Sử dụng DESMOS để tìm x-intercept và y-intercept của hàm phân thức

Trong các bài thi chuẩn hóa quốc tế về năng lực toán, chẳng hạn như Digital SAT, thí sinh có thể sẽ được cung cấp phần mềm DESMOS, phần mềm máy tính khoa học giúp giải quyết các vấn đề liên quan đến đồ thị, thống kê và các phép tính cơ bản. Nắm được các tính năng của DESMOS cũng như thao tác sử dụng sẽ giúp thí sinh tăng tốc độ làm bài, đơn giản hóa các bước tính toán, từ đó nâng cao hiệu quả bài thi. Trong phạm vi bài viết này, tác giả sẽ hướng dẫn người đọc cách sử dụng DESMOS để tìm x-intercept và y-intercept của hàm phân thức, một dạng bài phổ biến trong bài thi Digital SAT.

Lý thuyết chung về hàm đa thức

Hàm đa thức có dạng tổng quát là:

Trong đó: 

• x là biến số độc lập

• a(n), a(n - 1), a(1)… là các hằng số thực (an khác 0)

• a(n) là hệ số dẫn đầu (leading coefficient)

• n là số mũ của x và là bậc của hàm số

Ví dụ: Hàm số y = x^3 - 4x là một hàm đa thức. Trong trường hợp này:

• an = 1

• n = 3

Lý thuyết chung về hàm phân thức

Hàm phân thức đơn thuần là một hàm số có f(x) bằng thương của hai đa thức. Như vậy, hàm phân thức sẽ có dạng như sau:

P(x) = A/B

Trong đó:

• A và B đại diện cho các đa thức

• B phải khác 0 (vì không thể chia cho 0).

• Lưu ý, hai đa thức màu cấu tạo nên một hàm phân thức không nhất thiết là phải cùng bậc.

Do B ≠ 0, nên tập xác định của biểu thức hữu tỉ là {x ∈ R | B ≠ 0}. Việc xác định giá trị khiến phân thức xác định/không xác định là tiền đề để người học giải quyết các bài toán liên quan đến phân thức.

Với một phân thức có dạng A/B, ta luôn luôn có B phải khác 0. Do đó, ta có:

• Điều kiện để phân thức xác định: B ≠ 0

• Điều kiện để phân thức không xác định: B = 0

Nói tóm lại, để phân thức xác định thì mẫu của phân thức phải luôn khác 0.

Các bước tìm giá trị để phân thức xác định:

• Thiết lập điều kiện cho mẫu của phân thức khác 0

• Giải phương trình để tìm các giá trị khiến mẫu bằng 0

• Tập hợp các giá trị khiến phân thức xác định là tất cả các số thực loại trừ các giá trị vừa tìm được.

Ví dụ: f(x) = (x + 2)/(x^2 - 4)

• Điều kiện xác định: x^2 - 4 ≠ 0

• Ta giải phương trình x^2 - 4 = 0 -> x = 2 hoặc x = -2

• Tập hợp các giá trị khiến phân thức xác định là tất cả các giá trị x ngoại trừ x = 2 hoặc x = -2 -> Phân thức xác định khi x ≠ ±2

X-intercept và y-intercept của hàm phân thức

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tung độ gốc (y-intercept) của hàm số chứa căn thức là giao điểm giữa đồ thị của hàm số và trục tung. Với hàm số: f(x) = A/B để tìm y-intercept, ta thay x = 0 (chỉ thực hiện được khi  x = 0 nằm trong các giá trị khiến biểu thức xác định).

Khi đó: f(0) = A/B và người học có thể tìm ra tung độ gốc là: (0,  m)

Ngoài ra, hoành độ gốc (x-intercept) của hàm số là giao điểm giữa đồ thị và trục hoành. Trong trường hợp này, f(x) = 0 và hàm số sẽ được biến đổi thành A/B = 0. Như vậy, ta sẽ quay về việc tìm nghiệm của phương trình A/B = 0, và các giá trị x tìm được sẽ là các hoành độ gốc.

Người học giải phương trình A/B = 0 bằng cách giải các phương trình phân thức như bình thường. 

Trong trường hợp này, người học chỉ cần giải A = 0, tìm ra được các nghiệm (n, 0), chính là toạ độ của các x-intercept của hàm số.

Ví dụ: Xét hàm số f(x) = (2x + 2)/(x^2 - 4).

1. Tìm y-intercept

Ta có điều kiện x ≠ ±2 -> x = 0 thỏa mãn và hàm số có y-intercept.

Cho x = 0: -> y = 2/-4 = -1/2

Vậy (0, -1/2) là tung độ gốc của hàm số.

2. Tìm x-intercept

Cho y = 0:

(2x + 2)/(x^2 - 4) = 0 -> 2x + 2 = 0 -> x = -1 (thoả mãn)

Vậy (-1, 0) là hoành độ gốc của hàm số.

Diễn giải đồ thị hàm phân thức trên mặt phẳng toạ độ

Trên mặt phẳng tọa độ, đồ thị của hàm phân thức thường là một đường cong và có thể gồm nhiều nhánh do tồn tại các giá trị mà hàm số không xác định. Hình dạng của đồ thị phụ thuộc vào tử số, mẫu số và mối quan hệ giữa hai đa thức.

Miền xác định của hàm số được quyết định bởi mẫu số:

• Những giá trị của x làm mẫu số bằng 0 sẽ không thuộc tập xác định của hàm số.

• Tại các giá trị này, đồ thị sẽ bị gián đoạn và thường xuất hiện các đường tiệm cận đứng.

Bậc của tử số và mẫu số cũng ảnh hưởng đến dạng tổng quát của đồ thị. 

• Nếu bậc của tử số nhỏ hơn bậc của mẫu số, đồ thị sẽ tiến dần về đường thẳng y = 0 khi x tiến đến ±∞.

• Nếu bậc của tử số bằng bậc của mẫu số, đồ thị sẽ tiến dần về đường thẳng có tung độ bằng tỉ số giữa hai hệ số dẫn đầu.

• Nếu bậc của tử số lớn hơn bậc của mẫu số, đồ thị có thể xuất hiện đường tiệm cận xiên hoặc các dạng tiệm cận khác tùy thuộc vào kết quả phép chia đa thức.

Hướng của đồ thị sẽ phụ thuộc vào tử số, mẫu số và các đường tiệm cận của hàm số. Khác với hàm đa thức, hàm phân thức không có một quy tắc chung để xác định hướng của đồ thị chỉ dựa vào bậc hay hệ số dẫn đầu. 

Cuối cùng, như đã nêu trên, x-intercept là điểm mà đồ thị hàm số sẽ giao trục Ox, và y-intercept là điểm mà đồ thị hàm số sẽ giao trục Oy.

Ví dụ: Xét hàm số f(x) = (2x + 2)/(x^2 - 4)

Fig. 1. Function f(x) = (2x + 2)/(x^2 - 4) on the Desmos Graphing Calculator. (Source [1])

Người học nhận thấy được:

• Như đã giải ở trên, hàm số xác định khi x ≠ ±2 -> Đồ thị của hàm số bị gián đoạn tại x = ±2 (giá trị y tại điểm x = 2 bị ghi là undefined, tức là không xác định).

• Do bậc của tử số nhỏ hơn bậc của mẫu số, khi x tiến dần đến ±∞, giá trị của hàm số tiến dần đến 0, nên đồ thị tiến gần đến đường thẳng y = 0.

• Người học đã tìm được trước x-intercept của đồ thị là (-1, 0) và y-intercept là (0, -1/2), vậy đồ thị sẽ cắt trục Ox tại (-1, 0) và trục Oy tại (0, -1/2)

Mặt khác, nếu hàm số không có x-intercept hay y-intercept, thì đồ thị sẽ không cắt trục Ox và Oy.

Ví dụ: Xét f(x) = (x^2 + 1)/x.

1. Tìm y-intercept

Cho x = 0. Tuy nhiên, x = 0 không thỏa mãn điều kiện xác định là x ≠ 0 của mẫu số..

-> Hàm số không có y-intercept.

2. Tìm x-intercept

Cho f(x) = 0:

(x^2 + 1)/x = 0 -> x^2 + 1 = 0 (Vô lý vì x^2 ≥ 0 -> x^2 + 1 ≥ 1).

Do đó, hàm số không có x-intercept.

Như vậy, hàm số f(x) = (x^2 + 1)/x không có x-intercept và y-intercept, và sẽ không cắt trục Ox và Oy.

Fig. 2. Function (x^2 + 1)/x on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [2])

Tìm x-intercept và y-intercept của hàm phân thức trong câu hỏi Digital SAT

Trong bài thi Digital SAT, các câu hỏi về tìm x-intercept và y-intercept của hàm phân thức là rất đa dạng. Thí sinh có thể được hỏi về việc tìm x-intercept hay y-intercept của một hàm số, xác định tính đúng sai của x-intercept và y-intercept, hoặc tìm hằng số để x-intercept và y-intercept đạt giá trị nhất định.

Giới thiệu máy tính khoa học DESMOS

DESMOS là một phần mềm máy tính khoa học được thiết kế bởi DESMOS Studio. Đây là phần mềm chính thức được tích hợp trong phần mềm Bluebook của bài thi Digital SAT nhằm hỗ trợ thí sinh giải quyết đa dạng các câu hỏi Toán học ở nhiều chuyên đề khác nhau.

Fig. 3. Official logo of Desmos Studio PBC. (Source: [3])

Các tính năng cơ bản của DESMOS

Với phần mềm DESMOS, người học và thí sinh sẽ cần làm quen với một số tính năng cơ bản, bao gồm:

• Các phép cộng, trừ, nhân, chia cơ bản

• Vẽ đồ thị phương trình từ bậc thấp đến cao

• Sử dụng bảng biểu

• Tính năng thanh trượt

• Các phép tính thống kê cơ bản

• Các phép tính lượng giác cơ bản

• V.v.

Trên màn hình giao diện DESMOS, người học có thể nhận diện được các vùng cơ bản. Thứ nhất, vùng bên tay trái là nơi người học nhập phương trình (VD: 2x + y = 0). Thứ hai, vùng mặt phẳng toạ độ Oxy là nơi đồ thị của phương trình hiển thị. Cuối cùng, nút cài đặt (có biểu tượng hình cờ lê) bên góc phải là nơi người học điều chỉnh một số cài đặt để phù hợp nhu cầu (VD: chuyển đổi từ Degree sang Radian.)

Fig. 4. Interface of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [4])

Lưu ý: Phần mềm DESMOS hiện tại mà người học có thể tìm trên mạng có thể được chia làm hai phiên bản: Nguyên bản (đen) và Khảo thí (testing - xanh lá). Phần mềm DESMOS nguyên bản sẽ có nhiều tính năng hơn bản khảo thí, bao gồm tính năng chia sẻ biểu đồ, thư mục, hoặc hình ảnh. Tuy vậy, các tính năng quan trọng dùng trong bài thi SAT vẫn có đầy đủ ở cả hai phiên bản.

Hướng dẫn sử dụng DESMOS để tìm x-intercept và y-intercept của hàm phân thức

Để sử dụng DESMOS để tìm x-intercept và y-intercept của hàm phân thức, người học cần vận dụng tính năng vẽ đồ thị. Dưới đây là hướng dẫn chi tiết từng bước:

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp.

Người học đọc kĩ đề bài để xác định các dữ kiện được cho, trong trường hợp này là hàm phân thức cũng như câu hỏi của đề bài.

Bước 2: Nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài vào ô nhập dữ liệu của phần DESMOS graphing calculator. 

Trong trường hợp này, người học trước hết viết hàm số được cho sẵn trong đề bài vào DESMOS.

Nếu người học cần gõ các ký tự đặc biệt, người học có thể bấm vào ký hiệu bàn phím ở góc dưới trái của màn hình để hiện ra chức năng bàn phím để hỗ trợ trong việc bấm biểu thức.

DESMOS sẽ tự động vẽ đồ thị của hàm số tương ứng.

Bước 3: Sau khi người học thấy được đồ thị được vẽ, người học có thể bấm vào giao điểm giữa đồ thị của hàm số với trục Ox và Oy.

DESMOS sẽ tự động hiện toạ độ của các giao điểm này trên giao diện. Đây chính là x-intercept và y-intercept của hàm số. Nếu đề bài bắt tìm thêm dữ liệu gì, người học có thể dựa vào tọa độ tìm được và hoàn thành các bước tính toán còn lại.

Bước 4: (tuỳ chọn) Người học có thể thế các toạ độ của x-intercept và y-intercept vào trong hàm số để xét tính đúng/sai của chúng.

Ví dụ minh hoạ:

The function f is defined by

f(x) = (2x - 5)/(x^2 + 4).

What is the y-intercept of the graph of f?

A. (0, -5)

B. (0, -5/4)

C. (0, 5)

D. (0, 5/4)

Hướng dẫn giải bằng DESMOS

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp

• Hàm số được cho: f(x) = (2x - 5)/(x^2 + 4)

• Đề bài bắt tìm y-intercept của hàm số. 

Bước 2: Nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài vào ô nhập dữ liệu của DESMOS. Trong đó:

• Viết ở dòng đầu tiên: f(x) = (2x - 5)/(x^2 + 4) để hiện đồ thị hàm số trên mặt phẳng toạ độ

Lưu ý, với dấu căn thức, người học nên sử dụng phần bàn phím như đã nêu trên.

Fig. 5. The Calculator function on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [5])

Desmos sẽ hiển thị đường cong f(x) = (2x - 5)/(x^2 + 4) trên mặt phẳng tọa độ. 

Fig. 6. Function f(x) = (2x - 5)/(x^2 + 4) on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [6])

Bước 3: Người học bấm vào giao điểm giữa đồ thị f(x) = (2x - 5)/(x^2 + 4) với trục tung để tìm ra tọa độ của y-intercept của hàm số.

Fig. 7. Function f(x) = (2x - 5)/(x^2 + 4) on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [6])

Người học có thể thấy được x-intercept là (0, -5/4).

-> Chọn B.

Bước 4: Người học có thể thử lại hai giá trị của y-intercept vào hàm số. Thay x = 0 và y = -5/4 vào f(x) = (2x - 5)/(x^2 + 4), ta có:

(0 - 5)/(0 + 4) = -5/4

-> -5/4 = -5/4 (Đúng).

-> Xác định phương án được chọn là chính xác.

Lưu ý: DESMOS luôn hiển thị giá trị dưới dạng số thập phân. Do đó, DESMOS hữu dụng khi giá trị cần tìm là giá trị nguyên (1,2,3,...), giá trị thập phân hữu hạn (1.5, 2.5,...), giá trị thập phân vô hạn tuần hoàn (0.6666), hoặc giá trị thập phân không tuần hoàn thông dụng (3.141592). Nếu người học chưa quen nhận diện các giá trị này (VD: 10/3 có thể được biểu diễn là 3.33333), điều nên làm là luôn kiểm tra lại đáp án trước khi chọn.

Xem thêm:

• Cách làm Radical, rational, and absolute value equations trong SAT® Math

• Các quy tắc số mũ (exponent) và căn bậc (radical) trong SAT® Math

Bài tập vận dụng

Sau đây, bài viết sẽ giới thiệu đến người học một số câu hỏi Digital SAT có sử dụng DESMOS để tìm x-intercept và y-intercept của hàm phân thức [7]. Người học hãy sử dụng tính năng DESMOS đã giới thiệu để giải các câu hỏi sau.

Question 1: 

The function g is defined by h(x) = [(x - 4)(x + 1)]/[(x - 4)(x - 3)].

Which statement about the intercepts of the graph of h is true?

A. It has x-intercepts at (4, 0) and (-1, 0).

B. It has an x-intercept only at (-1, 0).

C. It has no x-intercepts.

D. It has an x-intercept only at (4, 0).

Answer: B

Question 2: 

The function g is defined by g(x) = (x^2 - 9)/(x^2 + x - 6).

Which point is the x-intercept of the graph of g?

A. (3, 0)

B. (-3, 0)

C. (3/2, 0)

D. (-3/2, 0)

Answer: A

Question 3:

The function q(x) = (x^2 - 7x + 10)/(2x + 5) has a y-intercept at (0, a).

What is the value of a?

A. -1
B. -2
C. 1
D. 2

Answer: D

Question 4:

A rational function has numerator x^2 + 2x - 8 and denominator x^2 - 9.

Which statement is true?

A. The graph has an x-intercept only at (-4, 0).

B. The graph has an x-intercept only at (2, 0).

C. The graph has x-intercepts at (-4, 0) and (2, 0).

D. The graph has no x-intercepts.

Answer: C

Question 5:

Which function has (0, 3) as a y-intercept?

A. (x^2 - 7x + 12)/(x^2 - 5x + 4)

B. (x^2 + 7x + 15)/(x^2 - 5x + 4)

C. (x^2 - 7x - 12)/(x^2 - 5x + 4)

D. (-x^2 - 7x - 12)/(x^2 - 5x + 4)

Answer: A

Question 6:

The function f(x) = [(x^2 - 25)(x - 2)]/[(x - 5)(x^2 - 4)] has x-intercept (m, 0) and y-intercept (0, n). What is 2(m - n)?

Answer: -15

Question 7:

A rational function is defined by p(x) = (x^3 - 7x^2 + 14 x - 8)/(x^2 - 5x + 6).

What is the y-intercept of the graph?

A. -4/3

B. 4/3

C. 2/3

D. -2/3

Answer: A

Question 8:

A rational function is defined by h(x) = (x^4 - 10x^2 + 9x)/(x^3 - 3x^2 - x + 3).

What is the sum of all x-intercepts of the graph? 

A. -1

B. 0

C. 1

D. 2

Answer: A

Question 9:

The rational function h(x) = [(x - a)(x - 6)]/[(x - 2)(x - 6)] has exactly one x-intercept, and its y-intercept is (0, 3/2).

What is the value of a?

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

Answer: B

Question 10:

A factory models the percentage yield, Y(x), of a manufacturing process as a rational function.

• The yield is zero whenever the operating temperature is 4°C above the optimal temperature or 6°C below the optimal temperature.

• The model is undefined when the temperature is 2°C above the optimal temperature because a safety shutoff activates.

• The numerator and denominator are both monic (their leading coefficients are 1).

If the optimal temperature is represented by x = 0, what is the percentage yield of the manufacturing process?

A. 6

B. 8

C. 10

D. 12

Answer: D

Tổng kết

Như vậy, bài viết đã giới thiệu về phần mềm DESMOS và hướng dẫn chi tiết cách sử dụng phần mềm này trong bài thi Digital SAT để tìm x-intercept và y-intercept của hàm phân thức. Việc vận dụng linh hoạt các tính năng vẽ đồ thị không chỉ giúp thí sinh trực quan hóa các phép biến đổi hình học mà còn là công cụ đắc lực để đối chiếu và xác định chính xác phương trình hàm số cần tìm.

Hy vọng người học có thể vận dụng các nội dung và quy trình thao tác trong bài viết để cải thiện hiệu suất ôn tập, đơn giản hóa các bước tính toán phức tạp và nâng cao hiệu quả làm bài của bản thân trong các kỳ thi sắp tới.

Tham khảo chương trình luyện thi SAT cam kết đầu ra tại ZIM Academy để được hướng dẫn chuyên sâu và bứt phá điểm số.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.