Essential vocabulary for SAT® Math - Advanced Math | Unit 8: Parabola and Vertex

Việc nắm vững các thuật ngữ trong toán học đóng vai trò thiết yếu trong việc phân tích và giải quyết các bài toán một cách chính xác và hiệu quả. Bài viết này sẽ tập trung làm rõ ý nghĩa cũng như cách sử dụng hai thuật ngữ quan trọng là parabola và vertex trong các ngữ cảnh phổ biến.

Parabola (noun): hình parabol

Định nghĩa

Trong toán học, parabola là một đường cong mở, có dạng chữ U hoặc chữ U ngược, được tạo ra bởi đồ thị của hàm số bậc hai (quadratic function). Parabol có tính chất đối xứng qua một trục thẳng đứng gọi là trục đối xứng.

Trong bài thi SAT, parabola thường xuất hiện trong các câu hỏi về hàm số bậc hai, đỉnh của parabol, và các ứng dụng thực tế như quỹ đạo của vật thể.

Parabola của Hàm số Bậc hai: Hàm số f(x) = x² - 4x + 3 tạo ra một parabola (parabol) mở lên trên với đỉnh tại điểm (2, -1).

Parabola trong Vật lý: Khi một quả bóng được ném lên không trung, quỹ đạo của nó tuân theo đường parabola (parabol) do tác động của trọng lực.

Parabola trong Kiến trúc: Nhiều cây cầu và vòm được thiết kế sử dụng hình dạng parabola (parabol) vì chúng phân bố trọng lượng đều và tạo độ ổn định về mặt kết cấu.

Parabola của Đĩa Vệ tinh: Các đĩa vệ tinh được tạo hình như parabola (parabol) để tập trung sóng radio tại một điểm duy nhất, cho phép thu tín hiệu tốt hơn.

Xem thêm: Cách làm Advanced Math trong SAT Math

Vertex (noun): đỉnh (của parabol)

Định nghĩa

Trong toán học, vertex có thể có nhiều nghĩa tùy thuộc vào ngữ cảnh:

• Đối với parabol: vertex là điểm cao nhất (nếu parabol mở xuống) hoặc thấp nhất (nếu parabol mở lên) của đường cong.

• Đối với hình học: vertex là điểm giao nhau của hai hoặc nhiều cạnh trong một hình đa giác hoặc đa diện.

Trong bài thi SAT, vertex thường xuất hiện khi thảo luận về hàm số bậc hai và tọa độ của điểm đỉnh parabol.

Vertex của Parabol: Parabol y = (x - 3)² + 2 có vertex (đỉnh) tại điểm (3, 2), đây là điểm thấp nhất của đường cong và được gọi là điểm cực tiểu.

Vertex của Tam giác: Một tam giác có ba vertices (đỉnh, cách viết số nhiều của vertex) là những điểm mà ba cạnh của tam giác gặp nhau, chẳng hạn như các điểm A, B, và C trong tam giác ABC.

Vertex của Đa giác: Một hình lục giác có sáu vertices (đỉnh), mỗi vertex (đỉnh) là một góc nơi hai cạnh kề nhau của hình giao nhau.

Vertex trong Hình học 3D Một hình lập phương có tám vertices (đỉnh), đây là tám điểm góc nơi ba cạnh gặp nhau.

Công thức

Cho hàm bậc hai (quadratic function) có dạng:

\[f(x)=ax^2+bx+c\]Trong đó:

• a ≠ 0

• a, b, c là các hằng số

Tọa độ điểm đỉnh (vertex) của đồ thị parabol được tính theo công thức:

\[x=-\frac{b}{2a}\]Sau khi tìm được giá trị x, thế vào hàm số để tìm y:

\[y=f(-\frac{b}{2a})\]Vì vậy, tọa độ đỉnh là:

\[\left(-\frac{b}{2a},f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)\]Hoặc tọa độ y của đỉnh (vertex) cũng có thể tính bằng công thức:

\[y=\frac{-\Delta}{4a}\]Trong đó:

\[\Delta=b^2-4ac\]

Xem thêm: PEMDAS là gì? Quy tắc cơ bản giúp chinh phục các bài toán SAT® Math

Kiểm tra từ vựng - parabola

Fill in the blanks with one of these words: axis of symmetry, quadratic function, upward, parabola, downward.

1. The graph of a __________ always forms a curved line that resembles the shape of the letter U or an inverted U, making it one of the most recognizable curves in mathematics.

2. The mathematical expression f(x) = ax² + bx + c, where a ≠ 0, is called a __________ and its graph is a parabola that can model many real-world situations.

3. Every parabola has a/an __________ that divides the curve into two identical halves, and this line always passes through the vertex of the parabola.

4. When the coefficient of x² in a quadratic equation is positive, the parabola opens __________, creating a shape that has a minimum point at its vertex.

5. When the coefficient of x² in a quadratic equation is negative, the parabola opens __________, forming a curve that has a maximum point at its vertex.

Kiểm tra từ vựng - vertex

Fill in the blanks with one of these words: vertex, maximum point, minimum point, coordinates, turning point.

1. The __________ of a parabola that opens upward represents the lowest point on the curve, which is where the function reaches its smallest value and the curve begins to rise on both sides.

2. When a parabola opens downward, its highest point is called the __________, which is where the function achieves its greatest value before declining on both sides.

3. To find the exact location of a vertex on the coordinate plane, you need to determine its __________, which consist of an x-value and a y-value that pinpoint the precise position of this critical point.

4. The vertex of a parabola is sometimes called the __________ because it's where the curve changes direction from decreasing to increasing (or vice versa), marking the transition between the two sides of the parabola.

5. When a parabola opens upward, its lowest point is referred to as the __________, representing where the function value is at its smallest before increasing on both sides of the curve.

Bài toán thực tế - parabola

Exercise 1: A basketball player shoots a ball from a height of 6 feet. The height of the ball can be modeled by the function h(t) = -16t² + 24t + 6, where h is the height in feet and t is the time in seconds.

1. At what time does the ball reach its highest point?

2. Determine whether the parabola opens upward or downward.

Exercise 2: A startup's daily profit function is given by P(x) = -2x² + 80x - 600, where x is the number of items sold and P is the profit in dollars.

1. How many items should the company sell to maximize profit?

2. What is the maximum profit the company can achieve?

Bài toán thực tế  - vertex

Exercise 1: A water fountain shoots water in the air. The height of the water can be modeled by the function h(d) = -1d² + 4d + 1, where h is the height in meters and d is the horizontal distance in meters from the fountain.

1. Find the vertex’s x-coordinate of this parabolic function.

2. Calculate the maximum height the water reaches.

Exercise 2: A projectile is launched, and its height above ground can be modeled by the quadratic function h(t) = -2t² + 8t + 5, where h is the height in meters and t is the time in seconds.

1. Find the vertex of this parabolic function using the vertex formula.

2. Determine whether this vertex represents a maximum or minimum point.

Đáp án - parabola

1. parabola

2. quadratic function

3. axis of symmetry

4. upward

5. downward

Exercise 1:

1. t = 0.75 seconds

2. The parabola opens downward because the coefficient of t² is negative (-16)

Exercise 2:

1. x = 20 items

2. Maximum profit = $200

Đáp án - vertex

1. vertex

2. maximum point

3. coordinates

4. turning point

5. minimum point

Exercise 1:

1. Vertex coordinates: (2, 5)

2. Maximum height = 5 meters

Exercise 2:

1. Vertex coordinates: (2, 13)

2. This vertex represents a maximum point.

Việc nắm vững các khái niệm như parabola và vertex không chỉ giúp người học sử dụng chính xác trong các biểu thức học thuật, mà còn hỗ trợ phân tích các bài toán thực tế một cách hiệu quả. Qua những ví dụ minh họa và các bài tập thực hành, người đọc có thể luyện tập và củng cố kiến thức để ứng dụng vào việc giải quyết các vấn đề thực tiễn một cách dễ dàng hơn.

Để đạt kết quả cao trong kỳ thi SAT, việc nắm vững chiến lược và phương pháp giải các dạng toán là yếu tố then chốt. Sách Think in SAT Digital Math - Reasoning and Strategies cung cấp cho thí sinh cái nhìn tổng quan về các dạng toán trong kỳ thi, cùng hướng tư duy hiệu quả để giải quyết từng dạng bài. Mỗi chủ đề được trình bày với kiến thức cơ bản, ví dụ minh họa, cách giải mẫu và bài tập luyện tập kèm đáp án chi tiết.

Tác giả: Lê Quỳnh Anh

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.