Sử dụng DESMOS để thực hiện biến đổi hàm số bậc hai thành dạng đỉnh

Trong các bài thi chuẩn hóa quốc tế về năng lực toán, chẳng hạn như Digital SAT, thí sinh có thể sẽ được cung cấp phần mềm DESMOS, phần mềm máy tính khoa học giúp giải quyết các vấn đề liên quan đến đồ thị, thống kê và các phép tính cơ bản. Nắm được các tính năng của DESMOS cũng như thao tác sử dụng sẽ giúp thí sinh tăng tốc độ làm bài, đơn giản hóa các bước tính toán, từ đó nâng cao hiệu quả bài thi. Trong phạm vi bài viết này, tác giả sẽ hướng dẫn người đọc cách sử dụng DESMOS để biến đổi hàm số bậc hai thành dạng đỉnh, một dạng bài phổ biến trong bài thi Digital SAT.

Lý thuyết chung về hàm số bậc hai

Hàm số bậc hai có dạng tổng quát là:

y= f(x) =Ax²+Bx+C

Trong đó: A, B và C là các hằng số thực, với A ≠ 0, còn x là biến số độc lập.

Các hàm số bậc hai cũng có thể được viết dưới dạng khác, và trong phạm vi bài này, người học sẽ tìm hiểu về dạng đỉnh.

Xét hàm số bậc hai:

y= f(x) =Ax²+Bx+C

Một điểm quan trọng của biểu thức bậc hai là tọa độ là (h, k) được xác định như sau:

• h = -B/2A

• k có thể tìm được bằng cách thay giá trị h vào biểu thức ban đầu. K được tính với công thức k = (-∆)/4a, với ∆ = b^2 - 4ac.

Với toạ độ đỉnh, người học có thể viết hàm số bậc hai dưới dạng đỉnh (Vertex form):

y=f(x)=A(x-h)²+k

Trong đó:

• Tọa độ đỉnh (Vertex) là (h, k).

Ví dụ: Xét hàm số y = f(x) = 2x^2 + 4x + 1, ta có

• h = -b/2a = -4/2(2) = -1

• k = 2(-1)^2 + 4(-1) + 1 = -1

• Như vậy, toạ độ đỉnh sẽ là (-1, -1)

Từ đây, người học có thể phát triển hàm số ban đầu thành y = 2(x + 1)^2 - 1.

Diễn giải đồ thị hàm số bậc hai dạng đỉnh trên mặt phẳng toạ độ Oxy

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy:

• Đồ thị của phương trình y = f(x) = Ax^2 + Bx + C (cũng như là dạng đỉnh của nó) là một parabol.

• Đường thẳng y = 0 chính là trục hoành (Ox).

Xét hàm số f(x) = Ax^2 + Bx + C, ta thấy hệ số A sẽ quyết định chiều mở của parabol.

• Nếu A > 0: parabol mở lên hình “chữ U” (hàm số giảm rồi tăng).

• Nếu A < 0: parabol mở xuống hình “quả núi” (hàm số tăng rồi giảm).

Điểm đỉnh của parabol là điểm quan trọng nhất, là giá trị nhỏ hoặc lớn nhất của hàm số bậc hai (tuỳ vào A). Điểm đỉnh có hoành độ là x = -B/2A. 

Ví dụ, với hàm số bậc hai y = f(x) = x^2 - 4x + 3.

Người học có thể tìm đỉnh bằng cách tính h = -B/2A = 4/2(1) = 2.

Sau khi tìm được h, người học thay h vào hàm số gốc để tìm ra k. Trong trường hợp này.

k = 2^2 - 4(2) + 3 = -1

-> Đỉnh (h, k) = (2, -1).

-> Dạng đỉnh của hàm số sẽ là f(x) = (x - 2)^2 - 1, với toạ độ đỉnh là (2, -1).

Fig. 1. Function f(x) = (x - 2)^2 - 1 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [1])

Hai hàm số bậc hai tương đương

Hai hàm số bậc hai tương đương là hai hàm số tuy có dạng khác nhau nhưng luôn cho cùng một giá trị tại mọi giá trị của x (khi thay cùng một giá trị x). Hai hàm số này sẽ có cùng đồ thị.

Như vậy, hai hàm số bậc hai tương đương:

• Biến đổi đại số được thành lẫn nhau.

• Khi rút gọn hoặc khai triển thì là cùng một hàm số.

• Khi biểu diễn dưới đồ thị thì sẽ trùng nhau.

Ví dụ: Ta xét hai hàm số

f(x) = x^2 - 4x + 3 và f(x) = (x - 2)^2 - 1

Như ta khai triển ở trên, f(x) = x^2 - 4x + 3, chính là dạng tổng quát của f(x) = (x - 2)^2 - 1 với mọi x.

Như vậy, f(x) = x^2 - 4x + 3 và f(x) = (x - 2)^2 - 1 là hai hàm số tương đương.

Fig. 2. Functions f(x) = x^2 - 4x + 3 and f(x) = (x - 2)^2 - 1 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [2])

Biến đổi hàm số bậc hai thành dạng đỉnh trong câu hỏi Digital SAT

Trong bài thi Digital SAT, các câu hỏi về biến đổi hàm số bậc hai thành dạng đỉnh là rất đa dạng. Thí sinh có thể được hỏi về việc biến đổi hàm số bậc hai thành dạng đỉnh, xác định tính đúng sai của các mệnh đề liên quan đến dạng đỉnh của hàm số, tìm hằng số được dạng đỉnh hoặc trả lời các câu hỏi thực tế liên quan đến dạng đỉnh của hàm số.

Giới thiệu máy tính khoa học DESMOS

DESMOS là một phần mềm máy tính khoa học được thiết kế bởi DESMOS Studio. Đây là phần mềm chính thức được tích hợp trong phần mềm Bluebook của bài thi Digital SAT nhằm hỗ trợ thí sinh giải quyết đa dạng câu hỏi Toán học ở nhiều chuyên đề khác nhau.

Fig. 3. Official logo of Desmos Studio PBC. (Source: [3])

Các tính năng cơ bản của DESMOS

Với phần mềm DESMOS, người học và thí sinh sẽ cần làm quen với một số tính năng cơ bản, bao gồm:

• Các phép cộng, trừ, nhân, chia cơ bản

• Vẽ đồ thị phương trình từ bậc thấp đến cao

• Sử dụng bảng biểu

• Tính năng thanh trượt

• Các phép tính thống kê cơ bản

• Các phép tính lượng giác cơ bản

• V.v.

Trên màn hình giao diện DESMOS, người học có thể nhận diện được các vùng cơ bản. Thứ nhất, vùng bên tay trái là nơi người học nhập phương trình (VD: 2x + y = 0). Thứ hai, vùng mặt phẳng toạ độ Oxy là nơi đồ thị của phương trình hiển thị. Cuối cùng, nút cài đặt (có biểu tượng hình cờ lê) bên góc phải là nơi người học điều chỉnh một số cài đặt để phù hợp nhu cầu (VD: chuyển đổi từ Degree sang Radian.)

Fig. 4. Interface of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [4])

Lưu ý: Phần mềm DESMOS hiện tại mà người học có thể tìm trên mạng có thể được chia làm hai phiên bản: Nguyên bản (đen) và Khảo thí (testing - xanh lá). Phần mềm DESMOS nguyên bản sẽ có nhiều tính năng hơn bản khảo thí, bao gồm tính năng chia sẻ biểu đồ, thư mục, hoặc hình ảnh. Tuy vậy, các tính năng quan trọng dùng trong bài thi SAT vẫn có đầy đủ ở cả hai phiên bản.

Hướng dẫn sử dụng DESMOS để biến đổi hàm số bậc hai thành dạng đỉnh

Để sử dụng DESMOS để tìm biến đổi hàm số bậc hai thành dạng đỉnh, người học cần vận dụng tính năng vẽ đồ thị. Dưới đây là hướng dẫn chi tiết từng bước:

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp.

Người học đọc kĩ đề bài để xác định các dữ kiện được cho, trong trường hợp này là hàm số được cho sẵn và các lựa chọn. 

Bước 2: Nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài vào ô nhập dữ liệu của phần DESMOS graphing calculator. Trong trường hợp này, người học trước hết viết hàm số được cho sẵn trong đề bài vào DESMOS.

DESMOS sẽ tự động vẽ đồ thị của hàm số tương ứng.

Bước 3: Sau khi người học thấy được đồ thị được vẽ, người học nhấp xuống các dòng dưới và lần lượt nhập các hàm số được cho trong phần lựa chọn. 

DESMOS sẽ tự động vẽ đồ thị của các biểu thức tương ứng.

Lưu ý: Người học có thể bấm vào những hình tròn ở cạnh các biểu thức để đồ thị của chúng không hiện lên giao diện, tránh bị rối khi xét đồ thị. Sau đó, người học xem là hàm số nào cho người học một đồ thị khớp với đồ thị của đề bài.

Bước 4: (tuỳ chọn) Người học có thể thế các giá trị x vào hai hàm số để kiểm tra liệu chúng có tương đương không.

Ví dụ minh hoạ:

Câu hỏi: 

The quadratic function f(x) = 3x^2 + 12x + 17 is rewritten in vertex form. Which function is equivalent? 

A. f(x) = 3(x + 2)^2 + 5

B. f(x) = 3(x - 2)^2 + 5

C. f(x) = 3(x + 2)^2 - 5

D. f(x) = 3(x - 4)^2 - 3

Hướng dẫn giải bằng DESMOS

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp

• Hàm số được cho: f(x) = 3x^2 + 12x + 17

• Các lựa chọn được cho:

  • 3(x + 2)^2 + 5

  • 3(x - 2)^2 + 5

  • 3(x + 2)^2 - 5

  • 3(x - 4)^2 - 3

Bước 2: Nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài vào ô nhập dữ liệu của DESMOS. Trong đó:

• Viết ở dòng đầu tiên: f(x) = 3x^2 + 12x + 17 để hiện đồ thị hàm số trên mặt phẳng toạ độ

Lưu ý, với các số mũ, người học nên sử dụng phần bàn phím như đã nêu trên.

Fig. 5. The Calculator function on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [5])

Desmos sẽ hiển thị parabol f(x) = 3x^2 + 12x + 17 trên mặt phẳng tọa độ. 

Fig. 6. Functions f(x) = 3x^2 + 12x + 17 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [6])

Bước 3: Người học lần lượt viết các lựa chọn được cho vào DESMOS. Sau khi viết, người học chỉ cần lần lượt xét từng hàm số một để xét hàm số tương đương bằng cách bấm vào những hình tròn cạnh từng hàm số để lần lượt hiện/ẩn từng đồ thị trên giao diện. 

Trong trường hợp này, hàm số f(x) = 3(x + 2)^2 + 5 cho ta thấy một đồ thị khớp với đồ thị của f(x) = 3x^2 + 12x + 17.

Fig. 7. Functions f(x) = 3x^2 + 12x + 17 and others on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [6])

Bước 4: Người học có thể thử một vài giá trị x vào hai hàm số để kiểm tra.

• Thay x = 1

  • 3x^2 + 12x + 17 =3(1)^2 + 12(1) + 17 = 32

  • 3(x - 2)^2 + 5 = 3(1 + 2)^2 + 5 = 32

-> Hai hàm số tương đương.

-> Chọn đáp án A.

Lưu ý: DESMOS luôn hiển thị giá trị dưới dạng số thập phân. Do đó, DESMOS hữu dụng khi giá trị cần tìm là giá trị nguyên (1,2,3,...), giá trị thập phân hữu hạn (1.5, 2.5,...), giá trị thập phân vô hạn tuần hoàn (0.6666), hoặc giá trị thập phân không tuần hoàn thông dụng (3.141592). Nếu người học chưa quen nhận diện các giá trị này (VD: 10/3 có thể được biểu diễn là 3.33333), điều nên làm là luôn kiểm tra lại đáp án trước khi chọn.

Xem thêm:

• Cách làm dạng bài Solving quadratic equations trong SAT Math & Bài tập

• Cách làm dạng bài Quadratic Graphs trong SAT® Math và bài tập

• Cách làm dạng bài Factoring Quadratic and Polynomial Expressions trong SAT Math

Bài tập vận dụng

Sau đây bài viết sẽ giới thiệu đến người học một số câu hỏi Digital SAT có sử dụng DESMOS để biến đổi hàm số bậc hai thành dạng đỉnh [7]. Người học hãy sử dụng tính năng DESMOS đã giới thiệu để giải các câu hỏi sau.

Question 1: 

Which of the following is equivalent to f(x) = 2x^2 - 12x + 23? 

A. y = 2(x - 3)^2 + 5

B. y = 2(x + 3)^2 + 5

C. y = 2(x - 3)^2 - 5

D. y = 2(x + 6)^2 - 4

Answer: A

Question 2: 

The quadratic function f(x) = -3x^2 + 12x - 7 can be written in vertex form as:

A. f(x) = -3(x - 4)^2 + 4

B. f(x) = -3(x + 2)^2 + 5

C. f(x) = -3(x - 2)^2 - 5

D. f(x) = -3(x - 2)^2 + 5

Answer: D

Question 3:

Which of the following is an equivalent vertex form of f(x) = 5x^2 - 30x + 38?

A. f(x) = 5(x - 6)^2 - 14

B. f(x) = 5(x + 3)^2 - 7

C. f(x) = 5(x - 3)^2 - 7

D. f(x) = 5(x - 3)^2 + 38

Answer: C

Question 4:

Which of the following is equivalent to p(x) = -2x^2 - 8x + 1?

A. p(x) =-2(x - 2)^2 + 9

B. p(x) =-2(x + 2)^2 + 9

C. p(x) =-2(x + 2)^2 - 7

D. p(x) =-2(x - 4)^2 + 33

Answer: B

Question 5:

For what value of c is the function y = 2(x + 2)^2 + c equivalent to y = 2x^2 + 8x + 9?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Answer: A

Question 6:

Which of the following is equivalent to

f(x) = (3/2)x^2 - 9x + 25/2? 

A. f(x) =(3/2)​(x - 6)^2 - 29/2

B. f(x) =(3/2)​(x + 3)^2 -1

C. f(x) =(3/2)​(x - 3)^2 - 1

D. f(x) =(3/2)​(x - 3)^2 + 25/2

Answer: C

Question 7:

A quadratic function is defined by f(x) = 3(x - 1)(x + 5) + 7.

Which of the following is an equivalent vertex form of f(x)?

A. f(x) = 3(x - 2)^2 - 20

B. f(x) = 3(x + 2)^2 - 20

C. f(x) = 3(x + 2)^2 + 7

D. f(x) = 3(x - 1)^2 - 11

Answer: B

Question 8:

A quadratic function is defined by f(x) = 2(x + 3)^2 - 5(x - 1).

Which of the following is an equivalent vertex form?

A. f(x) = 2(x + 7/4​)^2 + 135/8

B. f(x) = 2(x - 7/4)^2 + 135/8

C. f(x) = 2(x + 7/4)^2 - 135/8

D. f(x) = 2(x + 3/2)^2 + 25/8

Answer: A

Question 9:

A ball is launched from a platform that is 6 meters above the ground. Its height, in meters, increases at an initial rate of 18 meters per second and is affected by gravity, causing its height to decrease according to the term -4t^2, where t is the time in seconds after it is launched.

Which of the following expressions best represents the ball's height in a form that directly shows the time when it reaches its greatest height and that greatest height?

A. -4(t - 9/2)^2 + 93/2

B. -4(t + 9/4)^2 + 105/4

C. ​-4(t - 9/4​)^2 + 105/4

D. -4(t - 9/4)^2 + 6

Answer: C

Question 10:

A theater is planning a special performance open only to a very limited number of VIPs. The revenue, in thousands of dollars, depends on the number of tickets sold. Let x represent the number of hundreds of tickets sold. The theater's revenue is determined by:

• A pricing model that can be represented by the product 5(x - 2)(8 - x), and

• A fixed sponsorship of $20,000 added to the ticket revenue.

Which of the following expressions best represents the theater's total revenue, in thousands of dollars, in a form that directly shows the number of tickets that maximizes the revenue and the maximum possible revenue?

A. -5(x  -5)^2 + 20

B. -5(x + 5)^2 + 65

C. -5(x - 3)^2 + 85

D. -5(x - 5)^2 + 65

Answer: D

Như vậy, bài viết đã giới thiệu về phần mềm DESMOS và hướng dẫn chi tiết cách sử dụng phần mềm này trong bài thi Digital SAT để biến đổi hàm số bậc hai thành dạng đỉnh. Việc vận dụng linh hoạt các tính năng vẽ đồ thị không chỉ giúp thí sinh trực quan hóa các phép biến đổi hình học mà còn là công cụ đắc lực để đối chiếu và xác định chính xác phương trình hàm số cần tìm.

Hy vọng người học có thể vận dụng các nội dung và quy trình thao tác trong bài viết để cải thiện hiệu suất ôn tập, đơn giản hóa các bước tính toán phức tạp và nâng cao hiệu quả làm bài của bản thân trong các kỳ thi sắp tới.

Tham khảo chương trình luyện thi SAT cam kết đầu ra tại ZIM Academy để được hướng dẫn chuyên sâu và bứt phá điểm số.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.