Essential vocabulary for SAT® Math - Advanced Math | Unit 7: Interval and Quadratic

Trong unit 7 của Essential vocabulary for SAT - Advanced Math, người học sẽ tìm hiểu 2 khái niệm interval - khoảng và quadratic - bậc hai cùng các bài tập củng cố kiến thức về toán và từ vựng.

Interval (noun): khoảng cách, khoảng thời gian

Từ đồng nghĩa: range, gap (chỉ thời gian)

Định nghĩa

Trong toán học, interval được định nghĩa là tập hợp các giá trị trong 2 giới hạn được cho trước, hay còn được gọi là 2 giá trị đầu mút. 

Trong một tập hợp (interval), 2 giá trị đầu mút có thể thuộc hoặc không thuộc tập hợp đó, phụ thuộc vào điều kiện được đưa ra và được kí hiệu khác nhau. 

Trong khoảng từ giá trị a đến b:

• [a,b]: a và b nằm trong khoảng giá trị này

• (a,b): a và b không nằm trong khoảng giá trị này

• (a,b] ; [a,b): Một trong 2 giới hạn trong nằm trong khoảng giá trị này.

Khái niệm liên quan

Time interval (gap): Khoảng thời gian giữa 2 mốc cho trước, sử dụng trong các bài toán chuyển động.

Xem thêm: Cách làm Advanced Math trong SAT Math

Quadratic (adjective): bậc hai

Định nghĩa

Quadratic, theo định nghĩa toán học, nghĩa là bậc hai. Nói cách khác, khi một số mang lũy thừa 2, giá trị đó được gọi là bậc hai.

Quadratic equation là phương trình một ẩn bậc hai, trong đó bậc lũy thừa cao nhất của phương trình không vượt quá bậc hai, được biểu thị bằng đường cong parabol.

Khái niệm liên quan

1. Quadratic function: Hàm số bậc hai - được viết đầy đủ: f(x) =ax^2 + bx + c với a ≠ 0

2. Quadratic formula: Công thức tìm nghiệm của phương trình.

   

Kiểm tra từ vựng - interval

Exercise 1: What is the correct definition of an interval in mathematics?

A. A break or space between two values where no data exists.
B. A set of all numbers between two given values, which may include or exclude the endpoints.
C. The difference between the highest and lowest values in a data set.
D. A specific point on a number line where a function changes direction.

Exercise 2: In mathematics, which of the following best describes the difference between an interval and a gap?

A. An interval is a single number, while a gap is a set of numbers.
B. An interval represents a continuous range between two values, while a gap represents the distance or difference between two values.
C. A gap always includes its endpoints, but an interval never does.
D. A gap and an interval are always the same in mathematical usage.

Kiểm tra từ vựng - quadratic

Exercise 1: Which of the following definitions refers to quadratic?

A. Any equation with a square root
B. A function involving a variable raised to the third power
C. A function or expression involving a variable raised to the second power
D. A constant value

Exercise 2: What does the quadratic formula help you find?

A. The slope of a line
B. The area of a triangle
C. The solutions (roots) of a quadratic equation
D. The value of a constant

Bài toán thực tế - interval

Exercise 1: A car travels along a straight road. It starts from rest and accelerates uniformly for 4 minutes, reaching a speed of 60 km/h. Then, it continues at that constant speed for 6 minutes before decelerating uniformly to a stop over the next 2 minutes.

1. What is the total time interval of the car’s journey?

2. Write a piecewise function, s(t), that describes the car's speed (in km/h) as a function of time (t, in minutes) when the car accelerates. For what time interval, in minutes, is the car's speed greater than 45 km/h?

Exercise 2: A company models the daily revenue R(t) (in thousands of dollars) of its online store as a function of the time t (in hours, using a 24-hour clock), where t is restricted to the business hours when the store is active.

The domain of R(t) is the interval [9,21].

Suppose the revenue function is given by R(t)=−2(t−15)²+100

Questions:

1. What is the meaning of the domain interval [9,21] in the context of this problem?

2. For which values of t in the domain is the revenue R(t) at least 64 (i.e., R(t)≥64)? Express your answer as an interval or intervals.

3. What is the maximum revenue during the business hours, and at what time does it occur?

Bài toán thực tế - quadratic

Exercise 1: A student-made water rocket is launched from the ground, and its height h(t), in meters, after t seconds, is modeled by the quadratic function:

h(t) = -5t² +40t

1. What is the maximum height the rocket reaches?
2. After how many seconds does the rocket reach its maximum height?
3. How long does it take for the rocket to return to the ground?

Exercise 2: A new roller coaster at a theme park launches riders from a platform and follows a parabolic path. The height h(t), in meters, of the roller coaster above the ground after t seconds is modeled by the function: 

h(t)=−9(t−6)²+9 (5 <= t <= 7)

1. Solve for the times when the roller coaster is at ground level (h(t)=0).

2. What does the vertex of this function represent in the context of the roller coaster ride?

3. Following a safety inspection, the amusement park chose to reduce the roller coaster's height, now represented by the function g(t)=−9t² + 3. Compared to h(t), what adjustment has been made?

Đáp án - interval

Kiểm tra từ vựng

Exercise 1: B. A set of all numbers between two given values, which may include or exclude the endpoints.

Exercise 2: B. An interval represents a continuous range between two values, while a gap represents the distance or difference between two values.

Bài toán thực tế

Exercise 1:

1. Total time interval: 4 + 6 + 2 = 12 minutes

2. s(t) = 15t

3. Speed > 45 km/h: s(t) = 15t >45,

   interval: (3, 4] minutes

Exercise 2:

1. Opening hours: from 9 AM to 9 PM.

2. [10.76,19.24]

3. Rmax = 100,000, t = 15 ( 3PM)

Đáp án - quadratic

Kiểm tra từ vựng

Exercise 1: C. A function or expression involving a variable raised to the second power

Exercise 2: C. The solutions (roots) of a quadratic equation

Bài toán thực tế

Exercise 1:

1. Maximum height: 80m

2. t= 4(s)

3. 8 seconds

Exercise 2:

1. t = 7(s), t = 5(s)

2. Vertex (6,9) means that the rocket reaches a maximum height of 9m at t = 6 (s)

3. Shifted left 6 units and down 6 units from h(t)=−9(t-6)² + 9

Trên đây là toàn bộ khái niệm toán học của 2 từ interval và quadratic trong SAT Advanced Math và ứng dụng từ trên vào việc ôn tập từ vựng cũng như áp dụng trong các bài toán có thể gặp trong SAT Math. Người học cần củng cố và ôn luyện kĩ những từ ngữ cần học trong Unit này.

Để đạt kết quả cao trong kỳ thi SAT, việc nắm vững chiến lược và phương pháp giải các dạng toán là yếu tố then chốt. Sách Think in SAT Digital Math - Reasoning and Strategies cung cấp cho thí sinh cái nhìn tổng quan về các dạng toán trong kỳ thi, cùng hướng tư duy hiệu quả để giải quyết từng dạng bài. Mỗi chủ đề được trình bày với kiến thức cơ bản, ví dụ minh họa, cách giải mẫu và bài tập luyện tập kèm đáp án chi tiết.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.