các biến trong thống kê hai biến

Trong các bài thi chuẩn hóa quốc tế về năng lực toán, chẳng hạn như Digital SAT, thí sinh có thể sẽ được cung cấp phần mềm DESMOS, phần mềm máy tính khoa học giúp giải quyết các vấn đề liên quan đến đồ thị, thống kê và các phép tính cơ bản. Nắm được các tính năng của DESMOS cũng như thao tác sử dụng sẽ giúp thí sinh tăng tốc độ làm bài, đơn giản hóa các bước tính toán, từ đó nâng cao hiệu quả bài thi. Trong phạm vi bài viết này, tác giả sẽ hướng dẫn người học cách sử dụng DESMOS để kiểm tra mối quan hệ giữa các biến trong thống kê hai biến, một dạng bài phổ biến trong bài thi Digital SAT.

Lý thuyết chung về biểu đồ phân tán 

Biểu đồ phân tán là dạng biểu đồ hiển thị mối liên hệ giữa hai biến số dưới dạng một tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Mỗi trục của mặt phẳng thường đại diện cho một biến số trong một tình huống thực tế (tuổi thọ của lốp xe và quãng đường xe đã đi, số giờ ôn tập và điểm thi,... )

Fig.1. Scatterplot     (Source [1])

Lý thuyết về đường hồi quy

Trong khi mỗi điểm trên biểu đồ phân tán thể hiện một quan sát cụ thể, đường hồi quy mô tả xu hướng tổng quát dựa trên tất cả các điểm đó trên một trục tọa độ. Đường hồi quy không nhất thiết đi qua tất cả các điểm mà nhằm thể hiện một cách khái quát xu hướng tổng thể.

Từ các điểm trên biểu đồ phân tán, đường hồi quy biểu diễn giá trị dự đoán của y dựa trên mối quan hệ với x. Với mỗi điểm dữ liệu, giá trị y trên đường hồi quy được xem là giá trị dự đoán, trong khi giá trị y thực tế của điểm có thể khác nhau. Trong bài thi Digital SAT, các câu hỏi thường tập trung vào hai loại đường hồi quy là đường hồi quy tuyến tính và đường hồi quy bậc hai

Đường hồi quy tuyến tính thường được viết dưới dạng:

\[y=ax+b\]Trong đó, a là hệ số góc (hay còn gọi là độ dốc), b là tung độ gốc, x và y là hai biến số.

Đường hồi quy bậc hai thường đường viết dưới dạng:

\[y=ax^2+bx+c\]Trong đó, a,b,c là hệ số cho trước với \[a\ne0\], x, y là biến số

Lý thuyết về độ dốc của đường hồi quy tuyến tính

Độ dốc của đường hồi quy tuyến tính thể hiện tốc độ và chiều hướng thay đổi của y khi x tăng một đơn vị. Công thức tính độ dốc của đường hồi quy tuyến tính:

\[y=\frac{y2-y1}{x2-x1}\]Trong đó:

a là độ dốc

(x1,y1), (x2, y2) là hai điểm bất kì trong đường thẳng 

Khi độ dốc có giá trị dương (a > 0), y có xu hướng tăng khi x tăng. Khi độ dốc có giá trị âm (a < 0), y có xu hướng giảm khi x tăng. Khi dộ dốc bằng 0 (a = 0), y giữ nguyên khi x tăng

Lý thuyết về quan hệ tuyến tính và phi tuyến tính giữa hai biến

Mối quan hệ tuyến tính giữa hai biến số là bất kì mối quan hệ nào giữa hai biến số tạo thành một đường thẳng khi được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ Oxy. 

Mối quan hệ tuyến tính có thể là mối quan hệ tỷ lệ thuận hoặc tỉ lệ nghịch. Cụ thể, khi biến này tăng một lượng cố định, biến kia cũng tăng theo một tỷ lệ nhất định. Và ngược lại, khi biến này giảm một lượng cố định, biến kia cũng sẽ giảm theo một tỷ lệ nhất định. Mối quan hệ tuyến tính thường được biểu diễn bằng hàm tuyến tính có dạng:

y = ax + b

Trong đó, a là hệ số góc (hay còn gọi là độ dốc), b là tung độ gốc, x và y là hai biến số.

Ví dụ:  Hàm tuyến tính y = 3x + 1 có các giá trị x và y như sau. Trong trường hợp này, khi x tăng 1 đơn vị thì  y tăng 3 đơn vị 

Mối quan hệ phi tuyến tính là mối quan hệ giữa hai biến số mà khi được biểu diễn trên đồ thị Oxy thì  không phải là một đường thẳng. Khi biến này tăng, sự thay đổi của biến kia không cố định mà có thể tăng nhanh hơn, chậm hơn, hoặc đảo chiều. Các hàm phi tuyến tính phổ biến là hàm bậc hai, hàm mũ, hàm trị tuyệt đối và hàm căn.

Ví dụ: Hàm mũ \[y=2^{x}\]có các giá trị x và y như sau. Trong trường hợp này, khi x tăng từ 1 lên 2, y tăng 2 đơn vị, nhưng khi x tăng từ 2 lên 3, y tăng 4 đơn vị.

Xem thêm: Bài tập dạng bài Phương trình tuyến tính trong SAT Math

Cách kiểm tra mối quan hệ giữa các biến trong thống kê hai biến

Để kiểm tra mối quan hệ giữa các biến trong thống kê hai biến, người học cần tiếp cận theo một quy trình rõ ràng, dựa trên việc phân tích tốc độ thay đổi giữa các cặp giá trị x và y. Trong các bài toán dạng này, mối quan hệ tuyến tính xảy ra khi tốc độ thay đổi giữa các cặp giá trị là không đổi. Ngược lại, nếu tốc độ thay đổi thay đổi theo từng khoảng, mối quan hệ đó là phi tuyến tính.

Bước 1: Người học cần xác định các cặp giá trị (x,y) trong bảng dữ liệu.

Bước 2: Chọn hai cặp giá trị liên tiếp và tính tốc độ thay đổi, hay hệ số góc, bằng công thức:

\[y=\frac{y2-y1}{x2-x1}\]Bước 3: Tiếp tục tính tốc độ thay đổi cho một cặp giá trị liên tiếp còn lại trong bảng.

Bước 4: Nếu hai giá trị hệ số góc đều bằng nhau, mối quan hệ giữa x và y là tuyến tính. Nếu giá trị hai hệ số góc là khác nhau, mối quan hệ là phi tuyến tính.

Ví dụ: 

In which of the following tables is the relationship between the values of x and their corresponding y-values linear?

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải bài:

Bước 1: Xác định các cặp giá trị (x,y) trong bảng dữ liệu.

A.

→ Các cặp giá trị: (1,4), (2,8), (3,12), (4,16)

B.

→ Các cặp giá trị: (1,3), (2,8), (3,10), (4,12)

C.

→ Các cặp giá trị: (1,4), (2,5), (3,8), (4,10)

D.

→ Các cặp giá trị: (1,2), (2,4), (3,10), (4,16)

Bước 2 và 3 và 4: Chọn hai cặp giá trị liên tiếp và tính tốc độ thay đổi, hay hệ số góc:

A.

\[a1=\frac{8-4}{2-1}=4\]\[a2=\frac{16-12}{4-3}=4\]a1=a2 => Mối quan hệ tuyến tính -> CHỌN ĐÁP ÁN A

B.

\[a1=\frac{8-4}{2-1}=4\]\[a1=\frac{8-4}{2-1}=4\]\[a1\ne a2\] → Mối quan hệ phi tuyến tính

C.

\[a1=\frac{5-4}{2-1}=1\]\[a2=\frac{10-8}{4-3}=2\]\[a1\ne a2\]→ Mối quan hệ phi tuyến tính

D.

\[a1=\frac{4-2}{2-1}=2\]\[a2=\frac{16-10}{4-3}=6\]\[a1\ne a2\]→ Mối quan hệ phi tuyến tính

Kiểm tra mối quan hệ giữa các biến trong thống kê hai biến trong câu hỏi Digital SAT

Trong bài thi Digital SAT, các câu hỏi về kiểm tra mối quan hệ giữa các biến trong thống kê hai biến. là rất đa dạng. Thí sinh có thể được hỏi về kiểm tra mối quan hệ giữa các biến hay tìm đường hồi quy tuyến tính cho biểu đồ phân tán.

Giới thiệu máy tính khoa học DESMOS

DESMOS là một phần mềm máy tính khoa học được thiết kế bởi DESMOS Studio. Đây là phần mềm chính thức được tích hợp trong phần mềm Bluebook của bài thi Digital SAT nhằm hỗ trợ thí sinh giải quyết đa dạng các câu hỏi Toán học ở nhiều chuyên đề khác nhau.

Fig. 2. Official logo of Desmos Studio PBC. (Source: [2])

Các tính năng cơ bản của DESMOS

Với phần mềm DESMOS, người học và thí sinh sẽ cần làm quen với một số tính năng cơ bản, bao gồm:

• Các phép cộng, trừ, nhân, chia cơ bản

• Vẽ đồ thị phương trình từ bậc thấp đến cao

• Sử dụng bảng biểu

• Tính năng thanh trượt

• Các phép tính thống kê cơ bản

• Các phép tính lượng giác cơ bản

• V.v.

Trên màn hình giao diện DESMOS, người học có thể nhận diện được các vùng cơ bản. Thứ nhất, vùng bên tay trái là nơi người học nhập phương trình (VD: 2x + y = 0). Thứ hai, vùng mặt phẳng toạ độ Oxy là nơi đồ thị của phương trình hiển thị. Cuối cùng, nút cài đặt (có biểu tượng hình cờ lê) bên góc phải là nơi người học điều chỉnh một số cài đặt để phù hợp nhu cầu (VD: chuyển đổi từ Degree sang Radian.)

Fig. 3. Interface of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [3])

Lưu ý: Phần mềm DESMOS hiện tại mà người học có thể tìm trên mạng có thể được chia làm hai phiên bản: Nguyên bản (đen) và Khảo thí (testing - xanh lá). Phần mềm DESMOS nguyên bản sẽ có nhiều tính năng hơn bản khảo thí, bao gồm tính năng chia sẻ biểu đồ, thư mục, hoặc hình ảnh. Tuy vậy, các tính năng quan trọng dùng trong bài thi SAT vẫn có đầy đủ ở cả hai phiên bản.

Hướng dẫn sử dụng DESMOS để kiểm tra mối quan hệ giữa các biến trong thống kê hai biến

Để kiểm tra mối quan hệ giữa các biến trong thống kê hai biến bằng DESMOS, người học cần vận dụng tính năng vẽ điểm và đường hồi quy của DESMOS graphing calculator, qua đó quan sát và đối chiếu hình dạng của dữ liệu.

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp.

Người học cần xác định các cặp giá trị (x,y) trong bảng dữ liệu. Mỗi cặp giá trị biểu diễn một điểm trên mặt phẳng tọa độ. Người học cần chú ý xem đề yêu cầu tìm mối quan hệ tuyến tính hay phi tuyến tính giữa các biến.

Bước 2: Nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài vào ô nhập dữ liệu dạng bảng của DESMOS graphing calculator.

Người học nhập các cặp tọa độ vào DESMOS theo dạng bảng dữ liệu. Nếu cần sử dụng ký hiệu đặc biệt, người học có thể bấm vào biểu tượng bàn phím ở góc dưới bên trái màn hình để hiện bàn phím toán học hỗ trợ nhập biểu thức. Sau khi nhập xong, DESMOS sẽ hiển thị tất cả các điểm trên mặt phẳng tọa độ.

Bước 3: Quan sát hình dạng của các điểm trên đồ thị DESMOS.

Người học cần kiểm tra xem tất cả các điểm có nằm trên cùng một đường thẳng hay không. Nếu các điểm tạo thành một đường thẳng duy nhất, dữ liệu biểu diễn mối quan hệ tuyến tính. Nếu các điểm không nằm trên cùng một đường thẳng mà tạo thành đường cong hoặc phân bố không đều, dữ liệu biểu diễn mối quan hệ phi tuyến tính.

Bước 4: Sử dụng tính năng vẽ đường hồi quy tuyến tính trên DESMOS để kiểm tra.

Người học có thể chọn loại đường hồi quy tuyến tính trong phần drop-down trên DESMOS để vẽ đường thẳng phù hợp nhất với các điểm dữ liệu. Nếu đường thẳng này đi qua toàn bộ các điểm, dữ liệu biểu diễn mối quan hệ tuyến tính. Ngược lại, nếu đường hồi quy chỉ đi gần các điểm mà không đi qua tất cả các điểm, dữ liệu biểu diễn mối quan hệ phi tuyến tính.

Bước 5: Đối chiếu kết quả và lựa chọn đáp án đúng.

Ví dụ minh họa:

In which of the following tables is the relationship between the values of x and their corresponding y-values linear?

A.

B.

C.

D.

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp.

Trong bài này, ta thấy đề yêu cầu tìm mối quan hệ tuyến tính giữa các biến

Bước 2 và 3: Nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài vào ô nhập dữ liệu dạng bảng của DESMOS graphing calculator   và quan sát hình dạng của các điểm

A. Các điểm không phân bố trên một đường thẳng

Fig. 4. Table 1. (Source: [4])

B. Các điểm phân bố trên một đường thẳng

Fig. 5. Table 2. (Source: [5])

C. Các điểm không phân bố trên một đường thẳng

Fig. 6. Table 3. (Source: [6])

D. Các điểm không phân bố trên một đường thẳng

Fig. 7. Table 4. (Source: [7])

Bước 4 và 5: Sử dụng tính năng vẽ đường hồi quy tuyến tính trên DESMOS để kiểm tra và chọn đáp án đúng

Fig.8 . Table 5. (Source: [8])

Người học có thể thấy đường hồi quy đi qua tất cả các điểm trong bảng. Vì vậy, B là đáp án chính xác

Lưu ý: DESMOS luôn hiển thị giá trị dưới dạng số thập phân. Do đó, DESMOS hữu dụng khi giá trị cần tìm là giá trị nguyên (1,2,3,...), giá trị thập phân hữu hạn (1.5, 2.5,...), giá trị thập phân vô hạn tuần hoàn (0.6666), hoặc giá trị thập phân không tuần hoàn thông dụng (3.141592). Nếu người học chưa quen nhận diện các giá trị này (VD: 10/3 có thể được biểu diễn là 3.33333), điều nên làm là luôn kiểm tra lại đáp án trước khi chọn.

Xem thêm: Cách làm dạng bài Probability and Relative frequency và bài tập

Bài tập vận dụng DESMOS

Sau đây, bài viết sẽ giới thiệu đến người học một số câu hỏi Digital SAT có sử dụng DESMOS để kiểm tra mối quan hệ giữa các biến trong thống kê hai biến. Người học hãy sử dụng tính năng DESMOS đã giới thiệu để giải các câu hỏi sau.

Question 1: In which of the following tables is the relationship between the values of x and their corresponding y-values linear?

A.

B.

C.

D.

Answer: C

Question 2: In which of the following tables is the relationship between the values of x and their corresponding y-values linear?

A.

B.

C.

D.

Answer: A

Question 3: In which of the following tables is the relationship between the values of x and their corresponding y-values nonlinear?

A.

B.

C.

D.

Answer: A

Question 4: In which of the following tables is the relationship between the values of x and their corresponding y-values nonlinear?

A.

B.

C.

D.

Answer:  B

Question 5:  In which of the following tables is the relationship between the values of x and their corresponding y-values nonlinear?

A.

B.

C.

D.

Answer: B

Question 6: The variable t is a positive constant. In which of the following tables is the relationship between the values of x and their corresponding y-values linear? 

A.

B.

C.

D.

Answer: C

Question 7:  In which of the following tables is the relationship between the values of x and their corresponding y-values nonlinear? 

A.

B.

C.

D.

Answer: A

Question 8:  In which of the following tables is the relationship between the values of x and their corresponding y-values linear? 

A.

B.

C.

D.

Answer: A

Question 9:  In which of the following tables is the relationship between the values of x and their corresponding y-values nonlinear? 

A.

B.

C.

D.

Answer: C

Question 10:  The variable t is a positive constant. In which of the following tables is the relationship between the values of x and their corresponding y-values linear? 

A.

B.

C.

D.

Answer: B

Như vậy, bài viết đã giới thiệu về phần mềm DESMOS và hướng dẫn chi tiết cách sử dụng phần mềm này trong bài thi Digital SAT để kiểm tra mối quan hệ giữa các biến trong thống kê hai biến. Việc vận dụng linh hoạt các tính năng vẽ đồ thị không chỉ giúp thí sinh trực quan hóa các phép biến đổi hình học mà còn là công cụ đắc lực để đối chiếu và xác định chính xác phương trình hàm số cần tìm.

Hy vọng người học có thể vận dụng các nội dung và quy trình thao tác trong bài viết để cải thiện hiệu suất ôn tập, đơn giản hóa các bước tính toán phức tạp và nâng cao hiệu quả làm bài của bản thân trong các kỳ thi sắp tới.

Tham khảo chương trình luyện thi SAT cam kết đầu ra tại ZIM Academy để được hướng dẫn chuyên sâu và bứt phá điểm số.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.