DESMOS Guide - Giải phương trình mũ khác cơ số trong câu hỏi SAT Math

Trong các bài thi chuẩn hóa quốc tế về năng lực toán, chẳng hạn như Digital SAT, thí sinh có thể sẽ được cung cấp phần mềm DESMOS, phần mềm máy tính khoa học giúp giải quyết các vấn đề liên quan đến đồ thị, thống kê và các phép tính cơ bản. Nắm được các tính năng của DESMOS cũng như thao tác sử dụng sẽ giúp thí sinh tăng tốc độ làm bài, đơn giản hóa các bước tính toán, từ đó nâng cao hiệu quả bài thi. Trong phạm vi bài viết này, tác giả sẽ hướng dẫn người học giải phương trình mũ khác cơ số, một dạng bài phổ biến trong bài thi Digital SAT.

Lý thuyết chung về phương trình mũ khác cơ số

Phương trình mũ khác cơ số có dạng tổng quát là:

\[a^{\left(f\left(x\right)\right)}=b^{g\left(x\right)}\]Trong đó: 

• f(x) và g(x) là biểu thức đại số theo biến x 

• a và b được gọi là các cơ số, với a ≠ b

Tuỳ vào dạng biểu thức của f(x) và g(x) mà tập xác định của x sẽ thay đổi.

Lý thuyết về cách giải phương trình mũ khác cơ số

Để tìm được nghiệm của phương trình mũ khác cơ số, người học có 3 cách giải: biến đổi phương trình về cùng cơ số, phương pháp đồ thị, phương pháp logarit.

Trường hợp 1: Nếu các cơ số trong đề bài có sự liên hệ với nhau, người học có thể biến đổi chúng về cùng một cơ số, rồi giải phương trình bình thường.

Ví dụ: Ta có phương trình

4^x = 2^(x+2)

Ta có: 4 = 2^2 -> Ta có thể biến đổi phương trình

(2^2)^x = 2^(x+2) -> 2^2x = 2^(x + 2) -> 2x = x + 2 -> x = 2.

Trường hợp 2: Người học có thể giải phương trình mũ khác cơ số bằng phương pháp logarit. Tuy nhiên, logarit không thuộc kiến thức của bài thi SAT. Do đó, kiến thức về cách giải này sẽ được trình bày trong các bài chia sẻ khác.

Trường hợp 3: Người học có thể giải phương trình mũ khác cơ số bằng phương pháp đồ thị, được trình bày ở mục kế tiếp.

Mối liên hệ giữa phương trình mũ khác cơ số và đồ thị

Ngoài cách tính giá trị bằng công thức đại số, tính chất của phương trình mũ khác cơ số cũng có thể được thấy thông qua đồ thị.

Xét phương trình chứa mũ có ẩn ở hai vế a^f(x) = b^g(x): Ta có thể diễn giải phương trình này thành hai phần, trong đó: 

• Vế trái tương ứng với a^f(x)

• Vế phải tương ứng với b^g(x)

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy: Đồ thị của hai vế là những đường cong.

Như vậy, việc giải phương trình a^f(x) = b^g(x) tương đương với việc tìm các giá trị của x sao cho đồ thị của vế trái và vế phải cắt nhau tại một điểm (x, y).

Ví dụ, với phương trình sau: 4^x = 2^(x+2), ta xét vế trái: 4^x và vế phải 2^(x+2). Như vậy, nghiệm x của phương trình sẽ là giao điểm của hai đồ thị này.

Như ở trên, người học tìm được x = 2 là nghiệm của phương trình. Vì vậy, đường cong 4^x cắt đường cong 2^(x+2) tại điểm có hoành độ x = 2.

Fig. 1. Equation 4^x = 2^(x+2) on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [1])

Ngoài trường hợp phương trình có một nghiệm (2 đồ thị hai vế trái/phải cắt nhau tại một điểm), ta có trường hợp đặc biệt sau:

1. Phương trình vô nghiệm

Khi phương trình vô nghiệm, hai đồ thị không cắt nhau. Khi đó, với mọi giá trị của x, ta luôn có a^f(x) ≠ b^g(x), và hai đồ thị hoàn toàn không cắt nhau.

Ví dụ: 2^2x = 4^(x + 1)

Giải phương trình, ta có: 2^2x = (2^2)^(x + 1) -> 2^2x = 2^(2x + 2) -> 2x = 2x + 2 (Vô lý)

-> Phương trình vô nghiệm, và hai đồ thị không cắt nhau.

Fig. 2. Equation 2^2x = 4^(x + 1) on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [2])

2. Phương trình vô số nghiệm

Khi phương trình vô số nghiệm, hai đồ thị trùng nhau. Khi đó, với mọi giá trị của x, ta luôn có a^f(x) = b^g(x), và hai đường cong hoàn toàn trùng nhau.

Ví dụ: 5^(x + 1) = 5 ⋅ 5^x

Ta nhận thấy rằng 5 ⋅ 5^x có thể được biến đổi thành 5^1 ⋅ 5^x = 5^(1 + x)

-> 5^(x + 1) = 5^(1 + x) -> Đúng với mọi x.

-> Phương trình vô số nghiệm, hai đồ thị trùng nhau.

Fig. 3. Equation 5^(x + 1) = 5 ⋅ 5^x on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [3])

Giải phương trình mũ khác cơ số trong câu hỏi Digital SAT

Trong bài thi Digital SAT, các câu hỏi về giải phương trình mũ khác cơ số là rất đa dạng. Thí sinh có thể được hỏi về việc tìm nghiệm, tìm hằng số để phương trình có nghiệm, tìm điểm thuộc đồ thị, hay trả lời các câu hỏi thực tế liên quan đến nghiệm.

Giới thiệu máy tính khoa học DESMOS

DESMOS là một phần mềm máy tính khoa học được thiết kế bởi DESMOS Studio. Đây là phần mềm chính thức được tích hợp trong phần mềm Bluebook của bài thi Digital SAT nhằm hỗ trợ thí sinh giải quyết đa dạng các câu hỏi Toán học ở nhiều chuyên đề khác nhau.

Fig. 4. Official logo of Desmos Studio PBC. (Source: [2])

Các tính năng cơ bản của DESMOS

Với phần mềm DESMOS, người học và thí sinh sẽ cần làm quen với một số tính năng cơ bản, bao gồm:

• Các phép cộng, trừ, nhân, chia cơ bản

• Vẽ đồ thị phương trình từ bậc thấp đến cao

• Sử dụng bảng biểu

• Tính năng thanh trượt

• Các phép tính thống kê cơ bản

• Các phép tính lượng giác cơ bản

• V.v.

Trên màn hình giao diện DESMOS, người học có thể nhận diện được các vùng cơ bản. Thứ nhất, vùng bên tay trái là nơi người học nhập phương trình (VD: 2x + y = 0). Thứ hai, vùng mặt phẳng toạ độ Oxy là nơi đồ thị của phương trình hiển thị. Cuối cùng, nút cài đặt (có biểu tượng hình cờ lê) bên góc phải là nơi người học điều chỉnh một số cài đặt để phù hợp nhu cầu (VD: chuyển đổi từ Degree sang Radian.)

Fig. 5. Interface of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [3])

Lưu ý: Phần mềm DESMOS hiện tại mà người học có thể tìm trên mạng có thể được chia làm hai phiên bản: Nguyên bản (đen) và Khảo thí (testing - xanh lá). Phần mềm DESMOS nguyên bản sẽ có nhiều tính năng hơn bản khảo thí, bao gồm tính năng chia sẻ biểu đồ, thư mục, hoặc hình ảnh. Tuy vậy, các tính năng quan trọng dùng trong bài thi SAT vẫn có đầy đủ ở cả hai phiên bản.

Hướng dẫn sử dụng DESMOS để giải phương trình mũ khác cơ số

Để sử dụng DESMOS để giải phương trình mũ khác cơ số, người học cần vận dụng tính năng vẽ đồ thị phương trình. Dưới đây là hướng dẫn chi tiết từng bước:

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp.

Người học đọc kĩ đề bài để xác định các dữ kiện được cho, trong trường hợp này là phương trình mũ khác cơ số cũng như câu hỏi của đề bài.

Bước 2: Nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài vào ô nhập dữ liệu của phần DESMOS graphing calculator. 

Trong trường hợp này, người học cần chuyển dữ liệu phương trình thành hai vế. 

• Vế trái: a^f(x)

• Vế phải: b^ g(x)

Người học lần lượt viết vế trái và vế phải vào trong hai dòng khác nhau của giao diện DESMOS.

Nếu người học cần gõ các ký tự đặc biệt, người học có thể bấm vào ký hiệu bàn phím ở góc dưới trái của màn hình để hiện ra chức năng bàn phím để hỗ trợ trong việc bấm biểu thức.

DESMOS sẽ tự động vẽ các đồ thị tương ứng.

Bước 3: Sau khi người học thấy được đồ thị được vẽ, để tìm nghiệm, người học có thể bấm vào giao điểm giữa đồ thị của vế trái và đồ thị của vế phải. DESMOS sẽ hiện ra tọa độ của các điểm này, và hoành độ của chúng chính là nghiệm x của phương trình. Sau đó, tuỳ vào đề bài, người học làm những phép tính toán cần thiết.

Bước 4: (tuỳ chọn) Thử lại nghiệm vào phương trình để kiểm tra đáp án.

Ví dụ minh hoạ:

Consider the equation:

2^(2x - 5) = 8

What is the solution of this equation?

A. 4

B. 5

C. 6

D. 7

Hướng dẫn giải bằng DESMOS

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp

• Phương trình được cho: 2^(2x - 5) = 8

• Giá trị cần tìm: nghiệm của phương trình.

Bước 2: Nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài vào ô nhập dữ liệu của DESMOS. Trong đó:

• Viết ở dòng đầu tiên: 2^(2x - 5)

• Viết ở dòng thứ hai: y = 8

Lưu ý, với số mũ, người học có thể bấm bàn phím hoặc nên sử dụng phần bàn phím của DESMOS như đã nêu trên.

Fig. 6. The Calculator function on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [6])

Desmos sẽ hiển thị đồ thị của cả hai vế trên mặt phẳng tọa độ. 

Fig. 7. Equation 2^(2x - 5) = 8 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [7])

Bước 3: Người học bấm vào hai giao điểm giữa đồ thị của vế trái và đồ thị của vế phải để tìm ra giao điểm là (4, 8). Giao điểm này có hoành độ là x = 4, nên nghiệm phương trình là x = 4.

Fig. 8. Equation 2^(2x - 5) = 8 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [7])

Bước 4: Người học có thể thử lại hai giá trị x vào phương trình

• 2^(2 4 - 5) = 8 -> 2^3 = 8 -> 8 = 8 -> Đúng.

⇒ Chọn đáp án A.

Lưu ý: DESMOS luôn hiển thị giá trị dưới dạng số thập phân. Do đó, DESMOS hữu dụng khi giá trị cần tìm là giá trị nguyên (1,2,3,...), giá trị thập phân hữu hạn (1.5, 2.5,...), giá trị thập phân vô hạn tuần hoàn (0.6666), hoặc giá trị thập phân không tuần hoàn thông dụng (3.141592). Nếu người học chưa quen nhận diện các giá trị này (VD: 10/3 có thể được biểu diễn là 3.33333), điều nên làm là luôn kiểm tra lại đáp án trước khi chọn.

Xem thêm:

• Essential vocabulary for SAT® Math - Advanced Math | Unit 12: Root + Base + Rational

• Cách làm dạng bài Radicals and rational exponents trong SAT® Math

• Các quy tắc số mũ (exponent) và căn bậc (radical) trong SAT® Math

Bài tập vận dụng

Sau đây, bài viết sẽ giới thiệu đến người học một số câu hỏi Digital SAT có sử dụng DESMOS để giải phương trình chứa mũ khác cơ số có ẩn ở hai vế [8]. Người học hãy sử dụng tính năng DESMOS đã giới thiệu để giải các câu hỏi sau.

Question 1: 

If 3^(2x) = 9^(3x - 2), what is the value of x?

A. 9

B. 0

C. 1

D. 3

Answer: C

Question 2: 

Which of the following is a solution to the equation?

8^(2x - 3) = 1/8

A. -2

B. 1

C. 2

D. 0

Answer: B

Question 3:

If 9^x = 3^(x - 2), what is the value of x + 2?

A. 0

B. 2

C. -2

D. 4

Answer: A

Question 4:

If 4^x = 8^(x - 1), what is the value of 2^x?

A. 2

B. 6

C. 4

D. 8

Answer: D

Question 5:

For what value of k does the equation 2^(x + 3) = 8^(x + k) have exactly one integer solution for x?

A. -2

B. 0

C. 2

D. 1

Answer: D

Question 6:

The equation 2^(x + 1) + 2^(x) = 8^(x - 2) is true for some value of x. What is the value of x, rounded up to the nearest integer?

A. 3

B. 4

C. 1

D. 2

Answer: B

Question 7:

If 2^(x + 1) ⋅ 4^(2x - 3) = 8^(x - 2), what is the value of x^2?

A. 1/2

B. 2

C. 1/4

D. 1

Answer: C

Question 8:

For what value of k does the equation 4^(k - x) + 4^(x - 2) = 2^(2x + 1) have exactly one negative solution for x?

A. 3

B. 2

C. 1

D. 0

Answer: D

Question 9:

For a constant a, the equation 5^x = 25^(x - 1) + a5^(x - 2) is true for an integer value of x. What is the value of a?

A. -4

B. 0

C. 2

D. 4

Answer: B

Question 10:

A bacterial culture grows such that its population after t hours (t > 0) is modeled by 2^(t + 1). A second culture grows according to 8^(t + k), where k is a constant.

If the two populations are equal at exactly one time t, which is an integer, what is the value of k?

A. 0

B. 2

C. 1

D. -1

Answer: D

Như vậy, bài viết đã giới thiệu về phần mềm DESMOS và hướng dẫn chi tiết cách sử dụng phần mềm này trong bài thi Digital SAT để giải phương trình mũ khác cơ số. Việc vận dụng linh hoạt các tính năng vẽ đồ thị không chỉ giúp thí sinh trực quan hóa các phép biến đổi hình học mà còn là công cụ đắc lực để đối chiếu và xác định chính xác phương trình hàm số cần tìm.

Hy vọng người học có thể vận dụng các nội dung và quy trình thao tác trong bài viết để cải thiện hiệu suất ôn tập, đơn giản hóa các bước tính toán phức tạp và nâng cao hiệu quả làm bài của bản thân trong các kỳ thi sắp tới.

Tham khảo chương trình luyện thi SAT cam kết đầu ra tại ZIM Academy để được hướng dẫn chuyên sâu và bứt phá điểm số.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.

Tác giả: JOHN MARK PHẠM DACUSIN