Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc và bài tập

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc dựa trên việc chứng minh góc bằng 90°, vận dụng quan hệ song song và vuông góc hoặc tính chất của các hình. Bài viết hệ thống các phương pháp chứng minh vuông góc trong tam giác, tứ giác và hình học không gian theo chương trình Kết nối tri thức từ lớp 7 đến lớp 11, kèm bài tập có lời giải.

Các cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc: Tổng quan theo từng dạng bài

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc dựa trên việc chứng minh góc giữa chúng bằng 90°. Trong hình học phẳng, hai đường thẳng vuông góc phải cắt nhau; trong không gian, chúng có thể cắt nhau hoặc chéo nhau. Các nhóm phương pháp dưới đây được sắp xếp từ kiến thức lớp 7–8 đến tọa độ lớp 10 và hình học không gian lớp 11.

• Dùng định nghĩa và tính chất góc: Chứng minh một góc bằng 90°, hai góc kề bù bằng nhau hoặc góc còn lại của tam giác có hai góc phụ nhau.

• Dùng quan hệ giữa tính vuông góc và song song: Áp dụng định lí một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì cũng vuông góc với đường thẳng còn lại.

• Dùng đường trung trực và các đường đặc biệt trong tam giác: Sử dụng tính chất điểm cách đều hai đầu đoạn thẳng để chứng minh đường trung trực; tính chất tam giác cân, tam giác đều khi đường trung tuyến hay đường phân giác đồng thời là đường cao; hoặc tính chất trực tâm là giao điểm của các đường cao.

• Dùng tính chất của tứ giác đặc biệt: Khai thác các góc vuông trong hình chữ nhật, hình vuông; hoặc tính chất hai đường chéo vuông góc với nhau của hình thoi và hình vuông.

• Dùng mặt phẳng tọa độ (hệ số góc và vectơ): Trong tọa độ phẳng, chứng minh tích hai hệ số góc

  \(k_1 \cdot k_2 = -1\) hoặc tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương bằng \(0\) (\(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\)).

• Dùng quan hệ vuông góc trong không gian: Chuyển góc bằng quan hệ song song hoặc chứng minh một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng còn lại (lớp 11).

Để lựa chọn đúng phương pháp, học sinh cần rèn luyện kỹ năng nhận diện dữ kiện của đề bài:

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong hình học phẳng

Các tính chất góc, đường trung trực và trực tâm được hệ thống từ Toán 7 Kết nối tri thức. [1] [2]

Dùng định nghĩa, hai tia phân giác của hai góc kề bù và quan hệ vuông góc – song song

Căn cứ lý thuyết

• Dùng số đo góc: Chứng minh góc tạo bởi hai đường thẳng bằng 90°. Nếu tổng hai góc của một tam giác bằng 90° thì góc thứ ba là góc vuông. Nếu hai góc kề bù bằng nhau thì mỗi góc bằng 90°.

• Hai góc kề bù: Nếu \(\widehat{xOy}\) và \(\widehat{yOz}\) là hai góc kề bù, \(Om\) là tia phân giác của \(\widehat{xOy}\) và \(On\) là tia phân giác của \(\widehat{yOz}\) thì: \[\begin{aligned}\widehat{mOn}&=\frac12(\widehat{xOy}+\widehat{yOz})\\&=\frac12\cdot180^\circ=90^\circ.\end{aligned}\]

• Quan hệ giữa tính vuông góc và song song: Nếu đường thẳng \(a\) song song với đường thẳng \(b\), mà đường thẳng \(c\) vuông góc với \(a\) thì \(c\) cũng vuông góc với \(b\).

  \[\left. \begin{array}{l} a \parallel b \\ c \perp a \end{array} \right\} \implies c \perp b\]

Ví dụ minh họa

Bài toán: Cho hai đường thẳng song song \(a\parallel b\). Một đường thẳng \(c\) cắt \(a\) tại A và cắt \(b\) tại \(B\). Tia phân giác của góc trong cùng phía tại đỉnh A và đỉnh B cắt nhau tại I. Chứng minh rằng \(AI \perp BI\).

Lời giải chi tiết:

1. Do \(a\parallel b\), hai góc trong cùng phía \(\widehat{A_1}\) và \(\widehat{B_1}\) bù nhau, nghĩa là: \(\widehat{A_1} + \widehat{B_1} = 180^\circ\)

2. Vì AI là tia phân giác của \(\widehat{A_1}\) và BI là tia phân giác của \(\widehat{B_1}\), ta có:

   \[\begin{aligned}\widehat{IAB}&=\frac12\widehat{A_1},\\\widehat{IBA}&=\frac12\widehat{B_1}.\end{aligned}\]

3. Xét tam giác IAB, tổng hai góc \(\widehat{IAB}\) và \(\widehat{IBA}\) là:

   \[\begin{aligned}\widehat{IAB} + \widehat{IBA}&=\frac{1}{2}\left(\widehat{A_1} + \widehat{B_1}\right)\\&=\frac{1}{2} \cdot 180^\circ\\&=90^\circ\end{aligned}\]

4. Trong tam giác IAB, ta có \[\begin{aligned}\widehat{AIB}&=180^\circ - (\widehat{IAB} + \widehat{IBA})\\&=180^\circ - 90^\circ\\&=90^\circ\end{aligned}\]

5. Kết luận: \(AI \perp BI\) tại \(I\).

Dùng đường trung trực và tính chất điểm cách đều

Căn cứ lý thuyết

• Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng đó tại trung điểm của nó.

• Tính chất cách đều: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.

• Quy tắc chứng minh: Muốn chứng minh đường thẳng d vuông góc với đoạn thẳng AB, ta chỉ cần chứng minh trên d có hai điểm phân biệt M và N sao cho MA = MB và NA = NB. Khi đó MN chính là đường trung trực của AB, suy ra \(MN \perp AB\).

Ví dụ minh họa mẫu

Bài toán: Cho tam giác ABC có AB = AC = 10 cm và BC = 12 cm. Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh AM vuông góc với BC và tính AM.

Lời giải chi tiết:

1. Xét tam giác ABC cân tại A \(\implies\) AB = AC. Do đó điểm A cách đều hai điểm B và C, tức A thuộc đường trung trực của BC.

2. Vì M là trung điểm của BC \(\implies\) MB = MC. Do đó điểm M cũng cách đều hai điểm B và C, tức M thuộc đường trung trực của BC.

3. Vì A và M là hai điểm phân biệt cùng nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC, nên đường thẳng AM chính là đường trung trực của BC.

4. Suy ra \(AM \perp BC\) tại M.

Sau khi chứng minh AM vuông góc với BC, áp dụng định lí Pythagore (lớp 8): \(AM=\sqrt{10^2-6^2}=8\text{ cm}\).

Cách chứng minh vuông góc trong tam giác

Trong các phương pháp dưới đây, định lí Pythagore đảo được học ở lớp 8 [6]; đường cao và trực tâm được học ở lớp 7. [2]

Căn cứ lý thuyết

• Định lí Pythagore đảo: Trong một tam giác, nếu bình phương của một cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh còn lại thì tam giác đó là tam giác vuông. \[\begin{aligned}BC^2&=AB^2+AC^2\\&\Rightarrow\widehat{BAC}=90^\circ\\&\Rightarrow AB\perp AC.\end{aligned}\]

• Tam giác cân, tam giác đều: Trong tam giác cân tại A, đường trung tuyến hoặc phân giác xuất phát từ A đồng thời là đường cao ứng với đáy BC. Với tam giác đều, tính chất này đúng tại mỗi đỉnh.

• Trực tâm: Ba đường cao của tam giác đồng quy tại H. Nếu H khác A thì đường thẳng AH vuông góc với BC; nếu H trùng A thì tam giác vuông tại A.

• Đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy: Nếu tam giác ABC có đường trung tuyến AM ứng với cạnh BC sao cho \(AM = \frac{1}{2}BC\), thì \(\triangle ABC\) vuông tại A, suy ra \(AB \perp AC\).

Ví dụ minh họa mẫu

Bài toán (Sử dụng trực tâm): Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ hai đường cao \(BD \perp AC\) (\(D \in AC\)) và \(CE \perp AB\) (\(E \in AB\)). Gọi H là giao điểm của BD và CE. Đường thẳng AH cắt BC tại F. Chứng minh \(AF \perp BC\).

Lời giải chi tiết:

1. Xét tam giác ABC, ta có \(BD \perp AC\) tại D, nên BD là đường cao thứ nhất của \(\triangle ABC\).

2. Ta có \(CE \perp AB\) tại E, nên CE là đường cao thứ hai của \(\triangle ABC\).

3. Mà H là giao điểm của BD và CE, suy ra H là trực tâm của tam giác ABC.

4. Theo tính chất ba đường cao trong tam giác đồng quy tại trực tâm, đường thẳng AH đi qua đỉnh A và trực tâm H chính là đường cao thứ ba của \(\triangle ABC\).

5. Vì AH cắt BC tại F nên AF là đường cao ứng với cạnh BC, suy ra \(AF \perp BC\) tại F (điều phải chứng minh).

Học sinh có thể ôn thêm tính chất và cách chứng minh đường trung trực để vận dụng điều kiện cách đều hai đầu mút.

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc lớp 8 dựa vào các tứ giác đặc biệt

Các tính chất và dấu hiệu nhận biết tứ giác sử dụng trong mục này thuộc Toán 8, tập một. [3]

Cách chứng minh vuông góc lớp 8 thường khai thác góc vuông của hình chữ nhật, hình vuông hoặc hai đường chéo vuông góc của hình thoi. Khi cần, học sinh kết hợp đường trung bình và trực tâm để chuyển về quan hệ vuông góc đã biết.

Chứng minh vuông góc dựa vào hình chữ nhật

Phương pháp giải

• Vẽ thêm yếu tố phụ tạo hình chữ nhật: Ta có thể kẻ thêm các đường vuông góc hoặc dựng hình bình hành có một góc vuông để tạo thành hình chữ nhật phụ. Khi đó, các góc vuông và các cặp cạnh đối song song, bằng nhau của hình chữ nhật sẽ xuất hiện.

• Áp dụng định lí đường trung tuyến ứng với cạnh huyền: Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền. Ngược lại, nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác đó là tam giác vuông.

Ví dụ minh họa

Bài toán: Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ \(BH \perp AC\) tại H. Gọi K và M lần lượt là trung điểm của HC và AD. Chứng minh rằng \(BK \perp KM\).

Lời giải:

1. Qua K kẻ đường thẳng vuông góc với AB, cắt AB tại I và cắt đường thẳng BH tại E.

2. Trong \(\triangle ABK\), \(KI \perp AB\) và \(BH \perp AK\) nên E là trực tâm của \(\triangle ABK \implies AE \perp BK\).

3. Ta có \(KI//AD//BC\) (vì cùng vuông góc với AB). Trong \(\triangle HBC\), K là trung điểm của HC và \(KE//BC\) nên KE là đường trung bình của \(\triangle HBC\implies KE//MA\) và \(KE = \frac{1}{2}BC = MA\).

4. Tứ giác MAEK có \(KE//MA\) và \(KE = MA\) nên MAEK là hình bình hành \(\implies AE//MK\).

5. Do \(AE \perp BK\) và \(AE//MK\), suy ra \(BK \perp KM\) (điều phải chứng minh).

Chứng minh vuông góc dựa vào hình vuông

Phương pháp giải

• Khai thác tính chất đường chéo và góc: Hình vuông có hai đường chéo bằng nhau, cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường và vuông góc với nhau. Đồng thời, đường chéo là đường phân giác của các góc ở đỉnh, tạo ra các tam giác vuông cân.

• Kết hợp đường trung bình và tam giác vuông cân: Sử dụng đường trung bình để chuyển quan hệ song song, từ đó suy ra tính vuông góc với đường thẳng thứ ba.

Ví dụ minh họa

Bài toán: Cho hình vuông ABCD. Lấy E nằm giữa A và B, F nằm giữa B và C sao cho AE = CF. Gọi O là trung điểm của EF. Lấy điểm M sao cho O là trung điểm của DM. Chứng minh rằng \(DM \perp EF\).

Lời giải:

• Do O là trung điểm của cả EF và DM nên tứ giác EMFD là hình bình hành.

• Xét hai tam giác vuông \(\triangle ADE\) và \(\triangle CDF\) có \(AD = CD\) (cạnh hình vuông) và \(AE = CF\) .

• Suy ra \(\triangle ADE = \triangle CDF\) (c.g.c) \(\implies DE = DF\) (hai cạnh tương ứng).

• Hình bình hành EMFD có hai cạnh kề \(DE = DF\) nên EMFD là hình thoi.

• Theo tính chất hai đường chéo của hình thoi, ta có \(DM \perp EF\) tại O (điều phải chứng minh).

Chứng minh vuông góc dựa vào hình thoi và hình thang cân

Dựa vào hình thoi

• Tính chất hai đường chéo: Trong hình thoi, hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường.

• Phương pháp áp dụng: Để chứng minh \(AC \perp BD\), ta có thể chứng minh tứ giác ABCD là hình thoi (tứ giác có 4 cạnh bằng nhau, hoặc hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau).

Dựa vào hình thang cân

• Điều kiện bổ sung: Hình thang cân không luôn có hai đường chéo vuông góc. Với ABCD có AB song song CD, hai đường chéo cắt nhau tại O, ta có tam giác AOB cân. Nếu chứng minh \(\widehat{OAB}=45^\circ\) thì góc AOB bằng 90°, suy ra AC vuông góc BD.

• Điều kiện theo độ dài: Nếu hai đáy dài a, b và chiều cao h thì hai đường chéo vuông góc khi và chỉ khi \(h=\frac{a+b}{2}\). Thật vậy, mỗi đường chéo có độ dịch ngang bằng nửa tổng hai đáy; chúng tạo góc 45° với đáy đúng khi h bằng độ dài này. Đây là phần vận dụng, cần chứng minh điều kiện trước khi sử dụng.

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong mặt phẳng tọa độ

Phương pháp dùng vectơ pháp tuyến gắn với nội dung phương trình đường thẳng trong Toán 10, tập hai. [4]

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) (chương trình Toán 10), bài toán chứng minh hai đường thẳng vuông góc được chuyển từ các phép chứng minh hình học thuần túy sang các công thức đại số và vectơ đơn giản, chính xác.

Chứng minh bằng hệ số góc

Cho hai đường thẳng \(d_1: y = ax + b\) và \(d_2: y = a'x + b'\) (với \(a, a' \neq 0\)). Hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) vuông góc với nhau khi và chỉ khi tích hai hệ số góc bằng \(-1\): \(a \cdot a' = -1\)

Lưu ý quan trọng: Công thức tích hệ số góc \(a \cdot a' = -1\) chỉ áp dụng khi cả hai đường thẳng đều có hệ số góc xác định (tức không song song hoặc trùng với trục tung Oy). Công thức này không áp dụng được khi có một đường thẳng song song với trục tung Oy (có dạng \(x = c\)).

Trong trường hợp một đường thẳng song song với Oy (\(x = c\)) và một đường thẳng song song với Ox (\(y = m\)), ta kết luận trực tiếp hai đường thẳng đó vuông góc với nhau dựa vào tính chất vuông góc của hai trục tọa độ.

Chứng minh bằng tích vô hướng

• Sử dụng vectơ chỉ phương: Đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng CD khi và chỉ khi tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương \(\vec{AB} = (x_1; y_1)\) và \(\vec{CD} = (x_2; y_2)\) bằng \(0\):

  \(\vec{AB} \cdot \vec{CD} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 = 0\)

• Sử dụng vectơ pháp tuyến (với phương trình tổng quát): Cho hai đường thẳng có phương trình tổng quát \(d_1: A_1 x + B_1 y + C_1 = 0\) và \(d_2: A_2 x + B_2 y + C_2 = 0\). Hai đường thẳng này có hai vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\vec{n_1} = (A_1; B_1)\) và \(\vec{n_2} = (A_2; B_2)\). Điều kiện để \(d_1 \perp d_2\) là tích vô hướng hai vectơ pháp tuyến bằng \(0\):

  \(\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = A_1 A_2 + B_1 B_2 = 0\)

• Điều kiện áp dụng: các vectơ chỉ phương, pháp tuyến đều khác vectơ không; với phương trình tổng quát, mỗi cặp hệ số (A₁; B₁), (A₂; B₂) không đồng thời bằng 0.

Ví dụ chứng minh vuông góc bằng tọa độ

Ví dụ 1 (Dùng hệ số góc): Cho hai đường thẳng \(d_1: y = 2x + 1\) và \(d_2: y = -\frac{1}{2}x + 3\). Chứng minh \(d_1 \perp d_2\).

• Lời giải: Hệ số góc của đường thẳng \(d_1\) là \(a_1 = 2\). Hệ số góc của đường thẳng \(d_2\) là \(a_2 = -\frac{1}{2}\). Tích hai hệ số góc là: \(a_1 \cdot a_2 = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -1\) Do \(a_1 \cdot a_2 = -1\), suy ra đường thẳng \(d_1\) vuông góc với đường thẳng \(d_2\) .

Ví dụ 2 (Dùng phương trình tổng quát): Cho hai đường thẳng \(d_1: 3x - y + 2 = 0\) và \(d_2: x + 3y - 1 = 0\). Chứng minh \(d_1 \perp d_2\).

• Lời giải: Vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d_1\) là \(\vec{n_1} = (3; -1)\). Vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d_2\) là \(\vec{n_2} = (1; 3)\). Tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến là: \(\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 3 \cdot 1 + (-1) \cdot 3 = 3 - 3 = 0\) . Vì \(\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0\), suy ra hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) vuông góc với nhau.

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian (lớp 11)

Các phương pháp hình học ở mục này sử dụng Bài 22 và Bài 23, Toán 11, tập hai. [5]

Bước sang hình học không gian lớp 11, hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng \(90^\circ\). Khác với hình học phẳng, hai đường thẳng vuông góc trong không gian có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.

Dùng góc giữa hai đường thẳng và dựng đường song song

Căn cứ lý thuyết: Qua một điểm O, dựng hai đường thẳng lần lượt song song hoặc trùng với hai đường thẳng đã cho. Nếu hai đường mới tạo góc 90° thì hai đường ban đầu vuông góc.

Dùng quan hệ vuông góc – song song

• Căn cứ lý thuyết: Cho ba đường thẳng a, b, c trong không gian. Nếu đường thẳng a vuông góc với b, và đường thẳng b song song với c, thì đường thẳng a cũng vuông góc với c:

  \(\left.\begin{array}{l}a\perp b\\ b\parallel c\end{array}\right\}\implies a\perp c\)

• Lưu ý quan trọng: Trong không gian 3D, hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba chưa chắc song song hoặc vuông góc với nhau. Chẳng hạn, trong hình lập phương ABCD.A'B'C'D', hai đường thẳng AB và AD cùng vuông góc với cạnh bên AA', nhưng AB và AD không song song mà vuông góc với nhau. Học sinh cần chú ý điểm này để tránh mắc sai lầm khi trình bày bài làm.

Dùng đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

• Căn cứ lý thuyết: Định lí cơ bản khẳng định rằng nếu một đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì nó sẽ vuông góc với mọi đường thẳng b nằm trong mặt phẳng (P):

  \[\left. \begin{array}{l} a \perp (P) \\ b \subset (P) \end{array} \right\} \implies a \perp b\]

• Quy trình 3 bước chứng minh \(a \perp b\):

  • Bước 1: Xác định hoặc dựng mặt phẳng (P) chứa đường thẳng b.

  • Bước 2: Chứng minh \(a \perp (P)\) bằng cách chỉ ra a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau \(x, y\) cùng nằm trong (P) (\(a \perp x\), \(a \perp y\), với \(x \cap y = I\) và \(x, y \subset (P)\)).

  • Bước 3: Suy ra \(a \perp b\) vì \(b \subset (P)\).

• Ví dụ minh họa: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh bên \(SA \perp (ABC)\). Chứng minh rằng \(BC \perp SB\).

  

  Lời giải:

• Do \(SA \perp (ABC)\) và \(BC \subset (ABC)\) nên \(SA \perp BC\), hay \(BC \perp SA\).

• Mặt khác, tam giác ABC vuông tại B nên \(BC \perp AB\).

• Trong mặt phẳng \((SAB)\), hai đường thẳng SA và AB cắt nhau tại A. Vì \(BC \perp SA\) và \(BC \perp AB\) nên \(BC \perp (SAB)\).

• Do \(SB \subset (SAB)\) và \(BC \perp (SAB)\), suy ra \(BC \perp SB\).

Ví dụ: Cho tứ diện đều ABCD. Chứng minh AB vuông góc CD.

Lời giải: Gọi M là trung điểm CD. Vì ACD và BCD là các tam giác đều nên AM và BM cùng vuông góc CD. Hai đường AM, BM cắt nhau và nằm trong mặt phẳng (ABM), suy ra CD vuông góc (ABM). Vì AB nằm trong (ABM), kết luận AB vuông góc CD. Cách giải này sử dụng kiến thức đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ở lớp 11.

Bài tập chứng minh hai đường thẳng vuông góc có lời giải

Chiến thuật lập luận chuẩn trong bài toán chứng minh vuông góc

Để trình bày lời giải chứng minh vuông góc chặt chẽ, học sinh thực hiện bốn bước sau:

• Bước 1 (Vẽ hình chuẩn xác): Dựa vào đề bài để vẽ hình chính xác; ký hiệu rõ các yếu tố góc vuông, đoạn bằng nhau, đường song song.

• Bước 2 (Liệt kê và phân loại dữ kiện): Tóm tắt giả thiết (độ dài cạnh, trung điểm, góc kề bù, tọa độ, hay đường vuông góc với mặt).

• Bước 3 (Đối chiếu dữ kiện với phương pháp): Khai thác mối liên hệ để chọn công cụ phù hợp (định lí Pythagore đảo, trực tâm, tích vô hướng \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\), hoặc đường vuông góc với mặt).

• Bước 4 (Trình bày chặt chẽ): Trình bày mạch lạc theo cấu trúc "Vì... nên...", trích dẫn đầy đủ định lí/tính chất và kết luận.

Các lỗi thường gặp cần tránh

• Ngộ nhận hình vẽ: Tự thừa nhận hai đường thẳng vuông góc chỉ vì "nhìn thấy góc vuông trên hình" mà không qua lập luận logic.

• Áp dụng sai công thức hệ số góc (\(a \cdot a' = -1\)): Sử dụng công thức này khi có một đường thẳng song song với trục tung \(Oy\) (có dạng \(x = c\), hệ số góc không xác định).

• Áp dụng sai tính chất trong không gian: Tự ý kết luận \(a\parallel b\) khi thấy \(a \perp c\) và \(b \perp c\) trong không gian 3D (hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba có thể cắt nhau, chéo nhau hoặc vuông góc với nhau).

Bộ bài tập rèn luyện theo cấp học

Nhóm 1: Hình học phẳng cơ bản (Lớp 7 – 8)

Bài 1 (lớp 8): Cho tam giác ABC có AB = 9 cm, AC = 12 cm, BC = 15 cm. Chứng minh AB vuông góc AC.

Lời giải: \(AB^2+AC^2=9^2+12^2=225=15^2=BC^2\). Theo định lí Pythagore đảo, tam giác ABC vuông tại A; do đó AB vuông góc AC.

Bài 2 (lớp 7): Cho tam giác ABC cân tại A. Tia phân giác của góc BAC cắt BC tại D. Lấy N trên tia AD, N khác A và D. Chứng minh AN vuông góc BC và NB = NC.

Lời giải: Hai tam giác ABD và ACD bằng nhau theo cạnh – góc – cạnh, suy ra BD = CD và hai góc ADB, ADC bằng nhau. Vì hai góc này kề bù nên mỗi góc bằng 90°. Vậy AD, cũng là đường thẳng AN, vuông góc BC. AN là đường trung trực của BC nên NB = NC.

Bài 3: Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh AH vuông góc BC.

Gợi ý: H là trực tâm của \(\triangle ABC \implies AH\) thuộc đường cao thứ ba \(\implies AH \perp BC\).

Nhóm 2: Tứ giác đặc biệt (Lớp 8)

Bài 4: Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ AH vuông góc BD tại H. Gọi K, M lần lượt là trung điểm của DH và BC. Chứng minh AK vuông góc KM.

Lời giải: Qua K kẻ đường thẳng vuông góc AB, cắt AB tại I và cắt đường thẳng AH tại E. Trong tam giác ABK, AH và KI là hai đường cao nên E là trực tâm, suy ra BE vuông góc AK. Trong tam giác HDA, K là trung điểm HD và KE song song DA nên E là trung điểm HA; KE = DA/2 = BM và KE song song BM. Do đó BMKE là hình bình hành, suy ra BE song song MK. Từ BE vuông góc AK, kết luận AK vuông góc KM.

Bài 5: Cho hình vuông ABCD. Lấy E nằm giữa A và B, F nằm giữa B và C sao cho AE = CF. Gọi O là trung điểm EF, lấy M sao cho O là trung điểm DM. Chứng minh DM vuông góc EF.

Lời giải: Hai tam giác ADE và CDF bằng nhau theo cạnh – góc – cạnh nên DE = DF. Hai đường EF và DM cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường nên EMFD là hình bình hành. Hình bình hành này có hai cạnh kề DE = DF nên là hình thoi, suy ra hai đường chéo DM và EF vuông góc.

Bài 6: Cho hình bình hành ABCD có AB = 5 cm, AD = 5 cm. Gọi O là giao điểm hai đường chéo. Chứng minh AC vuông góc BD và OB = OD.

Lời giải: Hình bình hành ABCD có AB = AD nên là hình thoi. Hai đường chéo hình thoi vuông góc và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường; do đó AC vuông góc BD và OB = OD.

Nhóm 3: Mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) (Lớp 10)

Bài 7: Chứng minh \(d_1:y=3x-2\) vuông góc với \(d_2:y=-\frac13x+5\).

Lời giải: Hai hệ số góc có tích \(3\cdot(-\frac13)=-1\), suy ra \(d_1\perp d_2\).

Bài 8: Trong Oxy, cho \(d_1:2x-5y+4=0\) và \(d_2:5x+2y-7=0\). Chứng minh \(d_1\perp d_2\).

Lời giải: Hai vectơ pháp tuyến lần lượt là (2; −5), (5; 2). Tích vô hướng \(2\cdot5+(-5)\cdot2=0\) nên hai đường thẳng vuông góc.

Bài 9: Trong Oxy, cho A(1; 2), B(5; 4), C(−2; 8). Chứng minh tam giác ABC vuông tại A.

Lời giải: \(\overrightarrow{AB}=(4;2)\), \(\overrightarrow{AC}=(-3;6)\). Vì \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=4\cdot(-3)+2\cdot6=0\) nên AB vuông góc AC.

Nhóm 4: Hình học không gian (Lớp 11)

Bài 10: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc (ABC), đáy ABC vuông tại B với AB = 4 cm, BC = 7 cm. Gọi M là trung điểm SB. Chứng minh BC vuông góc AM.

Lời giải: Vì SA vuông góc (ABC) nên BC vuông góc SA. Mặt khác BC vuông góc AB. Hai đường SA, AB cắt nhau tại A nên BC vuông góc (SAB). Vì AM nằm trong (SAB), suy ra BC vuông góc AM.

Bài 11: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = 5 cm, DB = DC = 7 cm. Chứng minh BC vuông góc AD.

Lời giải: Gọi M là trung điểm BC. Hai tam giác ABC và DBC cân lần lượt tại A, D nên AM và DM cùng vuông góc BC. Hai đường AM, DM cắt nhau tại M và nằm trong (ADM), do đó BC vuông góc (ADM). Vì AD nằm trong (ADM), suy ra BC vuông góc AD.

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cần được lựa chọn theo giả thiết: dùng góc 90°, đường trung trực, tính chất tam giác, tứ giác hoặc tích vô hướng trong mặt phẳng tọa độ. Với hình học không gian, học sinh có thể vận dụng quan hệ song song và đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

Khi giải bài, cần vẽ hình, phân tích dữ kiện, chọn phương pháp và trình bày rõ căn cứ. Học sinh có thể ôn lại kiến thức nền tảng về góc vuông và hai đường thẳng vuông góc tại chuyên mục Toán tại ZIM Academy.