Sử dụng DESMOS để tìm nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn

Trong các bài thi chuẩn hóa quốc tế về năng lực toán, chẳng hạn như Digital SAT, thí sinh có thể sẽ được cung cấp phần mềm DESMOS, phần mềm máy tính khoa học giúp giải quyết các vấn đề liên quan đến đồ thị, thống kê và các phép tính cơ bản. Nắm được các tính năng của DESMOS cũng như thao tác sử dụng sẽ giúp thí sinh tăng tốc độ làm bài, đơn giản hóa các bước tính toán, từ đó nâng cao hiệu quả bài thi. Trong phạm vi bài viết này, tác giả sẽ hướng dẫn người học cách sử dụng DESMOS để tìm nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn từ đồ thị, một dạng bài phổ biến trong bài thi Digital SAT.

Tham khảo thêm tại: Sử dụng DESMOS để tìm nghiệm bất phương trình bậc nhất trong bài toán thực tế

Lý thuyết chung về hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn

Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn bao gồm từ hai bất phương trình bậc nhất với một biến số, có dạng tổng quát như sau:

Ax + b > 0  ( hoặc < , ≤ , ≥ )

A'x + b' > 0  ( hoặc < , ≤ , ≥ )

Trong đó, A, A’, b, b’ là các hằng số (A, A’ 0), x là biến số 

Nghiệm, hoặc tập nghiệm, của hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn là tập các giá trị của ẩn thỏa mãn cả hai bất phương trình của hệ. Tập nghiệm bao gồm tất cả các giá trị của x thỏa mãn hệ. 

Cách biểu diễn ký hiệu tập nghiệm

Thay vì chỉ viết dưới dạng bất đẳng thức, tập nghiệm thường được biểu diễn dưới dạng ký hiệu khoảng, đoạn, hoặc nửa khoảng trên trục số. Các quy tắc cơ bản bao gồm:

• Dấu "<" hoặc ">": Sử dụng ngoặc tròn ( ).

• Dấu "<=" hoặc ">=": Sử dụng ngoặc vuông [ ].

• Ký hiệu âm vô cùng hoặc dương vô cùng luôn đi kèm với ngoặc tròn ( ).

Ví dụ minh họa: 

Đề bài: Tìm tập nghiệm của hệ bất phương trình sau: 

3x - 6 > 0 

-2x + 10 >= 0

Nghiệm của hệ: 2 < x <= 5 

Ký hiệu tập nghiệm: x ∈ (2, 5].

Xem thêm: Bài tập dạng bài Phương trình tuyến tính trong SAT Math

Phương pháp tìm nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn

Để tìm tập nghiệm của một bất phương trình bậc nhất một ẩn, người học thực hiện phép biến đổi đại số như sau:

Ax+b >0

=> Ax > -b

=>x > -b/A

Từ đây, suy ra tập nghiệm của bất phương trình là các giá trị x > - b/A

Người học thực hiện tương tự với các trường hợp Ax + b < 0, Ax + b 0, hay Ax + b 0

Để tìm tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn, người học lần lượt tìm nghiệm của từng bất phương trình trong hệ bất phương trình, sau đó tìm giao của hai tập nghiệm đó.

Ví dụ minh họa: Tìm tập nghiệm của hệ bất phương trình sau: 

x - 2 > 0 

3x - 14 < 2x - 6

Hướng dẫn giải: 

Bước 1: Giải bất phương trình thứ nhất trong hệ:

x - 2 > 0

 => x > 2 

Tập nghiệm của bất phương trình thứ nhất bao gồm tất cả các giá trị x lớn hơn 2.

Bước 2: Giải bất phương trình thứ hai trong hệ: 

3x - 14 < 2x - 6 

=> 3x - 2x < -6 + 14 

=> x < 8 

Tập nghiệm của bất phương trình thứ hai bao gồm tất cả các giá trị x nhỏ hơn 8.

Bước 3: Tìm giao của các tập nghiệm và biểu diễn ký hiệu. Tập nghiệm chung của hệ bất phương trình phải thỏa mãn đồng thời cả hai điều kiện: x > 2 và x < 8. Do đó, tập nghiệm của hệ là các giá trị thực của x bị kẹp giữa hai đầu: 2 < x < 8.

Cách biểu diễn ký hiệu tập nghiệm: x ∈ (2, 8).

Các trường hợp nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn

Thông thường, một bất phương trình bậc nhất một ẩn đơn lẻ sẽ có vô số nghiệm, tạo thành một khoảng hoặc một nửa khoảng trên trục số. 

Ví dụ: bất phương trình x > 5 sẽ có vô số nghiệm, bao gồm mọi giá trị thực lớn hơn 5 như 5.1, 6, 10, hay 100.

Tuy nhiên, đối với hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn, nghiệm của hệ là tập hợp các giá trị của biến số x thỏa mãn đồng thời tất cả các bất phương trình trong hệ. Để xác định nghiệm của hệ bất phương trình bằng đồ thị (trên trục số hoặc mặt phẳng tọa độ Oxy), người học tìm phần giao nhau của các dải màu đại diện cho các miền nghiệm thành phần.

Nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn được chia thành 3 trường hợp phổ biến sau:

Hệ có miền nghiệm là một khoảng

Trong trường hợp này, hai bất phương trình giới hạn biến x từ hai phía (một chặn dưới, một chặn trên) và có phần giao nhau. 

Ví dụ: Hệ bất phương trình x >= 2 và x < 6 có miền nghiệm chung là 2 <= x < 6. Trên DESMOS, đồ thị hiển thị là một dải màu nằm dọc, bị kẹp giữa hai đường thẳng đứng: x = 2 (đường nét liền) và x = 6 (đường nét đứt). Bất kỳ giá trị x nào nằm trong dải màu này đều là nghiệm của hệ: x ∈ [2; 6).

  Fig.1. x>=2 and  x<6  on the Desmos Graphing Calculator   (Source [1])

Xem thêm: Đăng ký thi SAT ở đâu? Các bước đăng ký thi chi tiết

Hệ có miền nghiệm giới hạn về một phía 

Trong trường hợp này, cả hai bất phương trình cùng giới hạn x về một hướng (cùng lớn hơn hoặc cùng nhỏ hơn). Khi đó, miền nghiệm của hệ chính là miền nghiệm của bất phương trình có điều kiện khắt khe hơn. 

Ví dụ: Hệ bất phương trình x > 3 và x > 7. Nghiệm chung của hệ là x > 7. Trên DESMOS, dải màu đậm nhất đại diện cho tập nghiệm sẽ bắt đầu từ đường thẳng đứng x = 7 và kéo dài vô tận về phía bên phải: x ∈ (7; +∞).

  Fig.2. x > 3 và x > 7 on the Desmos Graphing Calculator  (Source [2])

Hệ vô nghiệm

Trong trường hợp này, các miền nghiệm của từng bất phương trình đi ngược hướng nhau và không có bất kỳ phần giao nhau nào. Điều kiện của hệ mâu thuẫn lẫn nhau. 

Ví dụ: Hệ bất phương trình x < 2 và x > 5. Không có giá trị thực nào của x vừa nhỏ hơn 2 lại vừa lớn hơn 5. Trên đồ thị DESMOS, hai vùng màu của hai bất phương trình này sẽ nằm cách xa nhau hoàn toàn, không tạo ra bất kỳ vùng màu đậm giao nhau nào.

  Fig.3. x < 2 và x > 5 on the Desmos Graphing Calculator  (Source [3])

Đặc điểm của đường ranh giới

Khi đọc miền nghiệm trên DESMOS, người học cần lưu ý đến định dạng của đường ranh giới:

• Dấu > hoặc < : Đường ranh giới hiển thị bằng nét đứt. Các giá trị x nằm ngay trên vạch kẻ này không  được tính là nghiệm.

• Dấu >= hoặc <= : Đường ranh giới hiển thị bằng nét liền. Các giá trị x nằm ngay trên vạch kẻ này được tính là nghiệm.

Ví dụ: Xét hai bất phương trình  y>x+2 và y<= x. Điểm (0,2) nằm trên đường ranh giới nét đứt của y>x+2 và không phải nghiệm của bất phương trình này. Trong khi đó, điểm (0,0) nằm trên đường ranh giới nét liền của y <= x và là nghiệm của bất phương trình này. 

  Fig.4.  y>x+2 and y<= x  on the Desmos Graphing Calculator     (Source [4])

Cách tìm nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn 

Để tìm tập nghiệm của một hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn bằng phương pháp đại số, người học cần tìm tập nghiệm riêng biệt của từng bất phương trình thành phần trong hệ, sau đó tiến hành lấy giao của các tập nghiệm đó để xác định khoảng nghiệm chung.

Bước 1: Giải bất phương trình thứ nhất trong hệ bằng các phép biến đổi đại số cơ bản (chuyển vế đổi dấu, chia hệ số). Xác định miền nghiệm thứ nhất. Lưu ý: Nếu chia hoặc nhân cả hai vế với một số âm, người học bắt buộc phải đổi chiều bất đẳng thức.

Bước 2: Giải bất phương trình thứ hai trong hệ một cách tương tự để xác định miền nghiệm thứ hai. 

Bước 3: Kết hợp các điều kiện nghiệm vừa tìm được bằng cách lấy giao của hai tập nghiệm trên trục số. Xác định khoảng nghiệm chung mà biến số x phải thỏa mãn đồng thời.

Bước 4: Đối chiếu khoảng nghiệm chung đó với các phương án lựa chọn trong câu hỏi và biểu diễn tập nghiệm dưới dạng ký hiệu khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng để tìm ra đáp án chính xác.

Ví dụ minh họa: 

Which of the following values of x is a solution to the system of inequalities below?

x - 2 > 0 

3x - 14 < 2x - 6

A. 1

B. 5

C. 9

D. 12

Hướng dẫn giải:

Bước 1: Ta giải bất phương trình thứ nhất trong hệ: 

x - 2 > 0 

=> x > 2 

Như vậy, miền nghiệm thứ nhất bao gồm mọi giá trị x lớn hơn 2.

Bước 2: Ta giải bất phương trình thứ hai trong hệ: 

3x - 14 < 2x - 6 

=> 3x - 2x < -6 + 14 

=> x < 8 

Như vậy, miền nghiệm thứ hai bao gồm mọi giá trị x nhỏ hơn 8.

Bước 3: Lấy giao của hai miền nghiệm để tìm tập nghiệm chung của hệ. Biến số x phải thỏa mãn đồng thời cả hai điều kiện: x > 2 và x < 8. Kết hợp lại, ta được khoảng nghiệm chung kẹp giữa hai giá trị là: 2 < x < 8. 

Biểu diễn tập nghiệm: x ∈ (2, 8)

Bước 4: Đối chiếu các phương án

• Giá trị x = 1 không thuộc khoảng (2, 8) -> Loại A.

• Giá trị x = 5 nằm trong khoảng (2, 8) vì 2 < 5 < 8 -> Thỏa mãn.

• Giá trị x = 9 không thuộc khoảng (2, 8) -> Loại C.

• Giá trị x = 12 không thuộc khoảng (2, 8) -> Loại D.

=> Chọn đáp án B.

Tìm nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn trong câu hỏi Digital SAT

Trong bài thi Digital SAT, các câu hỏi về tìm nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn là rất đa dạng. Thí sinh có thể được hỏi về nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn, kiểm tra miền nghiệm trên đồ thị (hoặc trục số) của hệ bất phương trình, hoặc xác định trực tiếp hệ bất phương trình từ một giá trị biến số thuộc tập nghiệm cho trước.

Giới thiệu máy tính khoa học DESMOS

DESMOS là một phần mềm máy tính khoa học được thiết kế bởi DESMOS Studio. Đây là phần mềm chính thức được tích hợp trong phần mềm Bluebook của bài thi Digital SAT nhằm hỗ trợ thí sinh giải quyết đa dạng các câu hỏi Toán học ở nhiều chuyên đề khác nhau.

Fig. 5. Official logo of Desmos Studio PBC. (Source: [5])

Các tính năng cơ bản của DESMOS

Với phần mềm DESMOS, người học và thí sinh sẽ cần làm quen với một số tính năng cơ bản, bao gồm:

• Các phép cộng, trừ, nhân, chia cơ bản

• Vẽ đồ thị phương trình từ bậc thấp đến cao

• Sử dụng bảng biểu

• Tính năng thanh trượt

• Các phép tính thống kê cơ bản

• Các phép tính lượng giác cơ bản

• V.v.

Trên màn hình giao diện DESMOS, người học có thể nhận diện được các vùng cơ bản. Thứ nhất, vùng bên tay trái là nơi người học nhập phương trình (VD: 2x + y = 0). Thứ hai, vùng mặt phẳng toạ độ Oxy là nơi đồ thị của phương trình hiển thị. Cuối cùng, nút cài đặt (có biểu tượng hình cờ lê) bên góc phải là nơi người học điều chỉnh một số cài đặt để phù hợp nhu cầu (VD: chuyển đổi từ Degree sang Radian.)

Fig. 6. Interface of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [6])

Lưu ý: Phần mềm DESMOS hiện tại mà người học có thể tìm trên mạng có thể được chia làm hai phiên bản: Nguyên bản (đen) và Khảo thí (testing - xanh lá). Phần mềm DESMOS nguyên bản sẽ có nhiều tính năng hơn bản khảo thí, bao gồm tính năng chia sẻ biểu đồ, thư mục, hoặc hình ảnh. Tuy vậy, các tính năng quan trọng dùng trong bài thi SAT vẫn có đầy đủ ở cả hai phiên bản.

Hướng dẫn sử dụng DESMOS để tìm nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bước 1: Nhập hệ bất phương trình đề bài cho vào DESMOS. 

Người học lần lượt nhập các bất phương trình thành phần của đề bài vào dòng ô dữ liệu số 1 và dòng số 2. DESMOS sẽ tự động phủ các dải màu thẳng đứng trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Khu vực có các lớp màu đè lên nhau đậm nhất chính là miền nghiệm chung của hệ.

Bước 2: Ghim các giá trị đáp án lên đồ thị. 

Để kiểm tra các phương án trắc nghiệm A, B, C, D một cách trực quan nhất, người học nhập các giá trị này vào các dòng tiếp theo dưới dạng điểm tọa độ trên trục hoành (vì bài toán kẹp nghiệm biến x, tung độ y có thể mặc định đặt bằng 0). Ví dụ: với giá trị đáp án x = 5, người học nhập tọa độ điểm là (5, 0).

Bước 3: Đối chiếu vị trí hình học và chọn đáp án chính xác. Người học quan sát vị trí của các dấu chấm tròn đáp án trên màn hình đồ thị.

• Nếu dấu chấm nằm trọn vẹn bên trong dải màu giao nhau đậm nhất, giá trị đó là nghiệm của hệ.

• Nếu dấu chấm nằm hoàn toàn ở vùng màu nhạt đơn lẻ hoặc vùng trắng, giá trị đó bị loại.

• Nếu dấu chấm nằm ngay trên đường ranh giới ranh biên, người học cần quan sát định dạng nét vẽ: đường nét liền (dấu >= hoặc <=) thì chấp nhận giá trị; đường nét đứt (dấu > hoặc <) thì loại bỏ giá trị.

Ví dụ minh họa: 

Which of the following values of x is a solution to the system of inequalities below?

 x - 2 > 0

3x - 14 < 2x - 6

A. 1 

B. 5 

C. 9 

D. 12

Hướng dẫn giải:

Bước 1: Tại ô dữ liệu dòng số 1 của DESMOS, người học nhập bất phương trình thứ nhất: x - 2 > 0. Màn hình hiển thị một nửa mặt phẳng được tô màu nhạt về phía bên phải của đường nét đứt x = 2. Tại ô dữ liệu dòng số 2, người học tiếp tục nhập bất phương trình thứ hai: 3x - 14 < 2x - 6. DESMOS sẽ tô một miền màu khác về phía bên trái đường nét đứt x = 8. Lúc này, khu vực giao nhau giữa hai dải màu tạo thành một dải đứng màu đậm nhất bị kẹp giữa hai đường nét đứt x = 2 và x = 8. Đây chính là miền nghiệm chung của hệ (2 < x < 8).

Bước 2: Tiến hành nhập tọa độ của 4 phương án lựa chọn vào các dòng 3, 4, 5, 6 để ghim điểm trên trục hoành:

Phương án A: Nhập (1, 0)

Phương án B: Nhập (5, 0)

Phương án C: Nhập (9, 0)

Phương án D: Nhập (12, 0)

Bước 3: Quan sát sự tương quan vị trí của các dấu chấm tròn trên màn hình đồ thị Oxy:

Chấm điểm A (1, 0) nằm hoàn toàn ở vùng trắng phía bên trái (x < 2), không thuộc miền nghiệm chung => Loại A.

Chấm điểm C (9, 0) và D (12, 0) đều nằm ở vùng trắng phía bên phải (x > 8), không thuộc miền nghiệm chung => Loại C và D.

Chấm điểm B (5, 0) nằm lọt thỏm và trọn vẹn bên trong dải đứng được tô màu đậm nhất (giữa khoảng x = 2 và x = 8) => Thỏa mãn

=> Chọn đáp án B.

  Fig.7. x > 2 và x <8 on the Desmos Graphing Calculator  (Source [7])

Lưu ý: DESMOS luôn hiển thị giá trị dưới dạng số thập phân. Do đó, DESMOS hữu dụng khi giá trị cần tìm là giá trị nguyên (1,2,3,...), giá trị thập phân hữu hạn (1.5, 2.5,...), giá trị thập phân vô hạn tuần hoàn (0.6666), hoặc giá trị thập phân không tuần hoàn thông dụng (3.141592). Nếu người học chưa quen nhận diện các giá trị này (VD: 10/3 có thể được biểu diễn là 3.33333), điều nên làm là luôn kiểm tra lại đáp án trước khi chọn.

Tham khảo thêm tại: DESMOS Guide - Tìm điểm thuộc nghiệm bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài tập vận dụng

Sau đây, bài viết sẽ giới thiệu đến người học một số câu hỏi Digital SAT có sử dụng DESMOS để  tìm nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn. Người học hãy sử dụng tính năng DESMOS đã giới thiệu để giải các câu hỏi sau.

Question 1

Which of the following describes the complete solution set for the system of inequalities below?

2x + 4 > 0

x - 5 <= 1

A. -2 < x <= 6

B. -2 <= x < 6

C. x > 6

D. x < -2

Answer: A

Question 2

Which of the following defines the solution set for the given system of inequalities?

3x - 7 <= 2x + 1

4 - x < 6

A. x <= 8

B. -2 < x <= 8

C. x > -2

D. There is no solution

Answer: B

Question 3

What is the solution set for the system of inequalities below?

5x - 2 >= 3x + 10

-2x + 5 > -3x - 1

A. -6 < x <= 6

B. x > -6

C. x >= 6

D. There is no solution

Answer: C

Question 4

Which of the following values of x is a solution to the system of inequalities below?

x/2 + 3 < 5

2(x - 1) >= -6

A. -3

B. -2

C. 4

D. 5

Answer: B

Question 5

Which of the following values of x satisfies the system of inequalities below?

-3x + 8 <= 2

4x - 5 < 15

A. 0

B. 1

C. 3

D. 5

Answer: C

Question 6

How many integer solutions satisfy the system of inequalities below?

3(x - 2) <= 5x + 4

-2x + 7 > 1

A. 6

B. 7

C. 8

D. 9

Answer: C

Question 7

What is the sum of all integer solutions that satisfy the following system of inequalities?

(1/2)x + 3 < 5/2

4 - 3x <= 13

A. -5

B. -3

C. -6

D. -1

Answer: A

Question 8

The system of inequalities below has exactly 3 integer solutions. If k is the maximum possible integer that satisfies this condition, what is the value of k?

2x - k > 4

-3x + 15 >= 0

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Answer: B

Question 9

Which of the following defines the solution set for the system of inequalities given below?

0.4x - 1.2 <= 0.8

-1.5x + 4.5 < -3

A. x = 5

B. x < 5

C. x > 5

D. There is no solution

Answer: D

Question 10

The sum of all integer solutions to the system of inequalities below is exactly 18. What is the maximum possible integer value of p?

x/3 - 2 >= -1

2(x - 1) < x + p

A. 4

B. 5

C. 6

D. 7
Answer: B

Tham khảo thêm tại: Sử dụng DESMOS để tìm nghiệm bất phương trình bậc nhất trong bài toán thực tế

Như vậy, bài viết đã giới thiệu về phần mềm DESMOS và hướng dẫn chi tiết cách sử dụng phần mềm này trong bài thi Digital SAT để tìm nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn. Việc vận dụng linh hoạt các tính năng vẽ đồ thị không chỉ giúp thí sinh trực quan hóa các phép biến đổi hình học mà còn là công cụ đắc lực để đối chiếu và xác định chính xác phương trình hàm số cần tìm.

Hy vọng người học có thể vận dụng các nội dung và quy trình thao tác trong bài viết để cải thiện hiệu suất ôn tập, đơn giản hóa các bước tính toán phức tạp và nâng cao hiệu quả làm bài của bản thân trong các kỳ thi sắp tới.

Tham khảo chương trình luyện thi SAT cam kết đầu ra tại ZIM Academy để được hướng dẫn chuyên sâu và bứt phá điểm số.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.