Sử dụng DESMOS để tìm giá trị của x tương ứng với phương trình mũ

Trong các bài thi chuẩn hóa quốc tế về năng lực toán, chẳng hạn như Digital SAT, thí sinh có thể sẽ được cung cấp phần mềm DESMOS, phần mềm máy tính khoa học giúp giải quyết các vấn đề liên quan đến đồ thị, thống kê và các phép tính cơ bản. Nắm được các tính năng của DESMOS cũng như thao tác sử dụng sẽ giúp thí sinh tăng tốc độ làm bài, đơn giản hóa các bước tính toán, từ đó nâng cao hiệu quả bài thi. Trong phạm vi bài viết này, tác giả sẽ hướng dẫn người học tìm giá trị của x tương ứng với phương trình mũ.

Lý thuyết chung về phương trình mũ khác cơ số

Phương trình mũ khác cơ số có dạng tổng quát là:

Trong đó: 

• f(x) và g(x) là biểu thức đại số theo biến x 

• a và b được gọi là các cơ số, với a ≠ b

Tuỳ vào dạng biểu thức của f(x) và g(x) mà tập xác định của x sẽ thay đổi.

Lý thuyết về các phương pháp giải phương trình mũ

Để tìm được nghiệm của phương trình mũ, người học thường sử dụng 2 cách tiếp cận trọng tâm trong bài thi SAT: biến đổi phương trình về cùng cơ số và phương pháp đồ thị.

Trường hợp 1: Biến đổi về cùng cơ số 

Nếu các cơ số trong đề bài có có thể đưa về cùng một cơ số chung, người học tiến hành biến đổi, sau đó cho các số mũ bằng nhau và giải phương trình đại số bình thường. 

Ví dụ: Ta có phương trình 9^x = 3^(x+2)

Biến đổi 9 = 3^2, phương trình trở thành: (3^2)^x = 3^(x+2) -> 3^(2x) = 3^(x+2) -> 2x = x + 2 -> x = 2.

Trường hợp 2: Phương pháp đồ thị 

Người học có thể giải phương trình mũ bằng cách sử dụng công cụ máy tính graphing calculator. Đây là phương pháp nhanh chóng, trực quan và hiệu quả trong bài thi SAT, sẽ được phân tích chi tiết ở phần mối liên hệ dưới đây.

Xem thêm: Các quy tắc số mũ (exponent) và căn bậc (radical) trong SAT® Math

Mối liên hệ giữa phương trình mũ khác cơ số và đồ thị

Xét phương trình mũ có dạng tổng quát a^f(x) = b^g(x). Ta có thể diễn giải phương trình này thành hai hàm số riêng biệt đại diện cho hai vế:

• Vế trái tương ứng với hàm số y = a^f(x)

• Vế phải tương ứng với hàm số y = b^g(x)

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị của các hàm số mũ này thường là những đường cong. Như vậy, việc giải phương trình a^f(x) = b^g(x) tương đương với việc tìm hoành độ giao điểm x sao cho đồ thị của vế trái và vế phải cắt nhau.

Ví dụ, với phương trình sau: 4^x = 2^(x+2), ta xét vế trái: 4^x và vế phải 2^(x+2). Như vậy, nghiệm x của phương trình sẽ là giao điểm của hai đồ thị này.

Như ở trên người học tìm được, ta có x = 2 là nghiệm của phương trình.

Vì vậy, đường cong 4^x cắt đường cong 2^(x+2) tại điểm có hoành độ x = 2.

Fig. 1. Equation 4^x = 2^(x+2) on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [1])

Ngoài trường hợp phương trình có một nghiệm duy nhất (hai đồ thị cắt nhau tại đúng một điểm), đối với phương trình mũ, ta còn có các trường hợp đặc biệt sau::

1. Phương trình vô nghiệm

Khi phương trình vô nghiệm, đồ thị của hai vế sẽ hoàn toàn không cắt nhau. Khi đó, với mọi giá trị của x, ta luôn có a^f(x) ≠ b^g(x).

Ví dụ: 2^2x = 4^(x + 1)

Giải phương trình, ta có: 2^2x = (2^2)^(x + 1) -> 2^2x = 2^(2x + 2) -> 2x = 2x + 2 (Vô lý)

-> Phương trình vô nghiệm, và hai đồ thị không cắt nhau.

Fig. 2. Equation 2^2x = 4^(x + 1) on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [2])

2. Phương trình vô số nghiệm

Khi phương trình có vô số nghiệm, đồ thị của hai vế sẽ trùng khít hoàn toàn lên nhau. Khi đó, biểu thức hai vế thực chất là một, với mọi giá trị của x, ta luôn có a^f(x) = b^g(x).

Ví dụ: 5^(x + 1) = 5 ⋅ 5^x

Ta nhận thấy rằng 5 ⋅ 5^x có thể được biến đổi thành 5^1 ⋅ 5^x = 5^(1 + x)

-> 5^(x + 1) = 5^(1 + x) -> Đúng với mọi x.

-> Phương trình vô số nghiệm, hai đồ thị trùng nhau.

Fig. 3. Equation 5^(x + 1) = 5 ⋅ 5^x on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [3])

Tìm giá trị của x tương ứng với phương trình mũ trong câu hỏi Digital SAT

Trong bài thi Digital SAT, thí sinh có thể được hỏi về việc tìm nghiệm của phương trình mũ, hoặc tìm giá trị biểu thức liên quan đến nghiệm.

Giới thiệu máy tính khoa học DESMOS

DESMOS là một phần mềm máy tính khoa học được thiết kế bởi DESMOS Studio. Đây là phần mềm chính thức được tích hợp trong phần mềm Bluebook của bài thi Digital SAT nhằm hỗ trợ thí sinh giải quyết đa dạng các câu hỏi Toán học ở nhiều chuyên đề khác nhau.

Fig.4. Official logo of Desmos Studio PBC. (Source: [4])

Các tính năng cơ bản của DESMOS

Với phần mềm DESMOS, người học và thí sinh sẽ cần làm quen với một số tính năng cơ bản, bao gồm:

• Các phép cộng, trừ, nhân, chia cơ bản

• Vẽ đồ thị phương trình từ bậc thấp đến cao

• Sử dụng bảng biểu

• Tính năng thanh trượt

• Các phép tính thống kê cơ bản

• Các phép tính lượng giác cơ bản

• V.v.

Trên màn hình giao diện DESMOS, người học có thể nhận diện được các vùng cơ bản. Thứ nhất, vùng bên tay trái là nơi người học nhập phương trình (VD: 2x + y = 0). Thứ hai, vùng mặt phẳng toạ độ Oxy là nơi đồ thị của phương trình hiển thị. Cuối cùng, nút cài đặt (có biểu tượng hình cờ lê) bên góc phải là nơi người học điều chỉnh một số cài đặt để phù hợp nhu cầu (VD: chuyển đổi từ Degree sang Radian.)

Fig. 5. Interface of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [5])

Lưu ý: Phần mềm DESMOS hiện tại mà người học có thể tìm trên mạng có thể được chia làm hai phiên bản: Nguyên bản (đen) và Khảo thí (testing - xanh lá). Phần mềm DESMOS nguyên bản sẽ có nhiều tính năng hơn bản khảo thí, bao gồm tính năng chia sẻ biểu đồ, thư mục, hoặc hình ảnh. Tuy vậy, các tính năng quan trọng dùng trong bài thi SAT vẫn có đầy đủ ở cả hai phiên bản.

Hướng dẫn sử dụng DESMOS để tìm giá trị của x tương ứng với phương trình mũ

Để sử dụng DESMOS để giải phương trình mũ khác cơ số, người học cần vận dụng tính năng vẽ đồ thị phương trình. Dưới đây là hướng dẫn chi tiết từng bước:

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định phương trình cần giải. Xác định rõ phương trình mũ đề bài cung cấp và đại lượng cần tìm.

Bước 2: Nhập y nguyên phương trình vào ô nhập dữ liệu của DESMOS. Tại dòng lệnh đầu tiên, người học gõ chính xác toàn bộ phương trình đề bài cho. (Lưu ý: Người học có thể bấm vào ký hiệu bàn phím ở góc dưới bên trái màn hình DESMOS hoặc dùng ký hiệu "^" trên bàn phím để gõ số mũ lũy thừa. Nhớ sử dụng ngoặc đơn cho các số mũ có chứa phép tính).

Bước 3: Đọc kết quả nghiệm trên đồ thị. Khi nhập xong toàn bộ phương trình vào một dòng, DESMOS sẽ tự động giải và hiển thị nghiệm dưới dạng một đường thẳng đứng trên mặt phẳng tọa độ. Người học chỉ cần nhấp chuột vào đường thẳng này (hoặc điểm cắt của nó với trục hoành), phần mềm sẽ hiển thị hoành độ x. Giá trị x đó chính là nghiệm chính xác của phương trình.

Bước 4: Thử lại nghiệm. Nếu muốn chắc chắn, người học thay giá trị x vừa tìm được vào phương trình ban đầu để kiểm tra độ chính xác của đáp án.

Ví dụ minh hoạ: 

9^(x+1) = 27^(x-2)

In the equation above, what is the value of x? 

A. -4 

B. 4 

C. 8 

D. 12

Hướng dẫn giải bằng Desmos: 

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện.

Phương trình được cho: 9^(x+1) = 27^(x-2)

Yêu cầu: Tìm nghiệm x của phương trình.

Bước 2: Nhập y nguyên phương trình vào DESMOS.

Tại dòng thứ nhất, nhập trực tiếp toàn bộ phương trình: 9^(x+1) = 27^(x-2)

Bước 3: Đọc kết quả.

DESMOS sẽ lập tức xử lý và vẽ một đường thẳng đứng. Nhấp chuột vào đường thẳng này, phần mềm hiển thị tọa độ trên trục hoành là x = 8.

Vậy nghiệm của phương trình là x = 8.

Kết luận: Chọn đáp án C.

Fig. 6.  Equation 9^(x+1) = 27^(x-2) on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [6])

Lưu ý: DESMOS luôn hiển thị giá trị dưới dạng số thập phân. Do đó, DESMOS hữu dụng khi giá trị cần tìm là giá trị nguyên (1,2,3,...), giá trị thập phân hữu hạn (1.5, 2.5,...), giá trị thập phân vô hạn tuần hoàn (0.6666), hoặc giá trị thập phân không tuần hoàn thông dụng (3.141592). Nếu người học chưa quen nhận diện các giá trị này (VD: 10/3 có thể được biểu diễn là 3.33333), điều nên làm là luôn kiểm tra lại đáp án trước khi chọn.

Tham khảo thêm tại: Sử dụng DESMOS để rút gọn biểu thức hữu tỉ trong câu hỏi SAT Math

Bài tập vận dụng

Sau đây, bài viết sẽ giới thiệu đến người học một số câu hỏi Digital SAT có sử dụng DESMOS để tìm giá trị của x tương ứng với phương trình mũ Người học hãy sử dụng tính năng DESMOS đã giới thiệu để giải các câu hỏi sau.

Question 1:

4^(x - 3) = 8^(x + 1)

In the equation above, what is the value of x?

A. -9

B. -3

C. 3

D. 9

Answer: A

Question 2:

25^(x + 2) = 125^(x - 1)

In the equation above, what is the value of x?

A. -7

B. 1

C. 7

D. 11

Answer: C

Question 3:

2^(3x - 1) = 16^x

In the equation above, what is the value of x?

A. -2

B. -1

C. 1

D. 2

Answer: B

Question 4:

9^x = 3^(x + 4)

In the equation above, what is the value of x?

A. 2

B. 4

C. 6

D. 8

Answer: B

Question 5:

For what value of x is the equation 3^(2x) * 3^(x - 1) = 81 true?

A. 1

B. 4/3

C. 5/3

D. 2

Answer: C

Question 6:

If 7^(x - 2) = 1, what is the value of x?

A. 0

B. 1

C. 2

D. 7

Answer: C

Question 7:

If 2^(x + 3) = 32, what is the value of 3x?

A. 2

B. 3

C. 5

D. 6

Answer: D

Question 8:

For a constant k, the equation 2^x = 4^(x - 1) + k(2^(x - 2)) is true for x = 3. What is the value of k?

A. -4

B. -2

C. 2

D. 4

Answer: A

Question 9:

A biologist models the population of a bacteria colony over time t hours by the equation P(t) = 500(2)^(t/3). How many hours will it take for the population to reach 4000?

A. 3

B. 6

C. 9

D. 12

Answer: C

Question 10:

A bacteria culture grows such that its population after t hours is modeled by 3^(t + 2). A second culture grows according to 9^(t + k), where k is a constant. If the two populations are equal at exactly t = 4, what is the value of k?

A. -2

B. -1

C. 1

D. 2

Answer: B

Đọc thêm tại: Sử dụng DESMOS để xác định khoảng cách giữa hai điểm trên mặt phẳng Oxy

Như vậy, bài viết đã giới thiệu về phần mềm DESMOS và hướng dẫn chi tiết cách sử dụng phần mềm này trong bài thi Digital SAT để tìm giá trị của x tương ứng với phương trình mũ. Việc vận dụng linh hoạt các tính năng vẽ đồ thị không chỉ giúp thí sinh trực quan hóa các phép biến đổi hình học mà còn là công cụ đắc lực để đối chiếu và xác định chính xác phương trình hàm số cần tìm.

Hy vọng người học có thể vận dụng các nội dung và quy trình thao tác trong bài viết để cải thiện hiệu suất ôn tập, đơn giản hóa các bước tính toán phức tạp và nâng cao hiệu quả làm bài của bản thân trong các kỳ thi sắp tới.

Tham khảo chương trình luyện thi SAT cam kết đầu ra tại ZIM Academy để được hướng dẫn chuyên sâu và bứt phá điểm số.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.