Thể tích khối lăng trụ | Công thức, cách tính và bài tập

Thể tích khối lăng trụ được tính bằng công thức \(V=S_{\text{đáy}}\cdot h\), trong đó \(S_{\text{đáy}}\) là diện tích đáy và \(h\) là chiều cao, tức khoảng cách giữa hai mặt đáy. Với hình lăng trụ đứng, chiều cao bằng độ dài cạnh bên; với lăng trụ xiên, học sinh cần xác định đường cao trước khi tính.

Bài viết hệ thống công thức và cách tính thể tích khối lăng trụ trong chương trình Toán 11, hướng dẫn tính diện tích đáy tam giác, tứ giác và xác định chiều cao, kèm ví dụ minh họa và bài tập có lời giải.

Khối lăng trụ là gì?

Khối lăng trụ là phần không gian được giới hạn bởi một hình lăng trụ, bao gồm cả hình lăng trụ đó. Đây là một dạng khối đa diện thường gặp trong hình học không gian và có nhiều ứng dụng trong thực tế.

Một hình lăng trụ có hai mặt đáy là hai đa giác bằng nhau, nằm trên hai mặt phẳng song song. Các mặt bên là những hình bình hành, còn các cạnh bên song song và bằng nhau.

Các yếu tố cơ bản của khối lăng trụ gồm:

• Đỉnh: Là các đỉnh của hai đa giác đáy.

• Cạnh: Bao gồm cạnh đáy và cạnh bên của hình lăng trụ.

• Mặt: Gồm hai mặt đáy và các mặt bên.

• Đường cao: Là đoạn thẳng vuông góc với hai mặt phẳng đáy, có hai đầu mút nằm trên hai mặt phẳng đó. Độ dài đường cao chính là khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy.

Tùy theo hình dạng đáy, có khối lăng trụ tam giác, tứ giác, ngũ giác… Các công thức và bài tập dưới đây tập trung vào đáy tam giác, hình chữ nhật, hình vuông, hình bình hành và hình thang.

Trong đời sống, học sinh có thể bắt gặp các vật thể có dạng khối lăng trụ như hộp bánh hình hộp chữ nhật, thanh gỗ có tiết diện tam giác hoặc một số loại hộp đựng quà có đáy là hình lục giác.

Lưu ý: Khối lăng trụ đứng có các cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy. Ngược lại, ở khối lăng trụ xiên, cạnh bên không vuông góc với đáy. Sự khác biệt này ảnh hưởng trực tiếp đến cách xác định chiều cao khi tính thể tích.

Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều. Lăng trụ có đáy tam giác đều chưa chắc là lăng trụ đứng nếu đề bài không cho thêm điều kiện về cạnh bên.

Công thức tính thể tích khối lăng trụ

Thể tích khối lăng trụ bằng diện tích đáy nhân với chiều cao: V = S · h. Công thức áp dụng cho cả lăng trụ đứng và lăng trụ xiên, thuộc Bài 27: Thể tích trong chương trình Toán 11 Kết nối tri thức. [1]

Công thức tổng quát

Thể tích khối lăng trụ bằng diện tích đáy nhân với chiều cao tương ứng.

Công thức thể tích khối lăng trụ\[\boxed{V=S\cdot h}\]

Trong đó:

• \(V\): Thể tích khối lăng trụ, đơn vị thường là cm³, dm³ hoặc m³.

• \(S\): Diện tích một mặt đáy của khối lăng trụ, đơn vị cm², dm² hoặc m².

• \(h\): Chiều cao của khối lăng trụ, là khoảng cách giữa hai mặt phẳng chứa hai đáy.

Chẳng hạn, một khối lăng trụ có diện tích đáy bằng 24 cm² và chiều cao bằng 7 cm thì thể tích là:

\[V=24\cdot7=168\text{ cm}^3\]

Như vậy, chỉ cần xác định chính xác diện tích đáy và chiều cao, học sinh có thể tính thể tích khối lăng trụ mà không cần biết toàn bộ độ dài các cạnh.

Công thức tính thể tích khối lăng trụ đứng

Khối lăng trụ đứng là trường hợp đặc biệt có các cạnh bên vuông góc với hai mặt phẳng đáy.

Do đó, chiều cao của khối lăng trụ đứng bằng độ dài cạnh bên. Nếu cạnh bên có độ dài \(a\), ta có:

\[V=S\cdot a\]

Ví dụ, khối lăng trụ đứng có diện tích đáy 15 cm² và cạnh bên dài 8 cm sẽ có thể tích:

\[V=15\cdot8=120\text{ cm}^3\]

Đối với khối lăng trụ xiên, học sinh không được lấy độ dài cạnh bên thay trực tiếp vào công thức nếu chưa xác định được chiều cao vuông góc với mặt phẳng đáy.

Công thức theo từng hình dạng đáy

Từ công thức V = S · h, thay diện tích đáy tương ứng với từng hình để tính thể tích. Trong bảng, a và b là độ dài các cạnh đáy; h là chiều cao khối lăng trụ.

Trong bảng trên, \(h_a\) là chiều cao của đa giác đáy ứng với cạnh \(a\), còn \(h\) là chiều cao của khối lăng trụ. Hai đại lượng này có ý nghĩa khác nhau và không nên nhầm lẫn.

Các bước tính thể tích khối lăng trụ

Để giải bài toán tính thể tích khối lăng trụ chính xác, học sinh có thể thực hiện theo ba bước cơ bản dưới đây.

Bước 1: Xác định diện tích đáy

Trước tiên, cần quan sát hình vẽ và xác định hai mặt đáy của khối lăng trụ. Sau đó, dựa vào đặc điểm hình học của đa giác đáy để lựa chọn công thức tính diện tích phù hợp.

Ví dụ, nếu đáy là tam giác đều cạnh \(a\), diện tích được tính theo công thức:

\[S=\frac{a^2\sqrt3}{4}\]

Nếu đáy là tam giác vuông có hai cạnh góc vuông lần lượt là \(a\) và \(b\), ta sử dụng:

\[S=\frac12 ab\]

Bước 2: Xác định chiều cao của khối lăng trụ

Chiều cao là khoảng cách giữa hai mặt phẳng chứa hai đáy.

Đối với khối lăng trụ đứng, chiều cao chính là độ dài cạnh bên. Với khối lăng trụ xiên, học sinh cần tìm đoạn vuông góc giữa hai mặt phẳng đáy.

Trong những bài toán phức tạp, việc xác định chiều cao có thể cần vận dụng kiến thức về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng hoặc định lý Pythagore.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A′ lên mặt phẳng đáy (ABC). Khi đó h = A′H. Nếu cạnh bên AA′ dài l và tạo với đáy góc α thì:

\[h=l\sin\alpha\]

Nếu biết góc β giữa cạnh bên và đường thẳng vuông góc với đáy, dùng h = l cos β. Nếu đã biết thể tích V và diện tích đáy S > 0, có thể tính ngược chiều cao bằng h = V/S.

Bước 3: Áp dụng công thức và tính thể tích

Sau khi tìm được diện tích đáy \(S\) và chiều cao \(h\), thay các giá trị vào công thức \(V=S\cdot h\).

Cần kiểm tra các đơn vị đo trước khi thực hiện phép tính. Nếu diện tích đáy được cho bằng cm² nhưng chiều cao tính bằng mét, học sinh phải đổi về cùng hệ đơn vị.

Ví dụ minh họa

Cho khối lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh 6 cm, cạnh bên \(AA'=10\) cm. Tính thể tích khối lăng trụ.

Lời giải:

Diện tích tam giác đều \(ABC\) là:

\[S_{ABC}=\frac{6^2\sqrt3}{4}=9\sqrt3\text{ cm}^2\]

Vì đây là khối lăng trụ đứng nên chiều cao bằng cạnh bên:

\[h=AA'=10\text{ cm}\]

Thể tích khối lăng trụ là:

\[V=9\sqrt3\cdot10=90\sqrt3\text{ cm}^3\]

Đáp số: \(90\sqrt3\text{ cm}^3\).

Qua ví dụ này, học sinh có thể thấy việc xác định đúng loại đáy và chiều cao giúp quá trình tính toán trở nên đơn giản hơn.

Mối liên hệ giữa thể tích khối lăng trụ với khối hộp và khối chóp

Khối lăng trụ, khối hộp và khối chóp đều là những khối đa diện quan trọng trong hình học không gian. Tuy nhiên, mỗi loại có đặc điểm hình học và công thức thể tích riêng.

Mối liên hệ giữa khối lăng trụ và khối hộp

Khối hộp là một trường hợp đặc biệt của khối lăng trụ có đáy là hình bình hành.

Đối với khối hộp chữ nhật có chiều dài \(a\), chiều rộng \(b\) và chiều cao \(c\), diện tích đáy là:

\[S=ab\]

Áp dụng công thức thể tích khối lăng trụ, ta được:

\[V=S\cdot c=abc\]

Ví dụ, một khối hộp chữ nhật có chiều dài 12 cm, chiều rộng 5 cm và chiều cao 4 cm thì thể tích bằng:

\[V=12\cdot5\cdot4=240\text{ cm}^3\]

Như vậy, công thức tính thể tích khối hộp chữ nhật chính là một trường hợp cụ thể của công thức thể tích khối lăng trụ.

So sánh thể tích khối lăng trụ và khối chóp

Khối lăng trụ và khối chóp có sự khác biệt rõ rệt về cấu tạo. Khối lăng trụ có hai mặt đáy song song và bằng nhau, trong khi khối chóp có một mặt đáy và các mặt bên là những tam giác cùng chung một đỉnh.

Điểm khác biệt quan trọng nhất là công thức thể tích khối chóp có thêm hệ số \(\dfrac13\).

Nếu một khối lăng trụ và một khối chóp có diện tích đáy bằng nhau, chiều cao bằng nhau thì thể tích khối lăng trụ gấp ba lần thể tích khối chóp.

Ví dụ, với diện tích đáy 18 cm² và chiều cao 6 cm:

Thể tích khối lăng trụ:

\[V_1=18\cdot6=108\text{ cm}^3\]

Thể tích khối chóp:

\[V_2=\frac13\cdot18\cdot6=36\text{ cm}^3\]

Kết quả cho thấy \(V_1=3V_2\). Đây là mối quan hệ cần ghi nhớ để tránh nhầm lẫn khi giải các bài toán thể tích.

Bài tập vận dụng về thể tích khối lăng trụ

Sau khi nắm vững lý thuyết, học sinh nên luyện tập các dạng bài từ cơ bản đến nâng cao. Những bài tập dưới đây giúp củng cố công thức, rèn luyện kỹ năng xác định chiều cao và vận dụng kiến thức vào tình huống thực tế.

Bài 1: Tính thể tích khi biết diện tích đáy và chiều cao

Cho khối lăng trụ đứng có diện tích đáy bằng 35 cm² và chiều cao 12 cm. Tính thể tích khối lăng trụ.

Lời giải:

Áp dụng công thức:

\[V=S\cdot h=35\cdot12=420\text{ cm}^3\]

Đáp số: 420 cm³.

Đây là dạng bài cơ bản nhất, học sinh chỉ cần xác định hai đại lượng đã cho và thay vào công thức.

Bài 2: Tính thể tích khối lăng trụ có đáy là tam giác vuông

Cho lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = 5 cm, AC = 12 cm và AA′ = 14 cm. Tính thể tích khối lăng trụ.

Lời giải:

Diện tích đáy:

\[S_{ABC}=\dfrac12\cdot5\cdot12=30\text{ cm}^2\]

Vì lăng trụ đứng nên h = AA′ = 14 cm. Thể tích là:

\[V=30\cdot14=420\text{ cm}^3\]

Đáp số: 420 cm³.

Bài 3: Tính thể tích khối lăng trụ có đáy là tam giác đều

Cho khối lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều cạnh 4 cm và chiều cao 9 cm. Tính thể tích khối lăng trụ.

Lời giải:

Diện tích đáy:

\[S=\frac{4^2\sqrt3}{4}=4\sqrt3\text{ cm}^2\]

Thể tích:

\[V=4\sqrt3\cdot9=36\sqrt3\text{ cm}^3\]

Đáp số: \(36\sqrt3\text{ cm}^3\).

Bài 4: Tính thể tích khối lăng trụ xiên

Cho khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có diện tích đáy bằng 20 cm², cạnh bên \(AA'=10\) cm. Biết cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc \(30^\circ\). Tính thể tích khối lăng trụ.

Lời giải:

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A′ lên (ABC). Khi đó A′H là đường cao, tam giác AA′H vuông tại H và góc A′AH bằng 30°. Vì vậy:

\[h=AA'\sin30^\circ\]

\[h=10\cdot\frac12=5\text{ cm}\]

Thể tích khối lăng trụ:

\[V=20\cdot5=100\text{ cm}^3\]

Đáp số: 100 cm³.

Bài toán vận dụng góc giữa đường thẳng và mặt phẳng để tìm chiều cao. Do lăng trụ xiên nên không được lấy cạnh bên 10 cm thay cho chiều cao 5 cm.

Bài 5: Bài toán thực tế về bể chứa nước

Một bể chứa nước có lòng bể dạng khối lăng trụ đứng, hai mặt đáy là hình thang có hai cạnh song song dài 1,2 m và 0,8 m, chiều cao hình thang 0,6 m. Khoảng cách giữa hai mặt đáy là 2 m. Các số đo đều là kích thước bên trong. Tính dung tích bể theo mét khối và lít khi chứa đầy.

Lời giải:

Diện tích đáy hình thang:

\[S=\frac{(1{,}2+0{,}8)\cdot0{,}6}{2}=0{,}6\text{ m}^2\]

Thể tích bể:

\[V=0{,}6\cdot2=1{,}2\text{ m}^3\]

Vì \(1\text{ m}^3=1000\) lít nên:

\[1{,}2\text{ m}^3=1200\text{ lít}\]

Đáp số: Bể có thể tích 1,2 m³, tương đương 1200 lít nước khi chứa đầy.

Bài toán cho thấy công thức thể tích khối lăng trụ có thể được ứng dụng trong việc tính dung tích bể chứa, thiết kế vật dụng và xác định lượng vật liệu cần sử dụng.

Bài tập tự luyện

1. Khối lăng trụ có diện tích đáy 18 cm², chiều cao 7 cm. Thể tích bằng bao nhiêu?

A. 25 cm³

B. 126 cm³

C. 63 cm³

Đáp án: B.

\[V = 18 \times 7 = 126\text{ cm}^3\]

2. Khối lăng trụ đứng có đáy là hình vuông cạnh 5 cm, cạnh bên 8 cm. Thể tích là:

A. 200 cm³

B. 40 cm³

C. 100 cm³

Đáp án: A

\(S = 5^{2} = 25\) cm²; \(V = 25 \times 8 = 200\) cm³.

3. Khối chóp và khối lăng trụ có cùng diện tích đáy và chiều cao. Thể tích khối chóp bằng:

A. 3 lần thể tích lăng trụ

B. Bằng thể tích lăng trụ

C. \(\frac13\) thể tích lăng trụ

Đáp án: C.

Thể tích khối chóp bằng \(\frac13Sh\), còn lăng trụ bằng \(Sh\).

Thể tích khối lăng trụ được tính bằng công thức \(V=S_{\text{đáy}}\cdot h\), trong đó \(h\) là khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy. Với lăng trụ đứng, chiều cao bằng cạnh bên; với lăng trụ xiên, cần xác định đường cao trước khi tính.

Khi giải bài tập, học sinh cần tính đúng diện tích đáy, thống nhất đơn vị đo và ghi kết quả bằng đơn vị thể tích. Để củng cố kỹ năng, học sinh có thể luyện tập thêm các chuyên đề Toán 11 tại ZIM Academy.