Sử dụng DESMOS để giải quyết bài toán hàm số tuyến tính dịch chuyển ngang

Trong các bài thi chuẩn hóa quốc tế về năng lực toán, chẳng hạn như Digital SAT, thí sinh có thể sẽ được cung cấp phần mềm DESMOS, phần mềm máy tính khoa học giúp giải quyết các vấn đề liên quan đến đồ thị, thống kê, và các phép tính cơ bản. Nắm được các tính năng của DESMOS cũng như thao tác sử dụng sẽ giúp thí sinh tăng tốc độ làm bài, đơn giản hóa các bước tính toán, từ đó nâng cao hiệu quả bài thi. Trong phạm vi bài viết này, tác giả sẽ hướng dẫn người đọc cách sử dụng DESMOS để giải quyết các bài toán hàm số tuyến tính dịch chuyển ngang, một dạng bài phổ biến trong bài thi Digital SAT.

Lý thuyết về hàm số tuyến tính và đồ thị hàm số tuyến tính

Hàm số tuyến tính còn có tên gọi là hàm số bậc nhất. Phương trình hàm số tuyến tính có dạng tổng quát là:

Ax+By+C=0

Trong đó: A, B và C là các hằng số thực, với A và B không đồng thời bằng 0.

Ngoài dạng tổng quát, hàm số tuyến tính có thể xuất hiện dưới dạng slope-intercept (hệ số góc-tung độ gốc):

y=f(x)=mx+b

Trong đó:

• y là biến số phụ thuộc.

• x là biến số độc lập.

• m là hệ số góc (hay còn gọi là độ dốc), thể hiện mức độ biến đổi của biến y khi biến x thay đổi.

• b là tung độ gốc (hay còn gọi là điểm cắt trục tung y), là giá trị ban đầu của hàm số khi x = 0.

Mối liên hệ giữa hàm số tuyến tính và đồ thị

Ngoài cách tính giá trị bằng công thức đại số, tính chất của hàm số tuyến tính còn có thể được hiểu rõ thông qua đồ thị. Xét hàm số tuyến tính dạng f(x) = mx + b (m ≠ 0), hàm số này được thể hiện lên Oxy là một đường thẳng. Các điểm thuộc đường thẳng này là tập hợp các giá trị (x, y) sao cho y = mx + b.

Ví dụ: Xét hàm số y = 3x + 5

Ta có thể xét hai trường hợp giá trị xy để thử nghiệm.

• Xét điểm (-1, 2): 2 = 3 x (-1) + 5 -> Đúng -> (x, y) = (-1, 2) là điểm thuộc đồ thị hàm số.

• Xét điểm (3, 0): 0 = 3 x 3 - 5 -> Sai -> (x, y) = (3, 0) không phải là điểm thuộc đồ thị hàm số.

• Đồ thị hàm số này là một đường thẳng dốc lên.

Fig. 1. Line y = 3x + 5 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [1])

Sự dịch chuyển ngang của hàm số tuyến tính

Trong các bài toán SAT, các bài toán hàm số tuyến tính dịch chuyển ngang là một dạng bài quen thuộc. Thay vì cho trực tiếp ký hiệu toán học, đề bài thường dùng từ ngữ miêu tả đồ thị. Nhiệm vụ của người học là diễn giải ngôn ngữ đó thành ký hiệu hàm số. Xét hàm số f(x) và g(x): Khi có sự dịch chuyển ngang (Horizontal shift/translation), ta sẽ có g(x) = f(x - h) -> khi h > 0 thì hàm số sẽ di chuyển sang phải, khi h < 0 thì hàm số sẽ di chuyển sang trái.

Ví dụ: Xét hàm số sau.

f(x) = 2x + 1

Nếu đề bài yêu cầu tìm một hàm số g(x), mà g(x) là f(x) được “dịch chuyển sang phải 3 đơn vị (shift/translated to the right 3 units)”, ta có thể hiểu là đề bài muốn tìm hàm số f(x - 3). -> g(x) = f(x - 3) = 2(x − 3) + 1 = 2x − 5.

Fig. 2. Functions f(x) = 2x + 1 and f(x - 3) on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [2])

Kết luận: Hàm số g(x) = 2x - 5 là hàm số f(x) = 2x + 1 sau khi dịch chuyển sang phải 3 đơn vị.

Mặt khác, nếu đề bài cho trước hàm số đã biến đổi và người học cần tìm hàm số trước khi biến đổi, thì người học cũng có thể tìm hàm số theo cách này.

Ví dụ: A line has the equation y = 2x + 6. This line was obtained by shifting the graph of a function f(x) to the left 2 units. Which equation represents f(x)?

Giả sử ta có hàm sau biến đổi: y = 2x + 6

Đề bài cho biết đường thẳng này được tạo bằng cách “shift left 2 units” từ đồ thị f(x). Nếu g(x) tương đương f(x) sau khi biến đổi, thì để tìm f(x), ta làm ngược dấu biến đổi. Ta có: left 2 -> khi tìm lại: right 2 -> f(x) = g(x - 2)= 2(x - 2) + 6 = 2x + 2

Fig. 3. Functions g(x) = 2x + 6 and g(x - 2) on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [3])

Kết luận: Hàm số f(x) = 2x + 2 là hàm số g(x) = 2x + 6 sau khi dịch chuyển sang phải 2 đơn vị. Hay phát biểu ngược lại: g(x) là hàm số f(x) sau khi dịch chuyển sang trái 2 đơn vị.

Giải quyết các bài toán hàm số tuyến tính dịch chuyển ngang trong câu hỏi Digital SAT

Trong bài thi Digital SAT, các câu hỏi về giải quyết các bài toán hàm số tuyến tính dịch chuyển ngang là rất đa dạng. Thí sinh có thể được hỏi về việc tìm hàm số trước hay sau khi đã được dịch chuyển ngang, tìm nghiệm hay x-intercept và y-intercept của hàm số trước/sau khi biến đổi và trả lời các câu hỏi thực tế liên quan đến sự dịch chuyển ngang của hàm số.

Giới thiệu máy tính khoa học DESMOS

DESMOS là một phần mềm máy tính khoa học được thiết kế bởi DESMOS Studio. Đây là phần mềm chính thức được tích hợp trong phần mềm Bluebook của bài thi Digital SAT nhằm hỗ trợ thí sinh giải quyết đa dạng câu hỏi Toán học ở nhiều chuyên đề khác nhau.

Fig. 4. Official logo of Desmos Studio PBC. (Source: [4])

Các tính năng cơ bản của DESMOS

Với phần mềm DESMOS, người học và thí sinh sẽ cần làm quen với một số tính năng cơ bản, bao gồm:

• Các phép cộng, trừ, nhân, chia cơ bản

• Vẽ đồ thị phương trình từ bậc thấp đến cao

• Sử dụng bảng biểu

• Tính năng thanh trượt

• Các phép tính thống kê cơ bản

• Các phép tính lượng giác cơ bản

• V.v.

Trên màn hình giao diện DESMOS, người học có thể nhận diện được các vùng cơ bản. Thứ nhất, vùng bên tay trái là nơi người học nhập phương trình (VD: 2x + y = 0). Thứ hai, vùng mặt phẳng toạ độ Oxy là nơi đồ thị của phương trình hiển thị. Cuối cùng, nút cài đặt (có biểu tượng hình cờ lê) bên góc phải là nơi người học điều chỉnh một số cài đặt để phù hợp nhu cầu (VD: chuyển đổi từ Degree sang Radian.)

Fig. 5. Interface of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [5])

Lưu ý: Phần mềm DESMOS hiện tại mà người học có thể tìm trên mạng có thể được chia làm hai phiên bản: Nguyên bản (đen) và Khảo thí (testing - xanh lá). Phần mềm DESMOS nguyên bản sẽ có nhiều tính năng hơn bản khảo thí, bao gồm tính năng chia sẻ biểu đồ, thư mục, hoặc hình ảnh. Tuy vậy, các tính năng quan trọng dùng trong bài thi SAT vẫn có đầy đủ ở cả hai phiên bản.

Xem thêm: Bài tập dạng bài Phương trình tuyến tính trong SAT Math

Hướng dẫn sử dụng DESMOS để giải quyết các bài toán hàm số tuyến tính dịch chuyển ngang

Để sử dụng DESMOS để giải quyết các bài toán hàm số tuyến tính dịch chuyển ngang, người học cần vận dụng tính năng vẽ đồ thị và diễn giải hình ảnh đồ thị hoặc sử dụng slider. Dưới đây là hướng dẫn chi tiết từng bước:

Cách 1:

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp.

Người học đọc kĩ đề bài để xác định những dữ liệu được cho như hàm số ban đầu, hàm số cần tìm và dữ kiện đề bài yêu cầu.

Bước 2: Người học cần nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài vào ô nhập dữ liệu của DESMOS. 

Trước hết, người học cần nhập hàm số được cho sẵn của đề bài. DESMOS sẽ tự động cho thấy đồ thị hàm số này trên mặt phẳng tọa độ. Nếu người học cần gõ các ký tự đặc biệt, người học có thể bấm vào ký hiệu bàn phím ở góc dưới trái của màn hình để hiện ra chức năng bàn phím để hỗ trợ trong việc bấm biểu thức.

Bước 3: Sau khi người học thấy được hàm số được cho trên mặt phẳng tọa độ, người học xuống dòng tiếp theo và nhập hàm số được biến đổi. Người học sẽ phải tự biến đổi hàm số dựa trên lý thuyết đã cho ở phần trên.

DESMOS sẽ tự động vẽ các hàm số mới này trên mặt phẳng tọa độ.

Bước 4: Tuỳ vào đề bài yêu cầu người học tìm giá trị hay hệ số góc của hàm số mới tìm được thì người học tiếp tục hoàn tất các bước tính toán còn lại để có được đáp án. 

Ví dụ minh hoạ:

Câu hỏi: 

The function f(x) = −3x + 4 is graphed in the xy-plane. If g(x) is f(x) shifted right 3 units, which point lies on g(x)?

A. (4, 1)

B. (2, -2)

C. (5, 4)

D. (⅓, 2)

Hướng dẫn giải bằng DESMOS

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp

• Hàm số được cho: f(x) = -3x + 4

• Hàm số được dịch chuyển sang phải 3 đơn vị.

• Người học cần tìm xem điểm nào thuộc hàm số mới.

Bước 2: Người học nhập hàm số được cho vào dòng đầu của DESMOS.

DESMOS sẽ tự hiện hàm số trên mặt phẳng tọa độ.

Fig. 6. Function f(x) = -3x + 4 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [6])

Lưu ý, với những dấu không có trên bàn phím thông thường như dấu phân số hay căn thức, người học nên sử dụng phần bàn phím như đã nêu trên.

Fig. 7. The Calculator function on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [7])

Bước 3: Người học tìm hàm số được biến đổi và viết lên một dòng mới. Trong trường hợp này, ta phải tìm hàm “f(x) shifted right 3 units”, có thể hiểu là tìm hàm f(x - 3). Như vậy, ta viết f(x - 3) vào một dòng mới của DESMOS.

Fig. 8. Function f(x) = -3x + 4 and f(x - 3) on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [6])

DESMOS cũng sẽ tự hiện hàm số này trên mặt phẳng tọa độ. 

Bước 4: Đề bài yêu cầu người học tìm điểm nằm trên hàm số mới. Với trường hợp này, người học có thể viết các điểm lên DESMOS để thử.

• (4, 1) nằm trên hàm số f(x - 3)

• (2, -2) không nằm trên hàm số f(x - 3)

• (5. 4) không nằm trên hàm số f(x - 3)

• (⅓, 2) không nằm trên hàm số f(x - 3)

⇒ Chọn đáp án A.

Fig. 9. Function f(x) = -3x + 4 and f(x - 3) with Points on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [6])

Cách 2:

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp.

Người học đọc kĩ đề bài để xác định những dữ liệu được cho như hàm số ban đầu, hàm số cần tìm và các dữ liệu khác cần tìm.

Bước 2: Người học cần nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài vào ô nhập dữ liệu của DESMOS. 

Trước hết, người học cần nhập hàm số được cho sẵn của đề bài. DESMOS sẽ tự động cho thấy đồ thị hàm số này trên mặt phẳng tọa độ. Nếu người học cần gõ các ký tự đặc biệt, người học có thể bấm vào ký hiệu bàn phím ở góc dưới trái của màn hình để hiện ra chức năng bàn phím để hỗ trợ trong việc bấm biểu thức.

Bước 3: Người học có thể biểu diễn hàm số cần tìm dựa theo hàm số gốc với các ẩn để thử trên slider. Ví dụ: Hàm g(x) = mx + n sau khi biến đổi sẽ thành hàm f(x) = m(x - a) + b - c.

DESMOS sẽ tự động vẽ các hàm số mới này trên mặt phẳng tọa độ. Sau đó, người học có thể bấm các giá trị của a, b, c lên Desmos để hiện lên các thanh slider bằng cách bấm vào nút “add slider” cho những ẩn cần tìm.

Bước 4: Người học kéo các thanh slider đến khi các hàm số được viết trùng nhau. Sau đó, người học có thể diễn giải hàm số để tìm ra đáp án. Tuỳ vào đề bài yêu cầu người học tìm giá trị hay hệ số góc của hàm số mới tìm được thì người học tiếp tục hoàn tất các bước tính toán còn lại để có được đáp án. 

Ví dụ minh hoạ:

Câu hỏi: 

A line has the equation y = 3x - 1. This line was obtained by shifting the graph of a function f(x) to the right 2 units. 

What is the x-intercept and y-intercept of f(x)?

A. (-5/3, 0), (0, -5)

B. (-5/3, 0), (0, 5)

C. (5/3, 0), (0, 5)

D. (5/3, 0), (0, -5)

Hướng dẫn giải bằng DESMOS

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp

• Hàm số được cho: g(x) = 3x - 1

• Hàm số được tạo bởi hàm số f(x) được dịch sang phải 2 đơn vị.

• Người học cần tìm tung và hoành độ gốc của hàm số cũ.

Bước 2: Người học nhập hàm số được cho vào dòng đầu của DESMOS.

DESMOS sẽ tự hiện hàm số trên mặt phẳng tọa độ.

Fig. 10. Function g(x) = 3x - 1 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [8])

Lưu ý, với những dấu không có trên bàn phím thông thường như dấu phân số hay căn thức, người học nên sử dụng phần bàn phím như đã nêu trên.

Bước 3: Người học biểu diễn hàm số g(x) dựa trên hàm số gốc và viết lên một dòng mới. Trong trường hợp này, đề bài cho hàm g(x) là hàm “f(x) to the right 2 units”, nên có thể hiểu hàm g(x) = 3x - 1 = 3(x - 2) + b. Như vậy, ta viết g(x) = 3(x - 2) + b vào một dòng mới của DESMOS.

DESMOS cũng sẽ tự hiện hàm số này trên mặt phẳng tọa độ. Sau đó, người học bấm “add slider” cho ẩn b để hiện slider trên DESMOS.

Fig. 11. Functions g(x) = 3x - 1 and g(x - 2) + b on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [8])

Bước 4: Người học kéo thanh slider đến khi hai đường thẳng trùng nhau. Trong trường hợp này, ta sẽ thấy được b = 5, vậy nên f(x) = 3x + 5

Fig. 12. Functions g(x) = 3x - 1 and g(x - 2) + b on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [8])

Đề bài yêu cầu tìm tung độ gốc và hành độ gốc của hàm số, nên ta viết hàm số mới vào trong DESMOS và bấm vào giao điểm của đường thẳng với trục tung và trục hoành để ra được đáp án.

Fig. 13. Functions g(x) = 3x - 1, g(x - 2) + b and f(x) = 3x + 5 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [9])

Trong trường hợp này, ta có thể thấy hoành độ gốc là (-1.66667, 0), tương đương với (-5/3, 0) và tung độ gốc là (0, 5).

⇒ Chọn đáp án B.

Lưu ý: DESMOS luôn hiển thị giá trị dưới dạng số thập phân. Do đó, DESMOS hữu dụng khi giá trị cần tìm là giá trị nguyên (1, 2, 3, …), giá trị thập phân hữu hạn (1.5, 2.5, …), giá trị thập phân vô hạn tuần hoàn (0.6666), hoặc giá trị thập phân không tuần hoàn thông dụng (3.141592). Nếu người học chưa quen nhận diện các giá trị này (VD: 10/3 có thể được biểu diễn là 3.33333), điều nên làm là luôn kiểm tra lại đáp án trước khi chọn.

Xem thêm: Graph of a linear function trong SAT Math: Chiến lược làm bài hiệu quả

Bài tập vận dụng

Sau đây, bài viết sẽ giới thiệu đến người học một số câu hỏi Digital SAT có sử dụng DESMOS để giải quyết các bài toán hàm số tuyến tính dịch chuyển ngang [10]. Người học hãy sử dụng tính năng DESMOS đã giới thiệu để giải các câu hỏi sau.

Question 1: 

A linear function p has slope 5 and y-intercept −8.

Function q is defined as:

q(x) =p(x + 2). 

What is the x-intercept of q(x)?

A. (⅖, 0)

B. (-⅖, 0)

C. (2, 0)

D. (4, 0)

Answer: B

Question 2: 

The graph of h(x) = −2x + 7 is translated 6 units to the right to create the graph of k(x).

Which point does NOT lie on k(x)?

A. (10, -1)

B. (7, 5)

C. (1, 3)

D. (9, 1)

Answer: C

Question 3:

The function r(x) = −5x + 2.

A new function s is created by shifting the graph of r horizontally so that the y-intercept becomes −28.

How many units was r(x) shifted? 

A. 6 units left

B. 6 units right

C. 4 units left

D. 4 units right

Answer: A

Question 4:

A line has the equation g(x) = -2x + 7. This line was obtained by shifting the graph of a function f(x) to the left 5 units. 

What is the x-intercept and y-intercept of f(x)?

A. (-17/2, 0), (0, 17)

B. (17/2, 0), (0, -17)

C. (-17/2, 0), (0, -17)

D. (17/2, 0), (0, 17)

Answer: D

Question 5:

The function h(x) = 6x - 4 is transformed to create the function k, where k(x) = h(x − a).

If the x-intercept of k(x) is 5, what is the value of a?

A. 13

B. 13/2

C. 13/3

D. -13/3

Answer: C

Question 6:

A linear function f passes through the points (2, 1) and (6, 13). A new function g is defined by g(x) = f(x - 3).

Which equation represents g(x)?

A. g(x) = 3x - 14

B. g(x) = 3x - 11

C. g(x) = 3x - 8

D. g(x) = 3x - 5

Answer: A

Question 7:

The function g(x) is defined by g(x) = f(x − 4), where f is a linear function defined by f(x) = mx + b. The graph of g passes through the points (1, 3) and (5, 15). What is the value of 2m + b?

A. 12

B. 15

C. 18

D. 10

Answer: C

Question 8:

The function q is defined as q(x) = p(x - a), where p is linear. The graph of q passes through (2, 11) and (6, 27). If a = 3, what is the equation of p(x)?

A. 4x - 15

B. 4x + 15

C. 4x - 7

D. 4x + 7

Answer: B

Question 9:

A delivery company models the total cost (in dollars) of delivering x packages in one day by C(x) = 4x + 18, where the $18 represents a fixed service fee. Due to a scheduling change, the company now calculates its cost based on the number of packages delivered 3 more than the actual number delivered that day. The service fee remains unchanged.

What is the fixed cost of the new function N(x)?

A. 18

B. 20

C. 30

D. 24

Answer: C

Question 10:

A water tank is being filled at a constant rate. The original water depth (in inches) after x minutes was modeled by a linear function W(x).

After fixing a timing error, engineers determined that the original model had been recording time 4 minutes later than actual time. The corrected graph:

• Has slope 6

• Has a y-intercept of 18

How many inches of water were in the tank at actual time x=10 according to the original, flawed function?

A. 42

B. 54

C. 66

D. 78

Answer: B

Như vậy, bài viết đã giới thiệu về phần mềm DESMOS và hướng dẫn chi tiết cách sử dụng phần mềm này trong bài thi Digital SAT để giải quyết các bài toán hàm số tuyến tính dịch chuyển ngang. Việc vận dụng linh hoạt các tính năng vẽ đồ thị không chỉ giúp thí sinh trực quan hóa các phép biến đổi hình học mà còn là công cụ đắc lực để đối chiếu và xác định chính xác phương trình hàm số cần tìm.

Hy vọng người học có thể vận dụng các nội dung và quy trình thao tác trong bài viết để cải thiện hiệu suất ôn tập, đơn giản hóa các bước tính toán phức tạp và nâng cao hiệu quả làm bài của bản thân trong các kỳ thi sắp tới.

Tham khảo chương trình luyện thi SAT cam kết đầu ra tại ZIM Academy để được hướng dẫn chuyên sâu và bứt phá điểm số.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.

Tác giả: JOHN MARK PHẠM DACUSIN