Sử dụng DESMOS để tìm giá trị của x tương ứng với giá trị của hàm số mũ

Trong các bài thi chuẩn hóa quốc tế về năng lực toán, chẳng hạn như Digital SAT, thí sinh có thể sẽ được cung cấp phần mềm DESMOS, phần mềm máy tính khoa học giúp giải quyết các vấn đề liên quan đến đồ thị, thống kê và các phép tính cơ bản. Nắm được các tính năng của DESMOS cũng như thao tác sử dụng sẽ giúp thí sinh tăng tốc độ làm bài, đơn giản hóa các bước tính toán, từ đó nâng cao hiệu quả bài thi. Trong phạm vi bài viết này, tác giả sẽ hướng dẫn người học tìm giá trị của biến x tương ứng với giá trị của hàm số mũ.

Lý thuyết chung về hàm số mũ:

Dạng cơ bản nhất của hàm số mũ là:

\(f(x) = a(b)^x\)

Trong đó:

• a là giá trị khởi tạo hoặc tung độ gốc. Điều kiện: a khác 0.

• b là cơ số hay hệ số nhân. Điều kiện: b > 0 và b khác 1.

• Nếu b > 1: Hàm số thể hiện sự tăng trưởng mũ.

• Nếu 0 < b < 1: Hàm số thể hiện sự suy giảm mũ. 

Ngoài ra, hàm số mũ có thể xuất hiện dưới các dạng biến thể phức tạp hơn như \(f(x)=a(b)^{(x+c)}+d\). Tập xác định của các hàm số mũ cơ bản này thường là toàn bộ tập số thực R.

Lý thuyết về các phương pháp giải phương trình mũ:

Để tìm được nghiệm của phương trình mũ, người học thường sử dụng 2 cách tiếp cận trọng tâm trong bài thi SAT: biến đổi phương trình về cùng cơ số và phương pháp đồ thị.

Trường hợp 1: Biến đổi về cùng cơ số 

Nếu các cơ số trong đề bài có có thể đưa về cùng một cơ số chung, người học tiến hành biến đổi, sau đó cho các số mũ bằng nhau và giải phương trình đại số bình thường. 

Ví dụ: Ta có phương trình 9^x = 3^(x+2)

Biến đổi 9 = 3^2, phương trình trở thành: (3^2)^x = 3^(x+2) -> 3^(2x) = 3^(x+2) -> 2x = x + 2 -> x = 2.

Trường hợp 2: Phương pháp đồ thị 

Người học có thể giải phương trình mũ bằng cách sử dụng công cụ máy tính graphing calculator. Đây là phương pháp nhanh chóng, trực quan và hiệu quả trong bài thi SAT, sẽ được phân tích chi tiết ở phần mối liên hệ dưới đây.

Mối liên hệ giữa phương trình mũ khác cơ số và đồ thị

Xét phương trình mũ có dạng tổng quát a^f(x) = b^g(x). Ta có thể diễn giải phương trình này thành hai hàm số riêng biệt đại diện cho hai vế:

• Vế trái tương ứng với hàm số y = a^f(x)

• Vế phải tương ứng với hàm số y = b^g(x)

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị của các hàm số mũ này thường là những đường cong. Như vậy, việc giải phương trình a^f(x) = b^g(x) tương đương với việc tìm hoành độ giao điểm x sao cho đồ thị của vế trái và vế phải cắt nhau.

Ví dụ, với phương trình sau: 4^x = 2^(x+2), ta xét vế trái: 4^x và vế phải 2^(x+2). Như vậy, nghiệm x của phương trình sẽ là giao điểm của hai đồ thị này.

Như ở trên người học tìm được, ta có x = 2 là nghiệm của phương trình.

Vì vậy, đường cong 4^x cắt đường cong 2^(x+2) tại điểm có hoành độ x = 2.

Fig. 1. Equation 4^x = 2^(x+2) on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [1])

Ngoài trường hợp phương trình có một nghiệm duy nhất (hai đồ thị cắt nhau tại đúng một điểm), đối với phương trình mũ, ta còn có các trường hợp đặc biệt sau::

1. Phương trình vô nghiệm

Khi phương trình vô nghiệm, đồ thị của hai vế sẽ hoàn toàn không cắt nhau. Khi đó, với mọi giá trị của x, ta luôn có a^f(x) ≠ b^g(x).

Ví dụ: 2^2x = 4^(x + 1)

Giải phương trình, ta có: 2^2x = (2^2)^(x + 1) -> 2^2x = 2^(2x + 2) -> 2x = 2x + 2 (Vô lý)

-> Phương trình vô nghiệm, và hai đồ thị không cắt nhau.

Fig. 2. Equation 2^2x = 4^(x + 1) on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [2])

2. Phương trình vô số nghiệm

Khi phương trình có vô số nghiệm, đồ thị của hai vế sẽ trùng khít hoàn toàn lên nhau. Khi đó, biểu thức hai vế thực chất là một, với mọi giá trị của x, ta luôn có a^f(x) = b^g(x).

Ví dụ: 5^(x + 1) = 5 ⋅ 5^x

Ta nhận thấy rằng 5 ⋅ 5^x có thể được biến đổi thành 5^1 ⋅ 5^x = 5^(1 + x)

-> 5^(x + 1) = 5^(1 + x) -> Đúng với mọi x.

-> Phương trình vô số nghiệm, hai đồ thị trùng nhau.

Fig. 3. Equation 5^(x + 1) = 5 ⋅ 5^x on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [3])

Tìm giá trị của biến x tương ứng với giá trị của hàm số mũ trong câu hỏi Digital SAT

Trong bài thi Digital SAT, các câu hỏi về tìm giá trị của biến x tương ứng với giá trị của hàm số mũ là rất đa dạng. Thí sinh có thể được hỏi về việc xác định giá trị đầu vào x khi biết trước đầu ra của hàm số, tìm thời gian hoặc chu kỳ trong các bài toán tăng trưởng hoặc suy giảm thực tế. 

Giới thiệu máy tính khoa học DESMOS

DESMOS là một phần mềm máy tính khoa học được thiết kế bởi DESMOS Studio. Đây là phần mềm chính thức được tích hợp trong phần mềm Bluebook của bài thi Digital SAT nhằm hỗ trợ thí sinh giải quyết đa dạng các câu hỏi Toán học ở nhiều chuyên đề khác nhau.

Fig. 4. Official logo of Desmos Studio PBC. (Source: [4])

Các tính năng cơ bản của DESMOS

Với phần mềm DESMOS, người học và thí sinh sẽ cần làm quen với một số tính năng cơ bản, bao gồm:

• Các phép cộng, trừ, nhân, chia cơ bản

• Vẽ đồ thị phương trình từ bậc thấp đến cao

• Sử dụng bảng biểu

• Tính năng thanh trượt

• Các phép tính thống kê cơ bản

• Các phép tính lượng giác cơ bản

• V.v.

Trên màn hình giao diện DESMOS, người học có thể nhận diện được các vùng cơ bản. Thứ nhất, vùng bên tay trái là nơi người học nhập phương trình (VD: 2x + y = 0). Thứ hai, vùng mặt phẳng toạ độ Oxy là nơi đồ thị của phương trình hiển thị. Cuối cùng, nút cài đặt (có biểu tượng hình cờ lê) bên góc phải là nơi người học điều chỉnh một số cài đặt để phù hợp nhu cầu (VD: chuyển đổi từ Degree sang Radian.)

Fig. 5. Interface of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [5])

Lưu ý: Phần mềm DESMOS hiện tại mà người học có thể tìm trên mạng có thể được chia làm hai phiên bản: Nguyên bản (đen) và Khảo thí (testing - xanh lá). Phần mềm DESMOS nguyên bản sẽ có nhiều tính năng hơn bản khảo thí, bao gồm tính năng chia sẻ biểu đồ, thư mục, hoặc hình ảnh. Tuy vậy, các tính năng quan trọng dùng trong bài thi SAT vẫn có đầy đủ ở cả hai phiên bản.

Hướng dẫn sử dụng DESMOS để tìm giá trị của biến x tương ứng với giá trị của hàm số mũ

Để sử dụng DESMOS giải quyết nhanh gọn dạng bài này, người học chỉ cần vận dụng tính năng vẽ đồ thị và tìm giao điểm. Dưới đây là hướng dẫn chi tiết các bước giải:

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp. Người học đọc đề bài để xác định biểu thức của hàm số gốc và giá trị đầu ra (f(x)) đã được cho trước.

Bước 2: Nhập hàm gốc vào DESMOS. Tại dòng nhập dữ liệu đầu tiên của DESMOS graphing calculator, người học gõ trực tiếp biểu thức hàm số mà đề bài cung cấp.

Bước 3: Nhập phương trình giá trị. Tại dòng dữ liệu thứ hai, người học nhập phương trình giá trị đã cho (ví dụ: f(x) = hằng số).

Bước 4: Tìm giao điểm và đọc kết quả. DESMOS sẽ tự động vẽ các đồ thị tương ứng. Người học chỉ cần quan sát và bấm vào giao điểm của hai đường này trên màn hình. Hoành độ (giá trị x) của giao điểm đó chính là nghiệm cần tìm.

Ví dụ minh họa:

The function f is defined by f(x) = 12(3)^(x-4). If f(x) = 324, what is the value of x?

A. 3

B. 6

C. 7

D. 9

Hướng dẫn giải bằng DESMOS:

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện. Đề bài cho hàm số gốc f(x) = 12(3)^(x-4) và yêu cầu tìm x để hàm số đạt giá trị f(x) = 324.

Bước 2: Nhập hàm gốc. Tại dòng đầu tiên trên DESMOS, người học nhập hàm số: f(x) = 12(3)^(x-4).

Bước 3: Nhập phương trình giá trị. Tại dòng thứ hai, người học nhập: f(x) = 324.

Bước 4: Tìm giao điểm. Giao điểm của hai đường thẳng trên đồ thị sẽ xuất hiện tại tọa độ (7, 324). Hoành độ của giao điểm là 7, do đó nghiệm cần tìm là x = 7.

=> Chọn đáp án C.

Fig. 6.  Equation f(x) = 12(3)^(x-4) on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [6])

Tham khảo thêm tại: Sử dụng DESMOS để xác định số nghiệm của phương trình bậc cao

Lưu ý: DESMOS luôn hiển thị giá trị dưới dạng số thập phân. Do đó, DESMOS hữu dụng khi giá trị cần tìm là giá trị nguyên (1,2,3,...), giá trị thập phân hữu hạn (1.5, 2.5,...), giá trị thập phân vô hạn tuần hoàn (0.6666), hoặc giá trị thập phân không tuần hoàn thông dụng (3.141592). Nếu người học chưa quen nhận diện các giá trị này (VD: 10/3 có thể được biểu diễn là 3.33333), điều nên làm là luôn kiểm tra lại đáp án trước khi chọn.

Bài tập vận dụng

Sau đây, bài viết sẽ giới thiệu đến người học một số câu hỏi Digital SAT có sử dụng DESMOS để tìm giá trị của biến x tương ứng với giá trị của hàm số mũ. Người học hãy sử dụng tính năng DESMOS đã giới thiệu để giải các câu hỏi sau.

Question 1:

The function g is defined by g(x) = 5(2)^(x + 1). If g(x) = 160, what is the value of x?

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

Answer: C

Question 2:

The function h is defined by h(x) = 200(0.5)^(x - 2). If h(x) = 25, what is the value of x?

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

Answer: C

Question 3:

For the exponential function f, f(x) = 4(3)^(2x). If f(x) = 324, what is the value of x + 1?

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

Answer: B

Question 4:

The population of a small town is modeled by the function P(t) = 12000(1.05)^t, where t is the number of years since 2010. According to the model, in what year will the population reach approximately 16081?

A. 2014

B. 2015

C. 2016

D. 2017

Answer: C

Question 5:

The value of a car depreciates over time according to the function V(t) = 25000(0.8)^t, where V is the value in dollars and t is the number of years since it was purchased. How many years will it take for the car's value to drop to exactly 12800 dollars?

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

Answer: B

Question 6:

A radioactive substance decays according to the function M(d) = 320(0.5)^(d/8), where M is the remaining mass in grams and d is the number of days. If the remaining mass is 10 grams, what is the value of d?

A. 24

B. 32

C. 40

D. 48

Answer: C

Question 7:

The temperature T of a cooling object in degrees Celsius after m minutes is modeled by T(m) = 20 + 80(0.75)^m. At what time m will the temperature of the object be exactly 65 degrees Celsius?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Answer: B

Question 8:

A biologist observes that a bacteria culture grows according to the function N(t) = 500(3)^(t/2), where N is the number of bacteria and t is the time in hours. If the experiment ends when the bacteria count reaches 13500, how many hours did the experiment last?

A. 4

B. 6

C. 8

D. 9

Answer: B

Question 9:

The amount of money A in an account after t years is given by the function A(t) = 4000(1.1)^t. If the account reaches a balance of 5856.4 dollars, what is the value of 2t?

A. 4

B. 6

C. 8

D. 10

Answer: C

Question 10:

A company's daily profit P in dollars is modeled by P(x) = -500 + 100(2)^(x/3), where x is the number of units sold. To achieve a daily profit of 2700 dollars, how many units must be sold?

A. 12

B. 15

C. 18

D. 21

Answer: B

Đọc thêm tại: Sử dụng DESMOS để tìm đồ thị dựa trên hàm số tuyến tính cho sẵn

Như vậy, bài viết đã giới thiệu về phần mềm DESMOS và hướng dẫn chi tiết cách sử dụng phần mềm này trong bài thi Digital SAT để tìm giá trị của biến x tương ứng với giá trị của hàm số mũ. Việc vận dụng linh hoạt các tính năng vẽ đồ thị không chỉ giúp thí sinh trực quan hóa các phép biến đổi hình học mà còn là công cụ đắc lực để đối chiếu và xác định chính xác phương trình hàm số cần tìm.

Hy vọng người học có thể vận dụng các nội dung và quy trình thao tác trong bài viết để cải thiện hiệu suất ôn tập, đơn giản hóa các bước tính toán phức tạp và nâng cao hiệu quả làm bài của bản thân trong các kỳ thi sắp tới.

Tham khảo chương trình luyện thi SAT cam kết đầu ra tại ZIM Academy để được hướng dẫn chuyên sâu và bứt phá điểm số.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.