Sử dụng DESMOS để tìm giá trị còn thiếu trong bảng toạ độ của hàm số bậc hai

Trong các bài thi chuẩn hóa quốc tế về năng lực toán, chẳng hạn như Digital SAT, thí sinh có thể sẽ được cung cấp phần mềm DESMOS, phần mềm máy tính khoa học giúp giải quyết các vấn đề liên quan đến đồ thị, thống kê và các phép tính cơ bản. Nắm được các tính năng của DESMOS cũng như thao tác sử dụng sẽ giúp thí sinh tăng tốc độ làm bài, đơn giản hóa các bước tính toán, từ đó nâng cao hiệu quả bài thi. Trong phạm vi bài viết này, tác giả sẽ hướng dẫn người học cách tìm giá trị còn thiếu trong bảng toạ độ của hàm số bậc hai.

Lý thuyết chung về hàm số bậc hai

Hàm số bậc hai trong tiếng Anh được gọi là Quadratic function, là một trong những hàm số cơ bản và quan trọng trong bài thi SAT Math. Dạng đồ thị của hàm số bậc hai là một đường cong Parabol.

Hàm số bậc hai có dạng tổng quát là:

y = f(x) = ax² + bx + c

Trong đó:

• a, b, c là các hằng số thực, với a ≠ 0. Trong đó, giá trị của a sẽ quyết định hàm số có giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất. Giá trị c là giao điểm của hàm số bậc hai với trục tung.

Một điểm quan trọng của hàm số bậc hai là Đỉnh (Vertex) có tọa độ là (x,y) được xác định như sau:

• \(x=\frac{-b}{2a}\)

• \(y=\frac{-\Delta}{4a}=\frac{-(b^2-4ac)}{4a}=f(\frac{-b}{2a})\)

Dựa vào tọa độ đỉnh, ta có thể xác định thêm trục đối xứng (Axis of symmetry) của hàm số bậc hai. Trục đối xứng là đường thẳng đi qua đỉnh và chia đồ thị của hàm số bậc hai thành hai phần đối xứng nhau qua đường thẳng đó. Phương trình của trục đối xứng có dạng x = -b/2a.

Dạng của đồ thị hàm số bậc hai phụ thuộc vào hệ số a:

• Trường hợp 1: a < 0. Khi a < 0, dạng đồ thị của hàm số bậc hai sẽ hướng xuống, tạo thành hình “ngọn núi”. Từ đó, hàm số bậc hai sẽ có giá trị lớn nhất.

• Trường hợp 2: a > 0. Khi a > 0, dạng đồ thị của hàm số bậc hai sẽ hướng lên, tạo thành hình “chữ U”. Từ đó, hàm số bậc hai sẽ có giá trị nhỏ nhất.

Với toạ độ đỉnh, người học có thể viết hàm số bậc hai dưới dạng đỉnh (Vertex form):

y = f(x) = a(x - h)² + k

Trong đó:

• Tọa độ đỉnh (Vertex) là (h, k).

• Trục đối xứng của dạng Vertex form này có dạng x = h.

Cách tìm giá trị còn thiếu trong bảng tọa độ của hàm số bậc hai

Để tìm giá trị còn thiếu trong bảng tọa độ của một hàm số bậc hai, trước hết người học cần xác định được biểu thức của hàm số.

Hàm số bậc hai có dạng tổng quát:

f(x) = ax² + bx + c

Do hàm số bậc hai có ba hệ số chưa biết là a, b và c, người học cần ít nhất ba điểm có hoành độ khác nhau thuộc đồ thị để xác định các hệ số này. Người học thay tọa độ của từng điểm vào dạng tổng quát của hàm số để thiết lập một hệ phương trình, sau đó giải hệ phương trình để tìm giá trị của a, b và c.

Khi đã xác định được biểu thức của hàm số, người học có thể tìm giá trị còn thiếu trong bảng tọa độ. Tùy theo yêu cầu của đề bài, giá trị cần tìm có thể là f(x) khi đã biết x, hoặc là x khi đã biết f(x).

Ví dụ: Bảng dưới đây hiển thị một số điểm thuộc đồ thị của hàm số bậc hai f(x). Tìm giá trị của m.

Bước 1: Ta viết dạng tổng quát của phương trình: f(x) = ax² + bx + c

Bước 2: Thay tọa độ các điểm vào hàm số.

• Với A(0, 1): 1 = a(0)^2 + b(0) + c -> 1 = c

• Với B(1, 4): 4 = a(1)^2 + b(1) + c -> 4 = a + b + c

• Với C(2, 9): 9 = a(2)^2 + b(2) + c -> 9 = 4a + 2b + c

Bước 3: Giải hệ phương trình:

Với c = 1, ta sẽ có

• a + b + 1 = 4 -> a + b = 3

• 4a + 2b + 1 = 9 -> 4a + 2b = 8 -> 2a + b = 4

Lấy hai phương trình này trừ đi cho nhau, ta có: 

(2a + b) - (a + b) = 4 - 3 -> a = 1 

Thay a = 1 vào một trong hai phương trình trên, ta sẽ tìm được b = 2.

Từ các giá trị trên, ta có thể xác định hàm số f(x) = x² + 2x + 1.

Bước 4: Tìm giá trị còn thiếu trong bảng tọa độ

m = f(3) = 3² + 2·3 + 1 = 16.

Bài toán tìm giá trị còn thiếu trong bảng toạ độ của hàm số bậc hai trong câu hỏi Digital SAT

Trong phần thi SAT Math, thí sinh có thể gặp các câu hỏi tìm giá trị còn thiếu trong bảng tọa độ của một hàm số bậc hai. Dạng bài này có thể xuất hiện ở cả câu hỏi trắc nghiệm và câu hỏi điền đáp án, trong đó đề bài cung cấp một số cặp tọa độ và yêu cầu xác định giá trị còn thiếu.

Giới thiệu máy tính khoa học DESMOS

DESMOS là một phần mềm máy tính khoa học được thiết kế bởi DESMOS Studio. Đây là phần mềm chính thức được tích hợp trong phần mềm Bluebook của bài thi Digital SAT nhằm hỗ trợ thí sinh giải quyết đa dạng các câu hỏi Toán học ở nhiều chuyên đề khác nhau.

Fig. 1. Official logo of Desmos Studio PBC. (Source: [1])

Các tính năng cơ bản của DESMOS

Với phần mềm DESMOS, người học và thí sinh sẽ cần làm quen với một số tính năng cơ bản, bao gồm:

• Các phép cộng, trừ, nhân, chia cơ bản

• Vẽ đồ thị phương trình từ bậc thấp đến cao

• Sử dụng bảng biểu

• Tính năng thanh trượt

• Các phép tính thống kê cơ bản

• Các phép tính lượng giác cơ bản

• V.v.

Trên màn hình giao diện DESMOS, người học có thể nhận diện được các vùng cơ bản. Thứ nhất, vùng bên tay trái là nơi người học nhập phương trình (VD: 2x + y = 0). Thứ hai, vùng mặt phẳng toạ độ Oxy là nơi đồ thị của phương trình hiển thị. Cuối cùng, nút cài đặt (có biểu tượng hình cờ lê) bên góc phải là nơi người học điều chỉnh một số cài đặt để phù hợp nhu cầu (VD: chuyển đổi từ Degree sang Radian.)

Fig. 2. Interface of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [2])

Lưu ý: Phần mềm DESMOS hiện tại mà người học có thể tìm trên mạng có thể được chia làm hai phiên bản: Nguyên bản (đen) và Khảo thí (testing - xanh lá). Phần mềm DESMOS nguyên bản sẽ có nhiều tính năng hơn bản khảo thí, bao gồm tính năng chia sẻ biểu đồ, thư mục, hoặc hình ảnh. Tuy vậy, các tính năng quan trọng dùng trong bài thi SAT vẫn có đầy đủ ở cả hai phiên bản.

Hướng dẫn sử dụng DESMOS để tìm giá trị còn thiếu trong bảng toạ độ của hàm số bậc hai

Để sử dụng DESMOS tìm giá trị còn thiếu trong bảng toạ độ của hàm số bậc hai một cách nhanh chóng và chính xác, người học cần khai thác tính năng vẽ hồi quy (regression). Dưới đây là hướng dẫn chi tiết từng bước:

Bước 1: Tạo bảng mới và nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài vào bảng.

Nhấn vào dấu + ở góc trên bên trái màn hình để thêm mục (Add Item), sau đó chọn tính năng Bảng (Table). Tiếp theo, nhập các dữ kiện được cung cấp từ đề bài vào các ô dữ liệu của bảng trong DESMOS Graphing Calculator.

Bước 2: Tìm hàm hồi quy thông qua chức năng bảng

Rê chuột đến biểu tượng Add Regression xuất hiện phía trên bên trái bảng dữ liệu rồi nhấn vào biểu tượng này. DESMOS mặc định sử dụng “Hồi quy tuyến tính” (Linear Regression), vì vậy người học cần chọn mũi tên thả xuống để chọn “Hồi quy hàm bậc hai” (Quadratic Regression). Khi đó, DESMOS sẽ tìm và hiển thị phương trình hàm số bậc hai phù hợp với các điểm đã nhập.

Bước 3: Nhập hàm số vừa tìm được vào dòng bên dưới. Sau đó, sử dụng hàm số này để tính giá trị còn thiếu trong bảng tọa độ theo yêu cầu của đề bài.

Bước 4: Đọc kết quả mà DESMOS trả về. Giá trị này chính là giá trị còn thiếu trong bảng tọa độ cần tìm.

Ví dụ minh hoạ:

Câu hỏi: The table below gives selected values for a quadratic function f(x). What is the value of a?

Hướng dẫn giải bằng DESMOS

Bước 1: Tạo bảng mới và nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài vào bảng.

Fig. 3. Example. (Source: [3])

Bước 2: Tìm hàm hồi quy thông qua chức năng bảng

Fig. 4. Example. (Source: [3])

Có thể thấy, hàm số cần tìm là y =\(x^2\)+ 3x - 1

Bước 3: Nhập hàm số vừa tìm được vào dòng bên dưới. Sau đó, sử dụng hàm số này để tính giá trị còn thiếu trong bảng tọa độ theo yêu cầu của đề bài.

Fig. 5. Example. (Source: [3])

Bước 4: Đọc kết quả mà DESMOS trả về. Giá trị này chính là giá trị còn thiếu trong bảng tọa độ cần tìm.

Vậy giá trị cần tìm là f(5) = 39.

Lưu ý: DESMOS luôn hiển thị giá trị dưới dạng số thập phân. Do đó, DESMOS hữu dụng khi giá trị cần tìm là giá trị nguyên (1,2,3,...), giá trị thập phân hữu hạn (1.5, 2.5,...), giá trị thập phân vô hạn tuần hoàn (0.6666), hoặc giá trị thập phân không tuần hoàn thông dụng (3.141592). Nếu người học chưa quen nhận diện các giá trị này (VD: 10/3 có thể được biểu diễn là 3.33333), điều nên làm là luôn kiểm tra lại đáp án trước khi chọn.

Xem thêm:

• Cách làm dạng bài Solving quadratic equations trong SAT Math & Bài tập

• Cách làm dạng bài Quadratic Graphs trong SAT® Math và bài tập

• Cách làm dạng bài Factoring Quadratic and Polynomial Expressions trong SAT Math

Bài tập vận dụng

Sau đây, bài viết sẽ giới thiệu đến người học một số câu hỏi Digital SAT có sử dụng DESMOS để tìm giá trị còn thiếu trong bảng toạ độ của hàm số bậc hai. Người học hãy sử dụng tính năng DESMOS đã giới thiệu để giải các câu hỏi sau.

Question 1: The table below shows selected values for a quadratic function f(x) = ax² + c, where a and c are constants.

What is the value of m?

A. 19 

B. 27 

C. 35 

D. 43 

Answer: C

Question 2: The table below shows points on the graph of a quadratic function h(x).

What is the value of m?

Answer: -14.375

Question 3: The table below shows selected points on the graph of a quadratic function g(x).

If k > 0, what is the value of k? 

A. 2.5 

B. 3

C. 3.5 

D. 4

Answer: B

Question 4: The table below shows selected values for a quadratic function f(x).

What is the value of k? 

A. -2 

B. 4 

C. 7 

D. 1

Answer: D

Question 5: The table below gives selected values for a quadratic function.

If the vertex of the parabola is at (1, 5), what is the value of n - m? 

A. 27 

B. 54 

C. 36 

D. 48

Answer: B

Question 6: The table below lists values for a quadratic function y = f(x).

If the axis of symmetry of the parabola is x = 2.5, what is the value of a + b?

Answer: -21

Question 7: The table below represents points on a quadratic curve y = h(x).

It is given that h(x) = px² + qx + 1. If b - c = -10 and the parabola opens downward, what is the value of a?

Answer: -74

Question 8: The table below shows selected coordinate pairs for a quadratic function y = f(x), where k ≠ 1 is an x-intercept of the parabola. What is the value of f(3)?

Answer: 6

Question 9: The table below shows selected values of a quadratic function f(x). If the minimum value of f(x) is 2, and f(p) = 66 with p > 0, what is the value of p? 

Answer: 8

Question 10: The table below represents points on a quadratic curve g(x).

The parabola has a vertex at x = 1 and an x-intercept at x = -3. What is the value of m if m < 0?

Answer: -1

Như vậy, bài viết đã giới thiệu về phần mềm DESMOS và hướng dẫn chi tiết cách sử dụng phần mềm này trong bài thi Digital SAT để tìm giá trị còn thiếu trong bảng toạ độ của hàm số bậc hai. Việc vận dụng linh hoạt các tính năng vẽ đồ thị không chỉ giúp thí sinh trực quan hóa các phép biến đổi hình học mà còn là công cụ đắc lực để đối chiếu và xác định chính xác phương trình hàm số cần tìm.

Hy vọng người học có thể vận dụng các nội dung và quy trình thao tác trong bài viết để cải thiện hiệu suất ôn tập, đơn giản hóa các bước tính toán phức tạp và nâng cao hiệu quả làm bài của bản thân trong các kỳ thi sắp tới.

Tham khảo chương trình luyện thi SAT cam kết đầu ra tại ZIM Academy để được hướng dẫn chuyên sâu và bứt phá điểm số.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.