Sử dụng DESMOS để giải phương trình các phân thức có ẩn ở hai vế

Trong các bài thi chuẩn hóa quốc tế về năng lực toán, chẳng hạn như Digital SAT, thí sinh có thể sẽ được cung cấp phần mềm DESMOS, phần mềm máy tính khoa học giúp giải quyết các vấn đề liên quan đến đồ thị, thống kê và các phép tính cơ bản. Nắm được các tính năng của DESMOS cũng như thao tác sử dụng sẽ giúp thí sinh tăng tốc độ làm bài, đơn giản hóa các bước tính toán, từ đó nâng cao hiệu quả bài thi. Trong phạm vi bài viết này, tác giả sẽ hướng dẫn người học giải phương trình phân thức có ẩn ở hai vế, một dạng bài phổ biến trong SAT Math.

Lý thuyết chung về phân thức

Phân thức có dạng tổng quát là:

A/B

Trong đó:

• A và B đại diện cho các đa thức

• B bắt buộc phải khác 0.

Do B ≠ 0, nên tập xác định của biểu thức hữu tỉ là {R | B ≠ 0}. Việc tìm miền xác định là bước đầu tiên khi tiến hành thao tác trên biểu thức hữu tỉ.

Phân thức có bốn phép tính cơ bản.

Đối với phép tính cộng và trừ, người học cần quy đồng mẫu số và thực hiện các phép toán nhân đa thức để ra được một phân thức gọn hơn.

\[PQRS=PSRQQS\]

Ví dụ: \(2x+3x+1=2x+1+3xxx+1=5x+2xx+1=5x+2x2+x\)

Đối với phép nhân, người học nhân lần lượt tử số và mẫu số.

\[PQRS=PRQS\]

Ví dụ: \(x2-1xxx+1=x2-1xxx+1=x-1x+1xxx+1=x-1\)

Đối với phép chia, người học nhân nghịch đảo tử số và mẫu số.

\[PQRS=PQSR=PSQR\]

Ví dụ:\(x2-4xx-2x+1=x2-4xx+1x-2=x2-4x+1xx-2=x-2x+2x+1xx-2=x+2x+1x\)

Xem thêm: Perations with rational expressions SAT Math

Lý thuyết về giải phương trình phân thức có ẩn ở hai vế

Để giải phương trình phân thức có ẩn ở hai vế, ta cần thực hiện các bước như sau:

Đầu tiên, ta cần tìm điều kiện xác định cho các phân thức hay tìm điều kiện để mẫu khác 0. Sau đó, ta thực hiện biến đổi để chuyển các phân thức về cùng vế trái, và vế phải là 0. Ta quy đồng mẫu cho các phân thức. Cuối cùng, để phân thức đã quy đồng bằng vế phải (hay bằng 0) thì ta cho tử số bằng 0 và tiến hành giải phương trình.

Lưu ý: Nghiệm của phương trình phải thỏa mãn tập xác định của các phân thức.

Ví dụ: Giải phương trình \(3x-1=2x-2\)

Đầu tiền, ta cần tìm điều kiện xác định cho 2 phân thức:

• x - 1 ≠ 0 → x ≠ 1

• x - 2 ≠ 0 → x ≠ 2

Tiếp theo, ta thực hiện chuyển vế bằng cách trừ hai vế cho \(2x-2\).

• \(3x-1-2x-2=0\)

Sau đó, ta quy đồng mẫu:

• \(3x-2-2x-1x-1x-2=0\)

Cuối cùng, ta giải phương trình “tử số bằng 0” → 3(x-2) - 2(x-1) = 0 → x - 4 = 0 → x = 4 (thỏa mãn do 4 ≠ 1 và 4 ≠ 2)

Biểu diễn nghiệm của phương trình phân thức có ẩn ở hai vế trên mặt phẳng toạ độ

Nghiệm của phương trình phân thức có ẩn ở hai vế dạng A(x)/B(x) = C(x)/D(x) chính là giao điểm của hai đồ thị hàm số y = A(x)/B(x) và y = C(x)/D(x).

Ví dụ \(3x-1=2x-2\), nghiệm của phương trình này chính là giao điểm của hai đồ thị y = 3/(x-1) và y = 2/(x-2).

Fig. 1. Intersection of y = 3/(x-1) and y = 2/(x-2) on the Desmos Graphing Calculator (Source [1])

Giải phương trình phân thức có ẩn ở hai vế trong câu hỏi Digital SAT

Trong bài thi Digital SAT, các câu hỏi về giải phương trình phân thức có ẩn ở hai vế là rất đa dạng. Thí sinh có thể được hỏi về tìm tập nghiệm, xác định số lượng nghiệm, loại bỏ các bẫy về nghiệm ngoại lai.

Giới thiệu máy tính khoa học DESMOS

DESMOS là một phần mềm máy tính khoa học được thiết kế bởi DESMOS Studio. Đây là phần mềm chính thức được tích hợp trong phần mềm Bluebook của bài thi Digital SAT nhằm hỗ trợ thí sinh giải quyết đa dạng các câu hỏi Toán học ở nhiều chuyên đề khác nhau.

Fig. 2. Official logo of Desmos Studio PBC. (Source: [2])

Các tính năng cơ bản của DESMOS

Với phần mềm DESMOS, người học và thí sinh sẽ cần làm quen với một số tính năng cơ bản, bao gồm:

• Các phép cộng, trừ, nhân, chia cơ bản

• Vẽ đồ thị phương trình từ bậc thấp đến cao

• Sử dụng bảng biểu

• Tính năng thanh trượt

• Các phép tính thống kê cơ bản

• Các phép tính lượng giác cơ bản

• V.v.

Trên màn hình giao diện DESMOS, người học có thể nhận diện được các vùng cơ bản. Thứ nhất, vùng bên tay trái là nơi người học nhập phương trình (VD: 2x + y = 0). Thứ hai, vùng mặt phẳng toạ độ Oxy là nơi đồ thị của phương trình hiển thị. Cuối cùng, nút cài đặt (có biểu tượng hình cờ lê) bên góc phải là nơi người học điều chỉnh một số cài đặt để phù hợp nhu cầu (VD: chuyển đổi từ Degree sang Radian.)

Fig. 3. Interface of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [3])

Lưu ý: Phần mềm DESMOS hiện tại mà người học có thể tìm trên mạng có thể được chia làm hai phiên bản: Nguyên bản (đen) và Khảo thí (testing - xanh lá). Phần mềm DESMOS nguyên bản sẽ có nhiều tính năng hơn bản khảo thí, bao gồm tính năng chia sẻ biểu đồ, thư mục, hoặc hình ảnh. Tuy vậy, các tính năng quan trọng dùng trong bài thi SAT vẫn có đầy đủ ở cả hai phiên bản.

Hướng dẫn sử dụng DESMOS để giải phương trình phân thức có ẩn ở hai vế

Để dùng DESMOS giải phương trình phân thức có ẩn ở hai vế, ta sử dụng tính năng vẽ đồ thị và xác định tọa độ.

Bước 1: Người đọc đọc kĩ đề bài và xác định các dữ kiện quan trọng, đồng thời tìm nhanh tập xác định của phân thức.

Bước 2: Người đọc nhập lần lượt các phân thức ở từng vế trái/phải vào từng ô nhập dữ liệu của Desmos. Phần mềm sẽ vẽ đồ thị cho từng phân thức.

Bước 3: Người học tìm giao điểm của các đồ thị, hoành độ của điểm đó sẽ là nghiệm của phương trình. Đặc biệt, các điểm giao đó phải luôn thỏa mãn tập xác định của các phân thức.

Ví dụ minh họa:

If \(5x=10x+2\), what is the value of x?

A) -2

B) 0

C) 2

D) 4

Bước 1: Đọc kĩ đề bài và xác định các dữ kiện quan trọng

• Phân thức: 5/x và 10/(x+2) → tập xác định x ≠ 0 và x ≠ -2

• Tìm nghiệm

Bước 2: Nhập 2 phân thức vào ô nhập dữ liệu của Desmos

Fig. 4. Two rational expressions on the Desmos Graphing Calculator (Source [4])

Bước 3: Người đọc quan sát đồ thị và nhận thấy điểm (2, 2.5) là giao điểm của hai phân thức → Hoành độ của điểm này là 2 và thỏa mãn tập xác định nên đây chính là nghiệm của phương trình → Chọn đáp án C

Lưu ý: DESMOS luôn hiển thị giá trị dưới dạng số thập phân. Do đó, DESMOS hữu dụng khi giá trị cần tìm là giá trị nguyên (1,2,3,...), giá trị thập phân hữu hạn (1.5, 2.5,...), giá trị thập phân vô hạn tuần hoàn (0.6666), hoặc giá trị thập phân không tuần hoàn thông dụng (3.141592). Nếu người học chưa quen nhận diện các giá trị này (VD: 10/3 có thể được biểu diễn là 3.33333), điều nên làm là luôn kiểm tra lại đáp án trước khi chọn.

Xem thêm: Cách làm Radical, rational, and absolute value equations trong SAT® Math

Bài tập vận dụng

Sau đây, bài viết sẽ giới thiệu đến người học một số câu hỏi Digital SAT có sử dụng DESMOS để giải phương trình phân thức có ẩn ở hai vế [5]. Người học hãy sử dụng tính năng DESMOS đã giới thiệu để giải các câu hỏi sau.

Question 1:

Solve the equation: \(2x-1=5x+2\)

What is the solution?

A. -2

B. 1

C. 3

D. No solution

Answer: C

Question 2

Solve: \(3x+1x-2=4xx-2\)

Which value of x is a solution?

A. 1

B. 2.5

C. 4

D. No solution

Answer: B

Question 3

\(4x+1-1x-2=3x+1x-2\)

How many solutions does the equation have?

A. 0

B. 1

C. 2

D. Infinitely many

Answer: B

Question 4

\(5x-3=2x+1+3x-3\)

What is the solution?

A. -1

B. 1

C. 3

D. No solution

Answer: D

Question 5

\(xx-4=4x-4\)

Which statement is true?

A. The equation has one solution

B. The equation has two solutions

C. The equation has no solution

D. The equation has infinitely many solutions

Answer: C

Question 6

\(2x-1+3x-2=5x-1x-2\)

What is the sum of all valid solutions?

Answer: 2.4 or 12/5

Question 7

Solve the following equation and choose the correct statement:

\(x2-3xx-3=3\)

A. The equation has exactly one solution, x = 3.

B. The equation has exactly one solution, x = 0.

C. The equation has infinitely many solutions.

D. The equation has no solution.

Answer: D

Question 8

\(6x2-1=3x-1-3x+1\)

What is the solution?

A. -1

B. 1

C. No solution

D. All real numbers except ± 1

Answer: D

Question 9

\(2xx-1=x+3x-1\)

Which value of x satisfies the equation?

Answer: 3

Question 10

\(3x-2+2x+1=5x2-x-2\)

Which of the following is true?

A. The equation has one solution

B. The equation has two solutions

C. The equation has no solution

D. The equation has infinitely many solutions

Answer: A

Như vậy, bài viết đã giới thiệu về phần mềm DESMOS và hướng dẫn chi tiết cách sử dụng phần mềm này trong bài thi Digital SAT để giải phương trình phân thức có ẩn ở hai vế. Việc vận dụng linh hoạt các tính năng vẽ đồ thị không chỉ giúp thí sinh trực quan hóa các phép biến đổi hình học mà còn là công cụ đắc lực để đối chiếu và xác định chính xác phương trình hàm số cần tìm.

Hy vọng người học có thể vận dụng các nội dung và quy trình thao tác trong bài viết để cải thiện hiệu suất ôn tập, đơn giản hóa các bước tính toán phức tạp và nâng cao hiệu quả làm bài của bản thân trong các kỳ thi sắp tới.

Tham khảo chương trình luyện thi SAT cam kết đầu ra tại ZIM Academy để được hướng dẫn chuyên sâu và bứt phá điểm số.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.