Sử dụng DESMOS để tìm hệ số thoả mãn điều kiện hệ phương trình bậc nhất

Trong các bài thi chuẩn hóa quốc tế về năng lực toán, chẳng hạn như Digital SAT, thí sinh có thể sẽ được cung cấp phần mềm DESMOS, phần mềm máy tính khoa học giúp giải quyết các vấn đề liên quan đến đồ thị, thống kê và các phép tính cơ bản. Nắm được các tính năng của DESMOS cũng như thao tác sử dụng sẽ giúp thí sinh tăng tốc độ làm bài, đơn giản hóa các bước tính toán, từ đó nâng cao hiệu quả bài thi. Trong phạm vi bài viết này, tác giả sẽ hướng dẫn người học cách tìm hằng số hoặc hệ số để thỏa mãn điều kiện của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn trong kì thi Digital SAT.

Lý thuyết chung về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là một tập hợp gồm hai phương trình bậc nhất với hai biến số, có dạng tổng quát như sau:

Ax + By = C

A'x + B'y = C'

Trong đó, A, B, C, A’, B’, C’ là các hằng số cho trước, x và y là biến số. 

Các trường hợp nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Thông thường, một phương trình bậc nhất hai ẩn sẽ có vô số nghiệm. 

Ví dụ: phương trình x - y = 10 sẽ có vô số nghiệm, một vài trong số đó bao gồm (10, 0), (15, 5), hay  (20, 5).

Tuy nhiên, đối với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, nghiệm của hệ phương trình là nghiệm thỏa mãn cả hai phương trình bậc nhất trong hệ. Nghiệm của hệ phương trình bậc nhất được chia thành 3 trường hợp: nghiệm duy nhất, vô nghiệm, vô số nghiệm. 

Để xác định nghiệm của hệ phương trình bậc nhất bằng đồ thị, người học có thể dựa vào tập hợp các điểm chung của hai đường thẳng được mô tả bởi hai phương trình bậc nhất tạo thành hệ phương trình. Cụ thể, xét hai đường thẳng d: ax + by = c và d’: a’x + b’y = c’, nghiệm của hệ phương trình chính là điểm thuộc đồng thời cả hai đường thẳng này. 

Ngoài ra, tính chất nghiệm còn phụ thuộc vào mối quan hệ giữa các hệ số a, b, c, a’, b’, c’ trong hệ phương trình.

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Trong trường hợp này, hai đường thẳng d: ax + by = c và d’: a’x + b’y = c’ cắt nhau ở một điểm (\(x_{o}\), \(y_{o}\)), và điểm cắt nhau này cũng chính là nghiệm của hệ phương trình ax + by = c và a’x + b’y = c’. 

Đối với mối quan hệ giữa các hệ số khi hệ phương trình có nghiệm duy nhất, các hệ số của hai phương trình bậc nhất không tỉ lệ với nhau:

\(\frac{a}{a^{\prime}}\ne\frac{b}{b^{\prime}}\)

Do đó, hai đường thẳng biểu diễn hai phương trình này cũng có hệ số góc khác nhau và chúng cắt nhau tại một điểm.

Ví dụ: hệ phương trình  x + y = 5,  3x+2y = 12 có đồ thị cắt nhau tại điểm (2,3), có mối quan hệ giữa các hệ số là \(\frac31\ne\frac21\) và có nghiệm duy nhất là (2, 3)

Fig.1. Line 3x + 2y = 12 and x + y = 5 on the Desmos Graphing Calculator     (Source [1])

Hệ phương trình có vô số nghiệm 

Trong trường hợp này, hai đường thẳng d: ax + by = c và d’: a’x + b’y = c’ trùng nhau,  hai phương trình được biểu diễn chung bằng một đường thẳng và mọi điểm trên đường thẳng ấy đều là nghiệm của hệ phương trình.

Đối với mối quan hệ giữa các hệ số khi hệ phương trình có vô số nghiệm, các hệ số của hai phương trình bậc nhất tỉ lệ với nhau:

\(\frac{a}{a^{\prime}}=\frac{b}{b^{\prime}}=\frac{c}{c^{\prime}}\)

Ví dụ: hệ phương trình 5x+10y=20,  x+2y=4 có đồ thị trùng nhau, có mối quan hệ giữa các hệ số là \(\frac51=\frac{10}{2}=\frac{20}{4}\) và có vô số nghiệm.

Fig.2. Line 5x+10y=20 and x + 2y = 4 on the Desmos Graphing Calculator     (Source [2])

Hệ phương trình vô nghiệm 

Trong trường hợp này, hai đường thẳng d: ax + by = c và d’: a’x + b’y = c’ song song và không cắt nhau; hai đường thẳng không có điểm nào chung và hệ phương trình do đó vô nghiệm.

Đối với mối quan hệ giữa các hệ số khi hệ phương trình vô nghiệm, các tỉ lệ của các hệ số của hai phương trình bậc nhất như sau:

\(\frac{a}{a^{\prime}}=\frac{b}{b^{\prime}}\ne\frac{c}{c^{\prime}}\)

Ví dụ: hệ phương trình  6x+12y = 20, x+2y = 9  có đồ thị song song và không cắt nhau, có mối quan hệ giữa các hệ số là \(\frac61=\frac{12}{2}\ne\frac{20}{9}\) và vô nghiệm.

Fig.3. Line 6x+12y=20 and x + 2y = 9 on the Desmos Graphing Calculator     (Source [3])

Bài toán tìm hằng số/hệ số để thỏa mãn điều kiện của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn trong kì thi Digital SAT

Trong bài thi Digital SAT, các câu hỏi về cách tìm hằng số/hệ số để thỏa mãn điều kiện của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là rất đa dạng. Thí sinh có thể được hỏi về cách tìm hệ số để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, có vô số nghiệm hoặc không có nghiệm nào thỏa mãn ở cả hai dạng bài: trắc nghiệm và điền đáp án vào ô trống.

Giới thiệu máy tính khoa học DESMOS

DESMOS là một phần mềm máy tính khoa học được thiết kế bởi DESMOS Studio. Đây là phần mềm chính thức được tích hợp trong phần mềm Bluebook của bài thi Digital SAT nhằm hỗ trợ thí sinh giải quyết đa dạng các câu hỏi Toán học ở nhiều chuyên đề khác nhau.

Fig. 4. Official logo of Desmos Studio PBC. (Source: [4])

Các tính năng cơ bản của DESMOS

Với phần mềm DESMOS, người học và thí sinh sẽ cần làm quen với một số tính năng cơ bản, bao gồm:

• Các phép cộng, trừ, nhân, chia cơ bản

• Vẽ đồ thị phương trình từ bậc thấp đến cao

• Sử dụng bảng biểu

• Tính năng thanh trượt

• Các phép tính thống kê cơ bản

• Các phép tính lượng giác cơ bản

• V.v.

Trên màn hình giao diện DESMOS, người học có thể nhận diện được các vùng cơ bản. Thứ nhất, vùng bên tay trái là nơi người học nhập phương trình (VD: 2x + y = 0). Thứ hai, vùng mặt phẳng toạ độ Oxy là nơi đồ thị của phương trình hiển thị. Cuối cùng, nút cài đặt (có biểu tượng hình cờ lê) bên góc phải là nơi người học điều chỉnh một số cài đặt để phù hợp nhu cầu (VD: chuyển đổi từ Degree sang Radian.)

Fig. 5. Interface of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [5])

Lưu ý: Phần mềm DESMOS hiện tại mà người học có thể tìm trên mạng có thể được chia làm hai phiên bản: Nguyên bản (đen) và Khảo thí (testing - xanh lá). Phần mềm DESMOS nguyên bản sẽ có nhiều tính năng hơn bản khảo thí, bao gồm tính năng chia sẻ biểu đồ, thư mục, hoặc hình ảnh. Tuy vậy, các tính năng quan trọng dùng trong bài thi SAT vẫn có đầy đủ ở cả hai phiên bản.

Hướng dẫn sử dụng DESMOS để tìm hằng số/hệ số để thỏa mãn điều kiện của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Để sử dụng DESMOS để tìm hằng số/hệ số để thỏa mãn điều kiện của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, người học cần vận dụng tính năng thanh trượt (sliders) từ DESMOS. Dưới đây là hướng dẫn chi tiết từng bước:

Bước 1: Đọc kĩ đề bài để xác định điều kiện của nghiệm.

Người học cần đọc kĩ đề bài để nhận diện yêu cầu về số nghiệm của hệ phương trình:

• Hệ vô nghiệm: Cần điều chỉnh đồ thị trên Desmos sao cho hai đường thẳng song song với nhau.

• Hệ vô số nghiệm: Cần điều chỉnh đồ thị trên Desmos sao cho hai đường thẳng trùng nhau.

• Hệ có nghiệm duy nhất: Cần điều chỉnh đồ thị trên Desmos sao cho hai đường thẳng cắt nhau tại đúng 1 điểm.

Bước 2: Nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài vào ô nhập dữ liệu của DESMOS. Trong đó:

• Nhập ở dòng đầu tiên: phương trình đầu tiên từ đề bài.

• Nhập ở dòng thứ hai: phương trình thứ hai từ đề bài.

• Khi nhập các tham số a, b, … trong mỗi phương trình (tùy vào số lượng tham số trong đề) sẽ xuất hiện dòng “Add Slider”. Người học bấm vào “Add Slider” để hiển thị các thanh trượt (Sliders) cho mỗi tham số.

Bước 3: Thiết lập giới hạn vùng chạy (Range) cho thanh trượt (Sliders) dựa trên các phương án lựa chọn.

Thông thường, thanh trượt trên DESMOS sẽ mặc định khoảng chạy từ -10 đến 10. Để tối ưu thời gian làm bài, người học cần:

• Với dạng bài trắc nghiệm: Người học có thể quan sát giá trị số ở 4 đáp án trắc nghiệm và thay đổi chỉ số của vùng chạy với các giá trị có trong đáp án.

• Với dạng bài điền đáp án vào ô trống: Nếu các hệ số trong đề khá lớn (ví dụ: 36x, 45y,...), giá trị tham số cần tìm thường sẽ có xu hướng nằm ngoài khoảng mặc định. Lúc này người học có thể điều chỉnh lại thành -50 đến 50 hoặc -100 đến 100.

Bước 4: Người học thao tác kéo chuột trên thanh trượt (hoặc nhập thử trực tiếp giá trị) để quan sát chuyển động của đồ thị, xem giá trị nào  thỏa mãn yêu cầu của đề bài (xem lại bước 1).

Bước 5: (Tuỳ vào dạng bài) Thay ngược hằng số hoặc hệ số vào hệ phương trình để kiểm tra lại và kết luận.

Ví dụ minh hoạ:

Câu hỏi: 

42x - 14y = 6x + 28

ky = -45x + 35

In the given system of equations, k is a constant. If the system has infinitely many solutions, what is the value of k?

Hướng dẫn giải bằng DESMOS

Bước 1: Đọc kĩ đề bài để xác định điều kiện của nghiệm.

Người học cần xác định yêu cầu của đề bài là hệ phương trình có vô số nghiệm, nghĩa là cần điều chỉnh làm sao để đồ thị của hai đường thẳng trùng nhau hoàn toàn thành một đường duy nhất trên màn hình DESMOS.

Bước 2: Nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài vào ô nhập dữ liệu của DESMOS. Trong đó:

• Nhập ở dòng đầu tiên: 42x - 14y = 6x + 28

• Nhập ở dòng thứ hai: ky = -45x + 35

• Khi nhập tham số k trong phương trình thứ hai, sẽ xuất hiện dòng “Add Slider”. Người học bấm vào “Add Slider” để hiển thị thanh trượt cho tham số k.

Fig. 6. Line 42x - 14y = 6x + 28 and line ky = -45x +35 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [6])

Bước 3: Thiết lập giới hạn vùng chạy (Range) cho thanh trượt (Sliders) dựa trên các phương án lựa chọn.

Như trong ảnh trên, thanh trượt trên DESMOS sẽ mặc định vùng chạy từ -10 đến 10. Tuy nhiên, có thể thấy hệ số trong hệ phương trình khá lớn, người học có thể dự đoán giá trị k có thể vượt ngoài khoảng mặc định. 

Người học nhấp chuột vào giới hạn của thanh trượt trên DESMOS để mở rộng vùng chạy. Ở đây, người học có thể chọn khoảng từ -50 đến 50.

Fig. 7. Line 42x - 14y = 6x + 28 and line ky = -45x +35 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [7])

Bước 4: Người học thao tác kéo chuột trên thanh trượt (hoặc nhập thử trực tiếp giá trị) để quan sát chuyển động của đồ thị, xem giá trị nào khiến đồ thị đạt được đúng yêu cầu của đề bài (xem lại bước 1).

Người học kéo thanh trượt và quan sát sự thay đổi vị trí tương đối giữa hai đường thẳng, điều chỉnh cho đến khi hai đường thẳng trùng nhau. Giá trị của k tại vị trí trùng nhau này là k = -17.5.

Fig. 8. Line 42x - 14y = 6x + 28 and line ky = -45x +35 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [8])

Bước 5: Thay ngược k = -17.5 vào hệ phương trình (đã thu gọn) để kiểm tra lại: 

36x - 14y = 28 

45x + (-17.5)y = 35 

Có thể thấy: \(\frac{36}{45}=-\frac{14}{-17.5}=\frac{28}{35}\) ứng với điều kiện để hệ phương trình vô số nghiệm.

Vậy đáp án là -17.5.

Lưu ý: DESMOS luôn hiển thị giá trị dưới dạng số thập phân. Do đó, DESMOS hữu dụng khi giá trị cần tìm là giá trị nguyên (1,2,3,...), giá trị thập phân hữu hạn (1.5, 2.5,...), giá trị thập phân vô hạn tuần hoàn (0.6666), hoặc giá trị thập phân không tuần hoàn thông dụng (3.141592). Nếu người học chưa quen nhận diện các giá trị này (VD: 10/3 có thể được biểu diễn là 3.33333), điều nên làm là luôn kiểm tra lại đáp án trước khi chọn.

Xem thêm:

• Chiến lược làm dạng bài Solving systems of linear equations

• Cách làm dạng bài Systems of linear equations word problems - SAT Math

• Cách làm dạng Graphs of linear systems and inequalities trong SAT Math

Bài tập vận dụng

Sau đây, bài viết sẽ giới thiệu đến người học một số câu hỏi Digital SAT có sử dụng DESMOS để tìm hằng số/hệ số để thỏa mãn điều kiện của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Người học hãy sử dụng tính năng DESMOS đã giới thiệu để giải các câu hỏi sau.

Question 1: 

-5x + y  =  29

3x - my  =  2

In the given system of equations, m is a constant. The system has no solutions. What is the value of m?

A. \(\frac53\)

B. \(\frac35\)

C. \(-\frac53\)

D. \(-\frac35\)

Answer: B

Question 2: 

-15x + 2y  =  45 - 22y

36x - ty  =  -108 + 10y

In the given system of equations, t is a constant. The system has infinitely many solutions. What is the value of t?

A. -57.6

B. -47.6

C. 37.6

D. 47.6

Answer: D

Question 3: 

3x - 4y = 9

9x + ky = 25

For which of the following values of k will the system of equations above have no solutions?

A. -12

B. 8

C. 4

D. -4

Answer: A

Question 4: 

ax - y = 0

x - 4by = 3

In the given system of equations, a and b are constants. If the system of equations above has no solutions, what is the value of ab?

Answer: \(\frac14\)

Question 5: 

3x + 12y = 8

ax + by = 11

If the system of equations above has only one solution, which of the following could be the values of a and b?

A. a = 1 and b = 4

B. a = 2 and b = 8

C. a = 5 and b = 18

D. a = -3 and b = -12

Answer: C

Question 6: 

13x + 14y = 112

ax + y = c

In the given system of equations, a and c are constants. If the system has infinitely many solutions, what is the value of a?

A. \(-\frac43\)

B. \(\frac34\)

C. \(\frac43\)

D. 3

Answer: C

Question 7: 

(k-1)x - 2y = 15 

4x - (k+1)y = 30

In the given system of equations, k is a constant. If the system has infinitely many solutions, which of the following statements must be true?

I. The value of k is 3.

II. The value of k can be -3.

III. The ratio of the coefficients of x is equal to 1:2.

A. I only

B. I and III only

C. II and III only

D. I, II, and III

Answer: B

Question 8: 

mx + 4y = 4

x + my = 2

Find the value of m such that the system of linear equations has an infinite number of solutions.

A. m = 2 and m = -2

B. m = -2 

C. m = 2 

D. m = 4 

Answer: C

Question 9: 

mx + ky = -20

4x + ky = 42

In the given system of equations, m and k are constants. The graphs of these equations in the xy-plane intersect at the point (2, y). What is the value of m?

Answer: -27

Question 10: 

12x + 3y = 37

gx + ky = 25

In the given system of equations, g and k are constants. The system has infinitely many solutions. What is the value of \(\frac{g}{k}\)?

A. \(\frac16\)

B. \(\frac23\)

C. \(\frac{3}{14}\)

D. 6

Answer: A

Như vậy, bài viết đã giới thiệu về phần mềm DESMOS và hướng dẫn chi tiết cách sử dụng phần mềm này trong bài thi Digital SAT để tìm hằng số hoặc hệ số để thỏa mãn điều kiện của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Việc vận dụng linh hoạt các tính năng vẽ đồ thị không chỉ giúp thí sinh trực quan hóa các phép biến đổi hình học mà còn là công cụ đắc lực để đối chiếu và xác định chính xác phương trình cần tìm.

Hy vọng người học có thể vận dụng các nội dung và quy trình thao tác trong bài viết để cải thiện hiệu suất ôn tập, đơn giản hóa các bước tính toán phức tạp và nâng cao hiệu quả làm bài của bản thân trong các kỳ thi sắp tới.

Tham khảo chương trình luyện thi SAT cam kết đầu ra tại ZIM Academy để được hướng dẫn chuyên sâu và bứt phá điểm số.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.