Sử dụng DESMOS để giải các bài toán tam suất cơ bản

Trong các bài thi chuẩn hóa quốc tế về năng lực toán, chẳng hạn như Digital SAT, thí sinh có thể sẽ được cung cấp phần mềm DESMOS, phần mềm máy tính khoa học giúp giải quyết các vấn đề liên quan đến đồ thị, thống kê và các phép tính cơ bản. Nắm được các tính năng của DESMOS cũng như thao tác sử dụng sẽ giúp thí sinh tăng tốc độ làm bài, đơn giản hóa các bước tính toán, từ đó nâng cao hiệu quả bài thi. Trong phạm vi bài viết này, tác giả sẽ hướng dẫn người học giải bài toán tam suất cơ bản, một dạng bài phổ biến trong bài thi Digital SAT.

Lý thuyết chung về tỉ số (ratio) và tỉ lệ (proportion)

Lý thuyết về tỉ số (ratio) [1]

• Tỉ số là sự so sánh giữa hai đại lượng.

• Tỉ số của a và b có thể được biểu diễn dưới dạng a : b hoặc a/b.

Nói cách khác, khi đối tượng N1 và N2 có cùng đơn vị đo, “the ratio of N1 to N2” hoặc “the N1 - N2 ratio” chỉ tỷ lệ khi lấy số lượng N1 chia cho N2 và ngược lại. Ratio luôn được biểu thị dưới dạng x to y, x : y hoặc x/y.

Có 2 dạng yêu cầu tính ratio: part - to - part và part - to - whole. Part-to-part là tỷ lệ giữa hai phần nằm trong tổng thể, còn part-to-whole là tỷ lệ giữa một phần nằm trong tổng thể so với cả tổng thể đó. 

Tỉ số có thể được rút gọn thành tối giản, ví dụ 4 : 6 có thể được rút gọn thành 2 : 3.

Ví dụ:

Anna có 10 quả trong rổ. Cô ấy có 4 quả táo và 6 quả chuối. Ta có thể nhận định:

• Tỉ số táo trên chuối là 4 trên 6, hoặc 4:6 hay 4/6.

• Tỉ số chuối trên táo là 6 trên 4, hoặc 6:4 hay 6/4.

• Tỉ số táo trên tổng trái cây là 4 trên 10, hoặc 4:10 hay 4/10.

• Tỉ số chuối trên tổng tái cây là 6 trên 10, hoặc 6:10 hay 6/10.

Lý thuyết về tỉ lệ

Proportion là khi có hai ratio bằng nhau, hoặc khi so sánh hai ratio với nhau.

Ví dụ:

Trong một nhóm, với mỗi hai bạn nữ, ta có tương ứng là bốn bạn nam. Do đó, với bốn bạn nữ, ta sẽ có tám bạn nam. Ta có tỉ lệ: 2/4 = 4/8.

Lý thuyết và cách giải bài toán tam suất cơ bản

Bài toán tam suất là dạng toán sử dụng tỉ lệ để tìm một giá trị chưa biết khi biết mối quan hệ giữa các đại lượng.

Một bài toán tam suất sẽ có dạng:

a/b = c/d

Để giải một bài toán tam suất nói riêng và các tỉ lệ nói chung, ta có các bước như sau:

Bước 1: Thiết lập phương trình gồm 2 tỉ số.

Bước 2: Nhân chéo/quy đồng để được 1 phương trình đơn giản hơn.

Bước 3: Cô lập và tìm ra ẩn.

Ví dụ: If 4 books cost $20, how much will 7 books cost?

Bước 1: Xác định các đại lượng chính:

• Số sách ban đầu: 4 quyển

• Giá tiền của 4 quyển sách: $20

• Số sách cần tìm giá: 7 quyển

• Gọi giá tiền của 7 quyển sách là x (đơn vị: đô la) 

Bước 2: Thiết lập các phương trình:

Gọi: Giá tiền trên mỗi quyển sách là không đổi (tỉ lệ thuận)

Ta có:

Tỉ số giữa số sách và giá tiền: 4/20

Tỉ số tương ứng với 7 quyển: 7/x

Vì là tỉ lệ thuận nên ta có:

4/20 = 7/x

Bước 3: Giải phương trình.

Nhân chéo:

4x = 7 ⋅ 20 -> 4x = 140 -> x = 35

Như vậy, 7 quyển sách sẽ có giá là $35.

Mối liên hệ giữa bài toán tam suất cơ bản và đồ thị

Ngoài cách tính giá trị bằng công thức đại số, tính chất của bài toán tam suất cơ bản cũng có thể được thấy thông qua đồ thị.

Xét tỉ lệ: 4/20 = 7/x

• Vế trái tương ứng với y = 4/20

• Vế phải tương ứng với y = 7/x

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy: Đồ thị của cả vế trái là một đường thẳng, còn ở vế phải thì có hai trường hợp: Nếu x ở trên tử số thì đồ thị cũng sẽ là đường thẳng, còn nếu x nằm dưới mẫu số thì đồ thị sẽ là đường cong hyperbol.

Như vậy, việc giải một bài toán tam suất a/b = c/d tương đương với việc tìm các giá trị của a/b/c/d sao cho đồ thị của hai vế cắt nhau.

Ví dụ, với phương trình: 4/20 = 7/x, ta xét vế trái: y = 4/20 và vế phải y = 7/x. Như vậy, nghiệm x của phương trình sẽ là giao điểm của hai đồ thị này.

Như ở trên người học tìm được, ta có x = 35 là nghiệm của phương trình.

Vì vậy, vế trái cắt vế phải tại điểm có hoành độ x = 35

Fig. 1. Proportion 4/20 = 7/x on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [1])

Giải bài toán tam suất cơ bản trong câu hỏi Digital SAT

Trong bài thi Digital SAT, các câu hỏi về giải bài toán tam suất cơ bản là rất đa dạng. Thí sinh có thể được hỏi về việc tìm nghiệm, tìm hằng số để bài toán có nghiệm, tìm điểm thuộc đồ thị, hay trả lời các câu hỏi thực tế liên quan đến nghiệm.

Giới thiệu máy tính khoa học DESMOS

DESMOS là một phần mềm máy tính khoa học được thiết kế bởi DESMOS Studio. Đây là phần mềm chính thức được tích hợp trong phần mềm Bluebook của bài thi Digital SAT nhằm hỗ trợ thí sinh giải quyết đa dạng các câu hỏi Toán học ở nhiều chuyên đề khác nhau.

Fig. 2. Official logo of Desmos Studio PBC. (Source: [2])

Các tính năng cơ bản của DESMOS

Với phần mềm DESMOS, người học và thí sinh sẽ cần làm quen với một số tính năng cơ bản, bao gồm:

• Các phép cộng, trừ, nhân, chia cơ bản

• Vẽ đồ thị phương trình từ bậc thấp đến cao

• Sử dụng bảng biểu

• Tính năng thanh trượt

• Các phép tính thống kê cơ bản

• Các phép tính lượng giác cơ bản

• V.v.

Trên màn hình giao diện DESMOS, người học có thể nhận diện được các vùng cơ bản. Thứ nhất, vùng bên tay trái là nơi người học nhập phương trình (VD: 2x + y = 0). Thứ hai, vùng mặt phẳng toạ độ Oxy là nơi đồ thị của phương trình hiển thị. Cuối cùng, nút cài đặt (có biểu tượng hình cờ lê) bên góc phải là nơi người học điều chỉnh một số cài đặt để phù hợp nhu cầu (VD: chuyển đổi từ Degree sang Radian.)

Fig. 3. Interface of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [3])

Lưu ý: Phần mềm DESMOS hiện tại mà người học có thể tìm trên mạng có thể được chia làm hai phiên bản: Nguyên bản (đen) và Khảo thí (testing - xanh lá). Phần mềm DESMOS nguyên bản sẽ có nhiều tính năng hơn bản khảo thí, bao gồm tính năng chia sẻ biểu đồ, thư mục, hoặc hình ảnh. Tuy vậy, các tính năng quan trọng dùng trong bài thi SAT vẫn có đầy đủ ở cả hai phiên bản.

Hướng dẫn sử dụng DESMOS để giải bài toán tam suất cơ bản

Để sử dụng DESMOS để giải bài toán tam suất cơ bản, người học cần vận dụng tính năng vẽ đồ thị phương trình. Dưới đây là hướng dẫn chi tiết từng bước:

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp.

Người học đọc kĩ đề bài để xác định các dữ kiện được cho, trong trường hợp này là các tỉ lệ được cho (nếu có) cũng như câu hỏi của đề bài. Nếu đề bài chưa cho tỉ lệ, thì người học sẽ phải theo các bước đã hướng dẫn như trên để lập ra tỉ lệ.

Bước 2: Nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài vào ô nhập dữ liệu của phần DESMOS graphing calculator. 

Trong trường hợp này, người học cần chuyển dữ liệu phương trình thành hai vế. 

• Vế trái: y = a/b

• Vế phải: y = c/d

Người học lần lượt viết vế trái và vế phải vào trong hai dòng khác nhau của giao diện DESMOS.

Nếu người học cần gõ các ký tự đặc biệt, người học có thể bấm vào ký hiệu bàn phím ở góc dưới trái của màn hình để hiện ra chức năng bàn phím để hỗ trợ trong việc bấm biểu thức.

DESMOS sẽ tự động vẽ các đồ thị tương ứng.

Bước 3: Sau khi người học thấy được đồ thị được vẽ, để tìm nghiệm, người học có thể bấm vào giao điểm giữa đồ thị của vế trái và đồ thị của vế phải. DESMOS sẽ hiện ra tọa độ của các điểm này, và hoành độ của chúng chính là nghiệm x của phương trình. Sau đó, tuỳ vào đề bài, người học làm những phép tính toán cần thiết.

Bước 4: (tuỳ chọn) Thử lại nghiệm vào phương trình để kiểm tra đáp án. 

Ví dụ minh hoạ:

3/5 = x/20

What is the value of x?

A. 10

B. 11

C. 12

D. 13

Hướng dẫn giải bằng DESMOS

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp

• Phương trình được cho: 3/5 = x/20

• Giá trị cần tìm: nghiệm của phương trình.

Bước 2: Nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài vào ô nhập dữ liệu của DESMOS. Trong đó:

• Viết ở dòng đầu tiên: y = 3/5

• Viết ở dòng thứ hai: y = x/20

Lưu ý, nếu người học cần bấm phân số, người học nên sử dụng phần bàn phím như đã nêu trên hoặc cũng có thể bấm kí hiệu / trên bàn phím cơ.

Fig. 4. The Calculator function on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [4])

Desmos sẽ hiển thị đồ thị hai vế trên mặt phẳng tọa độ. 

Fig. 5. Proportion 3/5 = x/20 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [5])

Bước 3: Người học bấm vào hai giao điểm giữa đồ thị hai vế để tìm ra giao điểm là (12, 0.6). Các giao điểm này có hoành độ là x = 12, nên nghiệm phương trình là x = 12.

-> Chọn C.

Fig. 6. Proportion 3/5 = x/20 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [5])

Bước 4: Người học có thể thử lại hai giá trị x vào đề bài

• 3/5 = 12/20 -> 3/5 = 3/5 -> Đúng

⇒ Chọn đáp án C.

Lưu ý: DESMOS luôn hiển thị giá trị dưới dạng số thập phân. Do đó, DESMOS hữu dụng khi giá trị cần tìm là giá trị nguyên (1,2,3,...), giá trị thập phân hữu hạn (1.5, 2.5,...), giá trị thập phân vô hạn tuần hoàn (0.6666), hoặc giá trị thập phân không tuần hoàn thông dụng (3.141592). Nếu người học chưa quen nhận diện các giá trị này (VD: 10/3 có thể được biểu diễn là 3.33333), điều nên làm là luôn kiểm tra lại đáp án trước khi chọn.

Xem thêm:

• Essential Vocab for SAT® Math - Problem Solving and Data Analysis | Unit 6: Ratio and proportion

• Cách làm dạng bài Ratios, rates, proportions trong SAT Math

• Cách làm dạng bài Probability and Relative frequency và bài tập

Bài tập vận dụng DESMOS

Sau đây, bài viết sẽ giới thiệu đến người học một số câu hỏi Digital SAT có sử dụng DESMOS để giải bài toán tam suất cơ bản [6]. Người học hãy sử dụng tính năng DESMOS đã giới thiệu để giải các câu hỏi sau.

Question 1: 

x/8 = 7/4

What is the value of x?

A. 12

B. 14

C. 16

D. 18

Answer: B

Question 2: 

6/2 = 9/x

What is the value of x?

A. 3

B. 1

C. 5

D. -1

Answer: A

Question 3:

5/12 = 10/x

What is the value of x?

A. 20

B. 22

C. 24

D. 26

Answer: C

Question 4:

A map uses a scale where 3 inches represent 15 miles. If two cities are 9 inches apart on the map, what is the actual distance, in miles, between them?

A. 30

B. 35

C. 40

D. 45

Answer: D

Question 5:

A car travels 120 miles in 3 hours at a constant speed. At this rate, how many miles will it travel in 5 hours?

A. 190

B. 200

C. 210

D. 220

Answer: B

Question 6:

A store sells notebooks in packs. The ratio of red notebooks to blue notebooks in a shipment is 4:7. If there are 84 blue notebooks, how many total notebooks are in the shipment?

A. 108

B. 120

C. 132

D. 144

Answer: C

Question 7:

A printer uses ink in a constant ratio. It uses 15 milliliters of ink to print 40 pages. At this rate, how much ink, in milliliters, is needed to print 120 pages?

A. 45

B. 40

C. 35

D. 30

Answer: A

Question 8:

A map scale shows that 2.5 centimeters represents 60 kilometers. If two cities are 7.5 centimeters apart on the map, and a traveler has already covered 120 kilometers, how many kilometers remain to reach the second city?

A. 40

B. 60

C. 80

D. 100

Answer: B

Question 9:

A solution is made by mixing acid and water in a ratio of 2:9. If 8 more liters of acid are added, the ratio becomes 1:3. How many liters of water are in the original solution?

A. 18

B. 36

C. 54

D. 72

Answer: D

Question 10:

The ratio of adults to children at an event is 7:5. After 10 children leave, the ratio becomes 7:3. How many adults are at the event?

A. 35

B. 42

C. 49

D. 56

Answer: A

Như vậy, bài viết đã giới thiệu về phần mềm DESMOS và hướng dẫn chi tiết cách sử dụng phần mềm này trong bài thi Digital SAT để giải bài toán tam suất cơ bản. Việc vận dụng linh hoạt các tính năng vẽ đồ thị không chỉ giúp thí sinh trực quan hóa các phép biến đổi hình học mà còn là công cụ đắc lực để đối chiếu và xác định chính xác phương trình hàm số cần tìm.

Hy vọng người học có thể vận dụng các nội dung và quy trình thao tác trong bài viết để cải thiện hiệu suất ôn tập, đơn giản hóa các bước tính toán phức tạp và nâng cao hiệu quả làm bài của bản thân trong các kỳ thi sắp tới.

Tham khảo chương trình luyện thi SAT cam kết đầu ra tại ZIM Academy để được hướng dẫn chuyên sâu và bứt phá điểm số.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.

Tác giả: JOHN MARK PHẠM DACUSIN