Sử dụng DESMOS để tìm phương trình còn lại của hệ phương trình bậc nhất

Trong các bài thi chuẩn hóa quốc tế về năng lực toán, chẳng hạn như Digital SAT, thí sinh có thể sẽ được cung cấp phần mềm DESMOS, phần mềm máy tính khoa học giúp giải quyết các vấn đề liên quan đến đồ thị, thống kê và các phép tính cơ bản. Nắm được các tính năng của DESMOS cũng như thao tác sử dụng sẽ giúp thí sinh tăng tốc độ làm bài, đơn giản hóa các bước tính toán, từ đó nâng cao hiệu quả bài thi. Trong phạm vi bài viết này, tác giả sẽ hướng dẫn người học sử dụng Desmos để tìm phương trình còn lại của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, với đề bài đã cho trước một phương trình và số nghiệm của hệ.

Đọc thêm tại: Sử dụng DESMOS để tìm nghiệm phương trình bậc nhất bằng tính năng bảng

Lý thuyết chung về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là một tập hợp gồm hai phương trình bậc nhất với hai biến số, có dạng tổng quát như sau:

Ax + By = C

A'x + B'y = C'

Trong đó, A, B, C, A’, B’, C’ là các hằng số cho trước, x và y là biến số. 

Dạng hệ số góc của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Bên cạnh dạng tổng quát, phương trình đường thẳng bậc nhất hai ẩn thường được biến đổi và biểu diễn dưới dạng hệ số góc để thuận tiện cho việc xác định độ dốc và vị trí hình học trên mặt phẳng: 

y = mx + b 

y = m'x + b' 

Trong đó, m và m' đại diện cho hệ số góc (slope) quyết định độ dốc của đường thẳng; b và b' đại diện cho tung độ gốc (y-intercept) xác định vị trí đường thẳng cắt trục tung Oy.

Các trường hợp nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Thông thường, một phương trình bậc nhất hai ẩn đơn lẻ sẽ có vô số nghiệm. 

Ví dụ: phương trình x - y = 10 sẽ có vô số nghiệm, một vài trong số đó bao gồm (10, 0), (15, 5), hay  (20, 5).

Tuy nhiên, đối với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, nghiệm của hệ phương trình là nghiệm thỏa mãn cả hai phương trình bậc nhất trong hệ. Nghiệm của hệ phương trình bậc nhất được chia thành 3 trường hợp: nghiệm duy nhất, vô nghiệm, vô số nghiệm. Để xác định nghiệm của hệ phương trình bậc nhất bằng đồ thị, người học có thể dựa vào tập hợp các điểm chung của hai đường thẳng được mô tả bởi hai phương trình bậc nhất tạo nên hệ phương trình. Cụ thể, xét hai đường thẳng d: ax + by = c và d’: a’x + b’y = c’, nghiệm của hệ phương trình chính là điểm thuộc đồng thời cả hai đường thẳng này. 

Ngoài ra, tính chất nghiệm còn phụ thuộc vào mối quan hệ giữa các hệ số a, b, c, a’, b’, c’ trong hệ phương trình.

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Trong trường hợp này, hai đường thẳng d: ax + by = c và d’: a’x + b’y = c’ cắt nhau ở một điểm (x0, y0), và điểm cắt nhau này cũng chính là nghiệm của hệ phương trình ax + by = c và a’x + b’y = c’. 

Đối với mối quan hệ giữa các hệ số khi hệ phương trình có nghiệm duy nhất, các hệ số của hai phương trình bậc nhất không tỉ lệ với nhau:

a/a’ khác b/b’

Do đó, hai phương trình biểu hiện hai đường thẳng này cũng có hệ số góc khác nhau và chúng cắt nhau tại một điểm.

Ví dụ: hệ phương trình  x + y = 5,  3x+2y = 12 có đồ thị cắt nhau tại điểm (2,3), có mối quan hệ giữa các hệ số là 3/1 khác 2/1 và có nghiệm duy nhất là (2, 3).

                                                 Fig.1. Line 3x + 2y = 12 and x + y = 5 on the Desmos Graphing Calculator     (Source [1])

Hệ phương trình có vô số nghiệm 

Trong trường hợp này, hai đường thẳng d: ax + by = c và d’: a’x + b’y = c’ trùng nhau,  hai phương trình biểu diễn chung một đường thẳng và mọi điểm trên đường thẳng ấy đều là nghiệm của hệ phương trình.

Đối với mối quan hệ giữa các hệ số khi hệ phương trình có vô số nghiệm, các hệ số của hai phương trình bậc nhất tỉ lệ với nhau:

a/a' = b/b' = c/c'

Ví dụ: hệ phương trình 5x+10y=20,  x+2y=4 có đồ thị trùng nhau, có mối quan hệ giữa các hệ số là 5/1 = 10/2 = 20/4 và có vô số nghiệm

                              Fig.2. Line 5x+10y=20 and x + 2y = 4 on the Desmos Graphing Calculator     (Source [2])

Hệ phương trình vô nghiệm 

Trong trường hợp này, hai đường thẳng d: ax + by = c và d’: a’x + b’y = c’ song song và không cắt nhau; hai đường thẳng không có điểm nào chung và hệ phương trình do đó vô nghiệm.

Đối với mối quan hệ giữa các hệ số khi hệ phương trình vô nghiệm, các tỉ lệ của các hệ số của hai phương trình bậc nhất như sau:

a/a' = b/b' khác cc'

Ví dụ: hệ phương trình  6x+12y=20, x+2y=9  có đồ thị song song và không cắt nhau, có mối quan hệ giữa các hệ số là 6/1= 12/2 khác 20/9 và vô nghiệm.

   Fig.3. Line 6x+12y=20 and x + 2y = 9 on the Desmos Graphing Calculator     (Source [3])

Cách tìm phương trình còn lại của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn từ số nghiệm cho trước

Để tìm một phương trình đường thẳng còn lại khi biết trước một phương trình và số nghiệm của hệ, người học cần tiếp cận theo một quy trình rõ ràng, dựa trên việc phân tích mối quan hệ đồ thị giữa hai đường thẳng (cắt nhau, song song hoặc trùng nhau). 

Lưu ý: Người học cần đưa hai phương trình về cùng một dạng biểu diễn, hoặc cùng về dạng tổng quát (standard form), hoặc cùng về dạng hệ số góc (slope-intercept form) để thực hiện đối chiếu các đại lượng một cách đồng nhất. Trong hướng dẫn dưới đây, quy trình sẽ ưu tiên đồng nhất về dạng hệ số góc y = mx + b để tối ưu các bước biện luận.

Trước tiên, hệ phương trình bậc nhất hai ẩn tổng quát thường được đưa về dạng hệ số góc y = mx + b và y = m'x + b'.

Bước 1: Xác định hệ số góc a và tung độ gốc b của đường thẳng đã cho từ phương trình đề bài cung cấp.  

Bước 2: Phân tích điều kiện số nghiệm của đề bài để xác định mối quan hệ của đường thẳng cần tìm với đường thẳng đã cho:  

• Hệ vô nghiệm: Hai đường thẳng song song thì hệ số góc bằng nhau (m' = m) và tung độ gốc khác nhau (b' ≠ b).  

• Hệ có vô số nghiệm: Hai đường thẳng trùng nhau thì hệ số góc bằng nhau (m' = m) và tung độ gốc bằng nhau (b' = b).  

• Hệ có nghiệm duy nhất: Hai đường thẳng cắt nhau thì hệ số góc khác nhau (m' ≠ m).  

Bước 3: Sử dụng dữ kiện bổ sung (ví dụ: điểm đi qua) để thiết lập phương trình đường thẳng thứ hai dưới dạng y = m'x + b'.  

Bước 4: Biến đổi phương trình vừa tìm được về dạng chuẩn Ax + By = C (hoặc dạng ⇔ ở các lựa chọn) để đối chiếu và chọn đáp án chính xác.

Ví dụ: 

3x - 4y = 8

One of the two equations in a system of linear equations is given. The system has no solution. Which equation could be the second equation in this system?

A. y = -43x - 3

B. y = 34x - 3

C. 3x + 4y = -12

D. x = -34y - 5

Hướng dẫn giải bài:

Bước 1: Biến đổi phương trình thứ nhất về dạng y = ax + b

3x - 4y = 8 ⇔ -4y = -3x + 8 ⇔ y = (3/4)x - 2

Do đó, đường thẳng đã cho có hệ số góc a = 3/4 và tung độ gốc b = -2.

Bước 2: Vì hệ phương trình vô nghiệm (hai đường thẳng song song), phương trình thứ hai cần tìm phải có hệ số góc a' = a = 3/4 và tung độ gốc b' khác -2.

Bước 3: Đối chiếu với 4 đáp án cho sẵn, ta thấy đáp án B thoả mãn điều kiện trên. => Chọn đáp án B.

         Fig.4. Line 3x-4y=8 and y=(3/4)x-3 on the Desmos Graphing Calculator  (Source [4])

Tìm phương trình còn lại của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn trong câu hỏi Digital SAT

Trong bài thi Digital SAT, các câu hỏi về việc tìm phương trình còn lại của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn rất đa dạng. Thí sinh có thể được hỏi về việc xác định phương trình đường thẳng song song khi biết hệ vô nghiệm, xác định phương trình đường thẳng trùng khít khi biết hệ có vô số nghiệm, hoặc tìm phương trình đi qua một điểm cụ thể để hệ có nghiệm duy nhất.

Sample Question: 

Giới thiệu máy tính khoa học DESMOS

DESMOS là một phần mềm máy tính khoa học được thiết kế bởi DESMOS Studio. Đây là phần mềm chính thức được tích hợp trong phần mềm Bluebook của bài thi Digital SAT nhằm hỗ trợ thí sinh giải quyết đa dạng các câu hỏi Toán học ở nhiều chuyên đề khác nhau.

Fig. 5. Official logo of Desmos Studio PBC. (Source: [5])

Các tính năng cơ bản của DESMOS

Với phần mềm DESMOS, người học và thí sinh sẽ cần làm quen với một số tính năng cơ bản, bao gồm:

• Các phép cộng, trừ, nhân, chia cơ bản

• Vẽ đồ thị phương trình từ bậc thấp đến cao

• Sử dụng bảng biểu

• Tính năng thanh trượt

• Các phép tính thống kê cơ bản

• Các phép tính lượng giác cơ bản

• V.v.

Trên màn hình giao diện DESMOS, người học có thể nhận diện được các vùng cơ bản. Thứ nhất, vùng bên tay trái là nơi người học nhập phương trình (VD: 2x + y = 0). Thứ hai, vùng mặt phẳng toạ độ Oxy là nơi đồ thị của phương trình hiển thị. Cuối cùng, nút cài đặt (có biểu tượng hình cờ lê) bên góc phải là nơi người học điều chỉnh một số cài đặt để phù hợp nhu cầu (VD: chuyển đổi từ Degree sang Radian.)

Fig. 6. Interface of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [6])

Lưu ý: Phần mềm DESMOS hiện tại mà người học có thể tìm trên mạng có thể được chia làm hai phiên bản: Nguyên bản (đen) và Khảo thí (testing - xanh lá). Phần mềm DESMOS nguyên bản sẽ có nhiều tính năng hơn bản khảo thí, bao gồm tính năng chia sẻ biểu đồ, thư mục, hoặc hình ảnh. Tuy vậy, các tính năng quan trọng dùng trong bài thi SAT vẫn có đầy đủ ở cả hai phiên bản.

Hướng dẫn sử dụng DESMOS để tìm phương trình còn lại của hệ từ số nghiệm cho trước

Để tìm nhanh phương trình còn lại bằng phần mềm DESMOS, người học cần vận dụng tính năng vẽ đồ thị trực quan và áp dụng phương pháp thử - đối chiếu trực tiếp các phương án lựa chọn.

Bước 1: Đọc kỹ đề bài để xác định dữ kiện số nghiệm và thiết lập mối quan hệ hình học 

Người học cần phân tích kỹ các từ khóa liên quan đến số nghiệm của hệ phương trình được cung cấp trong đề bài để định hình trước hình dạng hiển thị của đồ thị. Ví dụ, nếu đề bài cho hệ vô nghiệm, đồ thị bắt buộc phải hiển thị hai đường thẳng song song (không có điểm chung). Người học có thể loại các đáp án có hệ số góc khác với đường thẳng ban đầu. 

Ngoài ra, người học cần ghi nhận thêm các dữ kiện phụ như tọa độ điểm mà đường thẳng thứ hai đi qua (ví dụ: giao điểm với trục tung hoặc trục hoành) để tăng tính chính xác khi đối chiếu.

Bước 2: Nhập phương trình gốc và lần lượt thử các phương án đáp án vào ô dữ liệu của DESMOS 

Đầu tiên, người học nhập phương trình đường thẳng đã cho ở đề bài vào dòng nhập dữ liệu số 1. DESMOS sẽ lập tức mô phỏng đường thẳng này trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Tiếp theo, lần lượt nhập các phương trình ở đáp án A, B, C, D vào các dòng số 2, 3, 4, 5 phía dưới.

Nếu người học cần gõ các ký tự đặc biệt, người học có thể bấm vào ký hiệu bàn phím ở góc dưới trái của màn hình để hiện ra chức năng bàn phím để hỗ trợ trong việc bấm biểu thức. DESMOS sẽ tự động vẽ đồ thị của các phương trình tương ứng, mỗi phương trình sẽ được hiển thị thành một đường thẳng.

Bước 3:  Đối chiếu hình ảnh và lựa chọn đáp án đúng

Người học quan sát sự tương quan vị trí giữa đường thẳng gốc (dòng 1) và đường thẳng của đáp án đang được bật.

• Đối với yêu cầu vô nghiệm, đáp án chính xác phải tạo ra một đường thẳng song song tuyệt đối với đường gốc và đi qua đúng điểm phụ trợ mà đề bài nhắc tới (ví dụ: điểm cắt trục tung).

• Đối với yêu cầu vô số nghiệm, khi bật đáp án đúng, đường thẳng mới phải đè khít lên đường cũ và không tạo ra thêm bất kỳ đường mới nào trên màn hình.

• Đối với yêu cầu nghiệm duy nhất, người học chỉ cần click chuột trực tiếp vào giao điểm của hai đường thẳng trên giao diện DESMOS; phần mềm sẽ hiển thị tọa độ dạng (x, y) để người học đối chiếu xem có trùng với nghiệm của đề bài hay không. Khi tìm được đáp án thỏa mãn tất cả các điều kiện hình học này, đó chính là phương trình còn lại cần tìm.

Ví dụ minh họa: 

Câu hỏi:

A system with no solutions is represented on the xy coordinate plane. The first equation of the system is y = (2/5)x - 3. Which equation below is the remaining equation of the system if the line of this remaining equation passes through the point (0, 4)?

A. y = (2/5)x + 4 

B. y = -(2/5)x + 4 

C. x = -(5/2)y + 15/2 

D. y = (5/2)x + 4

Hướng dẫn giải bằng DESMOS:

Bước 1: Đọc kỹ đề bài để xác định từ khóa cốt lõi. 

Hệ phương trình "vô nghiệm" nghĩa là đồ thị hiển thị phải là hai đường thẳng song song.

Bước 2: Nhập phương trình gốc vào dòng số 1 của DESMOS: y = (2/5)x - 3.

Bước 3: Lần lượt nhập các đáp án vào các dòng tiếp theo và click vào vòng tròn màu bên trái để bật/tắt đồ thị đối chiếu:

A. y = (2/5)x + 4 → Đồ thị tạo ra một đường thẳng song song với đường thẳng ban đầu và cắt trục tung tại điểm (0, 4).

B.  y = -(2/5)x + 4 → Đường thẳng này cắt đường thẳng gốc (không song song).

C. x = (-5/2)y + 15/2 → Đường thẳng vuông góc và cắt đường thẳng gốc.

Bước 4: Đối chiếu hình ảnh trực quan, chỉ có đồ thị của đáp án A song song và thỏa mãn đầy đủ các dữ kiện đi qua điểm (0, 4). Chọn đáp án A.

Fig. 7. Line y=(2/5)x-3 and y=(2/5)x+4 on the Desmos Graphing Calculator (Source: [7])

Lưu ý: DESMOS luôn hiển thị giá trị dưới dạng số thập phân. Do đó, DESMOS hữu dụng khi giá trị cần tìm là giá trị nguyên (1,2,3,...), giá trị thập phân hữu hạn (1.5, 2.5,...), giá trị thập phân vô hạn tuần hoàn (0.6666), hoặc giá trị thập phân không tuần hoàn thông dụng (3.141592). Nếu người học chưa quen nhận diện các giá trị này (VD: 10/3 có thể được biểu diễn là 3.33333), điều nên làm là luôn kiểm tra lại đáp án trước khi chọn.

Tham khảo thêm tại: Cách làm dạng bài Quadratic Graphs trong SAT Math

Bài tập vận dụng

Sau đây, bài viết sẽ giới thiệu đến người học một số câu hỏi Digital SAT có sử dụng DESMOS để tìm phương trình còn lại của hệ từ số nghiệm cho trước. Người học hãy sử dụng tính năng DESMOS đã giới thiệu để giải các câu hỏi sau.

Question 1:

In the xy-plane, a system of two linear equations has infinitely many solutions. The first equation is given by 4x - 2kx + 6y = 28, where k is a constant. The second line passes through the points (1, 4) and (4, 2). What is the value of k?

A. -1 

B. 0

C. 1

D. 2

Answer: B

Question 2:

A system of two linear equations in the xy-plane has no solution. The first equation is 4x - 2y = 7. The second line is perpendicular to a third line whose equation is x + 2y = 10. If the second line passes through the point (2, m) and has a y-intercept at (0, -5), what is the value of m?

A. m = -9

B. m = -1

C. m = 1

D. m = 9

Answer: B

Question 3:

In the xy-plane, a system of two linear equations has a unique solution at the point (3, -1). One line has a y-intercept at (0, -4). The second line is represented by the equation ax + 3y = 6, where a is an integer. If the second line also passes through the point (p, 4), what is the value of p?

A. -2

B. -1

C. 1

D. 2

Answer: A

Question 4:

A system of two linear equations has infinitely many solutions. The first equation is written in the form ax + by = 6, where a and b are constants. The second equation is obtained by translating a line that passes through the origin with a slope of -4/3 upward by 4 units along the y-axis. What is the value of a + b?

A. 2.5

B. 3

C. 3.5

D. 4

Answer: C 

Question 5:

A line passes through the point where the lines y=2x+1 and y=−x+7 intersect, and also passes through (0,5). What is the equation of the line?

A. y=x+5

B. y=5

C. y=−4/3x+5

D. y=4x+5

Answer: B

Question 6:

A system consisting of line L1 and line L2 has a unique solution at the point (p, q). Line L1 passes through (0, 4) and (2, 0). Line L2 is defined by the equation 2x - 3y = 4. If a third line, L3, is parallel to L2 and passes through the point (p, q), what is the y-intercept of line L3?

A. (0, -4/3)

B. (0, -2)

C. (0, 2)

D. (0, 4/3)

Answer: A

Question 7:

A system of two linear equations has infinitely many solutions. The first equation is 0.5x - 0.2y = 1.5. The second equation is expressed as mx + ny = 9, where m and n are constants. If a third line is perpendicular to the second line and passes through the point (2, 1), what is the equation of this third line?

A. y = -3x + 7

B. y = -(2/5)x + 9/5

C. y = 3x - 9/5

D. y = (2/5)x + 9/5

Answer: B

Question 8:

A system of two linear equations has no solution. The first equation is 3x + by = 8, where b is a positive constant. The second line passes through the origin (0, 0) and the point (4, 3). What must be the value of b for this system to have no solution?

A. b = 4

B. b = -4

C. b = 3

D. b = 12

Answer: B

Question 9:

In the xy-plane, a system of two linear equations has a unique solution. One equation is y = 2x - 3. The second equation is rx + 2y = 8, where r is an integer constant. Which of the following values of r will prevent the system from having a unique solution?

A. r = -4

B. r = -2

C. r = 2

D. r = 4

Answer: A

Question 10:

A system of two linear equations has infinitely many solutions. One of the equations is 6x - 8y = 24. The second line is represented by the equation (m^3)x - 32y = 96, where m is a constant. What is the positive value of m?

A. m = 2

B. m = 4

C. m = 5

D. m = 24

Answer: A

Tham khảo thêm: Sử dụng DESMOS để nhận diện bất phương trình bậc nhất hai ẩn bằng đồ thị

Như vậy, bài viết đã giới thiệu về phần mềm DESMOS và hướng dẫn chi tiết cách sử dụng phần mềm này trong bài thi Digital SAT để tìm phương trình còn lại của hệ từ số nghiệm cho trước. Việc vận dụng linh hoạt các tính năng vẽ đồ thị không chỉ giúp thí sinh trực quan hóa các phép biến đổi hình học mà còn là công cụ đắc lực để đối chiếu và xác định chính xác phương trình hàm số cần tìm.

Hy vọng người học có thể vận dụng các nội dung và quy trình thao tác trong bài viết để cải thiện hiệu suất ôn tập, đơn giản hóa các bước tính toán phức tạp và nâng cao hiệu quả làm bài của bản thân trong các kỳ thi sắp tới.

Tham khảo chương trình luyện thi SAT cam kết đầu ra tại ZIM Academy để được hướng dẫn chuyên sâu và bứt phá điểm số.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.