Sử dụng DESMOS để tìm đồ thị dựa trên hàm số tuyến tính cho sẵn

Trong các bài thi chuẩn hóa quốc tế về năng lực toán, chẳng hạn như Digital SAT, thí sinh có thể sẽ được cung cấp phần mềm DESMOS, phần mềm máy tính khoa học giúp giải quyết các vấn đề liên quan đến đồ thị, thống kê và các phép tính cơ bản. Nắm được các tính năng của DESMOS cũng như thao tác sử dụng sẽ giúp thí sinh tăng tốc độ làm bài, đơn giản hóa các bước tính toán, từ đó nâng cao hiệu quả bài thi. Trong phạm vi bài viết này, tác giả sẽ hướng dẫn người học tìm đồ thị dựa trên hàm số tuyến tính cho sẵn.

Lý thuyết về hàm số tuyến tính

Hàm số tuyến tính còn có tên gọi là hàm số bậc nhất. Phương trình hàm số tuyến tính có dạng tổng quát như sau:

Ax + By = C

Trong đó: A, B và C là các hằng số thực, với A và B không đồng thời bằng 0.

Ngoài dạng tổng quát, hàm số tuyến tính có thể xuất hiện dưới dạng slope-intercept (hệ số góc-tung độ gốc):

y = f(x) = ax + b

Trong đó:

• y là biến số phụ thuộc.

• x là biến số độc lập.

• a là hệ số góc 

• b là tung độ gốc

Cách vẽ đồ thị dựa trên hàm số tuyến tính cho sẵn

Để vẽ đồ thị từ hàm số tuyến tính, người học cần tiếp cận theo một quy trình rõ ràng

Bước 1: Nếu đề cho hàm số tuyến tính đang ở dạng ax + by = c, người học cần đưa hàm số tuyến tính về dạng slope-intercept (hệ số góc-tung độ gốc) như sau: 

y = ax + b

Trong đó a là hệ số góc, b là tung độ gốc, x, y là hai biến số.

Bước 2: Người học cần xét giá trị của tung độ gốc b.

Nếu b = 0, phương trình có dạng y = ax, khi đó phương trình đi qua gốc tọa độ O (0,0) và điểm (1,a).

Nếu b ≠ 0, phương trình có dạng y = ax + b. Đường thẳng của phương trình này sẽ đi qua hai điểm (0,b) và ( -b/a, 0).

Bước 3: Từ trường hợp giá trị của b, người học xác định các điểm đặc trưng trên trục tọa độ.

Bước 4: Nối hai điểm đã xác định để vẽ đường thẳng biểu diễn phương trình. Đường thẳng thu được chính là đồ thị của hàm số tuyến tính. 

Bước 5: Đối chiếu đồ thị vừa vẽ được với các đáp án để chọn đáp án chính xác.

Ví dụ:

Which of the following is the graph of the equation y = 2x + 3 in the xy plane?

A.	B.
C.	D.

  Fig.1. Line y=2x+3 on the Desmos Graphing Calculator     (Source [1])

Hướng dẫn giải bài:

Bước 1: Đề cho hàm số tuyến tính y = 2x + 3

Bước 2: Người học cần xét giá trị của tung độ gốc b.

Ở hàm số y = 2x + 3, giá trị tung độ gốc b là 3, hệ số góc a = 2

Vì b ≠ 0, đường thẳng của phương trình này sẽ đi qua hai điểm (0,b) và ( -b/a, 0), chính là hai điểm (0,3) và (-3/2, 0)

Bước 3: Từ trường hợp giá trị của b, người học xác định các điểm đặc trưng trên trục tọa độ.

  Fig.2. Point (0,3) and point (-3/2,0) on the Desmos Graphing Calculator     (Source [2])

Bước 4: Nối hai điểm đã xác định để vẽ đường thẳng biểu diễn phương trình. Đường thẳng thu được chính là đồ thị của hàm số tuyến tính. 

  Fig.1. Line y=2x+3 on the Desmos Graphing Calculator     (Source [1])

Bước 5: Đối chiếu đồ thị vừa vẽ được với các đáp án để chọn đáp án chính xác.

Từ hình vừa được vẽ, ta đối chiếu và xác định đáp án A là đáp án chính xác.

Tìm đồ thị dựa trên hàm số tuyến tính cho sẵn trong câu hỏi Digital SAT

Trong bài thi Digital SAT, các câu hỏi về tìm đồ thị dựa trên hàm số tuyến tính cho sẵn là rất đa dạng. Thí sinh có thể được hỏi về tìm đồ thị dựa trên hàm số tuyến tính, tìm nghiệm của hàm số tuyến tính, và tìm điểm giao trục tung và trục hoành của đồ thị hàm số tuyến tính

Sample question

Which of the following is the graph of the equation y = 2x + 3 in the xy plane? A. B. C. D.     Fig.1. Line y=2x+3 on the Desmos Graphing Calculator     (Source [1])

Giới thiệu máy tính khoa học DESMOS

DESMOS là một phần mềm máy tính khoa học được thiết kế bởi DESMOS Studio. Đây là phần mềm chính thức được tích hợp trong phần mềm Bluebook của bài thi Digital SAT nhằm hỗ trợ thí sinh giải quyết đa dạng câu hỏi Toán học ở nhiều chuyên đề khác nhau.

Fig. 3. Official logo of Desmos Studio PBC. (Source: [3])

Các tính năng cơ bản của DESMOS

Với phần mềm DESMOS, người học và thí sinh sẽ cần làm quen với một số tính năng cơ bản, bao gồm:

• Các phép cộng, trừ, nhân, chia cơ bản

• Vẽ đồ thị phương trình từ bậc thấp đến cao

• Sử dụng bảng biểu

• Tính năng thanh trượt

• Các phép tính thống kê cơ bản

• Các phép tính lượng giác cơ bản

• V.v.

Trên màn hình giao diện DESMOS, người học có thể nhận diện được các vùng cơ bản. Thứ nhất, vùng bên tay trái là nơi người học nhập phương trình (VD: 2x + y = 0). Thứ hai, vùng mặt phẳng toạ độ Oxy là nơi đồ thị của phương trình hiển thị. Cuối cùng, nút cài đặt (có biểu tượng hình cờ lê) bên góc phải là nơi người học điều chỉnh một số cài đặt để phù hợp nhu cầu (VD: chuyển đổi từ Degree sang Radian.)

Fig. 4. Interface of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [4])

Lưu ý: Phần mềm DESMOS hiện tại mà người học có thể tìm trên mạng có thể được chia làm hai phiên bản: Nguyên bản (đen) và Khảo thí (testing - xanh lá). Phần mềm DESMOS nguyên bản sẽ có nhiều tính năng hơn bản khảo thí, bao gồm tính năng chia sẻ biểu đồ, thư mục, hoặc hình ảnh. Tuy vậy, các tính năng quan trọng dùng trong bài thi SAT vẫn có đầy đủ ở cả hai phiên bản.

Hướng dẫn sử dụng DESMOS để tìm đồ thị dựa trên hàm số tuyến tính cho sẵn

Để xác định đồ thị đúng tương ứng với một hàm số tuyến tính bằng DESMOS, người học cần vận dụng tính năng vẽ đồ thị của DESMOS để thực hiện phương pháp đối chiếu.

Bước 1: Đọc kĩ đề bài để xác định hàm số cần biểu diễn.

Người học cần đọc kĩ đề bài để xác định hàm số tuyến tính đã cho và quan sát các đáp án để nhận biết hình dạng đồ thị được yêu cầu lựa chọn.

Bước 2: Nhập hàm số vào ô nhập dữ liệu của DESMOS.

Người học nhập hàm số đã cho vào phần DESMOS Graphing Calculator. Nếu cần sử dụng các ký hiệu toán học đặc biệt, người học có thể mở bàn phím toán học bằng cách nhấn vào biểu tượng bàn phím ở góc dưới bên trái màn hình. Sau khi nhập xong, DESMOS sẽ tự động vẽ đồ thị của hàm số trên hệ trục tọa độ.

Bước 3: Đối chiếu đồ thị trên DESMOS với các đáp án và lựa chọn đáp án đúng.

Người học cần so sánh đồ thị vừa được vẽ trên DESMOS với các đồ thị trong các đáp án được cho. Việc đối chiếu cần tập trung vào các đặc điểm quan trọng như độ dốc, vị trí cắt trục tung và vị trí cắt trục hoành (nếu có). Khi tìm được đáp án có đồ thị trùng khớp hoàn toàn với đồ thị hiển thị trên DESMOS, người học có thể xác định đó là đáp án đúng và tiến hành lựa chọn.

Ví dụ:

Which of the following is the graph of the equation y = 2x + 3 in the xy plane?

A.	B.
C.	D.

  Fig.1. Line y=2x+3 on the Desmos Graphing Calculator     (Source [1])

Hướng dẫn giải bài:

Bước 1: Đọc kĩ đề bài để xác định hàm số cần biểu diễn.

Người học xác định hàm số cần biểu diễn là y = 2x + 3

Bước 2: Nhập hàm số vào ô nhập dữ liệu của DESMOS

  Fig.1. Line y=2x+3 on the Desmos Graphing Calculator     (Source [1])

Bước 3: Đối chiếu đồ thị trên DESMOS với các đáp án và lựa chọn đáp án đúng.

Người học đối chiếu đồ thị trên DESMOS với các đáp án và thấy được đáp án A trùng khớp. Do đó, đáp án A là đáp án chính xác

Lưu ý: DESMOS luôn hiển thị giá trị dưới dạng số thập phân. Do đó, DESMOS hữu dụng khi giá trị cần tìm là giá trị nguyên (1,2,3,...), giá trị thập phân hữu hạn (1.5, 2.5,...), giá trị thập phân vô hạn tuần hoàn (0.6666), hoặc giá trị thập phân không tuần hoàn thông dụng (3.141592). Nếu người học chưa quen nhận diện các giá trị này (VD: 10/3 có thể được biểu diễn là 3.33333), điều nên làm là luôn kiểm tra lại đáp án trước khi chọn.

Xem thêm:

• Bài tập dạng bài Phương trình tuyến tính trong SAT Math

• Sử dụng DESMOS để tìm phương trình tuyến tính qua toạ độ hai điểm

• Linear relationship word problems - Chiến lược làm bài toán về mối quan hệ tuyến tính

Bài tập vận dụng

Sau đây bài viết sẽ giới thiệu đến người học một số câu hỏi Digital SAT có sử dụng DESMOS để tìm đồ thị dựa trên hàm số tuyến tính cho sẵn.. Người học hãy sử dụng tính năng DESMOS đã giới thiệu để giải các câu hỏi sau.

Question 1:

Which of the following is the graph of the equation y = 10x -9 in the xy plane?

A.	B.
C.	D.

  Fig.5. Line y=10x-9 on the Desmos Graphing Calculator     (Source [5])

Answer: A

Question 2

Which of the following is the graph of the equation y=4x+7 in the xy plane? 

A.	B.
C.	D.

  Fig.6.  Line y=4x+7 on the Desmos Graphing Calculator     (Source [6])

Answer: D

Question 3

Which of the following is the graph of the equation y=−3x+5 in the xy plane? 

A.	B.
C.	D.

 Fig.7. Line y=-3x+5 on the Desmos Graphing Calculator     (Source [7])

Answer: D

 Question 4

Which of the following is the graph of the equation y=2x−6  in the xy plane? 

A.	B.
C.	D.

  Fig.8.  Line y=2x-6 on the Desmos Graphing Calculator     (Source [8])

Answer: A

Question 5

Which of the following is the graph of the equation y=−5x−2 in the xy plane? 

A.	B.
C.	D.

  Fig.9. Line y=-5x-2 on the Desmos Graphing Calculator     (Source [9])

Answer: C

Question 6

Which of the following is the graph of the equation y = 7x + 1 in the xy plane? 

A.	B.
C.	D.

  Fig.10. Line y=7x+1 on the Desmos Graphing Calculator     (Source [10])

Answer: B

 Question 7

Which of the following is the graph of the equation y = 2x − 8 in the xy plane? 

A.	B.
C.	D.

  Fig.11. Line y=-2x-8 on the Desmos Graphing Calculator     (Source [11])

Answer: D

Question 8

Which of the following is the graph of the equation y=x+4 in the xy plane? 

A.	B.
C.	D.

  Fig.12. Line y=x+4 on the Desmos Graphing Calculator     (Source [12])

Answer: D

Question 9

Which of the following is the graph of the equation y = −8x + 3 in the xy plane? 

A.	B.
C.	D.

  Fig.13. Line y=-8x+3 on the Desmos Graphing Calculator     (Source [13])

Answer: C

 Question 10

Which of the following is the graph of the equation y = 6x − 10 in the xy plane? 

A.	B.
C.	D.

  Fig.14. Line y=6x-10 on the Desmos Graphing Calculator     (Source [14])

Answer: D

Như vậy, bài viết đã giới thiệu về phần mềm DESMOS và hướng dẫn chi tiết cách sử dụng phần mềm này trong bài thi Digital SAT để tìm đồ thị dựa trên hàm số tuyến tính cho sẵn. Việc vận dụng linh hoạt các tính năng vẽ đồ thị không chỉ giúp thí sinh trực quan hóa các phép biến đổi hình học mà còn là công cụ đắc lực để đối chiếu và xác định chính xác phương trình hàm số cần tìm.

Hy vọng người học có thể vận dụng các nội dung và quy trình thao tác trong bài viết để cải thiện hiệu suất ôn tập, đơn giản hóa các bước tính toán phức tạp và nâng cao hiệu quả làm bài của bản thân trong các kỳ thi sắp tới.

Tham khảo chương trình luyện thi SAT cam kết đầu ra tại ZIM Academy để được hướng dẫn chuyên sâu và bứt phá điểm số.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.

Tác giả: Lê Thị Thảo Nhi