Sử dụng DESMOS để giải hệ phương trình căn thức - tuyến tính

Trong các bài thi chuẩn hóa quốc tế về năng lực toán, chẳng hạn như Digital SAT, thí sinh có thể được cung cấp phần mềm DESMOS, phần mềm máy tính khoa học giúp giải quyết các vấn đề liên quan đến đồ thị, thống kê và các phép tính cơ bản. Nắm được các tính năng của DESMOS cũng như thao tác sử dụng sẽ giúp thí sinh tăng tốc độ làm bài, đơn giản hóa các bước tính toán, từ đó nâng cao hiệu quả bài thi. Trong phạm vi bài viết này, tác giả sẽ hướng dẫn người học giải hệ phương trình căn thức - tuyến tính, một dạng bài phổ biến trong bài thi Digital SAT.

Lý thuyết chung về hệ phương trình căn thức - tuyến tính

Hệ phương trình căn thức - tuyến tính là một hệ phương trình bao gồm một phương trình căn thức và một phương trình tuyến tính. Trong đó, phương trình căn thức sẽ có dạng như sau:

y=a√(x-h)+k

Trong đó: 

• a, h, và k là các hằng số.

Điều kiện xác định: (x - h) ≥ 0.

Ngoài ra, phương trình tuyến tính có thể theo nhiều dạng. Nếu là phương trình tuyến tính một ẩn, phương trình sẽ thường có dạng như sau:

ax + b = 0 (a ≠ 0)

Trong đó:

• a là hệ số của ẩn x, trong đó a khác 0.

• b là hằng số,

• x là ẩn số cần tìm.

Nếu là phương trình tuyến tính hai ẩn, phương trình sẽ có hai dạng là:

Dạng slope-intercept:

y = mx + b

Trong đó: 

• m là hệ số góc của phương trình.

• b là hệ số tự do của phương trình.

Phương trình tuyến tính cũng có thể được viết dưới dạng tổng quát (standard/general form).

Ax + By = C

Trong đó: 

• -A/B là hệ số góc của phương trình (với B ≠ 0)

• A, B và C là các hằng số, với A và B không đồng thời bằng 0

Ví dụ: Xét hệ phương trình

y = 2√(x + 1) - 3

x - 5 = 0

Trong trường hợp này: 

• y = 2√(x + 1) - 3 là phương trình căn thức, với a = 2, h = -1 và k = -3

• x - 5 = 0 là phương trình tuyến tính một ẩn, với a = 1 và b = -5.

Nghiệm của hệ phương trình căn thức - tuyến tính

Nghiệm của hệ phương trình căn thức - tuyến tính là các giá trị (x, y) thỏa mãn cả hệ, tức là thỏa mãn cả hai phương trình đã cho. Để tìm nghiệm của hệ phương trình căn thức - tuyến tính, người học có thể theo các bước sau:

Bước 1: Người học nên giải phương trình tuyến tính trước để biểu diễn một ẩn theo ẩn còn lại (nếu là phương trình tuyến tính hai ẩn), hoặc tìm luôn giá trị của x (nếu là phương trình tuyến tính một ẩn).

Bước 2: Người học thế các giá trị vào phương trình căn thức để được phương trình chỉ còn một ẩn; hoặc, nếu đã tìm được giá trị x ở bước 1, thì có thể giải luôn phương trình căn thức.

Bước 3: Nếu người học vẫn có phương trình một ẩn cần giải, người học cần xét điều kiện xác định.

Bước 4: Người học bình phương hai vế để khử căn, rồi giải phương trình thu được.

Bước 5: Cuối cùng, người học thử lại các nghiệm với hệ phương trình ban đầu và loại bỏ các nghiệm không thoả điều kiện xác định.

Ví dụ: Cho hệ phương trình:

√(x + 1) = y

y = 2x - 1​ 

Bước 1: Người học có y = 2x - 1.

Bước 2. Thế biểu thức vừa tìm được vào phương trình căn thức để tạo phương trình hoành độ giao điểm

-> √(x + 1) = 2x - 1

Bước 3. Xét điều kiện xác định.

• Biểu thức trong căn phải không âm.

• Vì căn bậc hai luôn không âm nên vế còn lại cũng phải không âm.

Vậy:

• x + 1 ≥ 0 -> x ≥ - 1

• 2x - 1 ≥ 0 -> x ≥ 1/2

-> x ≥ 1/2

Bước 4. Bình phương hai vế để khử căn, rồi giải phương trình thu được.

x + 1 = (2x - 1)^2 

-> x + 1 = 4x^2 - 4x + 1

-> 4x^2 - 5x = 0

-> x(4x - 5) = 0

-> x = 0 hoặc x = 5/4 là nghiệm của hệ phương trình.

Tuy nhiên, x = 0 không nằm trong điều kiện xác định x ≥ 1/2 -> Loại.

-> x = 5/4 -> y = 3/2 -> (x, y) = (5/4, 3/2) là nghiệm của hệ phương trình.

Bước 5. Thử lại tất cả nghiệm tìm được vào hệ phương trình ban đầu.

Vì x = 0 đã bị loại, người học chỉ cần thay x = 5/4 và y = 3/2 vào hệ ban đầu -> Ta có: 

• 3/2 = 2(5/4) - 1 (Đúng)

• √(5/4 + 1) = 3/2 -> √9/4 = 3/2 -> 3/2 = 3/2 (Đúng)

-> Xác định được nghiệm đúng là (5/4, 3/2).

Diễn giải đồ thị hệ phương trình căn thức - tuyến tính trên mặt phẳng toạ độ Oxy

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy: Đồ thị của phương trình y = a√(x - h) + k:

• Là một đường cong bắt đầu từ điểm (h, k).

• Phương trình chỉ xác định khi x ≥ h, nên đồ thị chỉ tồn tại về phía bên phải của đường thẳng x = h.

• Điểm (h, k) là điểm đầu của đồ thị, được gọi là endpoint.

• Hệ số a sẽ quyết định chiều biến thiên của đồ thị.

• Nếu a > 0, đồ thị tăng dần từ điểm (h, k).

• Nếu a < 0, đồ thị giảm dần từ điểm (h, k).

Mặt khác, với phương trình tuyến tính, đồ thị là một đường thẳng kéo dài vô hạn theo cả hai hướng.

• Hệ số góc m quyết định độ dốc của đường thẳng:

  • Nếu m > 0, đường thẳng đi lên từ trái sang phải.

  • Nếu m < 0, đường thẳng đi xuống từ trái sang phải.

  • Nếu m = 0, đường thẳng song song với trục Ox.

• Hệ số b là tung độ giao điểm của đường thẳng với trục Oy.

Khi xét hệ phương trình gồm một phương trình căn thức và một phương trình tuyến tính, nghiệm của hệ chính là tọa độ các giao điểm giữa đường cong căn thức và đường thẳng.

Tùy theo vị trí tương đối của hai đồ thị, hệ phương trình có thể:

• Có một nghiệm nếu hai đồ thị tiếp xúc hoặc cắt nhau tại đúng một điểm.

• Có hai nghiệm nếu hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

• Không có nghiệm nếu hai đồ thị không cắt nhau.

Ta có thể xét ví dụ cho cả ba trường hợp

Ví dụ 1: Cho hệ phương trình:

√(x + 1) = y

y = 2x - 1​ 

Ta đã tìm ra x = 5/4 và y = 3/2 là nghiệm duy nhất của hệ phương trình.

-> Đồ thị √(x + 1) =  y cắt đồ thị y = 2x - 1​ tại một điểm duy nhất là (5/4, 3/2).

Fig. 1. Equations √(x + 1) = y and y = 2x - 1 on the Desmos Graphing Calculator​. (Source: [1])

Ví dụ 2: Cho hệ phương trình:

√x = y

y = x/2

Thế các giá trị, ta có:

√x = x/2 (Điều kiện, x ≥ 0)

-> x = x^2/4

-> 4x = x^2 -> x(x - 4) = 0

-> x = 0 hoặc x = 4.

Trong trường hợp này, cả hai giá trị x đều thỏa mãn -> Ta tìm được hai giá trị y = 0 hoặc y = 2

-> (x, y) = (0, 0) và (4, 2) là nghiệm của phương trình.

-> Đồ thị √x = y cắt đồ thị y = x/2 tại hai điểm phân biệt (0, 0) và (4, 2).

Fig. 2. Equations √x = y and y = x/2 on the Desmos Graphing Calculator​. (Source: [2])

Ví dụ 3: Cho hệ phương trình:

√x = y

y = -1

Thế các giá trị, ta có:

√x = -1

Do căn bậc 2 không bao giờ âm trên trục số thực -> Vô lý

Vì vậy phương trình không có nghiệm, suy ra hệ phương trình vô nghiệm. 

-> Đồ thị √x = y không cắt đồ thị y = -1.

Fig. 3. Equations √x = y and y = -1 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [3])

Giải hệ phương trình căn thức - tuyến tính trong câu hỏi Digital SAT

Trong bài thi Digital SAT, các câu hỏi về giải hệ phương trình căn thức - tuyến tính là rất đa dạng. Thí sinh có thể được hỏi về việc tìm nghiệm của hệ phương trình, xác định tính đúng/sai của các mệnh đề liên quan đến nghiệm, tìm các hằng số/hệ số để phương trình có nghiệm, cũng như là trả lời các câu hỏi mang tính thực tế liên quan đến chủ đề.

Giới thiệu máy tính khoa học DESMOS

DESMOS là một phần mềm máy tính khoa học được thiết kế bởi DESMOS Studio. Đây là phần mềm chính thức được tích hợp trong phần mềm Bluebook của bài thi Digital SAT nhằm hỗ trợ thí sinh giải quyết đa dạng các câu hỏi Toán học ở nhiều chuyên đề khác nhau.

Fig. 4. Official logo of Desmos Studio PBC. (Source: [4])

Các tính năng cơ bản của DESMOS

Với phần mềm DESMOS, người học và thí sinh sẽ cần làm quen với một số tính năng cơ bản, bao gồm:

• Các phép cộng, trừ, nhân, chia cơ bản

• Vẽ đồ thị phương trình từ bậc thấp đến cao

• Sử dụng bảng biểu

• Tính năng thanh trượt

• Các phép tính thống kê cơ bản

• Các phép tính lượng giác cơ bản

• V.v.

Trên màn hình giao diện DESMOS, người học có thể nhận diện được các vùng cơ bản. Thứ nhất, vùng bên tay trái là nơi người học nhập phương trình (VD: 2x + y = 0). Thứ hai, vùng mặt phẳng toạ độ Oxy là nơi đồ thị của phương trình hiển thị. Cuối cùng, nút cài đặt (có biểu tượng hình cờ lê) bên góc phải là nơi người học điều chỉnh một số cài đặt để phù hợp nhu cầu (VD: chuyển đổi từ Degree sang Radian.)

Fig. 5. Interface of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [5])

Lưu ý: Phần mềm DESMOS hiện tại mà người học có thể tìm trên mạng có thể được chia làm hai phiên bản: Nguyên bản (đen) và Khảo thí (testing - xanh lá). Phần mềm DESMOS nguyên bản sẽ có nhiều tính năng hơn bản khảo thí, bao gồm tính năng chia sẻ biểu đồ, thư mục, hoặc hình ảnh. Tuy vậy, các tính năng quan trọng dùng trong bài thi SAT vẫn có đầy đủ ở cả hai phiên bản.

Hướng dẫn sử dụng DESMOS để giải hệ phương trình căn thức - tuyến tính

Để sử dụng DESMOS để giải hệ phương trình căn thức - tuyến tính, người học cần vận dụng tính năng vẽ đồ thị. Dưới đây là hướng dẫn chi tiết từng bước:

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp.

Người học đọc kĩ đề bài để xác định các dữ kiện được cho, trong trường hợp này là hệ phương trình căn thức - tuyến tính cũng như câu hỏi của đề bài.

Bước 2: Nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài vào ô nhập dữ liệu của phần DESMOS graphing calculator. 

Trong trường hợp này, người học lần lượt viết các phương trình của hệ vào trong hai dòng khác nhau của giao diện DESMOS.

Nếu người học cần gõ các ký tự đặc biệt, người học có thể bấm vào ký hiệu bàn phím ở góc dưới trái của màn hình để hiện ra chức năng bàn phím để hỗ trợ trong việc bấm biểu thức.

DESMOS sẽ tự động hiện đồ thị các phương trình tương ứng.

Bước 3: Sau đó, để tìm nghiệm, người học có thể bấm vào giao điểm giữa hai đồ thị của hai phương trình. DESMOS sẽ hiện ra tọa độ của các điểm này, và toạ đô (x, y) đó chính là nghiệm của phương trình. Sau đó, tuỳ vào đề bài, người học làm những phép tính toán cần thiết.

Bước 4: (tuỳ chọn) Thử lại nghiệm vào hệ phương trình để kiểm tra đáp án.

Ví dụ minh hoạ:

Consider the system of equations below:

y = √(3x + 10)

2x + y = 8

What is the value of x?

A. -2

B. 1

C. 2

D. 6

Hướng dẫn giải bằng DESMOS

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp

• Hệ phương trình được cho có hai phương trình:

  • y = √(3x + 10) là phương trình chứa căn thức

  • 2x + y = 8 là phương trình tuyến tính

• Đề bài yêu cầu tìm giá trị x.

Bước 2: Nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài vào ô nhập dữ liệu của DESMOS. Trong đó:

• Viết ở dòng đầu tiên: y = √(3x + 10)

• Viết ở dòng thứ hai: 2x + y = 8

Lưu ý, với dấu căn thức, người học nên sử dụng phần bàn phím như đã nêu trên.

Fig. 6. The Calculator function on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [6])

Desmos sẽ hiển thị các đồ thị trên mặt phẳng toạ độ.

Fig. 7. Equations y = √(3x + 10) and 2x + y = 8 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [7])

Bước 3: Người học bấm vào giao điểm của hai đồ thị để hiển thị nghiệm của hệ phương trình.

Fig. 8. Equations y = √(3x + 10) and 2x + y = 8 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [7])

Trong trường hợp này, giao điểm (2, 4) chính là giá trị (x, y) để thỏa mãn hệ phương trình. Đề bài yêu cầu tìm giá trị x:

-> x = 2

-> Chọn đáp án C.

Bước 4: (Tuỳ chọn) Người học thế lại điểm (2, 4) vào trong hệ phương trình để xét tính đúng sai của đáp án.

Ta có: 

4 = √(3 ⋅ 2 + 10) -> 4 = √16 -> 4 = 4 (Đúng)

2(2)  + 4 = 8 -> 4 + 4 = 8 -> 8 = 8 (Đúng)

-> Xác định được đáp án C là chính xác.

Lưu ý: DESMOS luôn hiển thị giá trị dưới dạng số thập phân. Do đó, DESMOS hữu dụng khi giá trị cần tìm là giá trị nguyên (1,2,3,...), giá trị thập phân hữu hạn (1.5, 2.5,...), giá trị thập phân vô hạn tuần hoàn (0.6666), hoặc giá trị thập phân không tuần hoàn thông dụng (3.141592). Nếu người học chưa quen nhận diện các giá trị này (VD: 10/3 có thể được biểu diễn là 3.33333), điều nên làm là luôn kiểm tra lại đáp án trước khi chọn.

Xem thêm:

• Cách làm Radical, rational, and absolute value equations trong SAT® Math

• Các quy tắc số mũ (exponent) và căn bậc (radical) trong SAT® Math

Bài tập vận dụng

Sau đây, bài viết sẽ giới thiệu đến người học một số câu hỏi Digital SAT có sử dụng DESMOS để giải hệ phương trình căn thức - tuyến tính [8]. Người học hãy sử dụng tính năng DESMOS đã giới thiệu để giải các câu hỏi sau.

Question 1: 

Consider the system of equations below:

y = √(4x + 5)

2y - x = 5​

What is the larger value of x?

A. 1

B. 3

C. 5

D. 6

Answer: C

Question 2: 

Which ordered pair is the solution to the system?

y = √(3x - 6) + 2

y = 14 - (9/5)x

A. (6, 4)

B. (3, 0)

C. (1, 7)

D. (5, 5)

Answer: D

Question 3:

The system

y = √(2x + 3) 

y = 1 + 2x

has

A. exactly one solution, with x = 1/2.

B. exactly one solution, with x = -1.

C. ​no solution.

D. exactly two solutions.

Answer: A

Question 4:

A point (x, y) satisfies the system

y = √(5x - 4)

y = x - 4

What is the value of y, rounded up?

A. 7

B. 8

C. 9

D. 12

Answer: B

Question 5:

Two points (x1, y1) and (x2, y2) satisfies the system

y = 5√(x - 2) + 3

y = x + 1

What is the value of x1 + x2?

A. 5

B. 29

C. 31

D. 55

Answer: B

Question 6:

The system

y = √(6x - 11) - 3/2

3x + y = 13

has one solution (x, y).

What is the closest value to the value of 3x - 2y?

A. 1

B. 5

C. 10

D. 7

Answer: D

Question 7:

For what value of k does the system have exactly one integer solution?

y = √(x + 8) - 2

y = k - 2x

A. -8

B. -6

C. -4

D. -2

Answer: A

Question 8:

For which of the following values of a does the system

y = √(x + a) + 2

x + y = 11​

have no real solution?

A. -7

B. -9

C. -10

D. -8

Answer: C

Question 9:

The ordered pair (x, y) satisfies

√(3x + 10) = y - 8

x + y = 18

What is the value of x^2 + y^2? 

A. 89

B. 194

C. 169

D. 125

Answer: B

Question 10:

A factory produces a new type of container.

Let x represent the container's height (in centimeters) and y represent its capacity rating.

Engineers estimate the capacity rating using the square root of eight times the height minus 24.

For compatibility with existing equipment, the capacity rating must also be 16 less than the height.

If the container satisfies both engineering requirements, what is the value of x - y?

Answer: 16

Như vậy, bài viết đã giới thiệu về phần mềm DESMOS và hướng dẫn chi tiết cách sử dụng phần mềm này trong bài thi Digital SAT để giải hệ phương trình căn thức - tuyến tính. Việc vận dụng linh hoạt các tính năng vẽ đồ thị không chỉ giúp thí sinh trực quan hóa các phép biến đổi hình học mà còn là công cụ đắc lực để đối chiếu và xác định chính xác phương trình hàm số cần tìm.

Hy vọng người học có thể vận dụng các nội dung và quy trình thao tác trong bài viết để cải thiện hiệu suất ôn tập, đơn giản hóa các bước tính toán phức tạp và nâng cao hiệu quả làm bài của bản thân trong các kỳ thi sắp tới.

Tham khảo chương trình luyện thi SAT cam kết đầu ra tại ZIM Academy để được hướng dẫn chuyên sâu và bứt phá điểm số.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.