Sử dụng DESMOS để xác định số nghiệm của hệ phương trình căn thức - tuyến tính

Trong các bài thi chuẩn hóa quốc tế về năng lực toán, chẳng hạn như Digital SAT, thí sinh có thể sẽ được cung cấp phần mềm DESMOS, phần mềm máy tính khoa học giúp giải quyết các vấn đề liên quan đến đồ thị, thống kê và các phép tính cơ bản. Nắm được các tính năng của DESMOS cũng như thao tác sử dụng sẽ giúp thí sinh tăng tốc độ làm bài, đơn giản hóa các bước tính toán, từ đó nâng cao hiệu quả bài thi. Trong phạm vi bài viết này, tác giả sẽ hướng dẫn người học xác định số nghiệm của hệ phương 

Lý thuyết chung về phương trình căn thức - tuyến tính

Phương trình tuyến tính (hay phương trình bậc nhất) là phương trình đại số mà các biến số là bậc một và đồ thị biểu diễn là một đường thẳng. Dạng tổng quát của phương trình tuyến tính là y = Ax + B, hay Ax + By = C

Ax + By = C

y = f(x) = mx + n

Khi phương trình tuyến tính được viết theo dạng y = mx + n thì ta có:

• Y = Biến phụ thuộc

• x (Variable): Biến số độc lập

• m (Slope/Coefficient): Hệ số góc

• n (Constant): hằng số tự do (tung độ gốc)

Còn khi phương trình tuyến tính được trình bày theo dạng Ax + By = C thì ta hiểu như sau:

• x, y (Variable): Biến số

• A, B (Coefficients): Hệ số

• C (Constant): Hằng số

• -A/B (Slope): Hệ số góc

Phương trình tuyến tính có các đặc điểm: (1) luôn có dạng là một đường thẳng trong hệ Oxy, và (2) thể hiện mối quan hệ tỉ lệ thuận/tỉ lệ nghịch giữa hai biến x và y.

Đối với phương trình căn thức, ta có dạng:

\[y=angx+k\]

Trong đó:

• n là bậc của hàm căn thức

• g(x) là các biểu thức chứa biến.

• k là tung độ gốc

• a là hệ số co giãn theo trục tung của đồ thị ( a ≠ 0)

Khi giải phương trình căn thức, cần lưu ý:

• Với n > 0, n là số chẵn, phương trình trên xác định khi f(x) ≥ 0, g(x) ≥ 0.

• Với n > 0, n là số lẻ, phương trình xác định với mọi x.

Xem thêm: Bài tập dạng bài Phương trình tuyến tính trong SAT Math

Lý thuyết về hệ phương trình căn thức - tuyến tính

Hệ phương trình căn thức - tuyến tính là hệ phương trình chứa 1 phương trình tuyến tính và một phương trình chứa căn, thường có dạng như sau:

ax + by = c

\(y=mnfx+k\)

Khi biểu diễn trên đồ thị, số nghiệm của hệ trên sẽ có thể có tối đa 2 nghiệm phân biệt, phụ thuộc vào số giao điểm của đường thẳng của phương trình tuyến tính và đồ thị của phương trình căn thức.

Để giải hệ phương trình căn thức - tuyến tính, ta sử dụng phương pháp lũy thừa và đồ thị.

Đối với phương pháp lũy thừa, người học lũy thừa 2 vế phụ thuộc vào bậc của phương trình căn thức. Tuy nhiên, trong quá trình giải hệ phương trình, người học cần lưu ý:

• Với hàm căn thức có bậc chẵn, phương trình \(y=mnfx+k\) xác định khi f(x) ≥ 0 và vế còn lại của hệ cũng lớn hơn bằng 0.

Ví dụ: Cho hệ phương trình

2x + 3y = 6

y = √( x - 6)

Giải:

• Điều kiện xác định của phương trình căn thức là: (x - 6) ≥ 0 ⇔ x ≥ 6

• Rút ẩn y theo x, ta có: y = (2x - 6)/3 = ⅔ x - 2.

• Thay ẩn y đã rút ở trên vào phương trình căn thức: ⅔ x - 2 = √ (x - 6). Ta còn gọi đây là phương trình hoành độ giao điểm.

• Để phương trình trên xác định, ta lại có: ⅔ x - 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 3

• Bình phương 2 vế, ta thu được: x - 6 = (⅔ x - 2)^2 ⇔ x - 6 = 4x^2/9 - 2x + 4 ⇔ 4x^2/9 - 3x + 10 = 0

• Giải phương trình trên, ta thấy phương trình vô nghiệm.

• Ta kết luận hệ phương trình ban đầu vô nghiệm.

Khi hệ phương trình căn thức - tuyến tính vô nghiệm, đồ thị của 2 phương trình không tồn tại giao điểm.

Fig 1. Radical equation y = (x - 2)^½ and y = 2x + 10 on Desmos Graphing Calculator (Source: [1])

Với phương trình căn thức bậc chẵn, đồ thị của phương trình là đường cong nằm ở một phía của trục hoành. Quan sát đường cong của hàm căn thức bậc chẵn, ta thấy khi đường thẳng tuyến tính đi qua đồ thị của hàm căn thức, để phương trình có nghiệm, ta chỉ thu được các trường hợp: tiếp xúc, cắt 1 điểm và cắt tại 2 điểm phân biệt.

Vậy số nghiệm tối đa của hệ phương trình này, thỏa mãn điều kiện xác định của hàm căn thức là 2 nghiệm.

Fig 2. Radical equation y = (x + 2)^⅙ and 2x + 3y = 6 on Desmos Graphing Calculator (Source: [2])

Với phương trình căn thức bậc lẻ, đồ thị của phương trình là đường cong hình chữ S có tâm đối xứng. Số nghiệm tối đa của hệ phương trình căn thức bậc lẻ - tuyến tính chính là số nghiệm tối đa của phương trình tạo thành sau khi lấy lũy thừa tương đương để triệt tiêu căn thức.

Ví dụ: Cho hệ phương trình:

Y = x + m

Y = (x - 3)^⅓

Giải:

• Ta có: x + m = (x - 3)^⅓

• Nâng lũy thừa 2 vế: (x + m)^3 = (x -3)

• Ta lấy giá trị m = -3, phương trình là: (x - 3)^3 = (x - 3)

• Phương trình trên thu được 3 nghiệm phân biệt.

Fig 3. System of radical equation y = (x - 3)^⅓ and y = x + m on Desmos Graphing Calculator (Source: [3])

Quan sát hình trên, ta thấy đồ thị của hai phương trình trên có giao điểm tại 3 điểm phân biệt, vậy hệ cho 3 nghiệm phân biệt.

Xác định số nghiệm của hệ phương trình căn thức - tuyến tính trong câu hỏi Digital SAT

Trong bài thi Digital SAT, các câu hỏi về số nghiệm của hệ phương trình căn thức - tuyến tính là rất đa dạng. Thí sinh có thể được hỏi về số nghiệm âm, dương và nhiều dạng câu hỏi khác.

Giới thiệu máy tính khoa học DESMOS

DESMOS là một phần mềm máy tính khoa học được thiết kế bởi DESMOS Studio. Đây là phần mềm chính thức được tích hợp trong phần mềm Bluebook của bài thi Digital SAT nhằm hỗ trợ thí sinh giải quyết đa dạng các câu hỏi Toán học ở nhiều chuyên đề khác nhau.

Fig. 4. Official logo of Desmos Studio PBC. (Source: [4])

Các tính năng cơ bản của DESMOS

Với phần mềm DESMOS, người học và thí sinh sẽ cần làm quen với một số tính năng cơ bản, bao gồm:

• Các phép cộng, trừ, nhân, chia cơ bản

• Vẽ đồ thị phương trình từ bậc thấp đến cao

• Sử dụng bảng biểu

• Tính năng thanh trượt

• Các phép tính thống kê cơ bản

• Các phép tính lượng giác cơ bản

• V.v.

Trên màn hình giao diện DESMOS, người học có thể nhận diện được các vùng cơ bản. Thứ nhất, vùng bên tay trái là nơi người học nhập phương trình (VD: 2x + y = 0). Thứ hai, vùng mặt phẳng toạ độ Oxy là nơi đồ thị của phương trình hiển thị. Cuối cùng, nút cài đặt (có biểu tượng hình cờ lê) bên góc phải là nơi người học điều chỉnh một số cài đặt để phù hợp nhu cầu (VD: chuyển đổi từ Degree sang Radian.)

Fig. 5. Interface of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [5])

Lưu ý: Phần mềm DESMOS hiện tại mà người học có thể tìm trên mạng có thể được chia làm hai phiên bản: Nguyên bản (đen) và Khảo thí (testing - xanh lá). Phần mềm DESMOS nguyên bản sẽ có nhiều tính năng hơn bản khảo thí, bao gồm tính năng chia sẻ biểu đồ, thư mục, hoặc hình ảnh. Tuy vậy, các tính năng quan trọng dùng trong bài thi SAT vẫn có đầy đủ ở cả hai phiên bản.

Hướng dẫn sử dụng DESMOS để xác định số nghiệm của hệ phương trình căn thức - tuyến tính

Bước 1: Để tìm hằng số thỏa mãn điều kiện về số nghiệm của hệ phương trình căn thức - tuyến tính, ta sử dụng tính năng vẽ đồ thị của Desmos

Bước 1: Đọc và xác định dữ kiện đề bài

Người học cần xác định hệ phương trình đề bài cho, bậc của căn thức, và yêu cầu đề bài. Ở đây là số nghiệm của hệ phương trình.

Bước 2: Nhập các dữ liệu đã xác định lên Desmos.

• Dòng 1: Nhập phương trình tuyến tính y = ax + b (hoặc ax + by = c)

• Dòng 2: Nhập phương trình căn thức. Đối với dạng căn bậc hai, người học có thể nhập nhanh bằng cách đánh sqrt(f(x)). Đối với dạng căn bậc cao hơn, người học có thể chuyển về dạng f(x)^1/a với a là bậc của căn thức hoặc dùng function trên bàn phím có sẵn của Desmos.

Fig 6. Intergrated keyboard on Desmos Graphing Calculator (Source: [5])

• Dòng 3 (tùy chọn): Người học chuyển về biến x hoặc y theo biến còn lại, nhập phương trình ở dạng đã thay biến.

Bước 3: Quan sát đồ thị trên Desmos và kết luận

Sau khi đã nhập hệ phương trình lên Desmos, người học quan sát, điều chỉnh đồ thị để quan sát hết toàn bộ số giao điểm và tìm số nghiệm.

Ví dụ:

y = √( x + 4)

y = x - 3

How many distinct real solutions (x, y) does the system have?

A. 1

B. 2

C. 0

D. 3

Bước 1: Xác định dữ kiện đề bài:

• Hệ phương trình: y = x - 3 và y = √(x + 4)

• Câu hỏi: Tìm số nghiệm của hệ phương trình

Bước 2: Nhập dữ liệu:

• Dòng 1: y = x - 3

• Dòng 2: Nhập y = √(x + 4) hoặc y = (x+4)^1/2

• Dòng 3 (tùy chọn): x - 3 = √(x+4)

Bước 3: Quan sát và tìm số nghiệm

Fig 7. System of y = (x+4)^½ and y = x - 3 on Desmos Graphing Calculator (Source: [6])

Quan sát trên Desmos, ta thấy hệ phương trình trên cắt tại 1 điểm duy nhất, thể hiện qua 1 đường thẳng song song với trục tung. Vậy số nghiệm của hệ phương trình này là 1 nghiệm.

→ Chọn đáp án A

Lưu ý: DESMOS luôn hiển thị giá trị dưới dạng số thập phân. Do đó, DESMOS hữu dụng khi giá trị cần tìm là giá trị nguyên (1,2,3,...), giá trị thập phân hữu hạn (1.5, 2.5,...), giá trị thập phân vô hạn tuần hoàn (0.6666), hoặc giá trị thập phân không tuần hoàn thông dụng (3.141592). Nếu người học chưa quen nhận diện các giá trị này (VD: 10/3 có thể được biểu diễn là 3.33333), điều nên làm là luôn kiểm tra lại đáp án trước khi chọn.

Xem thêm: Phương pháp giải phương trình bậc hai trong bài thi SAT

Bài tập vận dụng

Sau đây, bài viết sẽ giới thiệu đến người học một số câu hỏi Digital SAT có sử dụng DESMOS để xác định số nghiệm của hệ phương trình căn thức - tuyến tính [7]. Người học hãy sử dụng tính năng DESMOS đã giới thiệu để giải các câu hỏi sau.

Question 1:

Consider the system of equations below:

y = √(2x + 14)

y=x+3

How many ordered pairs (x,y) are real solutions to this system?

A. 2

B. 1

C. Infinitely many

D. 0

Answer: B

Question 2:

A system of equations is given by:

y−4= √(2x+1)

y−x=1

Which of the following statements is true regarding the number of real solutions (x,y) to the system?

A.The system has no real solutions.

B.The system has exactly two real solutions.

C. The system has exactly one real solution, and its x-value is 4+2√(2)

D.The system has exactly one real solution, and its y-value is 5.

Answer: C

Question 3:

√(x + 12) = y

y = x + 6

How many negative real solutions exist for the given system of equations?

A. 2

B. 0

C. 1

D. Infinitely many

Answer: C

Question 4:

Consider the system of equations below:

y = √(2x^2+8)

y=2−x

Which of the following statements correctly describes the real solutions (x,y) to this system?

A. The system has exactly two negative solutions.

B. The system has exactly one negative solution and zero positive solutions.

C. The system has one positive solution and one negative solution.

D. The system has zero real solutions.

Answer: B

Question 5:

How many positive real solutions exist for the system of equations below?

√(2x + 15) = x - 6

y = x - 6

A. 1

B. 2

C. 3

D. 0

Answer: A

Question 6:

How many real solutions (x, y) satisfy the system of equations below?

y = √(|x| - 3)

y = x - 3

A. 3

B. 1

C. 0

D. 2

Answer: D

Question 7:

How many real solutions exist for the system of equations below?

y = √(x + 5)

y = (x - 1)/2

A. 3

B. 2

C. 1

D. 0

Answer: C

Question 8:

How many real solutions (x, y) satisfy the system of equations below?

y = √(3x^2 - 5x - 8)

y = 2x - 4

A. Infinitely many

B. 2

C. 1

D. 0

Answer: B

Question 9:

An oceanographer uses the equation S = √(d^2 - 9) to model the safe distance S (in nautical miles) a vessel must maintain from a reef, where d is the total displacement factor. Operational guidelines dictate a linear constraint represented by S = 2d - 6.

How many distinct, valid equilibrium points (d, s) satisfy the system?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 0

Answer: B

Question 10:

How many real solutions (x, y) satisfy the system of equations below?

\(y=3(x3+7x2-11x-3)\)

y = x + 1

A. 1

B. 2

C. 3

D. 0

Answer: B

Tổng kết

Như vậy, bài viết đã giới thiệu về phần mềm DESMOS và hướng dẫn chi tiết cách sử dụng phần mềm này trong bài thi Digital SAT để xác định số nghiệm của hệ phương trình căn thức - tuyến tính. Việc vận dụng linh hoạt các tính năng vẽ đồ thị không chỉ giúp thí sinh trực quan hóa các phép biến đổi hình học mà còn là công cụ đắc lực để đối chiếu và xác định chính xác phương trình hàm số cần tìm.

Hy vọng người học có thể vận dụng các nội dung và quy trình thao tác trong bài viết để cải thiện hiệu suất ôn tập, đơn giản hóa các bước tính toán phức tạp và nâng cao hiệu quả làm bài của bản thân trong các kỳ thi sắp tới.

Tham khảo chương trình luyện thi SAT cam kết đầu ra tại ZIM Academy để được hướng dẫn chuyên sâu và bứt phá điểm số.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.