Sử dụng DESMOS để tìm nghiệm của phương trình bậc nhất một ẩn

Trong chương trình Toán học trung học cũng như các bài thi chuẩn hoá quốc tế, phương trình bậc nhất một ẩn là một trong những dạng toán nền tảng và xuất hiện với tần suất cao. Việc nắm vững bản chất của phương trình cũng như phương pháp tìm nghiệm giúp học sinh giải quyết nhiều dạng bài toán phức tạp hơn trong đại số và đồ thị.

Bên cạnh các phương pháp giải truyền thống, hiện nay học sinh còn có thể sử dụng các công cụ công nghệ hỗ trợ, tiêu biểu là DESMOS – phần mềm máy tính đồ thị trực tuyến miễn phí. Việc vận dụng DESMOS giúp người học trực quan hoá quá trình giải phương trình, kiểm tra kết quả nhanh chóng và hạn chế sai sót khi làm bài. DESMOS cũng là công cụ hữu ích được cho phép sử dụng trong các bài thi chuẩn hoá, đặc biệt là SAT.

Lý thuyết về phương trình bậc nhất một ẩn

Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng tổng quát:

ax + b = 0 (a≠0)

Trong đó:

• a là hệ số của ẩn x, trong đó a khác 0.

• b là hằng số,

• x là ẩn số cần tìm.

Để giải phương trình, ta thực hiện các phép biến đổi đại số:

ax + b = 0 ⇒ ax = −b ⇒ x=−b/a

Như vậy, với a khác 0, phương trình bậc nhất một ẩn luôn có đúng một nghiệm duy nhất, đó là x=-b/a.

Mối liên hệ giữa nghiệm phương trình và đồ thị

Ngoài cách giải đại số, nghiệm của phương trình còn có thể hiểu dưới góc độ đồ thị. Ở đây, người học có thể xem vế trái của phương trình ax + b = 0 là hàm số y = ax + b. Đây là một hàm số bậc nhất, nên đồ thị của nó là một đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Nghiệm của phương trình ax + b = 0 chính là giá trị của x tại điểm mà đồ thị cắt trục hoành, vì trên trục hoành ta luôn có y=0.

Do đó, việc tìm nghiệm của phương trình bậc nhất một ẩn tương đương với việc tìm giao điểm của đường thẳng y = ax + b với trục Ox. Cách nhìn này giúp ta hiểu rõ bản chất hình học của nghiệm và rất hữu ích khi sử dụng công cụ đồ thị như Desmos.

Ví dụ minh họa:

Xét phương trình:

5x + 3 = 13

Phương trình trên có thể được hiểu như sự bằng nhau giữa hai biểu thức: vế trái 5x + 3 và vế phải 13. Khi biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ Oxy, mỗi vế của phương trình tương ứng với một đồ thị:

• Biểu thức 5x+3 được biểu diễn bởi đường thẳng y=5x+3

Fig. 1. Line y=5x+3 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [1])

• Hằng số 13 được biểu diễn bởi đường thẳng y=13, song song với trục hoành.

Fig. 2. Line y=13 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [2])

Khi hai đường thẳng này được vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ, nghiệm của phương trình 5x + 3 = 13 chính là hoành độ của giao điểm giữa hai đồ thị. Giao điểm này thể hiện giá trị của x tại đó hai vế của phương trình có cùng giá trị, tức là phương trình được thỏa mãn.

Câu hỏi về phương trình bậc nhất 1 ẩn trong bài thi Digital SAT

Trong chương trình Toán và đặc biệt trong đề thi Digital SAT, phương trình bậc nhất một ẩn là một trong những dạng kiến thức nền tảng và xuất hiện thường xuyên. Các câu hỏi có thể yêu cầu thí sinh tìm nghiệm của phương trình, xác định xem một giá trị cho trước có phải là nghiệm hay không, hoặc phân tích số nghiệm của phương trình dựa trên dạng tổng quát ax + b = 0 với a≠0. Để làm tốt dạng bài này, người học cần nắm vững các bước biến đổi đại số, hiểu rõ ý nghĩa của nghiệm và mối liên hệ giữa nghiệm với đồ thị của hàm số bậc nhất. Việc thành thạo dạng toán này không chỉ giúp giải nhanh các câu hỏi trắc nghiệm mà còn là nền tảng cho những nội dung đại số nâng cao hơn trong bài thi.

Giới thiệu máy tính khoa học DESMOS

DESMOS là một phần mềm máy tính khoa học được thiết kế bởi DESMOS Studio. Đây là phần mềm chính thức được tích hợp trong phần mềm Bluebook của bài thi Digital SAT nhằm hỗ trợ thí sinh giải quyết đa dạng câu hỏi Toán học ở nhiều chuyên đề khác nhau.

Fig. 3. Official logo of Desmos Studio PBC. (Source: [3])

Các tính năng cơ bản của DESMOS

Với phần mềm DESMOS, người học và thí sinh sẽ cần làm quen với một số tính năng cơ bản, bao gồm:

• Các phép cộng, trừ, nhân, chia cơ bản

• Vẽ đồ thị phương trình từ bậc thấp đến cao

• Sử dụng bảng biểu

• Tính năng thanh trượt

• Các phép tính thống kê cơ bản

• Các phép tính lượng giác cơ bản

• …

Trên màn hình giao diện DESMOS, người học có thể nhận diện được các vùng cơ bản. Thứ nhất, vùng bên tay trái là nơi người học nhập phương trình (VD: 2x + y = 0). Thứ hai, vùng mặt phẳng toạ độ Oxy là nơi đồ thị của phương trình hiển thị. Cuối cùng, nút cài đặt (có biểu tượng hình cờ lê) bên góc phải là nơi người học điều chỉnh một số cài đặt để phù hợp nhu cầu (VD: chuyển đổi từ Degree sang Radian.)

Fig. 4. Line y=2x-4 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [4])

Lưu ý: Phần mềm DESMOS hiện tại mà người học có thể tìm trên mạng có thể được chia làm hai phiên bản: Nguyên bản (đen) và Khảo thí (testing - xanh lá). Phần mềm DESMOS nguyên bản sẽ có nhiều tính năng hơn bản khảo thí, bao gồm tính năng chia sẻ biểu đồ, thư mục, hoặc hình ảnh. Tuy vậy, các tính năng quan trọng dùng trong bài thi SAT vẫn có đầy đủ ở cả hai phiên bản.

Hướng dẫn sử dụng DESMOS để tìm nghiệm phương trình bậc nhất

Quy trình tổng quát

Bước 1: Chuyển phương trình về dạng hàm số.

Trước hết, ta đưa phương trình bậc nhất một ẩn về dạng hàm số để có thể biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ.

Từ phương trình:

ax + b = 0

ta xét hàm số tương ứng:

y = ax + b

Bước 2: Nhập hàm số vào DESMOS.

Người học mở công cụ đồ thị Desmos, sau đó nhập biểu thức vào ô bên trái:

y = ax + b

Ngay lập tức, Desmos sẽ vẽ đồ thị của hàm số trên hệ trục tọa độ. Nhờ đó, ta có thể quan sát trực tiếp hình dạng và vị trí của đường thẳng.

Bước 3: Xác định giao điểm với trục hoành.

Tiếp theo, người học quan sát điểm mà đồ thị của đường thẳng cắt trục hoành (tức là nơi y = 0).
Tại giao điểm này, giá trị của hoành độ chính là nghiệm của phương trình ax + b = 0, vì tại đó ta có ax + b = y = 0.

Bước 4: Kiểm tra lại nghiệm.

Cuối cùng, để đảm bảo kết quả chính xác, người học thay giá trị x vừa tìm được vào phương trình ban đầu ax + b = 0. Nếu hai vế bằng nhau, nghiệm tìm được là hoàn toàn đúng.

Ví dụ minh hoạ

Câu hỏi: What is the solution of the following equation?

2x − 4 = 0

Hướng dẫn bằng DESMOS

• Bước 1: Xét hàm số y = 2x − 4

Từ phương trình 2x − 4 = 0, ta chuyển sang dạng hàm số bằng cách đặt

y = 2x − 4

Hàm số này là một hàm bậc nhất, có đồ thị hàm số là một đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ. Việc biểu diễn phương trình dưới dạng hàm số giúp ta dễ dàng quan sát mối quan hệ giữa x và y, đồng thời tạo điều kiện để xác định nghiệm của phương trình thông qua hình ảnh trực quan.

• Bước 2: Nhập y = 2x − 4 vào DESMOS

Sau khi đã có dạng hàm số, ta mở công cụ đồ thị Desmos và nhập biểu thức:

y = 2x − 4

Ngay lập tức, Desmos sẽ hiển thị đồ thị của hàm số trên hệ trục tọa độ. Đường thẳng xuất hiện cho phép ta quan sát trực tiếp vị trí mà nó cắt các trục tọa độ, đặc biệt là trục hoành.

Fig. 5. Line y=2x-4 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [5])

• Bước 3: Xác định giao điểm của đồ thị với trục hoành

Quan sát đồ thị trên Desmos, ta thấy đường thẳng y = 2x − 4 cắt trục hoành tại điểm (2, 0).
Điều này có nghĩa là khi x = 2 thì y = 0, hay nói cách khác:

2x − 4 = 0 khi x = 2.

Do đó, hoành độ của giao điểm, tức x = 2, chính là nghiệm của phương trình.

• Bước 4: Kiểm tra lại nghiệm

Để chắc chắn kết quả là chính xác, ta thay x = 2 vào phương trình ban đầu:

2(2) − 4 = 4 − 4 = 0

Hai vế bằng nhau, vì vậy ta kết luận x = 2 là nghiệm đúng của phương trình.
→ Nghiệm của phương trình là x = 2

Lưu ý: Khi hiển thị toạ độ, DESMOS luôn hiển thị giá trị dưới dạng số thập phân. Do đó, DESMOS hữu dụng khi giá trị cần tìm là giá trị nguyên (1,2,3,...), giá trị thập phân hữu hạn (1.5, 2.5,...), giá trị thập phân vô hạn tuần hoàn (0.6666), hoặc giá trị thập phân không tuần hoàn thông dụng (3.141592). Nếu người học chưa quen nhận diện các giá trị này (VD: 10/3 có thể được biểu diễn là 3.33333), điều nên làm là luôn kiểm tra lại đáp án trước khi chọn.

Xem thêm:

• Linear equation word problems SAT Math (bài toán về phương trình tuyến tính)

• Cách làm dạng bài Linear equations in one variable

• Sử dụng DESMOS để tìm số nghiệm của phương trình bậc nhất một ẩn

Bài tập vận dụng

Sau đây bài viết sẽ giới thiệu đến người học một số câu hỏi Digital SAT có sử dụng DESMOS để tìm nghiệm phương trình bậc nhất một ẩn. Người học hãy sử dụng tính năng DESMOS đã giới thiệu để giải các câu hỏi sau.

Question 1:

Which of the following equations represents all values of x where the graph of

y = 2x + 5

intersects the x-axis?

A. 2x + 5 = 0
B. 2x + 5 = x
C. 2x + 5 = 5
D. 2x = 5

Question 2:

What does the solution of the equation

3x − 7 = 0 

represent on the Oxy-plane?

A. The y-intercept of the line
B. The x-intercept of the line
C. The x-value where the two lines intersect
D. The y-value where the two lines intersect

Question 3:

Which of the following methods correctly finds the solution of the equation 4x + 1 = 9?

A. Graph the equation y = 4x + 1 and find the x-value when y = 9
B. Substitute x = 9 into 4x + 1
C. Rewrite the equation as x = 4y + 1
D. Solve the equation by dividing both sides by 4 first

Question 4:

Solve the equation:

x/2 − 4 = 0

A. –16
B. –8
C. 8
D. 16

Question 5:

Solve the equation:

x/2 + 3= 7

A. –16
B. –8
C. 8
D. 16

Question 6:

What is the solution to: 9 - 2x = -1?

A. –1
B. 1
C. 5
D. –5

Question 7:

Which value of x makes the equation true?

6(2x - 1) = 18

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

Question 8:

The solution of a linear equation is x = −4. Which equation could produce this solution?

A. 2x + 8 = 0
B. 3x + 12 = 3
C. 5x − 20 = 0
D. 4x + 32 = 0

Question 9:

For what value of k does the equation have Infinitive solutions?

k(x−1)=0

A. 0
B. 1
C. -1
D. Cannot be determined

Question 10:

For what value of k does the equation k(x-10) = 3 have no solution?

A. 0
B. 10
C. -10
D. 4

Đáp án:

1. A

2. B

3. A

4. C

5. C

6. C

7. B

8. A

9. A

10. A

Tổng kết

Việc sử dụng DESMOS để tìm nghiệm của phương trình bậc nhất một ẩn giúp học sinh tiếp cận bài toán dưới góc nhìn trực quan và hiệu quả hơn. Thay vì chỉ thực hiện các phép biến đổi đại số, học sinh có thể quan sát trực tiếp đồ thị của hàm số biến đổi, từ đó xác định nghiệm thông qua giao điểm của đường thẳng với trục hoành. Phương pháp này không chỉ hỗ trợ kiểm tra nhanh kết quả mà còn giúp người học hiểu rõ mối liên hệ giữa đại số và hình học, nâng cao tư duy toán học và tăng độ chính xác khi làm các bài toán trong Digital SAT.

Tham khảo chương trình luyện thi SAT cam kết đầu ra tại ZIM Academy để được hướng dẫn chuyên sâu và bứt phá điểm số.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.