Sử dụng DESMOS để tìm giá trị của hàm số mũ trong các câu hỏi

Trong các bài thi chuẩn hóa quốc tế về năng lực toán, chẳng hạn như Digital SAT, thí sinh có thể sẽ được cung cấp phần mềm DESMOS, phần mềm máy tính khoa học giúp giải quyết các vấn đề liên quan đến đồ thị, thống kê và các phép tính cơ bản. Nắm được các tính năng của DESMOS cũng như thao tác sử dụng sẽ giúp thí sinh tăng tốc độ làm bài, đơn giản hóa các bước tính toán, từ đó nâng cao hiệu quả bài thi. Trong phạm vi bài viết này, tác giả sẽ hướng dẫn người học tìm giá trị của hàm số mũ.

Lý thuyết chung về hàm số mũ:

Dạng cơ bản nhất của hàm số mũ là:

\(f(x) = a(b)^x\)

Trong đó:

• a là giá trị khởi tạo hoặc tung độ gốc. Điều kiện: a khác 0.

• b là cơ số hay hệ số nhân. Điều kiện: b > 0 và b khác 1.

• Nếu b > 1: Hàm số thể hiện sự tăng trưởng mũ.

• Nếu 0 < b < 1: Hàm số thể hiện sự suy giảm mũ. 

Ngoài ra, hàm số mũ có thể xuất hiện dưới các dạng biến thể phức tạp hơn như \(f(x)=a(b)^{(x+c)}+d\) . Tập xác định của các hàm số mũ cơ bản này thường là toàn bộ tập số thực R.

Lý thuyết về cách tìm giá trị của hàm số mũ

Để tìm giá trị của một hàm số mũ f(x) khi biết trước một giá trị cụ thể của x (ví dụ x = c), người học cần thực hiện phép thế đại số cơ bản:

Bước 1: Thay trực tiếp giá trị x = c vào biểu thức của hàm số để có f(c).

Bước 2: Thực hiện phép tính lũy thừa ở phần cơ số trước theo đúng thứ tự ưu tiên của phép toán.

Bước 3: Nhân kết quả lũy thừa vừa tìm được với hệ số a ở bên ngoài để ra đáp án cuối cùng.

Ví dụ minh hoạ: 

The function f is defined by f(x) = 5(3^x).

For the function f defined above, what is the value of f(2)?

A. 15

B. 30

C. 45

D. 125

Hướng dẫn giải: 

• Bước 1: Đề bài yêu cầu tìm giá trị của f(2), nghĩa là ta cần thay trực tiếp giá trị x = 2 vào biểu thức hàm số. Ta có: f(2) = 5(3^2).

• Bước 2: Thực hiện phép tính lũy thừa trước. Ta tính 3^2 = 9.

• Bước 3: Nhân kết quả lũy thừa với hệ số bên ngoài: f(2) = 5 * 9 = 45. 

• => Đáp án đúng là C.

Xem thêm tại: Sử dụng DESMOS để tìm hệ số thoả mãn điều kiện hệ phương trình bậc nhất

Tìm giá trị của hàm số mũ trong câu hỏi Digital SAT

Trong bài thi Digital SAT, các câu hỏi về Tìm giá trị của hàm số mũ là rất đa dạng. Đề bài có thể cho trực tiếp phương trình và yêu cầu tính f(c), hoặc lồng ghép vào một bài toán có lời văn yêu cầu người học tự xác định giá trị x cần thay vào phương trình.

Giới thiệu máy tính khoa học DESMOS

DESMOS là một phần mềm máy tính khoa học được thiết kế bởi DESMOS Studio. Đây là phần mềm chính thức được tích hợp trong phần mềm Bluebook của bài thi Digital SAT nhằm hỗ trợ thí sinh giải quyết đa dạng các câu hỏi Toán học ở nhiều chuyên đề khác nhau.

Fig.1. Official logo of Desmos Studio PBC. (Source: [1])

Các tính năng cơ bản của DESMOS

Với phần mềm DESMOS, người học và thí sinh sẽ cần làm quen với một số tính năng cơ bản, bao gồm:

• Các phép cộng, trừ, nhân, chia cơ bản

• Vẽ đồ thị phương trình từ bậc thấp đến cao

• Sử dụng bảng biểu

• Tính năng thanh trượt

• Các phép tính thống kê cơ bản

• Các phép tính lượng giác cơ bản

• V.v.

Trên màn hình giao diện DESMOS, người học có thể nhận diện được các vùng cơ bản. Thứ nhất, vùng bên tay trái là nơi người học nhập phương trình (VD: 2x + y = 0). Thứ hai, vùng mặt phẳng toạ độ Oxy là nơi đồ thị của phương trình hiển thị. Cuối cùng, nút cài đặt (có biểu tượng hình cờ lê) bên góc phải là nơi người học điều chỉnh một số cài đặt để phù hợp nhu cầu (VD: chuyển đổi từ Degree sang Radian.)

Fig. 2. Interface of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [2])

Lưu ý: Phần mềm DESMOS hiện tại mà người học có thể tìm trên mạng có thể được chia làm hai phiên bản: Nguyên bản (đen) và Khảo thí (testing - xanh lá). Phần mềm DESMOS nguyên bản sẽ có nhiều tính năng hơn bản khảo thí, bao gồm tính năng chia sẻ biểu đồ, thư mục, hoặc hình ảnh. Tuy vậy, các tính năng quan trọng dùng trong bài thi SAT vẫn có đầy đủ ở cả hai phiên bản.

Hướng dẫn sử dụng DESMOS để tìm giá trị của hàm số mũ

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định biểu thức hàm số được cung cấp và giá trị x cần tính.

Bước 2: Nhập dữ kiện vào ô nhập dữ liệu của phần DESMOS graphing calculator. Tại ô dữ liệu dòng số 1, người học nhập nguyên vẹn biểu thức hàm số mà đề bài cho (ví dụ: f(x) = a(b)^x).

Bước 3: Khai báo lệnh tính toán. Tại ô dữ liệu dòng số 2, người học gõ ký hiệu hàm số đi kèm với giá trị x cụ thể cần tìm (ví dụ: f(c)). DESMOS sẽ tự động tính toán và hiển thị ngay kết quả bằng số ở góc dưới của ô nhập liệu.

Ví dụ minh hoạ: 

The function f is defined by f(x) = 5(3^x).

For the function f defined above, what is the value of f(2)?

A. 15

B. 30

C. 45

D. 125

Hướng dẫn giải bằng Desmos: 

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp:

Đề cho hàm số f(x) = 5(3^x).

Đề yêu cầu tính giá trị của f(2), tức là thay x = 2.

Bước 2: Nhập dữ kiện vào ô nhập dữ liệu của phần DESMOS graphing calculator:

Tại dòng 1, nhập hàm số: f(x) = 5(3^x)

Bước 3: Khai báo lệnh tính toán:

Tại dòng 2, nhập hàm cần tính: f(2)

DESMOS sẽ lập tức hiển thị kết quả là 45. Vậy đáp án đúng là C.

Fig. 3. Equation  f(x) = 5(3^x) on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [3])

Lưu ý: DESMOS luôn hiển thị giá trị dưới dạng số thập phân. Do đó, DESMOS hữu dụng khi giá trị cần tìm là giá trị nguyên (1,2,3,...), giá trị thập phân hữu hạn (1.5, 2.5,...), giá trị thập phân vô hạn tuần hoàn (0.6666), hoặc giá trị thập phân không tuần hoàn thông dụng (3.141592). Nếu người học chưa quen nhận diện các giá trị này (VD: 10/3 có thể được biểu diễn là 3.33333), điều nên làm là luôn kiểm tra lại đáp án trước khi chọn.

Đọc thêm tại: Sử dụng DESMOS để xác định số nghiệm của phương trình bậc cao

Bài tập vận dụng

Sau đây, bài viết sẽ giới thiệu đến người học một số câu hỏi Digital SAT có sử dụng DESMOS để tìm giá trị của hàm số mũ. Người học hãy sử dụng tính năng DESMOS đã giới thiệu để giải các câu hỏi sau.

Question 1:

The function f is defined by f(x) = 2(4^x). For the function f defined above, what is the value of f(3)?

A. 24

B. 64

C. 128

D. 256

Answer: C

Question 2:

The function g is defined by g(x) = 16(0.5^x). What is the value of g(-2)?

A. 4

B. 8

C. 32

D. 64

Answer: D

Question 3:

The function h is defined by h(x) = 10(9^(x/2)). What is the value of h(3)?

A. 90

B. 270

C. 810

D. 30

Answer: B

Question 4:

If the function p is defined by p(x) = 7(2^(x - 1)), what is the value of p(4)?

A. 28

B. 56

C. 112

D. 14

Answer: B

Question 5:

The exponential function f is given by f(x) = 4(3^x). What is the value of f(2) - f(1)?

A. 12

B. 24

C. 36

D. 48

Answer: B

Question 6:

The population of a small town is modeled by the function P(t) = 5000(1.2^t), where t is the number of years since 2010. According to the model, what was the population of the town in the year 2012?

A. 6000

B. 7200

C. 8640

D. 5000

Answer: B

Question 7:

The value of a particular smartphone, in dollars, t years after it is released to the market is modeled by V(t) = 800(0.75^t). What is the expected value of the smartphone exactly 2 years after its release?

A. 600

B. 450

C. 300

D. 200

Answer: B

Question 8:

A bacteria culture's mass in grams after h hours is given by the function M(h) = 15(2^(h/3)). What is the mass of the bacteria culture after 9 hours have passed?

A. 60

B. 90

C. 120

D. 240

Answer: C

Question 9:

For the exponential function f, the equation f(x) = 100(0.2^(x + 1)) is true for all real values of x. Which of the following is equivalent to f(1)?

A. 0.4

B. 4

C. 20

D. 40

Answer: B

Question 10:

Let f(x) = 5(2^x). If another function g is defined as g(x) = f(x) + 10, what is the value of g(4)?

A. 80

B. 90

C. 100

D. 160

Answer: B

Như vậy, bài viết đã giới thiệu về phần mềm DESMOS và hướng dẫn chi tiết cách sử dụng phần mềm này trong bài thi Digital SAT để tìm giá trị của hàm số mũ. Việc vận dụng linh hoạt các tính năng vẽ đồ thị không chỉ giúp thí sinh trực quan hóa các phép biến đổi hình học mà còn là công cụ đắc lực để đối chiếu và xác định chính xác phương trình hàm số cần tìm.

Hy vọng người học có thể vận dụng các nội dung và quy trình thao tác trong bài viết để cải thiện hiệu suất ôn tập, đơn giản hóa các bước tính toán phức tạp và nâng cao hiệu quả làm bài của bản thân trong các kỳ thi sắp tới.

Tham khảo chương trình luyện thi SAT cam kết đầu ra tại ZIM Academy để được hướng dẫn chuyên sâu và bứt phá điểm số.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.