Sử dụng DESMOS để tìm hàm chứa căn dựa trên bảng toạ độ

Trong các bài thi chuẩn hóa quốc tế về năng lực toán, chẳng hạn như Digital SAT, thí sinh có thể sẽ được cung cấp phần mềm DESMOS, phần mềm máy tính khoa học giúp giải quyết các vấn đề liên quan đến đồ thị, thống kê và các phép tính cơ bản. Nắm được các tính năng của DESMOS cũng như thao tác sử dụng sẽ giúp thí sinh tăng tốc độ làm bài, đơn giản hóa các bước tính toán, từ đó nâng cao hiệu quả bài thi. Trong phạm vi bài viết này, tác giả sẽ hướng dẫn người đọc cách sử dụng DESMOS để tìm hàm số bậc hai dựa trên bảng toạ độ, một dạng bài phổ biến trong bài thi Digital SAT.

Lý thuyết chung về hàm số chứa căn 

Hàm số chứa căn bậc hai cơ bản có dạng tổng quát là:

y=f(x) =a√(x-h)+k

Trong đó: 

• a, h, và k là các hằng số.

Điều kiện xác định: (x - h) ≥ 0.

Xem thêm: Cách làm dạng bài Radicals and rational exponents

Cách tìm hàm số chứa căn dựa trên các điểm bất kỳ

Để tìm hàm số chứa căn đi qua các điểm đã cho, ta sử dụng dạng tổng quát của hàm chứa căn:

y=f(x) =a√(x-h)+k

Vì hàm số có 3 ẩn số là a, h, và k, nên người học cần ít nhất 3 điểm khác nhau thuộc đồ thị để lập hệ phương trình và tìm các hệ số.

Khi có ít nhất 3 điểm, người học thay tọa độ từng điểm vào phương trình để tạo thành hệ phương trình. Sau đó, người học giải hệ để tìm giá trị của a, h, và k. Cuối cùng, thay các giá trị vừa tìm được vào dạng tổng quát để viết phương trình của hàm số.

Ví dụ: Cho ba điểm A(1, 2), B(5, 6), và C(10, 8).

Bước 1: Viết dạng tổng quát của hàm số: y = a√(x - h) + k

Bước 2: Thay tọa độ các điểm vào phương trình.

Với A(1, 2) -> 2 = a√(1 - h) + k 

Với B(5, 6) -> 6 = a√(5 - h) + k 

Với C(10, 8) -> 8 = a√(10 - h) + k 

Bước 3: Giải hệ phương trình.

Ta nhận thấy điểm A(1, 2) có thể là điểm bắt đầu của đồ thị. Do đó: h = 1, k = 2

Thay vào hai phương trình còn lại:

6 = a√(5 - 1)+2 -> a = 2

Kiểm tra với điểm C:

8 = 2√(10 - 1) + 2 -> 8 = 6 + 2 (Đúng).

Đẳng thức đúng, nên các giá trị đã tìm được là chính xác.

Vậy phương trình của hàm số là:

y = 2√(x - 1) + 2.

Fig. 1. Function y = 2√(x - 1) + 2 on the Desmos Graphing Calculator. (Source [1])

Lưu ý rằng không phải mọi bộ ba điểm đều xác định được một hàm số căn thức dạng y = a√(x - h) + k. Chỉ những bộ điểm phù hợp với dạng hàm này mới cho nghiệm thực của hệ phương trình. Vì vậy, trong các bài toán Digital SAT, các điểm được cho thường được lựa chọn sao cho tồn tại một hàm số căn thức phù hợp. 

Diễn giải đồ thị hàm số chứa căn thức trên mặt phẳng toạ độ Oxy

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy:

• Đồ thị của hàm số y = f(x) = a√(x - h) + k là một đường cong bắt đầu từ điểm (h, k).

• Hàm số chỉ xác định khi x ≥ h, nên đồ thị chỉ tồn tại về phía bên phải của đường thẳng x = h.

• Điểm (h, k) là điểm đầu của đồ thị, được gọi là endpoint.

• Các cặp giá trị (x, y) thoả mãn hàm số sẽ nằm trên đồ thị.

Ngoài ra, người học có thể thấy hệ số a sẽ quyết định chiều biến thiên của đồ thị.

• Nếu a > 0, đồ thị tăng dần từ điểm (h, k).

• Nếu a < 0, đồ thị giảm dần từ điểm (h, k).

Cuối cùng, như đã nêu trên, x-intercept là điểm mà đồ thị hàm số sẽ giao trục Ox, và y-intercept là điểm mà đồ thị hàm số sẽ giao trục Oy.

Ví dụ: Xét hàm số y = f(x) = 2√(x + 1) - 4.

Ta có điều kiện xác định là x + 1 ≥ 0 -> x ≥ -1. Như vậy, đồ thị sẽ chỉ tồn tại ở phía bên phải của đường thẳng x = -1.

Ngoài ra, người học có thể thấy rằng, trong trường hợp này, k = -4 và a = 2 > 0.

Như vậy, đồ thị sẽ bắt đầu từ điểm (-1, -4) và tăng dần. 

Fig. 2. Function f(x) = 2√(x + 1) - 4 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [2])

Tìm hàm số chứa căn trên bảng toạ độ trong câu hỏi Digital SAT

Trong bài thi Digital SAT, các câu hỏi về tìm hàm chứa căn dựa trên bảng toạ độ là rất đa dạng. Thí sinh có thể được hỏi về việc tìm hàm số dựa trên bảng, dựa trên điểm nằm trên hàm số, tìm hằng số trong giá trị bảng để có được hàm số cho sẵn, hay trả lời các câu hỏi mang tính thực tế liên quan đến chủ đề.

Giới thiệu máy tính khoa học DESMOS

DESMOS là một phần mềm máy tính khoa học được thiết kế bởi DESMOS Studio. Đây là phần mềm chính thức được tích hợp trong phần mềm Bluebook của bài thi Digital SAT nhằm hỗ trợ thí sinh giải quyết đa dạng các câu hỏi Toán học ở nhiều chuyên đề khác nhau.

Fig. 3. Official logo of Desmos Studio PBC. (Source: [3])

Các tính năng cơ bản của DESMOS

Với phần mềm DESMOS, người học và thí sinh sẽ cần làm quen với một số tính năng cơ bản, bao gồm:

• Các phép cộng, trừ, nhân, chia cơ bản

• Vẽ đồ thị phương trình từ bậc thấp đến cao

• Sử dụng bảng biểu

• Tính năng thanh trượt

• Các phép tính thống kê cơ bản

• Các phép tính lượng giác cơ bản

• V.v.

Trên màn hình giao diện DESMOS, người học có thể nhận diện được các vùng cơ bản. Thứ nhất, vùng bên tay trái là nơi người học nhập phương trình (VD: 2x + y = 0). Thứ hai, vùng mặt phẳng toạ độ Oxy là nơi đồ thị của phương trình hiển thị. Cuối cùng, nút cài đặt (có biểu tượng hình cờ lê) bên góc phải là nơi người học điều chỉnh một số cài đặt để phù hợp nhu cầu (VD: chuyển đổi từ Degree sang Radian.)

Fig. 4. Interface of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [4])

Lưu ý: Phần mềm DESMOS hiện tại mà người học có thể tìm trên mạng có thể được chia làm hai phiên bản: Nguyên bản (đen) và Khảo thí (testing - xanh lá). Phần mềm DESMOS nguyên bản sẽ có nhiều tính năng hơn bản khảo thí, bao gồm tính năng chia sẻ biểu đồ, thư mục, hoặc hình ảnh. Tuy vậy, các tính năng quan trọng dùng trong bài thi SAT vẫn có đầy đủ ở cả hai phiên bản.

Hướng dẫn sử dụng DESMOS để tìm hàm chứa căn dựa trên bảng toạ độ

Để sử dụng DESMOS để tìm hàm số chứa căn dựa trên bảng tọa độ, người học cần vận dụng tính năng vẽ đồ thị và tính năng bảng. Dưới đây là hướng dẫn chi tiết từng bước:

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp.

Người học đọc kỹ đề bài để xác định hàm số chứa căn cũng như các lựa chọn được cho trong đề bài.

Bước 2: Nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài vào ô nhập dữ liệu của phần DESMOS graphing calculator, bao gồm hàm số được cho sẵn. Nếu người học cần gõ các ký tự đặc biệt, người học có thể bấm vào ký hiệu bàn phím ở góc dưới trái của màn hình để hiện ra chức năng bàn phím để hỗ trợ trong việc bấm biểu thức.

DESMOS sẽ tự động vẽ đồ thị của hàm số tương ứng.

Bước 3: Sau đó, người đọc cần mở chức năng table bằng cách bấm vào dấu cộng để “add item”.

Sau đó, người học cần nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài (toạ độ điểm hoặc các giá trị trên bảng) vào ô nhập dữ liệu của phần bảng trong DESMOS graphing calculator. 

DESMOS sẽ tự động cho thấy các giá trị này trên mặt phẳng toạ độ.

Bước 4: Người học quan sát giao diện của DESMOS để phân tích từng đồ thị một. Đồ thị nào mà đi qua cả 3 điểm trên giao diện chính là đồ thị cần tìm.

Bước 5: (Tuỳ chọn) Người học thế các điểm được cho vào hàm số tìm được.

Ví dụ minh hoạ:

The table below shows the possible values of a radical function.

Which function has the values shown?

A. y = 2√(x - 5​) - 1

B. y = 2√(x - 4) - 3

C. y = 4√(x - 5) - 1

D. y = 2√(x - 3) - 5

Hướng dẫn giải bằng DESMOS

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp

• Đề bài cho các giá trị trong bảng.

• Người học cần tìm hàm số chứa các giá trị được cho.

Bước 2: Nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài vào ô nhập dữ liệu của DESMOS. Trong trường hợp này, người học lập lần lượt tất cả các hàm số được cho trong các đáp án vào từng dòng của giao diện.

Lưu ý, với dấu căn, người học nên sử dụng phần bàn phím ảo như đã nêu trên hoặc cũng có thể bấm trên bàn phím cơ.

Fig. 5. The Calculator function on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [5])

DESMOS sẽ hiển thị đồ thị của các hàm số.

Fig. 6. Function f(x) = 2√(x + 2) - 1 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [6]) 

Bước 3: Người học bắt đầu bằng việc tạo bảng.

Fig. 7. Interface of the Desmos Graphing Calculator with the Table function. (Source: [7])

Sau đó, người học cần cho các toạ độ của điểm vào trong phần bảng đã lập được.

Fig. 8. The Table function of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [8])

Người học nên có được một bảng hiện dữ liệu như sau.

DESMOS sẽ hiển thị các điểm trên mặt phẳng tọa độ. 

Bước 4: Người học quan sát từng đồ thị một để xem đồ thị nào sẽ đi qua 3 điểm được cho. Trong trường hợp này, người học có thể thấy rằng hàm số y = 2√(x - 5​) - 1 đang đi qua cả 3 điểm.

-> Chọn A.

Fig. 9. Function f(x) = 2√(x + 2) - 1 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [6]) 

Bước 5: Người học có thể thử lại tọa độ 3 điểm này vào trong hàm số y = 2√(x - 5​) - 1.

• -1 = 2√(5 - 5​) - 1 -> -1 = -1 (Đúng)

• 1 = 2√(6 - 5​) - 1 -> 1 = 2√1 - 1 -> 1 = 1 (Đúng)

• 5 = 2√(14 - 5​) - 1 -> 5 = 2√9 - 1 -> 5 = 6 - 1 (Đúng)

-> Xác định đáp án được chọn là chính xác.

Lưu ý: DESMOS luôn hiển thị giá trị dưới dạng số thập phân. Do đó, DESMOS hữu dụng khi giá trị cần tìm là giá trị nguyên (1,2,3,...), giá trị thập phân hữu hạn (1.5, 2.5,...), giá trị thập phân vô hạn tuần hoàn (0.6666), hoặc giá trị thập phân không tuần hoàn thông dụng (3.141592). Nếu người học chưa quen nhận diện các giá trị này (VD: 10/3 có thể được biểu diễn là 3.33333), điều nên làm là luôn kiểm tra lại đáp án trước khi chọn.

Xem thêm: Các quy tắc số mũ (exponent) và căn bậc (radical) trong SAT® Math

Bài tập vận dụng

Sau đây bài viết sẽ giới thiệu đến người học một số câu hỏi Digital SAT có sử dụng DESMOS để tìm hàm chứa căn dựa trên bảng toạ độ [9]. Người học hãy sử dụng tính năng DESMOS đã giới thiệu để giải các câu hỏi sau.

Question 1: 

The table shows values of a radical function f(x).

What is the function of f(x)?

A. f(x) = -2√(x - 5) + 1

B. f(x) = -2√(x - 5) + 3

C. f(x) = 2√(x - 5) + 2

D. f(x) = -2√(x - 5) + 2

Answer: D

Question 2: 

The table shows values of a radical function f(x).

If f(x) is defined as f(x) = a√(x - h) + k, what is the function of f(x)?

A. f(x) = 3√(x - 4) + 5

B. f(x) = 3√(x - 4) + 3

C. f(x) = 3√(x - 4) + 1

D. f(x) = 3√(x - 4) - 1

Answer: C

Question 3:

The table shows values of a radical function h(x).

Which function could be h(x)?

A. f(x) = 2√(x +1) - 5

B. f(x) = (1/2)√(x +1) - 5

C. f(x) = √(x +1) - 5

D. f(x) = 3√(x +1) - 5

Answer: B

Question 4:

The table shows values of a radical function g(x).

Which function matches the table?

A. g(x) = 4√(x - 2) - 3

B. g(x) = 4√(x - 4) - 3

C. g(x) = 4√(x - 6) - 3

D. g(x) = 4√(x - 8) - 3

Answer: A

Question 5:

The table shows values of a radical function p(x).

Which function matches the table?

A. p(x) = 3√(x - 10) - 6

B. p(x) = 3√(x - 9) - 6

C. p(x) = 3√(x - 6) - 6

D. p(x) = 3√(x + 10) - 6

Answer: A

Question 6:

The table shows values of a radical function p(x).

If p(x) = a√(x - h)​ + k, what is the value of p(1 - 3h)?

A. -1

B. 1

C. 3 

D. 5

Answer: D

Question 7:

The table shows values of a radical function h(x).

Which expression could be h(x) - 2?

A. -3√(12 - x) + 3

B. -3√(12 - x) + 5

C. -3√(12 - x) + 7

D. 3√(12 - x) + 9

Answer: A

Question 8:

The table shows values of a radical function p(x).

Which function could be p(x)?

A. p(x) = 2√(x - 2) + 1

B. p(x) = 2√[(x - 2)/2] + 1

C. p(x) = 4√[(x - 2)/2] + 1

D. p(x) = 2√[(x - 1)/2] + 1

Answer: B

Question 9:

The table shows values of a radical function g(x).

Which function could be 2g(x) + 1?

A. 4√[2(x - 3)] - 1 

B. 4√[2(x - 3)] - 7

C. 4√[2(x - 3)] - 5 

D. 4√[2(x - 3)] - 3 

Answer: D

Question 10:

A hiking trail begins at a lookout point. Let x represent the number of miles hiked after the lookout, and let H(x) represent the hiker's elevation gain (in hundreds of feet) relative to the lookout.

A ranger records the following data.

Which function best models the data? 

A. H(x) = 4√x + 3

B. H(x) = 2√(2x) + 3

C. H(x) = 2√x + 3

D. H(x) = 2√(2x) + 3

Answer: B

Như vậy, bài viết đã giới thiệu về phần mềm DESMOS và hướng dẫn chi tiết cách sử dụng phần mềm này trong bài thi Digital SAT để tìm hàm chứa căn dựa trên bảng toạ độ. Việc vận dụng linh hoạt các tính năng vẽ đồ thị không chỉ giúp thí sinh trực quan hóa các phép biến đổi hình học mà còn là công cụ đắc lực để đối chiếu và xác định chính xác phương trình hàm số cần tìm.

Hy vọng người học có thể vận dụng các nội dung và quy trình thao tác trong bài viết để cải thiện hiệu suất ôn tập, đơn giản hóa các bước tính toán phức tạp và nâng cao hiệu quả làm bài của bản thân trong các kỳ thi sắp tới.

Tham khảo chương trình luyện thi SAT cam kết đầu ra tại ZIM Academy để được hướng dẫn chuyên sâu và bứt phá điểm số.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.