Sử dụng DESMOS để tìm biểu thức đa thức tương đương bằng đồ thị

Trong các bài thi chuẩn hóa quốc tế về năng lực toán, chẳng hạn như Digital SAT, thí sinh có thể sẽ được cung cấp phần mềm DESMOS, phần mềm máy tính khoa học giúp giải quyết các vấn đề liên quan đến đồ thị, thống kê và các phép tính cơ bản. Nắm được các tính năng của DESMOS cũng như thao tác sử dụng sẽ giúp thí sinh tăng tốc độ làm bài, đơn giản hóa các bước tính toán, từ đó nâng cao hiệu quả bài thi. Trong phạm vi bài viết này, tác giả sẽ hướng dẫn người học tìm biểu thức đa thức tương đương thông qua công cụ DESMOS.

Lý thuyết chung về đa thức

Đa thức là một tổng của những đơn thức. Mỗi đơn thức trong tổng gọi là một hạng tử của đa thức đó. Đa thức 9a² - 5; -10x³ + 3xy²- 2y - 2; 0 đều là ví dụ của một đa thức.

Một đa thức thường gồm các thành phần sau:

• Hạng tử: Là mỗi phần tử trong đa thức

• Biến số: Là thành phần đại diện cho giá trị chưa biết (x, y, a,…)

• Bậc của hạng tử: Là số mũ của biến đó. 

• Bậc của đa thức: Là bậc lớn nhất của các hạng tử.

• Hệ số: Số đứng trước biến. Trong hạng tử 7x, hệ số là 7.

• Hệ số tự do: Hạng tử không chứa biến (biến bậc 0).

Lưu ý: Mọi đa thức phải được xác định. Ví dụ: đa thức f(x) = √(A) - (A)  có chứa biểu thức căn √(A) thì cần điều kiện A ≥ 0 để xác định.

Hai đa thức được gọi là tương đương khi chúng nhận cùng một giá trị với mọi giá trị của biến và thường xuất hiện thông qua các phép biến đổi tương đương. Thông thường, người học sẽ phân tích đa thức thành nhân tử hoặc nhóm các đơn thức đồng dạng với nhau để tạo ra một đa thức tương đương mong muốn. Dưới đây là một số phép biến đổi đa thức thường gặp:

• \(a^{m}.a^{n}=a^{m+n}\)

• \(\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}\)

• \(\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m.n}\)

• \(\left(a.b\right)^{m}=a^{m}.b^{m}\)

• \(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}\)

Một số hằng đẳng thức đáng nhớ với đa thức:

• (a + b)² = a² + 2ab + b²

• (a - b)² = a² - 2ab + b²

• a² - b² = (a + b)(a - b)

• (a + b)³ = a³ + 3(a²)b + 3a(b²) + b³

• (a - b)³ = a³ - 3(a²)b + 3a(b²) - b³

• a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)

• a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

Xem thêm: Operations with polynomials trong SAT Math: Cách làm và bài tập

Lý thuyết về mối liên hệ giữa đa thức và đồ thị

Đồ thị hàm đa thức là đường cong liên tục biểu diễn tập hợp các điểm (x, y) thỏa mãn y = f(x). Hình dạng đồ thị phụ thuộc vào bậc đa thức (bậc 1 là đường thẳng, bậc 2 là parabol, bậc 3 là hình chữ S nằm ngang, …). Trên không gian Oxy, vị trí tương đối của hai đồ thị hàm số đa thức y = f(x) và y = g(x) được xác định dựa trên số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm. Hai đa thức được gọi là tương đương khi và chỉ khi mọi điểm thuộc đồ thị hàm số này đều thuộc đồ thị hàm số kia. Hay nói cách khác, đồ thị của hai hàm số này trùng nhau. 

Ví dụ: Cho 2 đa thức tương đương (x + 2)² và x² + 4x + 4. Mọi điểm thuộc đồ thị hàm số (x + 2)² đều thuộc đồ thị hàm số x² + 4x + 4.

Fig. 1 Polynomial (x+2)^2  and x^2 +4x +4 (Source [1])

Tìm biểu thức đa thức tương đương trong câu hỏi Digital SAT

Trong bài thi Digital SAT, các câu hỏi về đa thức tương đương là rất đa dạng. Thí sinh có thể được hỏi về đa thức tương đương với đề bài cho sẵn, hay từ hai đa thức tương đương để tìm hằng số.

Giới thiệu máy tính khoa học DESMOS

DESMOS là một phần mềm máy tính khoa học được thiết kế bởi DESMOS Studio. Đây là phần mềm chính thức được tích hợp trong phần mềm Bluebook của bài thi Digital SAT nhằm hỗ trợ thí sinh giải quyết đa dạng các câu hỏi Toán học ở nhiều chuyên đề khác nhau.

Fig. 2. Official logo of Desmos Studio PBC. (Source: [2])

Các tính năng cơ bản của DESMOS

Với phần mềm DESMOS, người học và thí sinh sẽ cần làm quen với một số tính năng cơ bản, bao gồm:

• Các phép cộng, trừ, nhân, chia cơ bản

• Vẽ đồ thị phương trình từ bậc thấp đến cao

• Sử dụng bảng biểu

• Tính năng thanh trượt

• Các phép tính thống kê cơ bản

• Các phép tính lượng giác cơ bản

• V.v.

  Trên màn hình giao diện DESMOS, người học có thể nhận diện được các vùng cơ bản. Thứ nhất, vùng bên tay trái là nơi người học nhập phương trình (VD: 2x + y = 0). Thứ hai, vùng mặt phẳng toạ độ Oxy là nơi đồ thị của phương trình hiển thị. Cuối cùng, nút cài đặt (có biểu tượng hình cờ lê) bên góc phải là nơi người học điều chỉnh một số cài đặt để phù hợp nhu cầu (VD: chuyển đổi từ Degree sang Radian.)

Fig. 3. Interface of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [3])

Hướng dẫn sử dụng DESMOS để tìm biểu thức đa thức tương đương

Để sử dụng DESMOS tìm biểu thức đa thức tương đương, người học cần vận dụng tính năng vẽ đồ thị và thanh trượt (slider). Dưới đây là hướng dẫn chi tiết các bước giải với tính năng vẽ đồ thị:

Cách 1: Vẽ tất cả đồ thị của tất cả biểu thức

Bước 1: Nhập biểu thức đa thức gốc của đề bài vào ô nhập dữ liệu của DESMOS. Lúc này, DESMOS  sẽ tự động hiển thị đồ thị của đa thức trên.

Bước 2: Sau đó, xuống dòng và nhập các biểu thức đa thức khác với các phương án lựa chọn A, B, C, D vào ô nhập dữ liệu. DESMOS cũng sẽ hiển thị lần lượt các đồ thị của các hàm số trên.

Nếu người học cần gõ các ký tự đặc biệt, người học có thể bấm vào ký hiệu bàn phím ở góc dưới trái của màn hình để hiện ra chức năng bàn phím để hỗ trợ trong việc bấm biểu thức.

Bước 3: Người học quan sát kĩ và so sánh các đồ thị hàm số trên. Người học có thể phóng to hay thu nhỏ mặt phẳng tọa độ để có sự so sánh chính xác nhất. Đa thức nào có đồ thị trùng với đa thức của đề bài là đa thức tương đương cần tìm.

Cách làm này phù hợp với những câu hỏi Easy hoặc Medium với hình thức trả lời trắc nghiệm chỉ có biến hoặc cho sẵn các giá trị hằng số trong các phương án A,B,C,D.

Ví dụ: 

Which of the following is equivalent to the expression (3x - 4)² + 2(x + 5) - (x² - 3)? 

A. 8x² - 22x + 29 

B. 8x² - 26x + 29 

C. 10x² - 22x + 19 

D. 10x² - 26x + 19

Bước 1: Nhập biểu thức đa thức gốc của đề bài vào ô nhập dữ liệu của DESMOS. Luôn sử dụng biến x dù đề bài có thể cho biến a,n,t,... để Desmos kích hoạt chế độ vẽ đồ thị mặc định.

(3x-4)² + 2(x +5) - (x² - 3)

Fig. 4 Polynomial (3x-4) ^ 2 + 2(x +5) - (x^2 - 3) on DESMOS (Source [4])

Bước 2:  Xuống dòng và nhập các biểu thức đa thức khác với các phương án lựa chọn A, B, C, D vào ô nhập dữ liệu. 

Nhập 

• Dòng 2: 8x² - 22x + 29 

• Dòng 3: 8x² - 26x + 29 

• Dòng 4: 10x² - 22x + 19 

• Dòng 5: 10x² - 26x + 19

Fig. 5 Polynomial (3x-4) ^ 2 + 2(x +5) - (x^2 - 3) and other Polynomials on DESMOS (Source [4])

Fig. 6 Graphs of Polynomial (3x-4) ^ 2 + 2(x +5) - (x^2 - 3) and other Polynomials on DESMOS (Source [4])

Bước 3: Quan sát và so sánh

Xét thấy đồ thị hàm số màu đỏ và màu xanh lam trùng khít với nhau, suy ra biểu thức đa thức tương đương cần tìm là đáp án A. 8x² - 22x + 29.

Cách 2: Sử dụng tính năng slider - thanh trượt

Bước 1: Người học cần nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài vào ô nhập dữ liệu của DESMOS. Trước hết, người học cần nhập các đa thức được cho sẵn của đề bài. 

DESMOS sẽ tự động cho thấy đồ thị hàm số này trên mặt phẳng tọa độ.

Nếu người học cần gõ các ký tự đặc biệt, người học có thể bấm vào ký hiệu bàn phím ở góc dưới trái của màn hình để hiện ra chức năng bàn phím để hỗ trợ trong việc bấm biểu thức.

Bước 2: Xuống dòng, nhập đa thức còn lại. Nếu đề bài cho dưới dạng phương trình thì người học nhập dữ kiện của đa thức ở từng vế trái, phải vào 2 dòng khác nhau.

Bước 3: Lúc này DESMOS sẽ hiển thị “thêm thanh trượt” (add slider). Người học nhấn chọn “tất cả” (all) và DESMOS sẽ hiển thị các thanh trượt cho ẩn số còn lại. 

Bước 4: Người học điều chỉnh các thanh trượt slider sao cho 2 đồ thị trùng khít nhau. Thông thường DESMOS sẽ cho khoảng giá trị [-10;10], nếu người học muốn thay đổi khoảng giá trị thì có thể nhấn 1 lần nữa vào ô thanh trượt để điều nhập tùy ý  giá trị của 2 đầu mút và bước nhảy (Ví dụ: ___ <=m<= ___ ; khoảng ____)

Ở bước này, Người học nên phóng to hay thu nhỏ mặt phẳng toạ độ để có sự so sánh chính xác nhất về sự trùng khít của 2 đồ thị, đặc biệt là trên miền xác định mà đề bài yêu cầu.

Ví dụ: 

The expression \(\frac{3}{x-1}+\frac{5}{x+2}\) is equivalent to the expression \(\frac{ax+b}{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}\), where a and b are constants. What is the value of a + b?

Bước 1: Nhập đa thức cho sẵn từ đề bài vào ô nhập dữ kiện đầu tiên của DESMOS: \(\frac{3}{x-1}+\frac{5}{x+2}\).

Fig. 7 Polynomial 3/(x-1) + 5/(x+2) on DESMOS Graphing Calculator (Source [5])

Bước 2: Nhập đa thức còn lại chứa ẩn số cần tìm vào dòng thứ 2 của DESMOS: \(\frac{ax+b}{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}\)

Fig. 8 Polynomials on DESMOS Graphing Calculator (Source [5])

Bước 3: Lúc này, DESMOS sẽ hiển thị “thêm thanh trượt” (add slider). Người học nhấn chọn “tất cả” (all) và DESMOS sẽ hiển thị các thanh trượt cho ẩn số còn lại.

Fig. 9 Polynomials and slider on DESMOS Graphing Calculator (Source [5])

Bước 4: Người học điều chỉnh các thanh trượt slider sao cho 2 đồ thị trùng khít nhau.

Fig. 10  Polynomials and adjusting sliders on DESMOS Graphing Calculator (Source [5])

Có thể thấy với a = 8, b = 1 thì 2 đồ thị hoàn toàn trùng khít với nhau. Khi đó a + b = 9. Vậy đáp án là 9.

Lưu ý: 

• Người học cần đọc kỹ đề để xác định yêu cầu của đề. Ở câu hỏi này, đề bài cần tìm giá trị của a + b; người học cần tránh nhầm lẫn thành tìm giá trị của a hay b đơn lẻ.

• Tính năng slider  này chủ yếu dựa trên việc “dò” tham số nên có thể sẽ tốn thời gian hơn. Nếu hằng số cần tìm là một số lẻ hoặc phân số phức tạp (ví dụ m = 1.375 hoặc m = 7/11), việc kéo thanh trượt để hai đồ thị trùng khít hoàn toàn bằng mắt thường sẽ tốn nhiều thời gian.

Cách 3: Sử dụng tính năng Hồi quy - Regression (~) trên DESMOS

Bước 1: Người học cần nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài vào ô nhập dữ liệu của DESMOS. Trước hết, người học cần nhập các đa thức được cho sẵn của đề bài. 

DESMOS sẽ tự động cho thấy đồ thị hàm số này trên mặt phẳng tọa độ.

Nếu người học cần gõ các ký tự đặc biệt, người học có thể bấm vào ký hiệu bàn phím ở góc dưới trái của màn hình để hiện ra chức năng bàn phím để hỗ trợ trong việc bấm biểu thức.

Bước 2: Tạo bảng giá trị (x1,y1) và nhập lần lượt các giá trị (x1,y1) là các tọa độ của điểm thuộc đồ thị hàm số trên. Lưu ý: Chọn ít nhất n+1 giá trị thực bất kỳ cho x1 (với n là bậc cao nhất của đa thức). Nếu đa thức cho sẵn là hàm số bậc nhất thì người học nhập tọa độ của 2 điểm bất kỳ, nếu là hàm số bậc hai thì cần tọa độ của 3 điểm,....

Bước 3: Nhập biểu thức y1 ~ f(x1) với f(x1) là đa thức còn lại chứa ẩn số cần tìm bằng ký hiệu hồi quy ~ thay vì dấu =. Lúc này DESMOS sẽ tự động tính giá trị của các tham số hồi quy, chính là các ẩn số đề bài yêu cầu tìm.

Ví dụ: The expression (5x + 3)(2x - 7) +10 is equivalent to ax² + bx + c, where a, b, and c are constants. What is the value of b?

Bước 1: Người học cần nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài vào ô nhập dữ liệu của DESMOS:  (5x + 3)(2x - 7) + 10

Fig. 11  Polynomial (5x+3)(2x-7)+10 on DESMOS Graphing Calculator (Source [6])

Bước 2: Tạo bảng giá trị (x1,y1) và nhập lần lượt các giá trị (x1,y1) là các tọa độ của điểm thuộc đồ thị hàm số trên. 

Fig. 12 Creating table on DESMOS Graphing Calculator (Source [6])

Fig. 13  Filling table with 3 points from the graph on DESMOS Graphing Calculator (Source [6])

Bước 3: Nhập biểu thức y1~ f(x1) với f(x1) là đa thức còn lại chứa ẩn số cần tìm bằng ký hiệu hồi quy ~ thay vì dấu =.

Fig. 14  Adding regression on DESMOS Graphing Calculator (Source [6])

Lúc này, DESMOS đã tự động tính tham số hồi quy. Người học có được a = 10, b = -29, c = -11. Người học cần đọc kỹ đề để xác định yêu cầu của đề. Ở câu hỏi này, đề bài cần tìm giá trị của b; người học cần tránh nhầm lẫn thành tìm giá trị của a hay c. Vậy đáp án là -29.

Lưu ý: DESMOS luôn hiển thị giá trị dưới dạng số thập phân. Do đó, DESMOS hữu dụng khi giá trị cần tìm là giá trị nguyên (1,2,3,...), giá trị thập phân hữu hạn (1.5, 2.5,...), giá trị thập phân vô hạn tuần hoàn (0.6666), hoặc giá trị thập phân không tuần hoàn thông dụng (3.141592). Nếu người học chưa quen nhận diện các giá trị này (VD: 10/3 có thể được biểu diễn là 3.33333), điều nên làm là luôn kiểm tra lại đáp án trước khi chọn.

Xem thêm: Factoring Quadratic Trinomials - Đa thức bậc hai trong SAT Math

Bài tập vận dụng

Sau đây, bài viết sẽ giới thiệu đến người học một số câu hỏi Digital SAT có sử dụng DESMOS để tìm biểu thức đa thức tương đương. Người học hãy sử dụng tính năng DESMOS đã giới thiệu để giải các câu hỏi sau.

Question 1: (2w + 3)² - (w - 1) + 4(w + 2)

 Which of the following is equivalent to the expression above? 

A. 4w² + 15w + 18 

B. 4w² + 11w + 18 

C. 4w² + 15w + 16 

D. 4w² + 11w + 16

Answer: A

Question 2:  \(\frac{x^2-16}{x-4}+2x\)

Which of the following is equivalent to the expression above for x different from 4?

A. 3x - 4

B. 3x + 4

C. x + 4

D. x - 4 

Answer: B

Question 3: 3(n + k)² - 5 = 3n² + 30n + 70

The equation above is true for all values of n, where k is a constant. What is the value of k?

A.5

B.10

C. 15

D. 25

Answer: A

Question 4:

\(\frac{4}{x-1}+\frac{k}{x+2}=\frac{6x+6}{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}\)

The equation above is true for all x>1, where k is a constant. What is the value of k?

Answer: 2

Question 5: (3p - 2)(4p² + p - 5) = ap³ + bp² + cp + d

In the equation above, a, b, c, and d are constants. What is the value of b?

Answer: -5

Question 6: (x² - m)/(x + n) = (x-n)

If m and n are positive integers, and x is not equal to n, which of the following could be the value of m?

A. 6

B. 7

C. 8

D. 9

Answer: D

Question 7: If (a - x) is a factor of the expression -x² + (1/43).p.a², where p and a are constants and a > 0, what is the value of p?

A. -43 

B. -1/43 

C. 1/43 

D. 43

Answer: D

Question 8: The expression 5x² - 2ax - 17, where a is a constant, can be written as (mx-n)(x+p), where m, n, p are integer constants. Which of the following must be an integer?

A. m/n

B. a/m

C. 17/p

D. 17/m

Answer: C

Question 9:  Which of the following expressions has a factor of x + 3k, where k is a positive integer constant?

A. 2x² + 5x + 15k

B. 2x² + 13x + 15k 

C. 2x² + 21x + 15k 

D. 2x² + 47x + 15k

Answer: D

Question 10: The expression 7x² + 3bx - 19, where b is a constant, can be written as (sx - t)(x + r), where s, t, and r are integer constants. Which of the following must be an integer?

A. s/t

B. b/s

C. 19/r

D. 19/s

Answer: C

Tổng kết

Như vậy, bài viết đã giới thiệu về phần mềm DESMOS và hướng dẫn chi tiết cách sử dụng phần mềm này trong bài thi Digital SAT để tìm biểu thức đa thức tương đương. Việc vận dụng linh hoạt các tính năng vẽ đồ thị không chỉ giúp thí sinh trực quan hóa các phép biến đổi hình học mà còn là công cụ đắc lực để đối chiếu và xác định chính xác phương trình hàm số cần tìm.

Hy vọng người học có thể vận dụng các nội dung và quy trình thao tác trong bài viết để cải thiện hiệu suất ôn tập, đơn giản hóa các bước tính toán phức tạp và nâng cao hiệu quả làm bài của bản thân trong các kỳ thi sắp tới.

Tham khảo chương trình luyện thi SAT cam kết đầu ra tại ZIM Academy để được hướng dẫn chuyên sâu và bứt phá điểm số.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.

Tác giả: Nguyễn Khánh Linh