Sử dụng DESMOS để giải hệ phương trình phân thức - tuyến tính

Trong các bài thi chuẩn hóa quốc tế về năng lực toán, chẳng hạn như Digital SAT, thí sinh có thể sẽ được cung cấp phần mềm DESMOS, phần mềm máy tính khoa học giúp giải quyết các vấn đề liên quan đến đồ thị, thống kê và các phép tính cơ bản. Nắm được các tính năng của DESMOS cũng như thao tác sử dụng sẽ giúp thí sinh tăng tốc độ làm bài, đơn giản hóa các bước tính toán, từ đó nâng cao hiệu quả bài thi. Trong phạm vi bài viết này, tác giả sẽ hướng dẫn người học giải hệ phương trình phân thức - tuyến tính

Lý thuyết chung về phương trình tuyến tính

Phương trình tuyến tính là phương trình bậc nhất có đồ thị biểu diễn là một đường thẳng. Dạng tổng quát của phương trình tuyến tính là 

Ax + By  = C

Với A,B,C là các hằng số, x,y là biến số

Hoặc được viết dưới dạng slope-intercept như sau:

y = ax + b

Với a là hệ số góc, b là tung độ gốc, x,y là biến số.

Ví dụ: 2x + y = 7 là phương trình tuyến tính, có thể viết dưới dạng slope-intercept như sau:

y= -2x +7

Với hệ số góc là -2 và tung độ gốc là 7

Lý thuyết chung về hàm đa thức

Hàm đa thức có dạng tổng quát là:

P(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ⋯ + a₁x + a₀

Trong đó: 

• x là biến số độc lập

• aₙ, aₙ₋₁, a₁… là các hằng số thực (aₙ khác 0)

• aₙ là hệ số dẫn đầu (leading coefficient)

• n là số mũ của x và là bậc của hàm số

Ví dụ: Hàm số y = 2x^4 - 5x là một hàm đa thức. Trong trường hợp này:

• aₙ = 2

• n = 4

Lý thuyết chung về hàm phân thức

Hàm phân thức đơn thuần là một hàm số có f(x) bằng thương của hai đa thức. Như vậy, hàm phân thức sẽ có dạng như sau:

P(x) = A/B

Trong đó:

• A và B đại diện cho các đa thức

• B phải khác 0 (vì không thể chia cho 0).

• Lưu ý, hai đa thức cấu tạo nên một hàm phân thức không nhất thiết là phải cùng bậc.

Do B ≠ 0, nên tập xác định của hàm phân thức là {x ∈ R | B ≠ 0}. 

Với một phân thức có dạng A/B, ta luôn có B phải khác 0. Do đó, ta có:

• Điều kiện để phân thức xác định: B ≠ 0

• Điều kiện để phân thức không xác định: B = 0

Các bước tìm giá trị để phân thức xác định:

• Thiết lập điều kiện cho mẫu của phân thức khác 0

• Giải phương trình để tìm các giá trị khiến mẫu bằng 0

• Tập hợp các giá trị khiến phân thức xác định là tất cả các số thực, loại trừ các giá trị vừa tìm được.

Ví dụ: xét hàm phân thức f(x) = (x+8)/(2x^2 - 18)

• Điều kiện xác định: 2x^2 - 18 ≠ 0

• Ta giải phương trình 2x^2 - 18 = 0 -> x = 3 hoặc x = -3

• Tập hợp các giá trị khiến phân thức xác định là tất cả các giá trị x ngoại trừ x = 3 hoặc x = -3 → Phân thức xác định khi x ≠ ±3

Lý thuyết chung về hệ phương trình phân thức - tuyến tính

Hệ phương trình phân thức - tuyến tính là hệ phương trình bao gồm một hàm phân thức và một phương trình tuyến tính. Hệ có dạng tổng quát như sau:

y = ax + b

y = A/B

Trong đó:

• a là hệ số góc, b là tung độ gốc

• A và B đại diện cho các đa thức (B phải khác 0)

Điều kiện để hệ phương trình phân thức - tuyến tính  xác định là  B ≠ 0. Nghiệm của hệ phương trình phân thức - tuyến tính là điểm giao nhau giữa đường thẳng của phương trình tuyến tính và đồ thị của phương trình phân thức

Ví dụ: Hệ phương trình phân thức - tuyến tính 

y = x - 2

y = 15/x

có đồ thị như sau và có nghiệm là (-3,-5) và (5,3)

 Fig.1. y = x-2 and y=15/x on the Desmos Graphing Calculator     (Source [1])

Cách giải hệ phương trình phân thức - tuyến tính

Để giải hệ phương trình phân thức - tuyến tính, người học cần tiếp cận theo một quy trình rõ ràng như sau:

Trước hết, hệ phương trình cần được viết dưới dạng

y = mx + b

y = P(x) / Q(x)

Trong đó y = mx + b là phương trình tuyến tính, còn y = P(x) / Q(x) là phương trình phân thức.

Bước 1: Xác định điều kiện xác định của phương trình phân thức. Cụ thể, người học thiết lập điều kiện sao cho mẫu của phân thức khác 0 ( Q(x) ≠ 0 )

Những giá trị của x làm cho Q(x) = 0 sẽ không được chấp nhận.

Bước 2: Người học cho hai biểu thức của y bằng nhau để loại ẩn y, sau đó nhân hai vế với Q(x) để khử mẫu, ta thu được một phương trình chỉ chứa ẩn x.

mx + b = P(x) / Q(x)

⇔ (mx + b)Q(x) = P(x)

Bước 3: Giải phương trình theo x và loại những nghiệm vi phạm điều kiện xác định ở bước 1.

Mỗi nghiệm x hợp lệ sẽ tương ứng với một giá trị y, nên người học thay x vào phương trình tuyến tính y = mx + b để tìm ra y

Bước 4: Viết các cặp giá trị (x, y) tìm được để xác định nghiệm của hệ.

Ví dụ:

In the xy-plane, the graph of y = x - 2  intersects the graph of y = 15/x at two points. What is the x-coordinate of the point of intersection that lies in the first quadrant?

Hướng dẫn làm bài:

Hệ phương trình được đưa về dạng

y = x - 2

y = 15/x

Bước 1: Xác định điều kiện xác định của phương trình phân thức.

Điều kiện xác định: x ≠ 0

Bước 2: Người học cho hai biểu thức của y bằng nhau để loại ẩn y, sau đó nhân hai vế với Q(x) để khử mẫu

x - 2 = 15/x

x (x - 2) = 15

Bước 3: Giải phương trình theo x và loại những nghiệm vi phạm điều kiện xác định ở bước 1. Mỗi nghiệm x hợp lệ sẽ tương ứng với một giá trị y, nên người học thay x vào phương trình tuyến tính y = mx + b để tìm ra y

x (x - 2) = 15

⇔ x^2 -2x -15 = 0

⇔ x= -3 và x= 5 (thỏa mãn)

Thay x = -3 vào y = x - 2 

⇔ y = -3 - 2 = -5

Thay x = 5 vào y = x - 2

⇔ y = 5 - 2 = 3

Bước 4:Viết các cặp giá trị (x, y) tìm được để xác định nghiệm của hệ.

Từ kết quả trên, ta suy ra hai cặp giá trị cần tìm là (-3, -5) và (5 , 3)

Câu hỏi trên đang yêu cầu xác định giá trị x của điểm nằm trong góc phần tư thứ nhất, tương đương với điểm (5,3), nên giá trị x cần tìm là 5.

Xem thêm: Diagonal of polygon formula là gì? Công thức tính số đường chéo của đa giác

Giải hệ phương trình phân thức - tuyến tính trong câu hỏi Digital SAT

Trong bài thi Digital SAT, các câu hỏi vềi hệ phương trình phân thức - tuyến tính là rất đa dạng. Thí sinh có thể được hỏi về số nghiệm của hệ phương trình phân thức - tuyến tính, xác định nghiệm của hệ phương trình phân thức - tuyến tính, hay về đồ thị của hệ phương trình phân thức - tuyến tính 

Giới thiệu máy tính khoa học DESMOS

DESMOS là một phần mềm máy tính khoa học được thiết kế bởi DESMOS Studio. Đây là phần mềm chính thức được tích hợp trong phần mềm Bluebook của bài thi Digital SAT nhằm hỗ trợ thí sinh giải quyết đa dạng các câu hỏi Toán học ở nhiều chuyên đề khác nhau.

Fig. 2. Official logo of Desmos Studio PBC. (Source: [2])

Các tính năng cơ bản của DESMOS

Với phần mềm DESMOS, người học và thí sinh sẽ cần làm quen với một số tính năng cơ bản, bao gồm:

• Các phép cộng, trừ, nhân, chia cơ bản

• Vẽ đồ thị phương trình từ bậc thấp đến cao

• Sử dụng bảng biểu

• Tính năng thanh trượt

• Các phép tính thống kê cơ bản

• Các phép tính lượng giác cơ bản

• V.v.

Trên màn hình giao diện DESMOS, người học có thể nhận diện được các vùng cơ bản. Thứ nhất, vùng bên tay trái là nơi người học nhập phương trình (VD: 2x + y = 0). Thứ hai, vùng mặt phẳng toạ độ Oxy là nơi đồ thị của phương trình hiển thị. Cuối cùng, nút cài đặt (có biểu tượng hình cờ lê) bên góc phải là nơi người học điều chỉnh một số cài đặt để phù hợp nhu cầu (VD: chuyển đổi từ Degree sang Radian.)

Fig. 3. Interface of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [3])

Lưu ý: Phần mềm DESMOS hiện tại mà người học có thể tìm trên mạng có thể được chia làm hai phiên bản: Nguyên bản (đen) và Khảo thí (testing - xanh lá). Phần mềm DESMOS nguyên bản sẽ có nhiều tính năng hơn bản khảo thí, bao gồm tính năng chia sẻ biểu đồ, thư mục, hoặc hình ảnh. Tuy vậy, các tính năng quan trọng dùng trong bài thi SAT vẫn có đầy đủ ở cả hai phiên bản.

Hướng dẫn sử dụng DESMOS để giải hệ phương trình phân thức - tuyến tính

Để giải hệ phương trình phân thức – tuyến tính bằng DESMOS, người học có thể sử dụng đồ thị của hai phương trình để tìm các điểm giao nhau. Mỗi điểm giao giữa hai đồ thị tương ứng với một nghiệm của hệ phương trình.

Bước 1: Xác định hai phương trình trong hệ cần nhập vào DESMOS.

Người học đọc đề bài và xác định phương trình tuyến tính cùng phương trình phân thức. Sau đó, chuyển mỗi phương trình về dạng biểu diễn y theo x nếu cần. Với phương trình phân thức, cần chú ý đến các giá trị của x làm mẫu số bằng 0 vì những giá trị này không thuộc tập xác định.

Bước 2: Nhập từng phương trình vào DESMOS.

Người học nhập hai phương trình vào hai dòng riêng biệt trên DESMOS Graphing Calculator. Lưu ý rằng không cần đưa các phương trình về dạng chuẩn trước khi nhập vào DESMOS mà có thể nhập trực tiếp phương trình theo đúng dạng được cho trong đề bài. DESMOS sẽ tự động biểu diễn hai phương trình trên cùng một hệ trục tọa độ. Đường thẳng biểu diễn phương trình tuyến tính, trong khi đồ thị còn lại biểu diễn hàm phân thức.

Bước 3: Tìm các điểm giao nhau của hai đồ thị.

Người học quan sát hai đồ thị để xác định vị trí chúng cắt nhau. Có thể nhấp trực tiếp vào điểm giao nhau để DESMOS hiển thị tọa độ của điểm đó. Tọa độ mỗi giao điểm chính là một nghiệm của hệ phương trình.

Nếu giao điểm nằm ở vị trí khó quan sát, người học có thể điều chỉnh phạm vi đồ thị bằng cách phóng to hoặc thu nhỏ màn hình.

Bước 4: Xác định nghiệm của hệ phương trình phân thức - tuyến tính

Sau khi xác định được tất cả các giao điểm hợp lệ, người học ghi lại tọa độ của từng điểm. Nếu hai đồ thị không có giao điểm hợp lệ thì hệ vô nghiệm. Nếu có một hoặc nhiều giao điểm thì mỗi giao điểm tương ứng với một nghiệm của hệ.

Ví dụ:

In the xy-plane, the graph of y = x - 2  intersects the graph of y = 15/x at two points. What is the x-coordinate of the point of intersection that lies in the first quadrant?

Hướng dẫn làm bài:

Bước 1: Xác định hai phương trình trong hệ cần nhập vào DESMOS.

Từ đề bài, người học xác định được hệ phương trình phân thức - tuyến tính là 

y = x - 2

y = 15/x

Với điều kiện xác định là x ≠ 0

Bước 2: Nhập từng phương trình vào DESMOS.

 Fig.4. y = x-2 and y=15/x on the Desmos Graphing Calculator     (Source [4])

Bước 3 và 4: Tìm các điểm giao nhau của hai đồ thị và xác định nghiệm của hệ phương trình phân thức - tuyến tính

Từ hình ảnh đồ thị trên, người học có thể xác định được điểm giao nhau của hai đồ thị là (-3,-5) và (5,3), giá trị x của hai điểm trên thỏa mãn điều kiện xác đinh. 

Câu hỏi trên đang yêu cầu xác định giá trị x của điểm nằm trong góc phần tư thứ nhất, tương đương với điểm (5,3), nên giá trị x cần tìm là 5

Lưu ý: DESMOS luôn hiển thị giá trị dưới dạng số thập phân. Do đó, DESMOS hữu dụng khi giá trị cần tìm là giá trị nguyên (1,2,3,...), giá trị thập phân hữu hạn (1.5, 2.5,...), giá trị thập phân vô hạn tuần hoàn (0.6666), hoặc giá trị thập phân không tuần hoàn thông dụng (3.141592). Nếu người học chưa quen nhận diện các giá trị này (VD: 10/3 có thể được biểu diễn là 3.33333), điều nên làm là luôn kiểm tra lại đáp án trước khi chọn.

Xem thêm:

• Cách làm Radical, rational, and absolute value equations trong SAT® Math

• Các quy tắc số mũ (exponent) và căn bậc (radical) trong SAT® Math

Bài tập vận dụng

Sau đây, bài viết sẽ giới thiệu đến người học một số câu hỏi Digital SAT có sử dụng DESMOS để Giải hệ phương trình phân thức - tuyến tính. Người học hãy sử dụng tính năng DESMOS đã giới thiệu để giải các câu hỏi sau.

Question 1:

In the xy-plane, the graph of y=x−3 intersects the graph of y=10/x at two points. What is the x-coordinate of the point of intersection that lies in the third quadrant?

Answer: -2

Question 2:

In the xy-plane, the graph of y=2x−7 intersects the graph of y=9/x at two points. What is the x-coordinate of the point of intersection that lies in the first quadrant?

Answer: 4.5

Question 3:

In the xy-plane, the graph of y=x+5 intersects the graph of y=24/x​ at two points. What is the y-coordinate of the point of intersection that lies in the third quadrant?

Answer: -3

Question 4:

In the xy-plane, the graph of y=2x−2 intersects the graph of y=12/x​ at two points. What is the x-coordinate of the point of intersection that lies in the first quadrant?

Answer: 3

Question 5:

In the xy-plane, the graph of y=3x−2 intersects the graph of y=16/x​ at two points. What is the y-coordinate of the point of intersection that lies in the first quadrant? 

Answer: 6

Question 6:

In the xy-plane, the graph of y=5x−16 intersects the graph of y=16/x​ at two points. If the point in the first quadrant is (a,b), what is the value of ab? 

Answer: 16

Question 7:

In the xy-plane, the graph of y=2x+1intersects the graph of y=(x+3)/(10x+17​) at two points. What is the x-coordinate of the point of intersection that lies in the second quadrant?

Answer: -0.4

Question 8:

In the xy-plane, the graph of y=5x-(23/10) intersects the graph of y=(4x+6)/20x at two points.If the point in the first quadrant is (a,b), what is the value of a+b? 

 Answer: 1.3

Question 9: 

In the xy-plane, the graph of y=5x+(3/2) intersects the graph of y=(4x+5)/(20x+2)​ at two points. What is the total of the y-coordinates of the two points of intersection?

Answer: 1.2

Question 10:

In the xy-plane, the graph of y=x intersects the graph of y= 4x/(20x+24)​ at two points. If the point in the third quadrant is (a,b), what is the value of ab? 

Answer: 1

Tổng kết

Như vậy, bài viết đã giới thiệu về phần mềm DESMOS và hướng dẫn chi tiết cách sử dụng phần mềm này trong bài thi Digital SAT để giải hệ phương trình phân thức - tuyến tính. Việc vận dụng linh hoạt các tính năng vẽ đồ thị không chỉ giúp thí sinh trực quan hóa các phép biến đổi hình học mà còn là công cụ đắc lực để đối chiếu và xác định chính xác phương trình hàm số cần tìm.

Hy vọng người học có thể vận dụng các nội dung và quy trình thao tác trong bài viết để cải thiện hiệu suất ôn tập, đơn giản hóa các bước tính toán phức tạp và nâng cao hiệu quả làm bài của bản thân trong các kỳ thi sắp tới.

Tham khảo chương trình luyện thi SAT cam kết đầu ra tại ZIM Academy để được hướng dẫn chuyên sâu và bứt phá điểm số.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.