Sử dụng DESMOS để tìm hằng số/hệ số của hàm bậc cao & thực hiện phép tính

Trong các bài thi chuẩn hóa quốc tế về năng lực toán, chẳng hạn như Digital SAT, thí sinh có thể sẽ được cung cấp phần mềm DESMOS, phần mềm máy tính khoa học giúp giải quyết các vấn đề liên quan đến đồ thị, thống kê và các phép tính cơ bản. Nắm được các tính năng của DESMOS cũng như thao tác sử dụng sẽ giúp thí sinh tăng tốc độ làm bài, đơn giản hóa các bước tính toán, từ đó nâng cao hiệu quả bài thi. Trong phạm vi bài viết này, tác giả sẽ hướng dẫn người học tìm hệ số chưa biết của đa thức và thực hiện tính toán.

Đọc thêm tại: Kỳ thi SAT là gì? Những điều cơ bản thí sinh cần biết

Lý thuyết chung về hàm số bậc cao

Hàm số bậc cao là một đa thức với bậc lớn hơn 2. Hàm số bậc cao thường có dạng

Hàm số bậc cao được xác định trên R và liên tục trên R.

• Hạng tử: Là mỗi phần tử trong đa thức

• Biến số: Là thành phần đại diện cho giá trị chưa biết (x, y, a,…)

• Bậc của hạng tử: Là số mũ của biến đó. 

• Bậc của hàm số đa thức: Là bậc lớn nhất của các hạng tử.

• Hệ số: Số đứng trước biến. Trong hạng tử 7x, hệ số là 7.

• Hệ số tự do: Hạng tử không chứa biến (biến bậc 0).

Ngoài dạng tổng quát, các hàm số bậc cao thường được viết dưới dạng nhân tử (Factored form):

Đồ thị của hàm đa thức bậc cao là các đường cong liên tục, trơn, không có góc nhọn và có thể đổi chiều nhiều lần.

• Hàm bậc ba  y = ax^3 + bx^2 + cx + d thường có  đồ thị  dạng chữ “N” hoặc chữ “N” ngược và đồ thị hướng lên khi a > 0; đồ thị hướng xuống khi a < 0.

• Hàm bậc bốn y = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e đồ thị cả hai đầu đồ thị đều hướng lên trên khi a>0; đồ thị có cả hai đầu đều hướng xuống dưới khi a<0. 

Lý thuyết về định lý phần dư và định lý nhân tử

Bên cạnh các kiến thức chung về bậc, hệ số và hình dáng đồ thị, để giải quyết dạng bài tìm hệ số chưa biết trong một đa thức bậc cao, người học cần nắm vững hai định lý cốt lõi sau đây:

• Định lý phần dư (Remainder Theorem): Khi chia một đa thức P(x) cho một nhị thức bậc nhất có dạng (x - a), phần dư thu được chính là giá trị của đa thức tại x = a. Nói cách khác, phần dư R = P(a).

  • Ví dụ: Nếu P(x) chia cho (x - 3) dư 5, thì P(3) = 5.

  • Nếu P(x) chia cho (x + 2) dư -4, thì P(-2) = -4 (vì x + 2 tương đương với x - (-2)).

• Định lý nhân tử (Factor Theorem): Định lý này là một hệ quả trực tiếp của Định lý phần dư. Đa thức P(x) có một nhân tử là (x - a) khi và chỉ khi phần dư bằng 0, tức là P(a) = 0.

  • Khi P(a) = 0, x = a chính là một nghiệm của phương trình đa thức.

  • Ví dụ: Nếu đa thức chia hết cho (x - 2), hoặc có một nhân tử là (x - 2), hoặc có hoành độ gốc tại x = 2, thì ta luôn có P(2) = 0.

Cách tìm hệ số/hằng số chưa biết của đa thức bậc cao và thực hiện tính toán

Bước 1: Đọc dữ kiện bài toán và áp dụng định lý phần dư hoặc định lý nhân tử để thiết lập các phương trình giá trị (ví dụ: P(a) = 0 hoặc P(a) = R).

Bước 2: Thay thế tọa độ hoặc giá trị x vào biểu thức để tạo thành phương trình theo ẩn hằng số cần tìm (k, c, m, …). Giải phương trình để tìm hằng số.

Bước 3: Viết lại biểu thức hàm số hoàn chỉnh và tiếp tục thay số để tính toán yêu cầu phụ của đề bài (ví dụ: tìm P(b)).

Ví dụ: 

The polynomial function p(x) = 2x^3 - kx^2 + 5x - 6 has a zero at x = 2. What is the value of p(-1)? 

A. -16 

B. -18 

C. -20 

D. -22

Hướng dẫn giải: 

Bước 1: Sử dụng Định lý nhân tử, vì x = 2 là một nghiệm của đa thức p(x), ta có p(2) = 0.

Bước 2: Thay x = 2 vào hàm số p(x) để thiết lập phương trình tìm k: 2(2)^3 - k(2)^2 + 5(2) - 6 = 0 => 16 - 4k + 10 - 6 = 0 => 20 - 4k = 0 => 4k = 20 => k = 5

Bước 3: 

• Viết lại hàm số p(x) hoàn chỉnh với k = 5: p(x) = 2x^3 - 5x^2 + 5x - 6

• Tính p(-1) theo yêu cầu của đề bài: p(-1) = 2(-1)^3 - 5(-1)^2 + 5(-1) - 6 p(-1) = -2 - 5 - 5 - 6 = -18 => Chọn đáp án B.

Tìm hệ số chưa biết của đa thức và thực hiện tính toán trong câu hỏi Digital SAT

Trong bài thi Digital SAT, các câu hỏi về tìm hệ số chưa biết của đa thức và thực hiện tính toán là rất đa dạng. Thí sinh có thể được hỏi về việc xác định một hằng số k bị khuyết thông qua nghiệm cho trước, phần dư của phép chia đa thức, hoặc tọa độ điểm đi qua, sau đó yêu cầu tính giá trị của hàm số tại một điểm khác hoặc tìm các nghiệm còn lại.

Tham khảo thêm: Sử dụng DESMOS để xác định số nghiệm của phương trình bậc cao

Giới thiệu máy tính khoa học DESMOS

DESMOS là một phần mềm máy tính khoa học được thiết kế bởi DESMOS Studio. Đây là phần mềm chính thức được tích hợp trong phần mềm Bluebook của bài thi Digital SAT nhằm hỗ trợ thí sinh giải quyết đa dạng các câu hỏi Toán học ở nhiều chuyên đề khác nhau.

Fig. 1. Official logo of Desmos Studio PBC. (Source: [1])

Các tính năng cơ bản của DESMOS

Với phần mềm DESMOS, người học và thí sinh sẽ cần làm quen với một số tính năng cơ bản, bao gồm:

• Các phép cộng, trừ, nhân, chia cơ bản

• Vẽ đồ thị phương trình từ bậc thấp đến cao

• Sử dụng bảng biểu

• Tính năng thanh trượt

• Các phép tính thống kê cơ bản

• Các phép tính lượng giác cơ bản

• V.v.

Trên màn hình giao diện DESMOS, người học có thể nhận diện được các vùng cơ bản. Thứ nhất, vùng bên tay trái là nơi người học nhập phương trình (VD: 2x + y = 0). Thứ hai, vùng mặt phẳng toạ độ Oxy là nơi đồ thị của phương trình hiển thị. Cuối cùng, nút cài đặt (có biểu tượng hình cờ lê) bên góc phải là nơi người học điều chỉnh một số cài đặt để phù hợp nhu cầu (VD: chuyển đổi từ Degree sang Radian.)

Fig. 2. Interface of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [2])

Lưu ý: Phần mềm DESMOS hiện tại mà người học có thể tìm trên mạng có thể được chia làm hai phiên bản: Nguyên bản (đen) và Khảo thí (testing - xanh lá). Phần mềm DESMOS nguyên bản sẽ có nhiều tính năng hơn bản khảo thí, bao gồm tính năng chia sẻ biểu đồ, thư mục, hoặc hình ảnh. Tuy vậy, các tính năng quan trọng dùng trong bài thi SAT vẫn có đầy đủ ở cả hai phiên bản.

Hướng dẫn sử dụng DESMOS để tìm hệ số chưa biết của đa thức và thực hiện tính toán

Để sử dụng DESMOS giải quyết dạng bài tìm hệ số hoặc hằng số chưa biết của đa thức bậc cao rồi thực hiện các bước tính toán tiếp theo, người học cần vận dụng tính năng giải phương trình và tính giá trị hàm của phần mềm. Dưới đây là hướng dẫn chi tiết các bước giải:

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp.

Người học đọc kĩ đề bài để xác định tọa độ điểm đi qua, nghiệm, hoặc phần dư của phép chia đa thức, cũng như biểu thức giá trị hàm số cần tính ở yêu cầu cuối cùng.

Bước 2: Nhập dữ kiện vào ô nhập dữ liệu của phần DESMOS graphing calculator để tìm hệ số khuyết.

Dựa vào Định lý phần dư hoặc Định lý nhân tử, người học thiết lập phương trình giá trị (ví dụ f(a) = 0 hoặc f(a) = R). Nhập trực tiếp phương trình này vào DESMOS bằng cách thay số vào biến x của đa thức, đồng thời thay hằng số chưa biết (k, c, m...) bằng chữ x. DESMOS sẽ tự động vẽ một đường thẳng đứng tại vị trí nghiệm, hiển thị giá trị của hằng số cần tìm.

Bước 3: Nhập lại hàm số hoàn chỉnh và thực hiện tính toán.

Sau khi tìm được hằng số, người học nhập lại biểu thức hàm số hoàn chỉnh vào một dòng mới trên giao diện (ví dụ: f(x) = ...). Tiếp theo, để tính giá trị mà đề bài yêu cầu, người học chỉ cần gõ lệnh tương ứng (ví dụ: f(b)) ở dòng bên dưới. DESMOS sẽ tự động trả kết quả tính toán.

Ví dụ minh họa:

The polynomial function p(x) = 2x^3 - kx^2 + 5x - 6 has a zero at x = 2. What is the value of p(-1)?

A. -16

B. -18

C. -20

D. -22

Hướng dẫn giải bằng DESMOS:

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp:

Đề cho hàm số bậc 3: p(x) = 2x^3 - kx^2 + 5x - 6 có một nghiệm tại x = 2. Dựa vào định lý nhân tử, điều kiện này tương đương với p(2) = 0.

Đề yêu cầu tìm: Giá trị của p(-1).

Bước 2: Nhập dữ kiện vào ô nhập dữ liệu của phần DESMOS graphing calculator để tìm hệ số khuyết:

Nhập phương trình p(2) = 0 vào DESMOS bằng cách thay số 2 vào vị trí của x, đồng thời thay biến k bằng chữ x để máy tính nhận diện ẩn cần giải:

2(2)^3 - x(2)^2 + 5(2) - 6 = 0

Đồ thị DESMOS sẽ hiển thị một đường thẳng đứng tại vị trí x = 5. Suy ra hệ số bị khuyết là k = 5.

Fig. 3. 2(2)^{3}-x(2)^{2}+5(2)-6=0 on the Graphing Calculator. (Source: [3])

Bước 3: Nhập lại hàm số hoàn chỉnh và thực hiện tính toán:

Tại dòng dữ liệu tiếp theo, nhập biểu thức hàm số đã hoàn thiện hệ số:

p(x) = 2x^3 - 5x^2 + 5x - 6

Tại dòng dưới cùng, gõ lệnh tính giá trị: p(-1)

DESMOS tự động tính và trả về kết quả là -18 ở góc dưới của ô dữ liệu.

Vậy đáp án là B.

Fig. 4. p(x)=2x^{3}-5x^{2}+5x-6 on the Graphing Calculator. (Source: [4])

Lưu ý: DESMOS luôn hiển thị giá trị dưới dạng số thập phân. Do đó, DESMOS hữu dụng khi giá trị cần tìm là giá trị nguyên (1,2,3,...), giá trị thập phân hữu hạn (1.5, 2.5,...), giá trị thập phân vô hạn tuần hoàn (0.6666), hoặc giá trị thập phân không tuần hoàn thông dụng (3.141592). Nếu người học chưa quen nhận diện các giá trị này (VD: 10/3 có thể được biểu diễn là 3.33333), điều nên làm là luôn kiểm tra lại đáp án trước khi chọn.

Bài tập vận dụng

Sau đây, bài viết sẽ giới thiệu đến người học một số câu hỏi Digital SAT có sử dụng DESMOS để tìm hệ số chưa biết của đa thức và thực hiện tính toán.  Người học hãy sử dụng tính năng DESMOS đã giới thiệu để giải các câu hỏi sau.

Question 1

The polynomial f(x) = x^3 + ax^2 - 7x + 6 is divisible by (x - 2). What is the value of f(-3)?

A. -12

B. 0

C. 6

D. 18

Answer: B

Question 2

For a polynomial p(x) = -x^4 + bx^3 + 2x^2 + 8, it is known that the remainder when p(x) is divided by (x + 1) is 5. What is the value of p(2)?

A. 16

B. 24

C. 32

D. 40

Answer: C

Question 3

The cubic function g(x) = 2x^3 + mx^2 + nx - 5 has a zero at x = 1 and passes through the point (-1, -12). What is the value of g(3)?

A. 40

B. 46

C. 52

D. 58

Answer: C

Question 4

The polynomial equation 2x^3 - ax^2 - 8x + b = 0 has three solutions. Two of the solutions are x = -2 and x = 3. What is the third solution of the equation?

A. -1

B. 1

C. 2

D. 4

Answer: C

Question 5

For the polynomial function q(x) = x^3 + cx^2 + dx + e, the graph has a y-intercept of (0, -10). It is also known that q(1) = -12 and q(-2) = 0. What is the value of q(4)?

A. 54

B. 66

C. 78

D. 90

Answer: B

Question 6

The polynomial p(x) = 3x^3 - cx^2 + cx - 4 has a remainder of 20 when divided by (x - 2). What is the remainder when p(x) is divided by (x + 2)?

A. -36

B. -28

C. -20

D. -12

Answer: B

Question 7

A polynomial function f(x) = -x^4 + ax^3 + bx^2 + 12x is perfectly divisible by x^2 - 4. What is the value of f(3)?

A. -120

B. -105

C. -90

D. -75

Answer: C

Question 8

The population of a certain bacteria culture, in thousands, is modeled by the polynomial function N(t) = -t^3 + kt^2 + 15t, where t is the number of hours after the experiment begins. If the population reaches exactly 54,000 bacteria after 3 hours, what will the population be after 5 hours?

A. 35,000

B. 50,000

C. 65,000

D. 80,000

Answer: B

Question 9

In the xy-plane, the graph of the cubic polynomial function f(x) = 2x^3 + px^2 - x + 5 intersects the graph of the linear equation y = -3x + 17 at the point where x = 2. What is the value of f(4)?

A. 75

B. 83

C. 97

D. 115

Answer: C

Question 10

The volume of a rectangular shipping box, in cubic inches, is given by the polynomial function V(x) = x^3 + kx^2 - 17x + 10, where x is a dimension of the box in inches. It is known that the expression (x - 2) represents the height of the box. What is the volume of the box, in cubic inches, when x = 5?

A. 110

B. 130

C. 150

D. 170

Answer: C

Xem thêm tại: Chia đa thức trong SAT® Math

Như vậy, bài viết đã giới thiệu về phần mềm DESMOS và hướng dẫn chi tiết cách sử dụng phần mềm này trong bài thi Digital SAT để tìm hệ số chưa biết của đa thức và thực hiện tính toán. Việc vận dụng linh hoạt các tính năng vẽ đồ thị không chỉ giúp thí sinh trực quan hóa các phép biến đổi hình học mà còn là công cụ đắc lực để đối chiếu và xác định chính xác phương trình hàm số cần tìm.

Hy vọng người học có thể vận dụng các nội dung và quy trình thao tác trong bài viết để cải thiện hiệu suất ôn tập, đơn giản hóa các bước tính toán phức tạp và nâng cao hiệu quả làm bài của bản thân trong các kỳ thi sắp tới.

Tham khảo chương trình luyện thi SAT cam kết đầu ra tại ZIM Academy để được hướng dẫn chuyên sâu và bứt phá điểm số.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.