Sử dụng DESMOS để tìm đường hồi quy tuyến tính cho biểu đồ phân tán

Trong các bài thi chuẩn hóa quốc tế về năng lực toán, chẳng hạn như Digital SAT, thí sinh có thể sẽ được cung cấp phần mềm DESMOS, phần mềm máy tính khoa học giúp giải quyết các vấn đề liên quan đến đồ thị, thống kê và các phép tính cơ bản. Nắm được các tính năng của DESMOS cũng như thao tác sử dụng sẽ giúp thí sinh tăng tốc độ làm bài, đơn giản hóa các bước tính toán, từ đó nâng cao hiệu quả bài thi. Trong phạm vi bài viết này, tác giả sẽ hướng dẫn người học tìm đường hồi quy tuyến tính cho biểu đồ phân tán.

Lý thuyết chung về biểu đồ phân tán

Biểu đồ phân tán là biểu đồ thống kê dùng để biểu diễn mối quan hệ giữa 2 biến số trên hệ tọa độ Oxy. Mỗi điểm trên biểu đồ ứng với một cặp giá trị (x, y). Các điểm dữ liệu của quan sát càng đồng nhất và gần sát nhau thì sẽ tạo thành một đường thẳng hoặc một đường cong biểu thị mối quan hệ giữa hai biến x và y. Ngược lại, nếu các điểm xa nhau và rời rạc thì mối liên hệ đường thẳng hoặc đường cong sẽ không tồn tại.

Thông thường, đề thi SAT sẽ cung cấp hình dạng phân bố của dữ liệu theo dạng đường thẳng. Nhưng đôi khi dữ liệu cũng có thể xuất hiện ở dạng chữ U, parabol,…. Các điểm dữ liệu nằm tách biệt hoàn toàn khỏi tập hợp của các dữ liệu được gọi là các giá trị ngoại lai (outliers).

Ví dụ về biểu đồ phân tán:

Lý thuyết về đường hồi quy tuyến tính

Đường hồi quy tuyến tính (Line of best fit) là đường thẳng tốt nhất đi qua (hoặc gần) nhiều điểm dữ liệu nhất trong một biểu đồ phân tán. Dựa vào đường hồi quy tuyến tính, người học có thể:

• Đánh giá mối quan hệ tuyến tính giữa hai biến (biến độc lập và biến phụ thuộc). Mối quan hệ có thể là tăng, giảm hoặc không có quan hệ nào.

• Dự đoán giá trị của biến phụ thuộc dựa trên giá trị của biến độc lập.

Đường hồi quy tuyến tính có dạng là một phương trình đường thẳng: y = mx + b

Trong đó:

• y là biến phụ thuộc (dependent variable)

• x là biến độc lập (independent variable)

• m là hệ số góc, cho biết tốc độ thay đổi của y theo x

• b là hằng số, là điểm mà đường cắt trục tung (khi x = 0)

Khi quan sát một điểm dữ liệu, người học sẽ thấy có sự chênh lệch giữa giá trị y thực tế và giá trị y được dự đoán trên đường xu hướng. Sự chênh lệch này (độ lệch) là cơ sở cho các phân tích thống kê chuyên sâu, tuy nhiên, với bài thi SAT, người học chỉ cần nắm được cách tính khoảng chênh lệch này.

Lý thuyết về tìm đường hồi quy tuyến tính

Trong bài thi SAT, câu hỏi tìm đường hồi quy tuyến tính cho một biểu đồ phân tán luôn ở dạng câu hỏi trắc nghiệm. Cả 4 phương án đề bài đưa ra thường sẽ cùng một dạng hàm (ví dụ: cùng là 4 hàm bậc nhất hoặc 4 hàm bậc hai). Người học cần đọc slope (hệ số góc) và y-intercept (tung độ gốc) để loại trừ các phương án sai. Dưới đây là các bước xác định đường hồi quy tuyến tính chính xác:

Bước 1: Xác định dấu của hệ số góc m. Người học quan sát hướng của đường thẳng từ trái sang phải:

• Nếu đường thẳng đi lên, hệ số góc mang dấu dương (m > 0).

• Nếu đường thẳng đi xuống, hệ số góc mang dấu âm (m < 0).

Bước 2: Dự đoán độ lớn của hệ số góc m. Người học so sánh độ dốc của đường thẳng với góc 45°. 

• Đường thẳng dốc đứng: |m| > 1.

• Đường thẳng dốc thoải: |m| < 1.

Bước 3: Xác định tung độ gốc b (y-intercept). Người học quan sát vị trí đường thẳng cắt trục. Giá trị y ngay tại giao điểm này chính là hằng số b cần tìm.

Ví dụ: Tìm đường hồi quy tuyến tính cho biểu đồ sau:

A. y = 13.5 + 0.8x

B. y = 13.5 - 0.8x

C. y = -13.5 + 0.8x

D. y = -13.5 - 0.8x

Giải: 

Bước 1: Xác định dấu của hệ số góc m

• Quan sát đồ thị từ trái sang phải, đường thẳng đang đi xuống.  Hệ số góc m < 0.

• Loại phương án: A (m = 0.8) và C (m = 0.8).

Bước 2: Dự đoán độ lớn của hệ số góc m

• Đường thẳng dốc thoải, nên độ lớn của m nhỏ hơn 1 (|m| < 1).

• Cả hai phương án còn lại (B và D) đều có |m| = 0.8 < 1, thỏa mãn.

Bước 3: Xác định tung độ gốc b (y-intercept)

• Đường thẳng cắt trục Oy tại điểm nằm giữa 12 và 14, khoảng 13.5.

• Tung độ gốc b = 13.5.

=> Chọn: B (y = 13.5 - 0.8x)

Tìm đường hồi quy tuyến tính cho biểu đồ phân tán trong câu hỏi Digital SAT

Trong bài thi Digital SAT, các câu hỏi về  tìm đường hồi quy tuyến tính cho biểu đồ phân tán là rất đa dạng. Thí sinh có thể được hỏi về việc xác định phương trình đường hồi quy, dự đoán giá trị dựa trên đường hồi quy, giải thích ý nghĩa của hệ số góc đường hồi quy tuyến tính…

Sample question 1

The scatterplot shows the relationship between two variables, x and y. A line of best fit is also shown. Which of the following equations best represents the line of best fit shown? A. y = 13.5 + 0.8x  B. y = 13.5 - 0.8x  C. y = -13.5 + 0.8x  D. y = -13.5 - 0.8x

Giới thiệu máy tính khoa học DESMOS

DESMOS là một phần mềm máy tính khoa học được thiết kế bởi DESMOS Studio. Đây là phần mềm chính thức được tích hợp trong phần mềm Bluebook của bài thi Digital SAT nhằm hỗ trợ thí sinh giải quyết đa dạng các câu hỏi Toán học ở nhiều chuyên đề khác nhau.

Fig. 1. Official logo of Desmos Studio PBC. (Source: [1])

Các tính năng cơ bản của DESMOS

Với phần mềm DESMOS, người học và thí sinh sẽ cần làm quen với một số tính năng cơ bản, bao gồm:

• Các phép cộng, trừ, nhân, chia cơ bản

• Vẽ đồ thị phương trình từ bậc thấp đến cao

• Sử dụng bảng biểu

• Tính năng thanh trượt

• Các phép tính thống kê cơ bản

• Các phép tính lượng giác cơ bản

• V.v.

Trên màn hình giao diện DESMOS, người học có thể nhận diện được các vùng cơ bản. Thứ nhất, vùng bên tay trái là nơi người học nhập phương trình (VD: 2x + y = 0). Thứ hai, vùng mặt phẳng toạ độ Oxy là nơi đồ thị của phương trình hiển thị. Cuối cùng, nút cài đặt (có biểu tượng hình cờ lê) bên góc phải là nơi người học điều chỉnh một số cài đặt để phù hợp nhu cầu (VD: chuyển đổi từ Degree sang Radian.)

Fig. 2. Interface of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [2])

Lưu ý: Phần mềm DESMOS hiện tại mà người học có thể tìm trên mạng có thể được chia làm hai phiên bản: Nguyên bản (đen) và Khảo thí (testing - xanh lá). Phần mềm DESMOS nguyên bản sẽ có nhiều tính năng hơn bản khảo thí, bao gồm tính năng chia sẻ biểu đồ, thư mục, hoặc hình ảnh. Tuy vậy, các tính năng quan trọng dùng trong bài thi SAT vẫn có đầy đủ ở cả hai phiên bản.

Hướng dẫn sử dụng DESMOS để  tìm đường hồi quy tuyến tính cho biểu đồ phân tán

Bước 1: Người học đọc kĩ đề bài và quan sát các dữ liệu quan trọng.

Bước 2: Người học nhập lần lượt 4 hàm số ở các đáp án A, B, C, D vào ô nhập dữ liệu của DESMOS. Phần mềm sẽ vẽ đồ thị.

Bước 3: Người học đối chiếu các đồ thị đã vẽ với đồ thị được đề bài cung cấp. Đồ thị nào trùng khớp với đồ thị đề bài cung cấp thì đó chính là đáp án.

Ví dụ: The scatterplot shows the relationship between two variables, x and y. A line of best fit is also shown.

Which of the following equations best represents the line of best fit shown?

A. y = 13.5 + 0.8x 

B. y = 13.5 - 0.8x 

C. y = -13.5 + 0.8x 

D. y = -13.5 - 0.8x

Giải:

Bước 1: Xác định các dữ liệu quan trọng:

• Yêu cầu tìm đường hồi quy tuyến tính cho biểu đồ phân tán

Bước 2: Nhập các hàm số:

 y = 13.5 + 0.8x 

 y = 13.5 - 0.8x 

 y = -13.5 + 0.8x 

 y = -13.5 - 0.8x

Bước 3: Đối chiếu các đồ thị đã vẽ với đồ thị được đề bài cung cấp

Fig. 3. Line of best fit. (Source: [3])

Nhận thấy đường màu đỏ gần với hình vẽ trong đề bài nhất. 

→ Chọn B

Lưu ý: DESMOS luôn hiển thị giá trị dưới dạng số thập phân. Do đó, DESMOS hữu dụng khi giá trị cần tìm là giá trị nguyên (1,2,3,...), giá trị thập phân hữu hạn (1.5, 2.5,...), giá trị thập phân vô hạn tuần hoàn (0.6666), hoặc giá trị thập phân không tuần hoàn thông dụng (3.141592). Nếu người học chưa quen nhận diện các giá trị này (VD: 10/3 có thể được biểu diễn là 3.33333), điều nên làm là luôn kiểm tra lại đáp án trước khi chọn.

Xem thêm:

• Essential Vocab for SAT® Math - Problem Solving and Data Analysis | Unit 6: Ratio and proportion

• Cách làm dạng bài Ratios, rates, proportions trong SAT Math

• Cách làm dạng bài Probability and Relative frequency

Bài tập vận dụng

Sau đây, bài viết sẽ giới thiệu đến người học một số câu hỏi Digital SAT có sử dụng DESMOS để  tìm đường hồi quy tuyến tính cho biểu đồ phân tán. Người học hãy sử dụng tính năng DESMOS đã giới thiệu để giải các câu hỏi sau:

Question 1: In the given scatterplot, a line of best fit for the data is shown. Which of the following is closest to the slope of this line of best fit?

Fig. 4. Question 1. (Source: [4])

A. 7

B. -7

C. 0.7

D. -0.7

Answer: D

Question 2: The scatterplot shows the relationship between two variables, x and y, for dataset E. A line of best fit is shown. Data set F is created by multiplying the y-coordinate of each data point from data set E by 3.9. 

Fig. 5. Question 2. (Source: [5])

Which of the following could be an equation of a line of best fit for dataset F?

A. y = 46.8 + 5.9x

B. y = 46.8 + 1.5x

C. y = 12 + 5.9x

D. y = 12 + 1.5x

Answer: A

Question 3: A researcher studied the relationship between the study time of several students and their scores on a short quiz. The scatterplot shows the study time x, in hours, and the test score y, in points, for a group of 10 students. A line of best fit is also shown.

Which of the following equations best represents the line of best fit shown?

A. y = 2.8 + 1.7x

B. y = 2.8 - 1.7x

C. y = -2.8 + 1.7x

D. y = -2.8 - 1.7x

Answer: A

Question 4: During a study, the temperature, in degrees Celsius (°C), of the air in a chamber was recorded to the nearest integer at certain times. The table shows the recorded temperature y, in °C, of the air in the chamber x minutes after the start of the study.

 Which of the following equations best represents the line of best fit for the data?  

A. y = 3x + 1

B. y = -3x - 1

C. y = 1x + 3

D. y = 0.33x + 1

Answer:  A

Question 5: A ride-share company analyzes the relationship between the distance traveled and the total cost of a trip. The table shows the distance x, in miles, and the total cost y, in dollars. 

Which of the following equations best represents the line of best fit shown?

A. y = -0.95x - 3.5

B. y = 0.95x + 3.5

C. y = 3.5x + 0.95

D. y = -1.5x + 3.5

Answer: B

Question 6:

Each dot in the scatterplot above represents the temperature and the number of people who visited a beach in Miami, US, on one of eleven different days. The line of best fit for the data is also shown. The line of best fit for the data has a slope of approximately 57. According to this estimate, how many additional people per day are predicted to visit the beach for each 5°C increase in average temperature?

Answer: 285

Question 7 and Question 8 use the same data: An orchard owner recorded the weight, in pounds, of all nectarines that grew on a dwarf nectarine tree during each growing season after the tree's transplantation. The table shows this weight, in pounds, for each growing season after the tree's transplantation.

Question 7: Which of the following equations best represents the line of best fit for the data?

A. y = 12x - 14

B. y = 12x + 14

C. y = 6x - 12

D. y = 0.8x + 12

Answer: A

Question 8: Which of the following is the best interpretation of the slope of the line of best fit in this context?

A. The predicted weight, in pounds, of nectarines harvested in the 1st growing season.

B. The predicted increase in the weight, in pounds, of nectarines harvested each growing season.

C. The number of growing seasons required to harvest 10 pounds of nectarines.

D. The total weight, in pounds, of nectarines harvested over 10 growing seasons.

Answer: B

Question 9 and Question 10 use the same data: A biologist recorded the total length, in centimeters, of several young alligators based on their age, in months. The scatterplot shows the age x, in months, and the total length y, in centimeters, for 10 alligators. A line of best fit is also shown.

Fig. 6. Question 9 & 10. (Source: [6])

Question 9: Which of the following equations best represents the line of best fit for the data?

A. y = 1.9x + 1.4

B. y = 1.9x - 1.4

C. y = 1.4x + 1.9

D. y = -1.9x - 1.4

Answer: A

Question 10: For which of the following ages x, in months, is the difference between the actual total length of the alligator and the length predicted by the line of best fit the greatest?

A. x = 0.5

B. x = 3.6

C. x = 4.4

D. x = 6.7

Answer: B

Như vậy, bài viết đã giới thiệu về phần mềm DESMOS và hướng dẫn chi tiết cách sử dụng phần mềm này trong bài thi Digital SAT để tìm đường hồi quy tuyến tính cho biểu đồ phân tán. Việc vận dụng linh hoạt các tính năng vẽ đồ thị không chỉ giúp thí sinh trực quan hóa các phép biến đổi hình học mà còn là công cụ đắc lực để đối chiếu và xác định chính xác phương trình hàm số cần tìm.

Hy vọng người học có thể vận dụng các nội dung và quy trình thao tác trong bài viết để cải thiện hiệu suất ôn tập, đơn giản hóa các bước tính toán phức tạp và nâng cao hiệu quả làm bài của bản thân trong các kỳ thi sắp tới.

Tham khảo chương trình luyện thi SAT cam kết đầu ra tại ZIM Academy để được hướng dẫn chuyên sâu và bứt phá điểm số.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.