Sử dụng DESMOS để xác định số nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn

Mở đầu

Trong các bài thi chuẩn hóa quốc tế về năng lực toán, chẳng hạn như Digital SAT, thí sinh có thể sẽ được cung cấp phần mềm DESMOS, phần mềm máy tính khoa học giúp giải quyết các vấn đề liên quan đến đồ thị, thống kê và các phép tính cơ bản. Nắm được các tính năng của DESMOS cũng như thao tác sử dụng sẽ giúp thí sinh tăng tốc độ làm bài, đơn giản hóa các bước tính toán, từ đó nâng cao hiệu quả bài thi. Trong phạm vi bài viết này, tác giả sẽ trình bày cách sử dụng phần mềm DESMOS để xác định số nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn trong các câu hỏi SAT Math.

Lý thuyết chung về phương trình bậc hai một ẩn

Phương trình bậc hai một ẩn có dạng tổng quát sau:

Ax² + Bx + C = 0

Trong đó: A, B, C là hằng số thực, với A ≠ 0

Ngoài dạng tổng quát, phương trình bậc hai một ẩn còn được viết dưới dạng đỉnh (vertex form):

A(x - h)² + k = 0

Trong đó: A, h, k là hằng số thực, A ≠ 0 

Lý thuyết về số nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn

Để tìm được số nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn, người học cần xác định giá trị của 3 hằng số A, B, C trong phương trình cho trước. Sau đó, ta sử dụng biệt thức delta (△) để xác định số nghiệm của phương trình.

Với phương trình bậc hai một ẩn cho trước (A khác 0), ta có biệt thức:

\(\Delta\) = B² - 4AC

Khi hằng số B là một số chẵn, ta có biệt thức:

\(\Delta\)’= B'̉² - AC

Trong đó: B’ = B/2.

Sau khi xác định được △ , ta có thể biện luận số nghiệm của một phương trình như sau:

• Với △ > 0, phương trình cho hai nghiệm phân biệt.

• Với △ = 0, phương trình cho một nghiệm duy nhất (nghiệm kép).

• Với △ < 0, phương trình vô nghiệm. 

Ngoài tìm số nghiệm đơn giản thông qua △ , có một số trường hợp về số nghiệm của phương trình bậc hai mà người học nên lưu ý:

• Phương trình có 2 nghiệm riêng biệt cùng dấu khi: △ > 0 và A.C > 0.

• Phương trình có 2 nghiệm riêng biệt trái dấu khi: △ > 0 và A.C < 0.

• Phương trình cho 2 nghiệm riêng biệt cùng dương khi: △ > 0,  A.C > 0, và -B/A > 0.

• Phương trình cho 2 nghiệm riêng biệt cùng âm khi: △ > 0,  A.C > 0, và -B/A < 0.

Xem thêm: Factoring Quadratic Trinomials - Đa thức bậc hai trong SAT Math

Liên hệ giữa số nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn và đồ thị

Ngoài việc sử dụng Delta để tìm số nghiệm trong phương trình bậc hai, người học nên quan sát vị trí tương đối của đồ thị phương trình so với các trục tọa độ để xác định số nghiệm của đồ thị. Số điểm cắt của đồ thị với trục Ox chính là số nghiệm của phương trình.

Khi phương trình cho 2 nghiệm phân biệt, đồ thị sẽ cắt trục hoành tại 2 điểm.

Fig.1. Solutions of x^2 - 4x + 3 = 0 on Desmos Graphing Calculator (Source [1])

Khi phương trình cho duy nhất một nghiệm, đồ thị sẽ cắt tại một điểm duy nhất.

Fig.2. Solutions of x^2 - 10x + 25 on Desmos Graphing Calculator  (Source [2])

Khi phương trình vô nghiệm, đồ thị sẽ không cắt trục tọa độ.

Fig. 3. Equality x^2 - x + 1 on Desmos Graphing Calculator (Source [3])

Số nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn trong câu hỏi Digital SAT

Trong bài thi Digital SAT, các câu hỏi về số nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn là rất đa dạng. Thí sinh có thể được hỏi về số nghiệm thực của phương trình, số nghiệm dương hay âm, hoặc các câu hỏi thực tế liên quan đến chủ đề tương tự. 

Giới thiệu máy tính khoa học DESMOS

DESMOS là một phần mềm máy tính khoa học được thiết kế bởi DESMOS Studio. Đây là phần mềm chính thức được tích hợp trong phần mềm Bluebook của bài thi Digital SAT nhằm hỗ trợ thí sinh giải quyết đa dạng các câu hỏi Toán học ở nhiều chuyên đề khác nhau.

Fig. 4. Official logo of Desmos Studio PBC. (Source: [4])

Các tính năng cơ bản của DESMOS

Với phần mềm DESMOS, người học và thí sinh sẽ cần làm quen với một số tính năng cơ bản, bao gồm:

• Các phép cộng, trừ, nhân, chia cơ bản

• Vẽ đồ thị phương trình từ bậc thấp đến cao

• Sử dụng bảng biểu

• Tính năng thanh trượt

• Các phép tính thống kê cơ bản

• Các phép tính lượng giác cơ bản

• V.v.

Trên màn hình giao diện DESMOS, người học có thể nhận diện được các vùng cơ bản. Thứ nhất, vùng bên tay trái là nơi người học nhập phương trình (VD: 2x + y = 0). Thứ hai, vùng mặt phẳng toạ độ Oxy là nơi đồ thị của phương trình hiển thị. Cuối cùng, nút cài đặt (có biểu tượng hình cờ lê) bên góc phải là nơi người học điều chỉnh một số cài đặt để phù hợp nhu cầu (VD: chuyển đổi từ Degree sang Radian.)

Fig. 5. Interface of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [5])

Lưu ý: Phần mềm DESMOS hiện tại mà người học có thể tìm trên mạng có thể được chia làm hai phiên bản: Nguyên bản (đen) và Khảo thí (testing - xanh lá). Phần mềm DESMOS nguyên bản sẽ có nhiều tính năng hơn bản khảo thí, bao gồm tính năng chia sẻ biểu đồ, thư mục, hoặc hình ảnh. Tuy vậy, các tính năng quan trọng dùng trong bài thi SAT vẫn có đầy đủ ở cả hai phiên bản.

Hướng dẫn sử dụng DESMOS để tìm số nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn

Để sử dụng DESMOS để xác định số nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn, người học cần vận dụng tính năng vẽ đồ thị trên DESMOS và đọc hiểu giao điểm của đồ thị.

Bước 1: Đọc kỹ đề để xác định dữ kiện được cung cấp

Người học đọc kỹ các hệ số A, B, C của phương trình bậc hai đã cho và câu hỏi của đề bài, trong trường hợp này là số nghiệm của phương trình cho trước.

Bước 2: Nhập các dữ kiện được cung cấp trong đề bài lên DESMOS Graphing Calculator. Trong đó:

• Dòng đầu tiên: Nhập phương trình Ax² + Bx + C = 0.

• Dòng thứ hai: Nhập phương trình dưới dạng y = Ax² + Bx + C với mục đích đối chiếu.

Sau khi nhập toàn bộ các dữ liệu trên, DESMOS sẽ tự động vẽ đồ thị tương ứng

Bước 3: Quan sát đồ thị và đối chiếu.

Khi người học quan sát đồ thị vẽ bởi DESMOS, phương trình ở dòng đầu tiên sẽ cho ra các đường thẳng đi qua trục hoành Ox và song song với trục tung Oy; số đường thẳng xuất hiện trên DESMOS chính là số nghiệm của phương trình.

Để kiểm tra lại tính chính xác, nếu các đường thẳng trên màn hình trùng khớp với số giao điểm của đồ thị Parabol của phương trình ở dòng thứ hai với trục hoành, đó chính là số nghiệm của phương trình.

Bước 4 (tùy chọn): Thay A, B, C vào để kiểm tra lại kết quả.

Ví dụ minh họa:

Câu hỏi:

Consider the equation: 

x² - 14x + 51 = 0

How many distinct real solutions does the given equation have?

1. Exactly two

2. Exactly one

3. Zero

4. Infinitely many

Hướng dẫn giải bằng DESMOS

Bước 1: Đọc kỹ đề để xác định các dữ kiện được cung cấp:

• Phương trình đã cho: x² - 14x + 51 = 0

• Yêu cầu cần tìm: Số nghiệm thực riêng biệt của phương trình

Bước 2:  Nhập các dữ kiện được cung cấp từ đề bài lên DESMOS Graphing Calculator

• Nhập dòng thứ nhất: x² - 14x + 51 = 0

• Nhập dòng thứ hai: y = x² - 14x + 51

Fig.6: Equation x^2 - 14x + 51 = 0 on DESMOS Graphing Calculator (Source [6])

Bước 3: Người học sử dụng chuột và thao tác bấm trên các đồ thị sao cho hiện rõ giao điểm của 2 phương trình trên trục hoành. Các giao điểm trùng khớp nhau chính là số nghiệm của phương trình. 

Quan sát trên DESMOS, ta thấy không tồn tại giao điểm của phương trình đã nhập với trục hoành, vậy phương trình này vô nghiệm. 

Bước 4: Người học thử lại bằng cách thay giá trị A, B, C vào .

• A = 1, B = 14, C = 51

• △= 14² - 4.51.1 = -8 < 0. → Phương trình vô nghiệm khi < 0.  => Đúng

⇒ Chọn đáp án C.

Lưu ý: DESMOS luôn hiển thị giá trị dưới dạng số thập phân. Do đó, DESMOS hữu dụng khi giá trị cần tìm là giá trị nguyên (1, 2, 3, …), giá trị thập phân hữu hạn (1.5, 2.5, …), giá trị thập phân vô hạn tuần hoàn (0.6666), hoặc giá trị thập phân không tuần hoàn thông dụng (3.141592). Nếu người học chưa quen nhận diện các giá trị này (VD: 10/3 có thể được biểu diễn là 3.33333), điều nên làm là luôn kiểm tra lại đáp án trước khi chọn.

Xem thêm: Cách làm dạng bài Solving quadratic equations trong SAT Math & Bài tập

Bài tập vận dụng DESMOS

Sau đây, bài viết sẽ giới thiệu đến người học một số câu hỏi Digital SAT có sử dụng DESMOS để tìm số nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn [7, 8]. Người học hãy sử dụng tính năng DESMOS đã giới thiệu để giải các câu hỏi sau.

Question 1:

The equation (2x - 3)² - 4(2x - 3) + 3 = 0 is solved for real values of x. How many distinct real solutions does the equation have?

A. 0

B. 1

C. 2

D. Infinitely many

Answer: C

Question 2: 

A quadratic equation is given by 3x² - 6x + p = 0, where p is a constant. For p =6, how many distinct real solutions does the equation have?

A. Infinitely many

B.2

C. 1

D. 0

Answer: D

Question 3: 

A parabolic arch is defined by the equation y = -x² - 4x + 5. Which of the following answers is true regarding the points where the arch meets the ground (y=0)?

A. One positive and one negative solution

B. No real solutions

C. Two positive solutions

D. Two negative solutions

Answer: A                                                                                                                                                                                                                             

Question 4: 

How many real solutions does the equation x² + 6x + 9 = 0 have?

A. 0

B. 1

C. 2

D. Infinitely many

Answer: B

Question 5: 

For a real number k, consider the equation x² + (4k - 2)x + (4k2 - 4k + 1) = 0. How many distinct real solutions does the equation have for x?

A. 0

B. 1

C. 2

D. The number depends on the value of k

Answer: B

Question 6:

An engineer is analyzing a suspension cable modeled by the equation y = 2x² + 12x + 10. How many of the x-intercepts for this cable occur at negative values of x?

A. 2

B. 1

C. 0

D. This equation has no x-intercept

Answer: A

Question 7:

The area of a rectangular garden is modeled by the equation x(x + 6) = 40, where x is the width of the garden in feet. How many possible real values of x satisfy the equation?

A. 0

B. 1

C. 2

D. Infinitely many

Answer: B

Question 8:

A satellite's orbital adjustment is modeled by the equation y = x² + 8x + 12. If we are looking for the points where the adjustment is zero (y=0), how many of the real solutions for x are negative?

A. 0

B. 1

C. 2

D. No real solutions exist

Answer: C

Question 9:

A flare is launched from a ship. Its height is modeled by the equation y = -16t² + 64t + 80. In this context, t represents time, in seconds, after launch. How many real, positive solutions for t exist when the flare hits the water?

A. 2

B. 1

C. 0

D. Infinitely many

Answer: B

Question 10:

A ball is thrown into the air, and its height h in meters after t seconds is given by h(t) = -5t² + 20t + 2. A student wants to know how many times the ball reaches a height of 25 meters. Based on the quadratic model, how many times does the ball reach the height of 25 meters?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 0

Answer: D

Tổng kết

Như vậy, bài viết đã giới thiệu về phần mềm DESMOS và hướng dẫn chi tiết cách sử dụng phần mềm này trong bài thi Digital SAT để tìm số nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn.  Việc vận dụng linh hoạt các tính năng vẽ đồ thị không chỉ giúp thí sinh trực quan hóa các phép biến đổi hình học mà còn là công cụ đắc lực để đối chiếu và xác định chính xác phương trình hàm số cần tìm.

Hy vọng người học có thể vận dụng các nội dung và quy trình thao tác trong bài viết để cải thiện hiệu suất ôn tập, đơn giản hóa các bước tính toán phức tạp và nâng cao hiệu quả làm bài của bản thân trong các kỳ thi sắp tới.

Tham khảo chương trình luyện thi SAT cam kết đầu ra tại ZIM Academy để được hướng dẫn chuyên sâu và bứt phá điểm số.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.

Tác giả: Nguyễn Uyên Trúc