Sử dụng DESMOS để xác định số nghiệm của phương trình bậc cao

Trong các bài thi chuẩn hóa quốc tế về năng lực toán, chẳng hạn như Digital SAT, thí sinh có thể sẽ được cung cấp phần mềm DESMOS, phần mềm máy tính khoa học giúp giải quyết các vấn đề liên quan đến đồ thị, thống kê và các phép tính cơ bản. Nắm được các tính năng của DESMOS cũng như thao tác sử dụng sẽ giúp thí sinh tăng tốc độ làm bài, đơn giản hóa các bước tính toán, từ đó nâng cao hiệu quả bài thi. Trong phạm vi bài viết này, tác giả sẽ hướng dẫn người học xác định số nghiệm của phương trình bậc cao bằng công cụ DESMOS.

Lý thuyết chung về phương trình bậc cao - đa thức một biến

Đa thức một biến là tổng của các đơn thức cùng một biến. Các đơn thức một biến được gọi là hạng tử của đa thức đó. Đơn thức một biến là một biểu thức đại số chỉ có một số hoặc tích của một số với lũy thừa nguyên dương của số đó. 

Ví dụ: Cho 3 đơn thức: 3x^2, 4x và 7. Ba đơn thức này cộng lại tạo thành một đa thức: 3x^2 + 4x + 7

Một số thuật ngữ thường gặp về đa thức một biến bao gồm:

• Hạng tử: Các đơn thức một biến

• Biến số: Các số hạng chưa biết, được viết dưới dạng chữ cái (x,y,z)

• Bậc của hạng tử: Số mũ của đơn thức chứa biến, số mũ là số nguyên và lớn hơn 0. Với các đơn thức chỉ tồn tại hệ số, bậc là 0

• Bậc của đa thức: Bậc của hạng tử lớn nhất.

• Hệ số: Số hạng đứng trước một biến. Các đơn thức chỉ tồn tại hệ số (không chứa biến) được gọi là hệ số tự do. 

Khi viết một đa thức, ta thường ký hiệu như sau: Q(x), F(y), P(x), v.v để thể hiện đa thức một biến thay đổi theo các biến x,y,z.

Trong khi đó, phương trình bậc cao là các phương trình đa thức một ẩn có bậc lớn hơn hoặc bằng 3, có dạng tổng quát là

\[ax^{n}+bx^{\left(n-1\right)^{}}+cx^{\left(n-2\right)^{}}+dx^{\left(n-3\right)^{}}+\ldots+zx+m=0\]Trong đó:

• a, b, c, d,... là các hệ số

• x là biến số

• n là bậc của đa thức, với hệ số đi kèm khác 0.

• m là hằng số tự do (x bậc 0).

Lý thuyết về nghiệm của phương trình bậc cao - đa thức một biến

Ngoài dạng khai triển cơ bản của đa thức một biến, các phương trình bậc cao thường được viết dưới dạng nhân tử (Factorized form):

m(x - a)(x - b)(x - c)...(x-n) = 0

Số nhân tử mà đa thức có thể tách được chính là số nghiệm của phương trình đa thức. Nếu các nhân tử có thể được viết dưới dạng các lũy thừa, các nghiệm đó được gọi là nghiệm bội bậc n. 

Một đa thức (bậc khác 0) có thể có một, hai nghiệm, v.v.,  hoặc vô nghiệm. Tuy nhiên, số nghiệm của một đa thức không vượt quá bậc của đa thức đó. Ví dụ: Phương trình bậc 3 chỉ cho tối đa 3 nghiệm phân biệt. 

Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho phương trình y = F(x) và y = a. Số giao điểm của F(x) với đường thẳng y = a thể hiện số nghiệm của phương trình đa thức cần tìm. Các nghiệm bội chẵn sẽ tạo thành các đỉnh parabol tại điểm cắt. 

Ví dụ: Cho phương trình x(x-1)²(x-2)³ = 0

Fig.1. Solutions of x(x-1)²(x-2)³ on Desmos Graphing Calculator (Source[1])

Quan sát đồ thị, ta thấy phương trình x(x-1)²(x-2)³ = 0 có 3 nghiệm là x = 0, x = 1 và x = 2.

Ngoài cách xác định số nghiệm bằng đồ thị, người học có thể xác định số nghiệm của phương trình bậc cao bằng cách dùng định lý và công thức khác (biệt thức delta bậc cao, quy tắc dấu Descartes, …). Tuy nhiên, các kiến thức này tương đối phức tạp và nằm ngoài phạm vi kiến thức của bài thi SAT. Do đó, các nội dung này sẽ được trình bày trong các bài chia sẻ kiến thức khác.

Xác định số nghiệm của phương trình bậc cao trong câu hỏi Digital SAT

Trong bài thi Digital SAT, các câu hỏi về số nghiệm của phương trình bậc cao là rất đa dạng. Thí sinh có thể được hỏi về số nghiệm âm, dương, số giao điểm của đồ thị với một giá trị bất kì và các dạng câu hỏi khác

Giới thiệu máy tính khoa học DESMOS

DESMOS là một phần mềm máy tính khoa học được thiết kế bởi DESMOS Studio. Đây là phần mềm chính thức được tích hợp trong phần mềm Bluebook của bài thi Digital SAT nhằm hỗ trợ thí sinh giải quyết đa dạng các câu hỏi Toán học ở nhiều chuyên đề khác nhau.

Fig. 2. Official logo of Desmos Studio PBC. (Source: [2])

Các tính năng cơ bản của DESMOS

Với phần mềm DESMOS, người học và thí sinh sẽ cần làm quen với một số tính năng cơ bản, bao gồm:

• Các phép cộng, trừ, nhân, chia cơ bản

• Vẽ đồ thị phương trình từ bậc thấp đến cao

• Sử dụng bảng biểu

• Tính năng thanh trượt

• Các phép tính thống kê cơ bản

• Các phép tính lượng giác cơ bản

• V.v.

Trên màn hình giao diện DESMOS, người học có thể nhận diện được các vùng cơ bản. Thứ nhất, vùng bên tay trái là nơi người học nhập phương trình (VD: 2x + y = 0). Thứ hai, vùng mặt phẳng toạ độ Oxy là nơi đồ thị của phương trình hiển thị. Cuối cùng, nút cài đặt (có biểu tượng hình cờ lê) bên góc phải là nơi người học điều chỉnh một số cài đặt để phù hợp nhu cầu (VD: chuyển đổi từ Degree sang Radian.)

Fig. 3. Interface of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [3])

Lưu ý: Phần mềm DESMOS hiện tại mà người học có thể tìm trên mạng có thể được chia làm hai phiên bản: Nguyên bản (đen) và Khảo thí (testing - xanh lá). Phần mềm DESMOS nguyên bản sẽ có nhiều tính năng hơn bản khảo thí, bao gồm tính năng chia sẻ biểu đồ, thư mục, hoặc hình ảnh. Tuy vậy, các tính năng quan trọng dùng trong bài thi SAT vẫn có đầy đủ ở cả hai phiên bản.

Hướng dẫn sử dụng DESMOS để xác định số nghiệm của phương trình bậc cao

Để sử dụng DESMOS để xác định số nghiệm của phương trình bậc cao, người học cần vận dụng tính năng vẽ đồ thị trên DESMOS và đọc hiểu giao điểm của đồ thị.

Bước 1: Đọc kỹ dữ kiện đề được cung cấp

Người học hãy đọc kỹ và xác định bậc của phương trình được cung cấp và yêu cầu của đề, trong trường hợp này là số nghiệm của phương trình. 

Bước 2: Nhập các dữ kiện được cung cấp lên DESMOS Graphing Calculator. Trong đó:

• Dòng 1: Nhập phương trình đề bài cho ở dạng y = F(x) (VD: y = 3x^4 + 4x + 1)

• Dòng 2: Nhập phương trình đề bài ở dạng F(x) = 0 (VD:  3x^4 + 4x + 1 = 0)

Bước 3: Quan sát đồ thị và đối chiếu.

Khi người học quan sát đồ thị vẽ bởi DESMOS, phương trình ở dòng thứ hai sẽ cho ra các đường thẳng đi qua trục hoành Ox và song song với trục tung Oy; số đường thẳng xuất hiện trên DESMOS chính là số nghiệm của phương trình.

Để kiểm tra lại tính chính xác, nếu các đường thẳng trên màn hình trùng khớp với số giao điểm của đồ thị của phương trình ở dòng thứ nhất  với trục hoành, đó chính là số nghiệm của phương trình.

Sau khi xác định được số nghiệm, người học cần kiểm tra xem số nghiệm tìm được trên DESMOS có thỏa mãn điều kiện không vượt quá bậc của phương trình hay không. Nếu thỏa mãn, kết quả tìm được là đúng.

Ví dụ minh họa:

Câu hỏi:

Consider the function equation

x³ -13x² + 50x - 56 = 0

When the equation is graphed in the xy-plane, how many distinct x-intercepts does the graph have?

1. 1

2. 2

3. 3

4. 0

Hướng dẫn giải bằng DESMOS

Bước 1: Đọc kỹ đề để xác định các dữ kiện được cung cấp:

• Phương trình hàm số đã cho: x³ -13x² + 50x - 56 = 0

• Yêu cầu cần tìm: Số nghiệm thực riêng biệt của phương trình

Bước 2:  Nhập các dữ kiện được cung cấp từ đề bài lên DESMOS Graphing Calculator

• Nhập dòng thứ nhất:   y = x³ -13x² + 50x - 56

• Nhập dòng thứ hai:   x³ -13x² + 50x - 56 = 0

Bước 3: Người học sử dụng chuột và thao tác bấm trên các đồ thị sao cho hiện rõ giao điểm của 2 phương trình trên trục hoành. Các giao điểm trùng khớp nhau chính là số nghiệm của phương trình. 

Fig.4. Solutions of x^3 - 13x^2 + 50x - 56 on Desmos Graphing Calculator (Source [4])

Quan sát trên DESMOS, ta thấy tồn tại 3 giao điểm của phương trình đã nhập với trục hoành, vậy phương trình này cho 3 nghiệm phân biệt, không có nghiệm bội. 

Phương trình đề bài cho có bậc là 3, vậy số nghiệm phân biệt tối đa có thể tìm được là 3 → Thỏa mãn điều kiện.

⇒ Chọn đáp án C.

Lưu ý: DESMOS luôn hiển thị giá trị dưới dạng số thập phân. Do đó, DESMOS hữu dụng khi giá trị cần tìm là giá trị nguyên (1,2,3,...), giá trị thập phân hữu hạn (1.5, 2.5,...), giá trị thập phân vô hạn tuần hoàn (0.6666), hoặc giá trị thập phân không tuần hoàn thông dụng (3.141592). Nếu người học chưa quen nhận diện các giá trị này (VD: 10/3 có thể được biểu diễn là 3.33333), điều nên làm là luôn kiểm tra lại đáp án trước khi chọn.

Xem thêm:

• Cách làm dạng bài Polynomial and other nonlinear graphs và bài tập

• Cách làm dạng bài Factoring Quadratic and Polynomial Expressions trong SAT Math

• Quadratic and exponential word problems: Hướng dẫn làm bài và bài tập

Bài tập vận dụng

Sau đây, bài viết sẽ giới thiệu đến người học một số câu hỏi Digital SAT có sử dụng DESMOS để xác định số nghiệm của phương trình bậc cao[5]. Người học hãy sử dụng tính năng DESMOS đã giới thiệu để giải các câu hỏi sau.

Question 1: 

A maritime research drone's depth relative to sea level, in meters, is modeled by the function 

d(t) = t³ - 9t² + 22t - 18,

where t is the time in minutes after launch (0 ≤ t ≤ 6 ). A researcher wants to know how many times the drone is exactly at sea level during this interval. Based on the function, what is the total number of times the drone reaches the sea level?

A. 3

B. 2

C. 1

D. 0

Answer: C

Question 2

How many distinct real solutions does the equation (x² - 5x + 6)(x² - 4x + 13) = 0 have?

A. 4

B. 3

C. 0

D. 2

Answer: D

Question 3: 

Consider the equation x^4 - 10x² + 9 = 0. What is the total number of distinct real solutions for the equation?

A. 3

B. 4

C. 2

D. 1

Answer: B

Question 4:

3(x - a)(2x - b)(x - c)(x + a)² = 0

In the given equation, a,b, and c are unique positive integer constants such that a < b < c < 4. How many distinct real solutions does the equation have?

A. 6

B. 5

C. 4

D. 3

Answer: D

Question 5:

A startup's monthly profit P(x), in thousands of dollars, is modeled by the function

P(x) = -(x-2)²(x-5) + 10. 

If x represents the month of the year (1 ≤ t ≤ 12), how many distinct months does the company earn exactly $10,000 in profit?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 0

Answer: B

Question 6

In the xy-plane, the graph of the polynomial equation y = x³ - 3x² + 2 intersects the line y = -2. 

How many distinct real points (x, y) represent these intersections?

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

Answer: C

Question 7

A sound wave’s intensity I is modeled by the function I(s) = (s² - 6s + 9)(s² + 2s + 5).

How many distinct real values of s satisfy the equation I(s) = 0?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Answer: A

Question 8

Consider the equation (x-2)(x+1)²(x² - 7) = 0. What is the total number of solutions of the equation?

A. 3

B. 4

C. 5

D. 1

Answer: B

Question 9

A landscape architect uses the equation g(x) = x^4 - 4x² - 5 to find the boundaries of a feature. 

How many distinct real solutions does the equation g(x) = 5 have?

A. 4

B. 1

C. 3

D. 2

Answer: D

Question 10

A curve is defined by the equation y = (x² - 1)² - 1. How many distinct real values of x result in y = 8?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Answer: B

Tổng kết

Như vậy, bài viết đã giới thiệu về phần mềm DESMOS và hướng dẫn chi tiết cách sử dụng phần mềm này trong bài thi Digital SAT để xác định số nghiệm của phương trình bậc cao. Việc vận dụng linh hoạt các tính năng vẽ đồ thị không chỉ giúp thí sinh trực quan hóa các phép biến đổi hình học mà còn là công cụ đắc lực để đối chiếu và xác định chính xác phương trình hàm số cần tìm.

Hy vọng người học có thể vận dụng các nội dung và quy trình thao tác trong bài viết để cải thiện hiệu suất ôn tập, đơn giản hóa các bước tính toán phức tạp và nâng cao hiệu quả làm bài của bản thân trong các kỳ thi sắp tới.

Tham khảo chương trình luyện thi SAT cam kết đầu ra tại ZIM Academy để được hướng dẫn chuyên sâu và bứt phá điểm số.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.

Tác giả: Nguyễn Uyên Trúc