Bài tập vecto và hệ trục tọa độ trong không gian có lời giải

Bài tập vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian giúp học sinh Toán 12 vận dụng tọa độ điểm, tọa độ vectơ trong hệ Oxyz để giải các bài toán hình học bằng phương pháp đại số. Các phép toán vectơ và tích vô hướng hỗ trợ tính độ dài, khoảng cách, góc giữa hai vectơ, đồng thời chứng minh quan hệ cùng phương, vuông góc và đồng phẳng.

Bài viết hệ thống công thức trọng tâm, hướng dẫn giải năm dạng bài thường gặp và cung cấp bài tập có lời giải theo bốn mức độ từ nhận biết đến vận dụng cao, kèm những lỗi sai cần tránh khi tính toán tọa độ.

Ôn tập vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian

Vectơ trong không gian là gì?

Để mở đầu với vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian, hãy hình dung một chiếc máy bay bay từ vị trí \(A\) đến vị trí \(B\). Để mô tả chuyến bay, nếu chỉ biết quãng đường bay dài 130 km thì chưa đủ, ta còn cần biết nó bay theo hướng nào. Đại lượng vừa có độ lớn vừa có hướng như vậy được biểu diễn bằng vectơ.

Như vậy, ta có khái niệm: Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng, tức là đã chỉ rõ điểm nào là điểm đầu, điểm nào là điểm cuối. Vectơ có điểm đầu \(A\), điểm cuối \(B\) được ký hiệu là \(\overrightarrow{AB}\). Khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối, ta dùng các ký hiệu \(\vec{a},\vec{b},\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\).

Lưu ý: \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{BA}\) là hai vectơ khác nhau: chúng có cùng độ dài nhưng ngược hướng.

Kết luận trên áp dụng khi A và B phân biệt. Nếu A = B thì cả hai đều là vectơ không.

Độ dài, giá và phương của vectơ

Độ dài của vectơ \(\overrightarrow{AB}\) là độ dài đoạn thẳng AB, ký hiệu là \(|\overrightarrow{AB}|\). Như vậy, \(|\overrightarrow{AB}|=AB\). Độ dài của vectơ luôn là số không âm.

Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối. Như vậy, giá của vectơ \(\overrightarrow{AB}\) là đường thẳng \(AB\), tức là đường thẳng chứa vectơ đó.

Hai vectơ cùng phương khi giá của chúng song song hoặc trùng nhau. Hai vectơ cùng phương thì hoặc cùng hướng (cùng chiều mũi tên) hoặc ngược hướng.

Ví dụ, trong hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\), các vectơ \(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{DC}, \overrightarrow{A'B'}\) đều cùng phương vì ba đường thẳng \(AB, DC, A'B'\) song song với nhau. Cả ba còn cùng hướng và cùng độ dài.

Vectơ bằng nhau, vectơ không, vectơ đối

Hai vectơ bằng nhau khi chúng cùng hướng và có cùng độ dài. Điều này có nghĩa là một vectơ có thể "dời" đến vị trí khác mà vẫn không đổi. Trong hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\), ta có \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{A'B'}=\overrightarrow{D'C'}\).

Vectơ không \(\vec{0}\) là vectơ có điểm đầu trùng điểm cuối, chẳng hạn \(\overrightarrow{AA}\). Vectơ không có độ dài bằng \(0\) và được quy ước là cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ.

Vectơ đối của \(\vec{a}\) là vectơ có cùng độ dài với \(\vec{a}\) nhưng ngược hướng, ký hiệu \(-\vec{a}\). Chẳng hạn, vectơ đối của \(\overrightarrow{AB}\) là \(\overrightarrow{BA}\), tức \(\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}\). Hai vectơ đối nhau luôn có tổng bằng \(\vec{0}\).

So sánh vectơ trong mặt phẳng và trong không gian

Về phần kiến thức vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian, phần định nghĩa được nêu ở trên gần như giống hệt với phần kiến thức vectơ trong mặt phẳng được học ở chương trình lớp 10. Các quy tắc cộng, trừ và nhân vectơ với một số vẫn dùng được trong không gian. Tuy nhiên, vectơ trong mặt phẳng và vectơ trong không gian khác nhau ở những điểm sau:

Trong không gian, ba vectơ đưa về cùng điểm đầu có thể không nằm trong cùng một mặt phẳng, chẳng hạn ba vectơ dọc theo ba cạnh xuất phát từ một đỉnh của hình hộp.

Hệ trục tọa độ không gian \(Oxyz\)

Với M(x; y; z), hình chiếu vuông góc lên Ox, Oy, Oz lần lượt là (x; 0; 0), (0; y; 0), (0; 0; z); lên (Oxy), (Oyz), (Oxz) lần lượt là (x; y; 0), (0; y; z), (x; 0; z).

Hệ trục tọa độ trong không gian gồm ba trục \(Ox,Oy,Oz\) đôi một vuông góc và cắt nhau tại điểm \(O\), gọi là gốc tọa độ. Trên mỗi trục, ta chọn một vectơ đơn vị lần lượt là \(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\) với \(|\overrightarrow{i}| = |\overrightarrow{j}| = |\overrightarrow{k}|=1\). Ba mặt phẳng \((Oxy), (Oyz), (Oxz)\) được gọi là các mặt phẳng tọa độ.

Ví dụ cho hệ trục tọa độ \(Oxyz\): Học sinh có thể hình dung góc của một căn phòng: giao tuyến của hai bức tường và sàn nhà tạo thành ba trục đôi một vuông góc, còn góc phòng chính là gốc \(O\).

Tọa độ của một điểm. Điểm \(M\) có tọa độ \((x; y; z)\), viết \(M\left(x;y;z\right)\), khi và chỉ khi:

\(\overrightarrow{OM} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}.\)

Ba số \(x, y, z\) lần lượt gọi là hoành độ, tung độ và cao độ của \(M\).

Tọa độ của một vectơ. Vectơ \(\vec{a}\) có tọa độ \((a_1; a_2; a_3)\) khi và chỉ khi:

\(\vec{a} = a_1\overrightarrow{i} + a_2\overrightarrow{j} + a_3\overrightarrow{k}\)

Tọa độ vectơ khi biết hai điểm đầu, cuối. Với \(A(x_A;y_A;z_A)\) và \(B(x_B;y_B;z_B)\) thì:

\(\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A)\)

Học sinh cần nhớ quy tắc: tọa độ của vectơ, khi biết điểm đầu và điểm cuối, được tính bằng "điểm cuối trừ điểm đầu". Đây là công thức được dùng nhiều nhất trong cả chương và cũng là nơi học sinh hay nhầm dấu nhất.

Một số điểm đặc biệt cần nhớ:

• Điểm nằm trên trục \(Ox\) có dạng \((x; 0; 0)\), trên \(Oy\) có dạng \((0; y; 0)\), trên \(Oz\) có dạng \((0; 0; z)\).

• Điểm nằm trong mặt phẳng \((Oxy)\) có dạng \((x; y; 0)\), trong \((Oyz)\) có dạng \((0; y; z)\), trong \((Oxz)\) có dạng \((x; 0; z)\).

  

  Sơ đồ tư duy khái niệm vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian

  

  Các phép toán và hệ thức vectơ cần nhớ

  Phép cộng và phép trừ vectơ

  Phép cộng vectơ

  Có ba quy tắc cộng vectơ mà học sinh sẽ dùng liên tục khi giải bài:

• Quy tắc ba điểm: Với ba điểm \(A, B, C\) bất kỳ: \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\). Điểm cuối của vectơ thứ nhất trùng với điểm đầu của vectơ thứ hai thì tổng là vectơ nối điểm đầu của vectơ thứ nhất với điểm cuối của vectơ thứ hai. Hiểu đơn giản: đi từ \(A\) đến \(B\) rồi từ \(B\) đến \(C\) cũng giống như đi thẳng từ \(A\) đến \(C\). Điểm trung gian \(B\) có thể chọn tùy ý, và đây chính là chìa khóa để phân tích vectơ.

• Quy tắc hình bình hành: Nếu \(ABCD\) là hình bình hành thì: \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}.\) Hai vectơ chung điểm đầu thì tổng của chúng là vectơ đường chéo xuất phát từ điểm đầu chung đó.

• Quy tắc hình hộp: Nếu \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình hộp thì: \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{AC'}.\) Ba cạnh xuất phát từ đỉnh \(A\) có tổng là vectơ đường chéo \(AC'\).

Phép trừ vectơ

Hiệu của hai vectơ được định nghĩa qua vectơ đối:

\(\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})\)

Trong khi giải bài, quy tắc hiệu thường dùng nhất là: với ba điểm \(O, A, B\) bất kỳ:

\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\)

Quy tắc này cho phép "chen" một điểm \(O\) bất kỳ vào để tính tọa độ của vectơ, rất hữu ích khi biến đổi đẳng thức.

Tính chất của phép cộng vectơ

• Tính giao hoán: \(\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}\)

• Tính kết hợp: \((\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})\)

• Phép cộng với vectơ không: \(\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}\)

Hệ thức trung điểm và hệ thức trọng tâm đối với vectơ

• \(I\) là trung điểm của \(AB\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}\). Khi đó, với mọi điểm \(M\): \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MI}\).

• \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}\). Khi đó, với mọi điểm \(M\): \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 3\overrightarrow{MG}\).

Phép nhân vectơ với một số

Cho số thực \(k\) và vectơ \(\vec{a}\). Vectơ \(k.\vec{a}\) được xác định như sau:

• Nếu \(k > 0\) thì \(k.\vec{a}\) cùng hướng với \(\vec{a}\); nếu \(k < 0\) thì \(k.\vec{a}\) ngược hướng với \(\vec{a}\).

• Độ dài của vectơ được tính như sau: \(|k.\vec{a}| = |k|\cdot|\vec{a}|\).

Ví dụ: \(2\vec{a}\) dài gấp đôi và cùng hướng với \(\vec{a}\), còn \(-\dfrac{1}{2}\vec{a}\) ngắn bằng một nửa và ngược hướng với vectơ \(\vec{a}\).

Điều kiện hai vectơ cùng phương: Với \(\vec{a} \neq \vec{0}\), vectơ \(\vec{b}\) cùng phương với \(\vec{a}\) khi và chỉ khi tồn tại số \(k\) sao cho \(\vec{b}=k.\vec{a}\).

Áp dụng để chứng minh ba điểm thẳng hàng: Ba điểm phân biệt \(A, B, C\) thẳng hàng khi và chỉ khi \(\overrightarrow{AC} = k.\overrightarrow{AB}\) với một số \(k\) nào đó.

Tích vô hướng và góc giữa hai vectơ

Góc giữa hai vectơ

Cho hai vectơ \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) khác \(\vec{0}\). Lấy một điểm \(O\) bất kỳ, vẽ \(\overrightarrow{OA} = \vec{a}\) và \(\overrightarrow{OB} = \vec{b}\). Khi đó, góc \(\widehat{AOB}\) gọi là góc giữa hai vectơ, ký hiệu \((\vec{a}, \vec{b})\), và có số đo từ \(0^\circ\) đến \(180^\circ\). Hai vectơ cùng hướng có góc\(0^\circ\), ngược hướng có góc \(180^\circ\).

Tích vô hướng của hai vectơ

Khái niệm tích vô hướng: Tích vô hướng của hai vectơ \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) khác \(\vec{0}\) là một số (không phải vectơ):

\(\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos(\vec{a},\vec{b})\)

Nếu một trong hai vectơ bằng \(\vec{0}\) thì quy ước \(\vec{a}\cdot\vec{b} = 0\).

Hai vectơ vuông góc với nhau: Từ định nghĩa, ta có:

\(\cos(\vec{a},\vec{b})=\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|},\)

Khi đó \[\begin{gathered}\vec a\perp\vec b\iff(\vec a,\vec b)=90^\circ\\\iff\cos(\vec a,\vec b)=0\\\iff\vec a\cdot\vec b=0\end{gathered}\]

Hay nói ngắn gọn: \(\vec{a}\perp\vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0.\)

Ý nghĩa dấu của tích vô hướng: nếu \(\vec{a}\cdot\vec{b} > 0\) thì góc giữa hai vectơ nhỏ hơn 90°; nếu \(\vec{a}\cdot\vec{b} < 0\) thì góc lớn hơn 90°; nếu bằng \(0\) thì góc vuông.

Các kết luận về góc áp dụng cho hai vectơ khác vectơ không; tích vô hướng dương còn có thể ứng với góc 0°, còn tích vô hướng âm có thể ứng với góc 180°.

Tính chất của tích vô hướng:

• Tính giao hoán: \(\vec{a}\cdot\vec{b} = \vec{b}\cdot\vec{a}\)

• Tính phân phối: \(\vec{a}\cdot(\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{a}\cdot\vec{c}\)

• Nhân hai vectơ giống nhau: \(\vec{a}\cdot\vec{a} = |\vec{a}|^2\)

Mở rộng: Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ

Định nghĩa. Ba vectơ đồng phẳng nếu khi đưa về cùng điểm đầu, các điểm cuối của chúng cùng nằm trong một mặt phẳng chứa điểm đầu đó.

Điều kiện cần và đủ. Cho \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) không cùng phương. Khi đó ba vectơ \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) đồng phẳng khi và chỉ khi tồn tại duy nhất cặp số \((m; n)\) sao cho: \(\vec{c} = m.\vec{a} + n.\vec{b}\)

Ý nghĩa là \(\vec{c}\) có thể được tạo nên từ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\).

Hệ quả với bốn điểm. Bốn điểm \(A, B, C, D\) đồng phẳng khi và chỉ khi ba vectơ \(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}\) đồng phẳng.

Bảng công thức tóm tắt vectơ trong không gian

Phép toán	Công thức / Quy tắc	Hình minh họa
Quy tắc ba điểm	\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\)
Hình bình hành	\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}\)
Hình hộp	\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}\)
Quy tắc hiệu	\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}\)
Trung điểm \(I\) của \(AB\)	\[\begin{gathered}\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}; \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} \\= 2\overrightarrow{MI}\end{gathered}\]
Trọng tâm\(G\) của tam giác \(ABC\)	\[\begin{gathered}\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} \\= \vec{0}; \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} \\= 3\overrightarrow{MG}\end{gathered}\]
Cùng phương	\(\vec{b} = k\vec{a} \quad (\vec{a} \neq \vec{0})\)
Tích vô hướng	\(\vec{a}\cdot\vec{b} = \lvert\vec{a}\rvert\cdot\lvert\vec{b}\rvert\cdot\cos(\vec{a}, \vec{b})\)
Vuông góc	\(\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a}\cdot\vec{b} = 0\)
Đồng phẳng	\(\vec{c} = m\vec{a} + n\vec{b}\) (\(\vec{a}, \vec{b}\) không cùng phương)

Công thức tọa độ trong không gian Oxyz

Phần trên là phép toán đối với vectơ theo khái niệm hình học . Khi đặt trong hệ trục tọa độ không gian \(Oxyz\), mọi phép toán trở thành tính toán trên các con số. Trong toàn bộ phần này, cho \(\vec{a} = (a_1; a_2; a_3)\) và \(\vec{b} = (b_1; b_2; b_3)\).

Tọa độ tổng, hiệu và tích của vectơ với một số

Các phép toán được thực hiện theo từng thành phần:

• Phép cộng trừ hai vectơ: \(\vec{a} \pm \vec{b} = (a_1 \pm b_1;\ a_2 \pm b_2;\ a_3 \pm b_3),\)

• Phép nhân vectơ với một số: \(k\vec{a} = (ka_1;\ ka_2;\ ka_3).\)

Hai vectơ bằng nhau khi các thành phần tương ứng bằng nhau, tức là\(\vec{a} = \vec{b}\) khi và chỉ khi \(a_1 = b_1, a_2 = b_2, a_3 = b_3\). Đây là cơ sở để biến một đẳng thức vectơ thành hệ phương trình.

Hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) (\(\vec{b} \neq \vec{0}\)) cùng phương khi và chỉ khi các thành phần tương ứng tỉ lệ, tức \(\vec{a} = k\vec{b}\).

Tích vô hướng, độ dài và góc giữa hai vectơ

Công thức tính góc yêu cầu cả hai vectơ khác vectơ không. Khi xét hai đường thẳng, các vectơ chỉ phương phải khác vectơ không.

Công thức tính tích vô hướng của hai vectơ trong hệ trục tọa độ không gian:

\(\vec{a}\cdot\vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3.\)

Từ đó, ta có các công thức suy ra dựa trên công thức tích vô hướng khi gán tọa độ cho hai vectơ trong hệ trục không gian và phép toán hình học được nêu ở phần trên:

• Độ dài vectơ: \(|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}\) (vì \(\vec{a}\cdot\vec{a} = |\vec{a}|^2\))

• Góc giữa hai vectơ: \[\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \dfrac{a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}\cdot\sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}}.\]

• Điều kiện vuông góc giữa hai vectơ: \[\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 = 0.\]

Khoảng cách, trung điểm và trọng tâm

Khoảng cách giữa hai điểm \(A\) và \(B\) chính là độ dài của \(\overrightarrow{AB}\):

\[AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}.\]

Trung điểm \(I\) của đoạn \(AB\) được xác định: \[I\left(\dfrac{x_A + x_B}{2};\ \dfrac{y_A + y_B}{2};\ \dfrac{z_A + z_B}{2}\right).\]

Trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\) được xác định: \[G\left(\dfrac{x_A + x_B + x_C}{3};\ \dfrac{y_A + y_B + y_C}{3};\ \dfrac{z_A + z_B + z_C}{3}\right).\]

Nhìn chung, cả hai công thức tính trung điểm và trọng tâm đều có chung một cách tính: lấy trung bình cộng từng tọa độ của các đỉnh.

Mở rộng: Tích có hướng của hai vectơ

Phần này bổ sung công cụ giải bài nâng cao, không phải nội dung trọng tâm của Bài 6–8 KNTT. Học sinh có thể dùng tổ hợp tuyến tính để xét đồng phẳng trước khi học tích có hướng. [2]

Khác với tích vô hướng cho ra một số, tích có hướng của hai vectơ cho ra một vectơ. Công thức tính tích có hướng của hai vectơ:

\[[\vec{a}, \vec{b}] = (a_2b_3 - a_3b_2;\ a_3b_1 - a_1b_3;\ a_1b_2 - a_2b_1).\]

Cách nhớ để tính tích có hướng của hai vectơ \(\vec{a} = (a_1; a_2; a_3)\) và \(\vec{b} = (b_1; b_2; b_3)\)để tránh bị nhầm:

• Viết hai hàng tọa độ chồng lên nhau và lặp lại hai cột đầu: \[\begin{matrix} a_1 & a_2 & a_3 & a_1 & a_2\\ b_1 & b_2 & b_3 & b_1 & b_2 \end{matrix}\]

• Thành phần thứ nhất lấy từ cột 2 và 3 (tính \(a_2b_3 - a_3b_2\)), thành phần thứ hai lấy từ cột 3 và 4 (tính \(a_3b_1 - a_1b_3\)), thành phần thứ ba lấy từ cột 4 và 5 (tính \(a_1b_2 - a_2b_1\)). Mỗi thành phần đều có dạng "nhân chéo xuôi trừ nhân chéo ngược".

Tính chất hình học của tích có hướng: Vectơ \([\vec{a}, \vec{b}]\) vuông góc với cả \(\vec{a}\) lẫn \(\vec{b}\), và \([\vec{a}, \vec{b}] = \vec{0}\) khi và chỉ khi \(\vec{a}, \vec{b}\) cùng phương. Độ dài \(|[\vec{a}, \vec{b}]|\) bằng diện tích hình bình hành tạo bởi \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\).

Các ứng dụng thường gặp:

• Diện tích tam giác\(ABC\): \(S = \dfrac{1}{2}\left|[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}]\right|\).

• Ba vectơ \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) đồng phẳng khi và chỉ khi \([\vec{a}, \vec{b}]\cdot\vec{c} = 0\).

• Thể tích tứ diện \(ABCD\): \[V = \dfrac{1}{6}\left|[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}]\cdot\overrightarrow{AD}\right|\]

Ví dụ minh họa: Tính thể tích tứ diện \(OABC\) với \(A(1; 0; 0)\), \(B(0; 2; 0)\), \(C(0; 0; 3)\).

Lời giải:

Ta có \[\overrightarrow{OA} = (1; 0; 0), \overrightarrow{OB} = (0; 2; 0), \overrightarrow{OC} = (0; 0; 3)\]

Tính \[\begin{gathered}[\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}] = (0\cdot 0 - 0\cdot 2;\ 0\cdot 0 - 1\cdot 0;\ 1\cdot 2 - 0\cdot 0) \\= (0; 0; 2)\end{gathered}\]

Suy ra \([\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}]\cdot\overrightarrow{OC} = 6\). Vậy \(V = \dfrac{1}{6}\cdot 6 = 1\).

Ứng dụng công thức tọa độ để giải bài tập vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian

Với bài hình không gian, học sinh có thể làm theo bốn bước:

• Bước 1 (Chọn hệ trục): đặt gốc \(O\) tại đỉnh có ba cạnh đôi một vuông góc (đỉnh của hình hộp chữ nhật, hình lập phương, hoặc chân đường cao của hình chóp có đáy là hình vuông, hình chữ nhật).

• Bước 2 (Gán tọa độ): xác định tọa độ của mọi đỉnh cần dùng theo độ dài cạnh đã cho.

• Bước 3 (Chuyển yêu cầu sang tọa độ): góc, khoảng cách, vuông góc, đồng phẳng… đều quy về các công thức ở trên.

• Bước 4 (Tính toán và kết luận): kiểm tra lại dấu và đơn vị.

Cách này giúp chuyển yêu cầu hình học thành phép tính khi chọn được hệ trục phù hợp.

Các dạng bài tập vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian

Dạng 1: Xác định vectơ, chứng minh đẳng thức vectơ

Nhận diện. Đề cho một hình (tứ diện, hình hộp, hình chóp) và yêu cầu chứng minh một đẳng thức chứa các vectơ.

Phương pháp:

1. Quan sát vế phức tạp hơn và chọn biến đổi vế đó về vế còn lại.

2. Dùng quy tắc ba điểm để "chen" thêm điểm trung gian, quy tắc hình bình hành hoặc quy tắc hình hộp khi hình có các cạnh song song.

3. Dùng hệ thức trung điểm, trọng tâm khi đề có nhắc tới chúng.

Ví dụ 1. Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Chứng minh \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}\).

Lời giải:

Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}\). Vì \(ACC'A'\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}\). Suy ra \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}.\)

Ví dụ 2. Cho tứ diện \(ABCD\), gọi \(M, N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD\). Chứng minh \(\overrightarrow{MN} = \dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}\right)\).

Lời giải:

Ta chen điểm theo hai cách:
\[\begin{gathered}\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CN}\\,\qquad \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DN}.\end{gathered}\]

Cộng hai đẳng thức vế theo vế:

\[2\overrightarrow{MN} = (\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}) + (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}) + (\overrightarrow{CN} + \overrightarrow{DN}).\]

Vì \(M\) là trung điểm \(AB\) nên \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = \vec{0}\). Vì \(N\) là trung điểm \(CD\) nên \(\overrightarrow{CN} + \overrightarrow{DN} = \vec{0}\). Do đó \(2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}\), tức \(\overrightarrow{MN} = \dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}\right)\).

Dạng 2: Phân tích vectơ, chứng minh ba điểm thẳng hàng

Nhận diện. Đề yêu cầu biểu diễn một vectơ qua hai hoặc ba vectơ cho trước, hoặc chứng minh ba điểm nằm trên một đường thẳng.

Phương pháp:

1. Chọn các vectơ làm "cơ sở" (thường là các cạnh chung đỉnh).

2. Dùng quy tắc ba điểm để đưa vectơ cần phân tích về tổng các vectơ cơ sở.

3. Để chứng minh \(A, B, C\) thẳng hàng, tìm số \(k\) sao cho \(\overrightarrow{AC} = k\overrightarrow{AB}\).

Ví dụ 1. Cho tứ diện \(ABCD\), \(G\) là trọng tâm tứ diện (tức \(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \vec{0}\)). Phân tích \(\overrightarrow{AG}\) theo \(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}\).

Lời giải:

Chen điểm \(A\) vào các vectơ còn lại: \[\begin{gathered}\overrightarrow{GB} = \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{AB}\\, \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{AC}\\, \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{AD}\end{gathered}\]. Thay vào đẳng thức của trọng tâm:

\(4\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=\vec{0}\)

Vì \(\overrightarrow{GA} = -\overrightarrow{AG}\) nên \[\overrightarrow{AG} = \dfrac{1}{4}\left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}\right)\].

Ví dụ 2. Cho \(A(1; 2; 3), B(2; 4; 5), C(4; 8; 9)\). Chứng minh \(A, B, C\) thẳng hàng.

Lời giải:

Ta có: \(\overrightarrow{AB} = (1; 2; 2), \overrightarrow{AC} = (3; 6; 6)\). Vì \(\overrightarrow{AC} = 3\overrightarrow{AB}\) nên hai vectơ cùng phương, mà chúng chung điểm \(A\) nên \(A, B, C\) thẳng hàng.

Dạng 3: Chứng minh ba vectơ đồng phẳng, bốn điểm đồng phẳng

Nhận diện. Đề hỏi ba vectơ có đồng phẳng không, bốn điểm có cùng nằm trong một mặt phẳng không, hoặc tìm tham số để chúng đồng phẳng.

Phương pháp:

• Cách 1 (không tọa độ): chỉ ra \(\vec{c} = m\vec{a} + n\vec{b}\) với \(\vec{a}, \vec{b}\) không cùng phương.

• Cách 2 (có tọa độ): tính \([\vec{a}, \vec{b}]\cdot\vec{c}\). Nếu bằng \(0\) thì đồng phẳng, nếu khác \(0\) thì không đồng phẳng.

  Khi chưa học tích có hướng, giải hệ \(\vec c=m\vec a+n\vec b\) theo từng tọa độ, với \(\vec a,\vec b\) không cùng phương. Hệ có nghiệm thì ba vectơ đồng phẳng.

• Với bốn điểm \(A, B, C, D\), hãy lập ba vectơ chung gốc \(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}\) rồi áp dụng một trong hai cách trên.

Ví dụ. Cho \(A(1; 0; 1), B(2; 1; 0), C(0; 1; 2), D(1; 2; 1)\). Chứng minh bốn điểm đồng phẳng.

Lời giải:

Ta có: \[\overrightarrow{AB} = (1; 1; -1), \overrightarrow{AC} = (-1; 1; 1), \overrightarrow{AD} = (0; 2; 0)\].
Từ đó, ta tính được: \[\begin{gathered}[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}] = (1\cdot 1 - (-1)\cdot 1;\ (-1)(-1) - 1\cdot 1;\ 1\cdot 1 - 1\cdot(-1)) \\= (2; 0; 2).\end{gathered}\] Suy ra \([\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}]\cdot\overrightarrow{AD} = 0 + 0 + 0 = 0\). Vậy bốn điểm \(A, B, C, D\) đồng phẳng.

Quan sát thêm: Ta có: \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\) đúng với điều kiện đồng phẳng.

Dạng 4: Tính góc và tích vô hướng giữa hai vectơ

Nhận diện. Đề yêu cầu tính tích vô hướng, tính góc giữa hai đường thẳng (hai vectơ), hoặc chứng minh vuông góc.

Phương pháp.

• Khi chưa có tọa độ: biểu diễn các vectơ theo các vectơ có độ dài và góc đã biết, rồi khai triển tích vô hướng bằng tính chất phân phối.

• Khi có tọa độ: áp dụng thẳng \(\vec{a}\cdot\vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3\) và công thức \(\cos\).

• Lưu ý: góc giữa hai đường thẳng nằm trong khoảng từ \(0^\circ\) đến \(90^\circ\), nên \(\cos(\text{hai đường thẳng}) = \left|\cos(\vec{a}, \vec{b})\right|\).

Ví dụ. Cho tứ diện đều \(ABCD\) cạnh \(a\). Tính \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\) và chứng minh \(AB \perp CD\).

Lời giải:

Tam giác \(ABC\) đều nên góc giữa \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\) là \(60^\circ\). Khi đó, ta có:

\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=a\cdot a\cdot\cos60^{\circ}=\dfrac{a^2}{2}\)

Tương tự \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD} = \dfrac{a^2}{2}\). Với \(\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC}\); ta có: \[\begin{gathered}\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} \\= \dfrac{a^2}{2} - \dfrac{a^2}{2} = 0.\end{gathered}\]

Vậy \(AB \perp CD\).

Dạng 5: Bài toán tìm điểm \(M\) thỏa điều kiện vectơ

Nhận diện. Đề cho một đẳng thức vectơ hoặc một điều kiện hình học (cách đều, thuộc trục, tạo hình bình hành…) và yêu cầu tìm tọa độ điểm \(M\).

Phương pháp:

1. Gọi tọa độ điểm cần tìm, ví dụ \(M(x; y; z)\).

2. Tính tọa độ các vectơ liên quan theo \(x, y, z\).

3. Chuyển điều kiện đề bài thành hệ phương trình rồi giải.

Ví dụ 1. Cho \(A(1; 2; 3), B(3; -1; 5)\). Tìm \(M\) sao cho \(\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} = \vec{0}\).

Lời giải:

Gọi \(M(x; y; z)\). Khi đó\(\overrightarrow{MA} = (1 - x; 2 - y; 3 - z)\) và \(\overrightarrow{MB} = (3 - x; -1 - y; 5 - z)\). Đẳng thức cho ta ba phương trình:\[(1 - x) + 2(3 - x) = 0,\quad (2 - y) + 2(-1 - y) = 0,\quad (3 - z) + 2(5 - z) = 0.\]

Giải ra \(x = \dfrac{7}{3}, y = 0, z = \dfrac{13}{3}\). Vậy \(M\left(\dfrac{7}{3};\ 0;\ \dfrac{13}{3}\right)\).

Ví dụ 2. Cho \(A(1; 0; 1), B(2; 1; 3), C(0; 2; 4)\). Tìm \(D\) để \(ABCD\) là hình bình hành.

Lời giải:

\(ABCD\) là hình bình hành khi \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\). Gọi \(D(x; y; z)\), ta có \(\overrightarrow{AB} = (1; 1; 2)\) và \(\overrightarrow{DC} = (-x; 2 - y; 4 - z)\). Suy ra \(x = -1, y = 1, z = 2\). Vậy \(D(-1; 1; 2)\).

Ví dụ 3. Cho \(A(1; 2; 3), B(3; -1; 5)\). Tìm điểm \(M\) trên trục \(Oz\) cách đều \(A\) và \(B\).

Lời giải:

Vì \(M \in Oz\) nên \(M(0; 0; z)\). Điều kiện \(MA = MB\) tương đương \(MA^2 = MB^2\). Khi đó: \[1 + 4 + (3 - z)^2 = 9 + 1 + (5 - z)^2 \Rightarrow 14 - 6z = 35 - 10z \Rightarrow z = \dfrac{21}{4}.\]

Vậy \(M\left(0;\ 0;\ \dfrac{21}{4}\right)\).

Bài tập tự luyện có lời giải theo mức độ

Bài tập mức độ nhận biết

Ở mức này, học sinh chỉ cần áp dụng trực tiếp công thức.

Bài 1. Cho \(A(1; 2; 3)\) và \(B(3; -1; 5)\). Tìm tọa độ \(\overrightarrow{AB}\) và độ dài \(AB\).

Lời giải:

Lấy điểm cuối trừ điểm đầu: \(\overrightarrow{AB} = (2; -3; 2)\). Độ dài \[AB = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 9 + 4} = \sqrt{17}\].

Bài 2. Cho hai vectơ \(\vec{a} = (1; -2; 3), \vec{b} = (2; 0; -1)\). Tính \(\vec{a} + \vec{b}\) và \(2\vec{a} - \vec{b}\).

Lời giải:

Ta có: \(\vec{a} + \vec{b} = (3; -2; 2)\). Với \(2\vec{a} = (2; -4; 6)\) nên \(2\vec{a} - \vec{b} = (0; -4; 7)\).

Bài 3. Tìm tọa độ trung điểm \(I\) của đoạn \(AB\) được nêu ở Bài 1.

Lời giải:

Ta có tọa độ trung điểm I của đoạn AB là: \[\begin{gathered}I\left(\dfrac{1 + 3}{2};\ \dfrac{2 + (-1)}{2};\ \dfrac{3 + 5}{2}\right) \\= \left(2;\ \dfrac{1}{2};\ 4\right)\end{gathered}\].

Bài tập mức độ thông hiểu

Ở mức này, học sinh cần hiểu ý nghĩa của công thức và biết biến đổi một bước.

Bài 4. Tính góc giữa \(\vec{a} = (1; -2; 3)\) và \(\vec{b} = (2; 0; -1)\).

Lời giải:

Ta có tích vô hướng giữa hai vectơ là: \(\vec{a}\cdot\vec{b} = 1\cdot 2 + (-2)\cdot 0 + 3\cdot(-1) = -1\) ,

Độ dài của hai vectơ được tính như sau: \[|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{14}, |\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{5}\].

Do đó, \(\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \dfrac{-1}{\sqrt{14 \times 5}} = \dfrac{-1}{\sqrt{70}} \approx -0{,}12\), góc xấp xỉ \(96{,}9^\circ\) (góc tù vì tích vô hướng âm).

Bài 5. Tìm \(m\) để \(\vec{a} = (1; m; 2)\) vuông góc với \(\vec{b} = (2; -1; 3)\).

Lời giải:

Điều kiện vuông góc là \(\vec{a}\cdot\vec{b} = 0\), tức \(2 - m + 6 = 0\), suy ra \(m = 8\).

Bài 6. Cho \(A(-1;2;0),\ B(1;1;3),\ C(5;-1;9)\). Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng.

Lời giải:

Ta có \(\overrightarrow{AB}=(2;-1;3)\) và \(\overrightarrow{AC}=(6;-3;9)=3\overrightarrow{AB}\). Vì hai vectơ cùng phương nên A, B, C thẳng hàng.

Bài tập mức độ vận dụng

Ở mức này, học sinh phải chọn đúng phương pháp và tính toán nhiều bước.

Bài 7. Chứng minh ba vectơ \(\vec{a} = (1; 2; 3), \vec{b} = (2; 1; 0), \vec{c} = (0; 3; 6)\) đồng phẳng.

Lời giải:

Cách giải bằng tổ hợp tuyến tính: \(2\vec a-\vec b=(0;3;6)=\vec c\). Hai vectơ \(\vec a,\vec b\) không cùng phương nên ba vectơ đồng phẳng. Phần dưới là cách kiểm tra bổ sung bằng tích có hướng.

Ta có tích có hướng của vectơ \(\vec{a}\) và vectơ \(\vec{b}\) là: \[[\vec{a}, \vec{b}] = (2\cdot 0 - 3\cdot 1;\ 3\cdot 2 - 1\cdot 0;\ 1\cdot 1 - 2\cdot 2) = (-3; 6; -3)\]. Khi đó, \([\vec{a}, \vec{b}]\cdot\vec{c} = 0 + 18 - 18 = 0\), nên ba vectơ đồng phẳng.

Ngoài ra, ta có cách kiểm tra nhanh khi chú ý: \(\vec{c} = 2\vec{a} - \vec{b}\). Như vậy, ba vectơ đồng phẳng.

Bài 8. Cho \(A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(1; 1; m)\). Tìm \(m\) để bốn điểm \(A, B, C, D\) đồng phẳng.

Lời giải:

Cách giải không dùng tích có hướng: Đặt \(\overrightarrow{AD}=u\overrightarrow{AB}+v\overrightarrow{AC}\). So sánh tọa độ: \(-u-v=0,\quad u=1,\quad v=m\). Suy ra \(m=-1\). Phần dưới kiểm tra lại bằng tích có hướng.

Ta có: \(\overrightarrow{AB} = (-1; 1; 0), \overrightarrow{AC} = (-1; 0; 1)\), \(\overrightarrow{AD} = (0; 1; m)\).

Khi đó \([\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}] = (1; 1; 1)\) và \([\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}]\cdot\overrightarrow{AD} = 1 + m\). Bốn điểm đồng phẳng khi\(1 + m = 0\), tức \(m = -1\).

Bài tập mức độ vận dụng nâng cao

Bài 9. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA = a\). Tính:
a) góc giữa hai đường thẳng \(SC\) và \(BD\);
b) góc giữa hai đường thẳng \(SB\) và \(SD\);
c) khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \((SBD)\).

Giả sử a > 0. Câu c là phần mở rộng, sử dụng phương trình mặt phẳng và công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.

Lời giải:

Bước 1 + Bước 2: Chọn hệ trục và gán tọa độ cho các điểm: Vì \(SA \perp (ABCD)\) và \(ABCD\) là hình vuông nên ba cạnh \(AB, AD, AS\) đôi một vuông góc tại \(A\). Ta chọn gốc \(A\), tia \(AB\) là \(Ox\), tia \(AD\) là \(Oy\), tia \(AS\) là \(Oz\). Khi đó: \(A(0; 0; 0),\ B(a; 0; 0),\ D(0; a; 0),\ C(a; a; 0),\ S(0; 0; a).\)

Bước 3 + Bước 4: Tính toán yêu cầu đề bài với tọa độ và kết luận:

Câu a. \(\overrightarrow{SC} = (a; a; -a)\) và \(\overrightarrow{BD} = (-a; a; 0)\). Tích vô hướng là \(-a^2 + a^2 + 0 = 0\), nên \(SC \perp BD\) và góc giữa hai đường thẳng bằng \(90^\circ\).

Câu b. \(\overrightarrow{SB} = (a; 0; -a)\) và \(\overrightarrow{SD} = (0; a; -a)\). Tích vô hướng là \(0 + 0 + a^2 = a^2\). Độ dài \(|\overrightarrow{SB}| = |\overrightarrow{SD}| = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}\). Do đó: \(\cos = \dfrac{a^2}{a\sqrt{2}\cdot a\sqrt{2}} = \dfrac{1}{2},\) Vậy góc giữa \(SB\) và \(SD\) bằng \(60^\circ\).

Câu c. Mặt phẳng \((SBD)\) đi qua \(B(a; 0; 0), D(0; a; 0), S(0; 0; a)\) nên có dạng "phương trình đoạn chắn": \(\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{a} + \dfrac{z}{a} = 1\), tức \(x + y + z - a = 0\). Khoảng cách từ \(A(0; 0; 0)\) đến mặt phẳng là: \[d = \dfrac{|0 + 0 + 0 - a|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \dfrac{a}{\sqrt{3}} = \dfrac{a\sqrt{3}}{3}.\]

Bài tập trắc nghiệm đúng sai

Bài 10. Cho \(A(1; 0; 2), B(2; 1; 0), C(0; 2; 1)\). Xét tính đúng sai của các mệnh đề:

a) \(\overrightarrow{AB} = (1; 1; -2)\).
b) \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = 3\).
c) Tam giác \(ABC\) là tam giác đều.
d) Trọng tâm tam giác \(ABC\) là \(G(1; 1; 2)\).

Lời giải:

• a) Đúng, vì \(\overrightarrow{AB} = (2 - 1;\ 1 - 0;\ 0 - 2) = (1; 1; -2)\).

• b) Đúng, vì \(\overrightarrow{AC} = (-1; 2; -1)\) nên \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = -1 + 2 + 2 = 3\).

• c) Đúng, vì \(\overrightarrow{BC} = (-2; 1; 1)\) nên \(AB = AC = BC = \sqrt{6}\).

• d) Sai, vì \(G = \left(\dfrac{1 + 2 + 0}{3};\ \dfrac{0 + 1 + 2}{3};\ \dfrac{2 + 0 + 1}{3}\right) = (1; 1; 1)\), cao độ là \(1\) chứ không phải \(2\).

Bổ sung: Hình chiếu và trọng tâm trong hệ Oxyz

Bài 11. Cho \(M(4;-2;5)\). Tìm hình chiếu vuông góc của M lên trục Oz và mặt phẳng (Oxy).

Lời giải: Hình chiếu lên Oz là \(H(0;0;5)\); hình chiếu lên (Oxy) là \(K(4;-2;0)\).

Bài 12. Cho \(A(-2;1;4),\ B(3;0;-1),\ C(2;5;3)\). Tìm trọng tâm G của tam giác ABC.

Lời giải: \(G\left(\dfrac{-2+3+2}{3};\dfrac{1+0+5}{3};\dfrac{4-1+3}{3}\right)\) nên \(G(1;2;2)\).

Ứng dụng thực tế và lỗi sai thường gặp

Ứng dụng vectơ trong hình học không gian

Sức mạnh lớn nhất của vectơ là biến các quan hệ hình học thành đẳng thức đại số:

• Song song: hai đường thẳng phân biệt song song khi hai vectơ chỉ phương của chúng cùng phương. Nếu chưa biết hai đường phân biệt, cần kiểm tra thêm khả năng trùng nhau.

• Vuông góc: hai đường thẳng vuông góc khi tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương bằng \(0\).

• Thẳng hàng, đồng phẳng: kiểm tra bằng điều kiện cùng phương hoặc \([\vec{a}, \vec{b}]\cdot\vec{c} = 0\).

Phương pháp tọa độ giúp chuyển nhiều quan hệ hình học thành phép tính; việc chọn hệ trục và kiểm tra điều kiện vẫn cần lập luận chính xác.

Ứng dụng trong vật lí

Lực, vận tốc, gia tốc, độ dịch chuyển đều là các đại lượng có hướng nên được biểu diễn bằng vectơ. Hợp lực của nhiều lực chính là tổng vectơ, và công của lực là tích vô hướng giữa vectơ lực không đổi và vectơ độ dịch chuyển: \(W = \vec{F}\cdot\vec{d}\).

Ví dụ về lực và công. Hai lực \(\vec{F_1} = (3; 4; 0)\) N và \(\vec{F_2} = (1; -2; 2)\) N cùng tác dụng lên một vật. Hợp lực là

\(\vec{F} = \vec{F_1} + \vec{F_2} = (4; 2; 2)\ \text{N},\)

có độ lớn \(|\vec{F}| = \sqrt{16 + 4 + 4} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \approx 4{,}9\) N. Nếu vật dịch chuyển theo vectơ \(\vec{d} = (2; 1; 1)\) m thì công của hợp lực không đổi là: \(W = \vec{F}\cdot\vec{d} = 4\cdot 2 + 2\cdot 1 + 2\cdot 1 = 12\ \text{J}.\)

Bài toán chuyển động trong không gian

Ví dụ về thiết bị bay. Một chiếc drone bay thẳng từ vị trí \(A(0; 0; 0)\) đến vị trí \(B(30; 40; 120)\) (đơn vị: mét; trục \(Oz\) chỉ độ cao). Quãng đường bay là độ dài \(\overrightarrow{AB}\):
\(AB = \sqrt{30^2 + 40^2 + 120^2} = \sqrt{16900} = 130\ \text{m}.\)

Nếu drone bay đều với tốc độ \(10\) m/s thì thời gian bay là \(130 : 10 = 13\) giây. Vectơ vận tốc có cùng hướng với \(\overrightarrow{AB}\) và độ lớn \(10\) m/s, nên:

\[\vec{v} = \dfrac{1}{13}\overrightarrow{AB} = \dfrac{(30; 40; 120)}{13} \approx (2{,}3;\ 3{,}1;\ 9{,}2)\ \text{m/s}.\]

Có thể kiểm tra: \(\sqrt{2{,}3^2 + 3{,}1^2 + 9{,}2^2} \approx 10\). Các bài toán định vị camera, mô hình 3D, đồ họa máy tính hay dẫn đường bằng GPS đều dựa trên cách tính tọa độ và vectơ tương tự.

Những lỗi sai phổ biến khi giải bài tập vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian

1. Nhầm thứ tự khi tính tọa độ vectơ. Phải lấy tọa độ điểm cuối trừ tọa độ điểm đầu, tức \(\overrightarrow{AB} = B - A\) chứ không phải \(A - B\). Nhầm thứ tự sẽ đổi dấu cả vectơ và dẫn đến sai kết quả ở các bước sau.

2. Nhầm giữa hai vectơ bằng nhau và hai đoạn thẳng bằng nhau. Hai đoạn thẳng bằng nhau chỉ cần cùng độ dài, còn hai vectơ bằng nhau còn phải cùng hướng. Ví dụ: \(\overrightarrow{AB} \neq \overrightarrow{BA}\) dù \(AB = BA\).

3. Quên điều kiện khi xét cùng phương và đồng phẳng. Điều kiện \(\vec{b} = k\vec{a}\) chỉ dùng khi \(\vec{a} \neq \vec{0}\). Điều kiện \(\vec{c} = m\vec{a} + n\vec{b}\) chỉ dùng khi \(\vec{a}, \vec{b}\) không cùng phương.

4. Tính sai tích có hướng do nhầm dấu ở thành phần thứ hai. Hãy nhớ đúng thứ tự \((a_2b_3 - a_3b_2;\ a_3b_1 - a_1b_3;\ a_1b_2 - a_2b_1)\). Thành phần giữa viết "\(a_3b_1 - a_1b_3\)", không phải "\(a_1b_3 - a_3b_1\)".

5. Chọn hệ trục không hợp lý. Nếu đặt gốc ở vị trí không có ba cạnh vuông góc, tọa độ các đỉnh sẽ phức tạp và dễ sai. Hãy ưu tiên đặt gốc tại đỉnh có ba cạnh đôi một vuông góc.

6. Quên căn bậc hai hoặc quên chia khi tính góc. Khi tính độ dài, đừng quên căn bậc hai. Khi tính \(\cos\) của góc, phải chia tích vô hướng cho tích hai độ dài.

7. Quên giá trị tuyệt đối khi tính góc giữa hai đường thẳng. Góc giữa hai đường thẳng không vượt quá \(90^\circ\), nên cần lấy giá trị tuyệt đối của \(\cos\) giữa hai vectơ chỉ phương.

Giải bài tập vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian cần nắm chắc tọa độ điểm, tọa độ vectơ, các phép toán và tích vô hướng. Học sinh nên nhận diện dạng bài, chọn công thức phù hợp và kiểm tra điều kiện trước khi tính độ dài, góc hoặc chứng minh quan hệ hình học. Với bài toán cần chọn hệ trục Oxyz, có thể ưu tiên đỉnh có ba cạnh đôi một vuông góc nếu hình cho phép.

Luyện tập từ cơ bản đến nâng cao, đối chiếu lời giải và tham khảo các chuyên đề Toán 12 tại ZIM Academy giúp người học củng cố phương pháp tọa độ, hạn chế nhầm dấu và phân biệt góc giữa hai vectơ với góc giữa hai đường thẳng.