Sử dụng DESMOS để tìm giá trị khiến căn thức xác định/không xác định

Trong các bài thi chuẩn hóa quốc tế về năng lực toán, chẳng hạn như Digital SAT, thí sinh có thể sẽ được cung cấp phần mềm DESMOS, phần mềm máy tính khoa học giúp giải quyết các vấn đề liên quan đến đồ thị, thống kê và các phép tính cơ bản. Nắm được các tính năng của DESMOS cũng như thao tác sử dụng sẽ giúp thí sinh tăng tốc độ làm bài, đơn giản hóa các bước tính toán, từ đó nâng cao hiệu quả bài thi. Trong phạm vi bài viết này, tác giả sẽ hướng dẫn người học cách xác định giá trị khiến căn thức xác định/không xác định, một dạng bài phổ biến trong SAT Math.

Lý thuyết chung về căn thức

Căn thức là một dạng biểu thức toán học mở rộng từ phép khai căn của các số thực sang phép khai căn của các biểu thức đại số chứa biến số. 

Căn thức có dạng tổng quát là: \(\sqrt[n]{a}\)

• n là bậc của căn (n ≥ 2)

• a là một biểu thức dưới dấu căn (radicand)

Dựa trên tính chẵn lẻ của n, căn thức được phân thành hai nhóm với điều kiện xác định khác nhau 

Lý thuyết về giá trị khiến căn thức xác định/không xác định

Đối với căn thức bậc chẵn (n = 2, 4, 6, 8, ….) thì biểu thức na chỉ xác định khi biểu thức dưới dấu căn không âm → a ≥ 0.

Lưu ý: Đối với các biểu thức dưới căn có dạng phân số, ta xét điều kiện kỹ càng và loại các trường hợp khiến phân số không xác định.

Đối với căn thức bậc lẻ (n = 3, 5, 7, 9, …) thì biểu thức dưới dấu căn luôn xác định với mọi giá trị. 

Ví dụ: Xét căn thức \(\sqrt{\frac{1}{x-1}}\) 

Căn thức có n = 2 → căn thức bậc chẳn → biểu thức dưới dấu căn phải ≥ 0

→ 1/(x-1) ≥ 0.

Tuy nhiên, do phân thức có điều kiện xác định là x - 1 ≠ 0 → Để căn thức xác định thì x - 1 > 0 → x > 1

Fig. 1. Radical expression on the Desmos Graphing Calculator (Source [1])

Ta có thể thấy giá trị của căn thức chỉ tồn tại khi x > 1, và tại x = 1 thì căn thức không xác định do vi phạm điều kiện xác định của biểu thức dưới dấu căn.

Xem thêm: Cách làm dạng bài Operations with rational expressions trong SAT® Math

Xác định giá trị khiến căn thức xác định/không xác định trong câu hỏi Digital SAT

Trong bài thi Digital SAT, các câu hỏi về xác định giá trị khiến căn thức xác định/không xác định là rất đa dạng. Thí sinh có thể được hỏi về xác định giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của biến số để căn thức xác định, xác định tập giá trị để biểu thức có nghĩa; xác định giá trị cụ thể khiến biểu thức không xác định (undefined); đếm số giá trị nguyên trong một khoảng cho trước thỏa mãn điều kiện.

Giới thiệu máy tính khoa học DESMOS

DESMOS là một phần mềm máy tính khoa học được thiết kế bởi DESMOS Studio. Đây là phần mềm chính thức được tích hợp trong phần mềm Bluebook của bài thi Digital SAT nhằm hỗ trợ thí sinh giải quyết đa dạng các câu hỏi Toán học ở nhiều chuyên đề khác nhau.

Fig. 2. Official logo of Desmos Studio PBC. (Source: [2])

Các tính năng cơ bản của DESMOS

Với phần mềm DESMOS, người học và thí sinh sẽ cần làm quen với một số tính năng cơ bản, bao gồm:

• Các phép cộng, trừ, nhân, chia cơ bản

• Vẽ đồ thị phương trình từ bậc thấp đến cao

• Sử dụng bảng biểu

• Tính năng thanh trượt

• Các phép tính thống kê cơ bản

• Các phép tính lượng giác cơ bản

• V.v.

Trên màn hình giao diện DESMOS, người học có thể nhận diện được các vùng cơ bản. Thứ nhất, vùng bên tay trái là nơi người học nhập phương trình (VD: 2x + y = 0). Thứ hai, vùng mặt phẳng toạ độ Oxy là nơi đồ thị của phương trình hiển thị. Cuối cùng, nút cài đặt (có biểu tượng hình cờ lê) bên góc phải là nơi người học điều chỉnh một số cài đặt để phù hợp nhu cầu (VD: chuyển đổi từ Degree sang Radian.)

Fig. 3. Interface of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [3])

Lưu ý: Phần mềm DESMOS hiện tại mà người học có thể tìm trên mạng có thể được chia làm hai phiên bản: Nguyên bản (đen) và Khảo thí (testing - xanh lá). Phần mềm DESMOS nguyên bản sẽ có nhiều tính năng hơn bản khảo thí, bao gồm tính năng chia sẻ biểu đồ, thư mục, hoặc hình ảnh. Tuy vậy, các tính năng quan trọng dùng trong bài thi SAT vẫn có đầy đủ ở cả hai phiên bản.

Hướng dẫn sử dụng DESMOS để xác định giá trị khiến căn thức xác định/không xác định

Bước 1: Người học đọc kĩ đề bài và xác định các dữ kiện quan trọng

Bước 2: Người học nhập hàm số chứa căn thức vào ô nhập dữ liệu của Desmos. Phần mềm sẽ vẽ đồ thị.

Bước 3: Người học quan sát và tìm vị trí bắt đầu của đồ thị trên trục Ox. Giá trị x tại điểm bắt đầu này là nghiệm của phương trình biểu thức dưới căn = 0, hay đây chính là giá trị biên của điều kiện xác định.

Bước 4: Người học đối chiếu giá trị biên này và hướng của đồ thị (nằm bên trái hay bên phải của điểm biên) để suy ra miền xác định.

Ví dụ minh họa:

Question:

For what values of x is the expression √(x² − 7x + 10) defined?

A. x ≤ 2 or x ≥ 5

B. 2 ≤ x ≤ 5

C. x ≤ −5 or x ≥ −2

D. −5 ≤ x ≤ −2

Bước 1: Người học đọc kĩ đề bài và xác định các dữ kiện quan trọng:

• Hàm số: √(x² − 7x + 10)

• Tìm giá trị hàm số xác định

Bước 2: Người học nhập hàm số chứa căn thức vào ô nhập dữ liệu trên Desmos.

Fig. 4. Radical function on the Desmos Graphing Calculator (Source [4])

Bước 3: Xác định điểm bắt đầu của đồ thị

Fig. 5. Radical function on the Desmos Graphing Calculator (Source [4])

Dựa vào đồ thị, ta xác định 2 điểm bắt đầu là x = 2 và x = 5.

Bước 4: Dựa vào đồ thị, ta xác định được:

• Với điểm bắt đầu x = 2, đồ thị hướng về bên trái → x ≤ 2

• Với điểm bắt đầu x = 5, đồ thị hướng về bên phải → x ≥ 5

Vậy để căn thức xác định → x ≤ 2 or x ≥ 5 → A

Lưu ý: DESMOS luôn hiển thị giá trị dưới dạng số thập phân. Do đó, DESMOS hữu dụng khi giá trị cần tìm là giá trị nguyên (1,2,3,...), giá trị thập phân hữu hạn (1.5, 2.5,...), giá trị thập phân vô hạn tuần hoàn (0.6666), hoặc giá trị thập phân không tuần hoàn thông dụng (3.141592). Nếu người học chưa quen nhận diện các giá trị này (VD: 10/3 có thể được biểu diễn là 3.33333), điều nên làm là luôn kiểm tra lại đáp án trước khi chọn.

Xem thêm: Cách làm Radical, rational, and absolute value equations trong SAT® Math

Bài tập vận dụng

Sau đây, bài viết sẽ giới thiệu đến người học một số câu hỏi Digital SAT có sử dụng DESMOS để xác định giá trị khiến căn thức xác định/không xác định [5]. Người học hãy sử dụng tính năng DESMOS đã giới thiệu để giải các câu hỏi sau.

Question 1

For what values of x is the expression √(3x - 12) defined? 

A. x ≥ 4 

B. x > 4 

C. x ≤ 4 

D. All real numbers 

Answer: A

Question 2 

For what values of x is √(-2x + 6) defined? 

A. x ≥ 3 

B. x < 3 

C. x ≤ 3 

D. All real numbers 

Answer: C

Question 3 

For what values of x is √(x^2 - 9) defined? 

A. -3 ≤ x ≤ 3 

B. x ≤ -3 or x ≥ 3 

C. x > 3 

D. All real numbers

Answer: B

Question 4 

For what values of x is √(x^2 + x - 6) defined? 

A. x ≤ -3 or x ≥ 2 

B.-3 ≤ x ≤ 2 

C. x < -3 or x > 2 

D. All real numbers

Answer: A

Question 5 

What is the smallest integer value of x for which √(x^2 - 4x - 5) is defined? 

A. -1 

B. 5 

C. 0 

D. There is no smallest integer.

Answer: D

Question 6 

What is the greatest integer value of x for which √(-x^2 + 6x - 8) is defined? 

A. 2 

B. 3 

C. 4 

D. 6

Answer: C

Question 7 

How many integer values of x make √(x^2 - x - 6) defined? 

A. 2 

B. 5 

C. 6 

D. Infinitely many 

Answer: D 

Question 8 

How many integer values of x satisfy that √(-x^2 + 5x - 6) is defined? 

A. 1 

B. 2 

C. 3 

D. Infinitely many

Answer: B

Question 9 

For what values of x is the expression 1/√(x^2 - 5x + 6) defined? 

A. x ≤ 2 or x ≥ 3 

B. 2 < x < 3 

C. x < 2 or x > 3 

D. All real numbers

Answer: C

Question 10 

For how many positive integer values of x is √((x - 2)/(x - 5)) defined? 

A. 2 

B. 3 

C. 4 

D. Infinitely many 

Answer: A

Xem thêm: Essential vocabulary for SAT® Math - Advanced Math | Unit 12: Root + Base + Rational

Như vậy, bài viết đã giới thiệu về phần mềm DESMOS và hướng dẫn chi tiết cách sử dụng phần mềm này trong bài thi Digital SAT để xác định giá trị khiến căn thức xác định/không xác định. Việc vận dụng linh hoạt các tính năng vẽ đồ thị không chỉ giúp thí sinh trực quan hóa các phép biến đổi hình học mà còn là công cụ đắc lực để đối chiếu và xác định chính xác phương trình hàm số cần tìm.

Hy vọng người học có thể vận dụng các nội dung và quy trình thao tác trong bài viết để cải thiện hiệu suất ôn tập, đơn giản hóa các bước tính toán phức tạp và nâng cao hiệu quả làm bài của bản thân trong các kỳ thi sắp tới.

Tham khảo chương trình luyện thi SAT cam kết đầu ra tại ZIM Academy để được hướng dẫn chuyên sâu và bứt phá điểm số.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.