Sử dụng DESMOS để xác định số nghiệm của phương trình luỹ thừa

Trong các bài thi chuẩn hóa quốc tế về năng lực toán, chẳng hạn như Digital SAT, thí sinh có thể sẽ được cung cấp phần mềm DESMOS, phần mềm máy tính khoa học giúp giải quyết các vấn đề liên quan đến đồ thị, thống kê và các phép tính cơ bản. Nắm được các tính năng của DESMOS cũng như thao tác sử dụng sẽ giúp thí sinh tăng tốc độ làm bài, đơn giản hóa các bước tính toán, từ đó nâng cao hiệu quả bài thi. Trong phạm vi bài viết này, tác giả sẽ hướng dẫn người học giải phương trình mũ khác cơ số, một dạng bài phổ biến trong bài thi Digital SAT.

Lý thuyết chung về phương trình lũy thừa

Phương trình lũy thừa có dạng tổng quát là:

a^f(x) = g(x)

Trong đó: 

• f(x) là biểu thức đại số theo biến x, nằm ở số mũ

• a được gọi là cơ số, với a > 0 và a ≠ 1

• g(x) là một biểu thức đại số theo x. 

Phương trình a^f(x) = g(x) có một vế là hàm mũ và một vế là một hàm số bất kỳ. Vì vậy, cách giải sẽ phụ thuộc vào dạng của g(x). 

Lý thuyết về cách giải phương trình lũy thừa

Để tìm được nghiệm của phương trình mũ khác cơ số, người học có 4 cách giải: biến đổi phương trình về cùng cơ số, phép biến đổi đại số, phương pháp đồ thị, phương pháp logarit.

Trường hợp 1: Nếu g(x) có thể được biểu diễn dưới dạng một lũy thừa của cùng cơ số a, phương trình có thể được đưa về dạng:

a^f(x) = a^h(x).

Vì a > 0 và a ≠ 1, ta có f(x) = h(x).

Sau đó, người học giải phương trình đại số thu được.

Ví dụ: Ta có phương trình

4^x = 2^(x+2)

Ta có: 4 = 2^2 -> Ta có thể biến đổi phương trình

(2^2)^x = 2^(x+2) -> 2^2x = 2^(x + 2) -> 2x = x + 2 -> x = 2.

Trường hợp 2: Trong nhiều phương trình, g(x) không phải ngay lập tức là một lũy thừa cùng cơ số với vế trái. Tuy nhiên, bằng cách phân tích, đặt ẩn phụ hoặc sử dụng các tính chất của lũy thừa, người học có thể đưa phương trình về một phương trình đại số quen thuộc.

Ví dụ: 2^2x - 5 ⋅ 2^x + 6 = 0.

Nhận thấy: 2^2x = (2^x)^2, ta có thể đặt t = 2^x.

Khi đó phương trình trở thành: t^2 - 5t + 6 = 0.

-> (t - 2)(t - 3)=0.

Do đó: t = 2 hoặc t = 3.

Thay t = 2^x:

2^x = 2 -> x = 1, hoặc 2^x = 3.

Phương trình thứ hai không cho nghiệm nguyên và không phải dạng thường được giải chính xác bằng các kiến thức cốt lõi của SAT nếu không có thêm thông tin.

Trong những trường hợp như vậy, đồ thị hoặc công cụ máy tính có thể được sử dụng để xác định nghiệm gần đúng.

Trường hợp 3: Người học có thể giải phương trình mũ khác cơ số bằng phương pháp logarit. Tuy nhiên, logarit không thuộc kiến thức của bài thi SAT. Do đó, kiến thức về cách giải này sẽ được trình bày trong các bài chia sẻ khác.

Trường hợp 4: Người học có thể giải phương trình mũ khác cơ số bằng phương pháp đồ thị, được trình bày ở mục kế tiếp.

Xem thêm: Cách làm dạng bài Radicals and rational exponents trong SAT® Math

Mối liên hệ giữa phương trình lũy thừa và đồ thị

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, hai đồ thị của hai biểu thức tạo nên một phương trình có thể có nhiều vị trí tương đối, tương ứng với các trường hợp nghiệm khác nhau của phương trình.

Xét phương trình chứa mũ có ẩn ở hai vế a^f(x) = g(x): Ta có thể diễn giải phương trình này thành hai phần, trong đó: 

• Vế trái tương ứng với a^f(x)

• Vế phải tương ứng với g(x)

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy: Đồ thị của vế trái là đường cong, còn đồ thị của vế phải tùy thuộc vào dạng của biểu thức.

Như vậy, việc giải phương trình a^f(x) = g(x) tương đương với việc tìm các giá trị của x sao cho đồ thị của vế trái và vế phải cắt nhau tại một điểm (x, y).

Ví dụ, với phương trình sau: 4^x = 2^(x+2), ta xét vế trái: 4^x và vế phải 2^(x+2). Như vậy, nghiệm x của phương trình sẽ là giao điểm của hai đồ thị này.

Như ở trên người học tìm được, ta có x = 2 là nghiệm của phương trình.

Vì vậy, đường cong 4^x cắt đường cong 2^(x+2) tại điểm có hoành độ x = 2.

Fig. 1. Equation 4^x = 2^(x+2) on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [1])

Ngoài trường hợp phương trình có nghiệm (2 đồ thị hai vế trái/phải cắt nhau tại một hoặc nhiều điểm), ta có trường hợp đặc biệt sau:

1. Phương trình vô nghiệm

Khi phương trình vô nghiệm, hai đồ thị không cắt nhau. Khi đó, với mọi giá trị của x, ta luôn có a^f(x) ≠ g(x), và hai đồ thị hoàn toàn không cắt nhau.

Ví dụ: 2^x = x

Ta có: 

• Khi x ≤ 0, ta có 2^x > 0 ≥ x, nên 2^x ≠ x.

• Khi x > 0, ta có 2^x > 1 > x với 0 < x < 1, và 2^x >= x + 1 > x với x >= 1.

-> Do đó: 2^x > x với mọi x ∈ R.

-> Phương trình vô nghiệm, và hai đồ thị không cắt nhau.

Fig. 2. Equation 2^x = x on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [2])

2. Phương trình vô số nghiệm

Khi phương trình vô số nghiệm, hai đồ thị trùng nhau. Khi đó, với mọi giá trị của x, ta luôn có a^f(x) = b^g(x), và hai đường cong hoàn toàn trùng nhau.

Ví dụ: 5^(x + 1) = 5 ⋅ 5^x

Ta nhận thấy rằng 5 ⋅ 5^x có thể được biến đổi thành 5^1 ⋅ 5^x = 5^(1 + x)

-> 5^(x + 1) = 5^(1 + x) -> Đúng với mọi x.

-> Phương trình có vô số nghiệm, hai đồ thị trùng nhau.

Fig. 3. Equation 5^(x + 1) = 5 ⋅ 5^x on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [3])

Xác định số nghiệm của phương trình luỹ thừa trong câu hỏi Digital SAT

Trong bài thi Digital SAT, các câu hỏi về xác định số nghiệm của phương trình luỹ thừa là rất đa dạng. Thí sinh có thể được hỏi về việc tìm số nghiệm nghiệm, tìm hằng số để phương trình có số nghiệm nhất định, tìm điểm thuộc đồ thị, hay trả lời các câu hỏi thực tế liên quan đến số nghiệm.

Giới thiệu máy tính khoa học DESMOS

DESMOS là một phần mềm máy tính khoa học được thiết kế bởi DESMOS Studio. Đây là phần mềm chính thức được tích hợp trong phần mềm Bluebook của bài thi Digital SAT nhằm hỗ trợ thí sinh giải quyết đa dạng các câu hỏi Toán học ở nhiều chuyên đề khác nhau.

Fig. 4. Official logo of Desmos Studio PBC. (Source: [4])

Các tính năng cơ bản của DESMOS

Với phần mềm DESMOS, người học và thí sinh sẽ cần làm quen với một số tính năng cơ bản, bao gồm:

• Các phép cộng, trừ, nhân, chia cơ bản

• Vẽ đồ thị phương trình từ bậc thấp đến cao

• Sử dụng bảng biểu

• Tính năng thanh trượt

• Các phép tính thống kê cơ bản

• Các phép tính lượng giác cơ bản

• V.v.

Trên màn hình giao diện DESMOS, người học có thể nhận diện được các vùng cơ bản. Thứ nhất, vùng bên tay trái là nơi người học nhập phương trình (VD: 2x + y = 0). Thứ hai, vùng mặt phẳng toạ độ Oxy là nơi đồ thị của phương trình hiển thị. Cuối cùng, nút cài đặt (có biểu tượng hình cờ lê) bên góc phải là nơi người học điều chỉnh một số cài đặt để phù hợp nhu cầu (VD: chuyển đổi từ Degree sang Radian.)

Fig. 5. Interface of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [5])

Lưu ý: Phần mềm DESMOS hiện tại mà người học có thể tìm trên mạng có thể được chia làm hai phiên bản: Nguyên bản (đen) và Khảo thí (testing - xanh lá). Phần mềm DESMOS nguyên bản sẽ có nhiều tính năng hơn bản khảo thí, bao gồm tính năng chia sẻ biểu đồ, thư mục, hoặc hình ảnh. Tuy vậy, các tính năng quan trọng dùng trong bài thi SAT vẫn có đầy đủ ở cả hai phiên bản.

Xem thêm: Các quy tắc số mũ (exponent) và căn bậc (radical) trong SAT® Math

Hướng dẫn sử dụng DESMOS để xác định số nghiệm của phương trình lũy thừa

Để sử dụng DESMOS để xác định số nghiệm của phương trình lũy thừa, người học cần vận dụng tính năng vẽ đồ thị phương trình. Dưới đây là hướng dẫn chi tiết từng bước:

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp.

Người học đọc kĩ đề bài để xác định các dữ kiện được cho, trong trường hợp này là phương trình lũy thừa cũng như câu hỏi của đề bài.

Bước 2: Nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài vào ô nhập dữ liệu của phần DESMOS graphing calculator. 

Trong trường hợp này, người học cần chuyển dữ liệu phương trình thành hai vế. 

• Vế trái: a^f(x)

• Vế phải: g(x)

Người học lần lượt viết vế trái và vế phải vào trong hai dòng khác nhau của giao diện DESMOS.

Nếu người học cần gõ các ký tự đặc biệt, người học có thể bấm vào ký hiệu bàn phím ở góc dưới trái của màn hình để hiện ra chức năng bàn phím để hỗ trợ trong việc bấm biểu thức.

DESMOS sẽ tự động vẽ các đồ thị tương ứng.

Bước 3: Sau khi người học thấy được đồ thị được vẽ, để tìm nghiệm, người học có thể bấm vào giao điểm giữa đồ thị của vế trái và đồ thị của vế phải. DESMOS sẽ hiện ra tọa độ của các điểm này, và hoành độ của chúng chính là nghiệm x của phương trình. Số giao điểm ở trên giao diện DESMOS chính là số nghiệm của phương trình.

Bước 4: (tuỳ chọn) Thử lại các nghiệm vào phương trình để kiểm tra đáp án.

Ví dụ minh hoạ:

For the equation 3^(x - 2) = 2x - 3, which of the following gives the number of real solutions?

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Hướng dẫn giải bằng DESMOS

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp

• Phương trình được cho: 3^(x - 2) = 2x - 3

• Giá trị cần tìm: số nghiệm của phương trình.

Bước 2: Nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài vào ô nhập dữ liệu của DESMOS. Trong đó:

• Viết ở dòng đầu tiên: 3^(x - 2)

• Viết ở dòng thứ hai: 2x - 3

Lưu ý, với số mũ, người học có thể bấm bàn phím hoặc nên sử dụng phần bàn phím của DESMOS như đã nêu trên.

Fig. 6. The Calculator function on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [6])

Desmos sẽ hiển thị đồ thị của cả hai vế trên mặt phẳng tọa độ. 

Fig. 7. Equation 3^(x - 2) = 2x - 3 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [7])

Bước 3: Người học có thể thấy là đồ thị vế trái và vế phải có hai giao điểm là (2, 1) và (3, 3). Như vậy, phương trình 3^(x - 2) = 2x - 3 có hai nghiệm là x = 2 và x = 3.

Fig. 8. Equation 3^(x - 2) = 2x - 3 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [7])

Bước 4: Người học có thể thử lại hai giá trị x vào phương trình

• 3^(2 - 2) = 2(2) - 3 -> 3^0 = 4 - 3 -> 1 = 1 -> Đúng.

• 3^(3 - 2) = 2(3) - 3 -> 3^1 = 6 - 3 -> 3 = 3 -> Đúng

⇒ Chọn đáp án C.

Lưu ý: DESMOS luôn hiển thị giá trị dưới dạng số thập phân. Do đó, DESMOS hữu dụng khi giá trị cần tìm là giá trị nguyên (1,2,3,...), giá trị thập phân hữu hạn (1.5, 2.5,...), giá trị thập phân vô hạn tuần hoàn (0.6666), hoặc giá trị thập phân không tuần hoàn thông dụng (3.141592). Nếu người học chưa quen nhận diện các giá trị này (VD: 10/3 có thể được biểu diễn là 3.33333), điều nên làm là luôn kiểm tra lại đáp án trước khi chọn.

Xem thêm: Essential vocabulary for SAT® Math - Advanced Math | Unit 12: Root + Base + Rational

Bài tập vận dụng

Sau đây, bài viết sẽ giới thiệu đến người học một số câu hỏi Digital SAT có sử dụng DESMOS để xác định số nghiệm của phương trình lũy thừa [8]. Người học hãy sử dụng tính năng DESMOS đã giới thiệu để giải các câu hỏi sau.

Question 1: 

For the equation 2^x = x + 4, which of the following correctly describes the number of real solutions?

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Answer: C

Question 2: 

Consider the equation

2^(x - 1) = (x + 4)/12​ + 1.

Which of the following is the number of integer solutions?

A. 3

B. 1

C. 2

D. 0

Answer: D

Question 3:

Consider the equation

3^(x - 2) = x^2 + 1.

Which of the following is the number of real solutions to the equation?

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Answer: B

Question 4:

Consider the equation

2^(x + 1) = ∣3x + 6∣. 

Which of the following is the number of real solutions to the equation?

A. 3

B. 1

C. 4

D. 2

Answer: A

Question 5:

Consider

3^x = x^3 - 3x + 4.

Which of the following is the number of negative solutions?

A. 3

B. 0

C. 2

D. 1

Answer: D

Question 6:

Consider the equation

(1/2)^(x - 1)  = ∣x - 4∣ + k.

For which value of k does the equation have exactly 1 real solution?

A. -2

B. -1

C. 0

D. 1

Answer: D

Question 7:

For the equation 2^x = 8/(x + 2) + k, where x ≠ 2, which statement about k is necessary if the equation is to have at least 1 integer solution?

A. k = 2

B. k = 1

C. k = 0

D. k = -1

Answer: A

Question 8:

For the equation 5^(x - 1) = x^2 + ax + 5, where a is a real constant, which of the following values of a results in exactly 3 real solutions?

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

Answer: D

Question 9:

A laboratory culture initially contains 1,000 bacteria. Under controlled conditions, the number of bacteria is multiplied by 2 every day. A researcher estimates that the laboratory's available resources can support a maximum of 4,000 bacteria initially, but this capacity increases by 3,000 bacteria per day as additional resources are introduced.

Let t represent the number of days after the beginning of the experiment.

Based on the model described, on what day will the number of bacteria in the culture match the maximum capacity of the lab’s resources?

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

Answer: 4

Question 10:

A small conservatory initially contains 2 individuals of an invasive species. Without intervention, the population is multiplied by 2 each month.

A conservation team can increase the island's estimated sustainable population limit by 3 individuals per month. The initial sustainable population limit is K individuals, where K ≥ 0.

For which of the following values of K will the population equal the sustainable limit for exactly two different integer values of t ≥ 0?

A. 2

B. 1

C. 4

D. 3

Answer: A

Như vậy, bài viết đã giới thiệu về phần mềm DESMOS và hướng dẫn chi tiết cách sử dụng phần mềm này trong bài thi Digital SAT để xác định số nghiệm của phương trình luỹ thừa. Việc vận dụng linh hoạt các tính năng vẽ đồ thị không chỉ giúp thí sinh trực quan hóa các phép biến đổi hình học mà còn là công cụ đắc lực để đối chiếu và xác định chính xác phương trình hàm số cần tìm.

Hy vọng người học có thể vận dụng các nội dung và quy trình thao tác trong bài viết để cải thiện hiệu suất ôn tập, đơn giản hóa các bước tính toán phức tạp và nâng cao hiệu quả làm bài của bản thân trong các kỳ thi sắp tới.

Tham khảo chương trình luyện thi SAT cam kết đầu ra tại ZIM Academy để được hướng dẫn chuyên sâu và bứt phá điểm số.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.