Essential Vocab for SAT® Math - Geometry and Trigonometry | Unit 9: Sphere + Altitude

Sphere (hình cầu) và altitude (đường cao) là hai trong số các khái niệm quan trọng trong toán hình học. Người học cần nắm rõ hai khái niệm này để có thể nhận diện dạng bài nhanh chóng và chính xác. Bài viết dưới đây sẽ giới thiệu về Unit 9: sphere + altitude - Vocab for SAT Math (Geometry and Trigonometry).

Xem lại phần trước: Essential Vocabulary for SAT Math - Geometry and Trigonometry - Unit 8: volume + circle

Sphere (n): hình cầu

Định nghĩa

Trong hình học, hình cầu là tập hợp tất cả các điểm trong không gian có cùng khoảng cách đến một điểm cố định gọi là tâm.

Ví dụ: Trái đất được mô phỏng như một hình cầu trong nhiều mô hình toán học và khoa học.

Công thức

Diện tích mặt cầu (Surface area)

Trong đó:

• S là diện tích mặt cầu

• R là bán kính của hình cầu

• π ≈ 3.14

Thể tích hình cầu (Volume)

Trong đó:

• V là thể tích hình cầu

• R là bán kính của hình cầu

• π ≈ 3.14

Công thức liên hệ giữa bán kính (radius) và đường kính (diameter)

Trong đó:

• D là đường kính của hình cầu

• R là bán kính của hình cầu

Xem thêm: Cách làm dạng bài Geometry and Trigonometry trong SAT Math

Altitude (n): đường cao

Từ đồng nghĩa: height

Định nghĩa

Trong hình học, đường cao là đoạn thẳng vuông góc hạ từ một đỉnh xuống đường đối diện hoặc mặt phẳng đối diện.

Ví dụ:

• Trong tam giác ABC, đường cao từ đỉnh A vuông góc với cạnh BC.

• Trong hình nón, đường cao là đoạn thẳng vuông góc từ đỉnh đến mặt đáy.

Kiểm tra từ vựng - sphere

Fill in the blank with one of these words: sphere, hemisphere, volume, surface area, diameter.

1. A __________ is a three-dimensional object in which every point on the surface is the same distance from the center.

2. The formula for the __________ of a sphere is \(V=\frac43\pi R^2\) , where R is the radius.

3. If the __________ of a sphere is 10 cm, then its radius is 5 cm.

4. To calculate the __________ of a sphere, you need to multiply four times pi by the square of the radius.

5. A __________ has half the volume of a sphere.

Kiểm tra từ vựng - altitude

Fill in the blank with one of these words: altitudes, opposite line, right

1. In geometry, the altitude of a triangle is a perpendicular line segment from a vertex to the __________.

2. In a __________ triangle, one of the legs can serve as the height depending on the chosen base.

3. Every triangle has three __________, and they intersect at a single point called the orthocenter.

Bài toán thực tế - sphere

Exercise 1:

A fruit seller wants to estimate the volume of a spherical watermelon to predict its weight. The watermelon has a diameter of 20 cm. If 1 cm³ of watermelon weighs approximately 0.95 grams, estimate the weight of the watermelon in kilograms.

Exercise 2:

A bowl in the shape of a hemisphere has a radius of 7 cm.

1. If it is filled to 80% of its full capacity with soup, how many milliliters of soup are in the bowl? (1 milliliter = 1 cm³)

2. Suppose the cook wants to use smaller bowls with half the radius of the original bowls. How many of these smaller bowls can be filled with the same amount of soup if the cook also fills his smaller bowls to 80% of their capacity?

Bài toán thực tế - altitude

Exercise 1:

During a school camping trip, students are building cone-shaped tents using wooden poles. Each tent looks like a hollow cone placed on flat ground.

To build the tent, students use:

• Several slanted poles to form the outer cone shape (from the tip to the circular base edge), and

• One vertical pole placed upright in the center, from the ground up to the tip of the cone.

The teacher announces that each tent must be exactly 2.5 meters tall. Which pole must be measured to be 2.5 meters long?

Exercise 2:

You are learning origami in art class. The teacher gives you a square piece of paper with a side length of 20 cm and asks you to fold it diagonally twice.

After the folds, you get a right triangle. What is the length of the altitude drawn from the 90-degree angle of that triangle?

Đáp án - sphere

1. A sphere is a three-dimensional object in which every point on the surface is the same distance from the center.
   (Hình cầu là một vật thể ba chiều mà mọi điểm trên bề mặt đều cách đều tâm.)

2. The formula for the volume of a sphere is \(V=\frac43\pi R^2\) , where R is the radius.
   (Công thức thể tích hình cầu là \(V=\frac43\pi R^2\) , trong đó

   R là bán kính.)

3. If the diameter of a sphere is 10 cm, then its radius is 5 cm.
   (Nếu đường kính của hình cầu là 10 cm, thì bán kính của nó là 5 cm.)

4. To calculate the surface area of a sphere, you need to multiply four times pi by the square of the radius.
   (Để tính diện tích mặt cầu, bạn cần nhân 4 lần pi với bình phương của bán kính.)

5. A hemisphere has half the volume of a sphere.
   (Bán cầu có thể tích bằng một nửa hình cầu.)

Exercise 1:

Radius: R = D/2 = 20/2 = 10 cm.

Volume: V = 4/3(πR³) = 4000π/3 ≈ 4188.8 cm³.

Weight: W = 4188.8 × 0.95 = 3979.36 g ≈ 4 kg.

Therefore, the estimated weight of this watermelon is approximately 4 kilograms.

Exercise 2:

Volume of full bowl: V1 = 2/3(πR³) = 686π/3 ≈ 718.38 cm³.

Volume of soup = 80% of full volume = 0.8 * 718.4 = 574.70 cm³.

Volume of a smaller bowl: V2 = 2/3[π(R/2)³] = 343π/12 ≈ 89.80 cm³.

The amount of soup each smaller bowl can be filled: 0.8 × 89.8 = 71.84 cm³.

The number of smaller bowls needed = 574.70 / 71.84 ≈ 8 bowls.

Therefore:

1. There are 574.70 cm³ of soup in the bowl.

2. At least 8 bowls can be filled with the same amount of soup.

Đáp án - altitude

1. In geometry, the altitude of a triangle is a perpendicular line segment from a vertex to the opposite line.

   
   (Trong hình học, đường cao của một tam giác là đoạn thẳng vuông góc kẻ từ một đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện)

2. In a right triangle, one of the legs can serve as the height depending on the chosen base.
   (Trong tam giác vuông, một trong hai cạnh góc vuông có thể đóng vai trò là đường cao tùy thuộc vào cạnh đáy được chọn.)

3. Every triangle has three altitudes, and they intersect at a single point called the orthocenter.
   (Mỗi tam giác có ba đường cao, và chúng cắt nhau tại một điểm gọi là trực tâm.)

Exercise 1:

This vertical pole goes from the tip of the cone down to the center of the base. In other words, it is perpendicular to the base of the cone. Therefore, it is the altitude of the cone. The altitude represents the height of the tent. Therefore, students need to measure the vertical pole as 2.5 m in length.

Exercise 2:

After two folds, a right isosceles triangle with a hypotenuse equal to the length of the side of the original square is created. An altitude from the 90-degree angle of that triangle meets the midpoint of the hypotenuse, thereby creating another right isosceles triangle. Therefore, the height to be found is equal to half of the side length of the original square, which is 20/2= 10 cm.

Bài viết trên đã giới thiệu về Unit 9: sphere + altitude - Vocab for SAT Math (Geometry and Trigonometry). Người học cần đọc kỹ các định nghĩa, ví dụ và bài tập đính kèm để hiểu rõ về dạng bài hình cầu và đường cao. Trong quá trình ôn tập, người học có thể truy cập diễn đàn ZIM Helper để được giải đáp các thắc mắc cũng như tham gia thảo luận các chủ đề học tập bổ ích.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.