Dãy số bị chặn | Định nghĩa, cách xét và bài tập có lời giải

Dãy số bị chặn là nội dung trong chương trình Toán 11, yêu cầu học sinh phân biệt dãy số bị chặn trên, bị chặn dưới và bị chặn hai phía. Bài viết trình bày quy trình xét tính bị chặn của dãy số, các phương pháp chứng minh bằng đánh giá trực tiếp, bất đẳng thức, tính đơn điệu và quy nạp với dãy truy hồi; đồng thời hướng dẫn nhận biết dãy số không bị chặn qua bốn dạng bài tập có lời giải và những lỗi thường gặp.

Dãy số bị chặn là gì?

Dãy số \((u_n)\) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại hai số thực m, M sao cho:

\(m \leq u_n \leq M, \ \forall n \in \mathbb{N}^*\)

Điều kiện trên tương đương với tồn tại hằng số L > 0 sao cho \(|u_n|\le L\) với mọi n. Có thể chọn \(L=\max\{1,|m|,|M|\}\); chiều ngược lại, lấy m = −L và M = L.

Dãy số bị chặn được xét cùng tính tăng, giảm của dãy số. Bài viết tập trung vào dãy số vô hạn \((u_n)\) với n là số nguyên dương; các cận cần đúng với mọi n trong miền xác định. [1]

Dãy số bị chặn trên là gì?

Dãy số \((u_n)\) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số thực M sao cho:

\(u_n \leq M, \ \forall n \in \mathbb{N}^*\)

Số M khi đó được gọi là một chặn trên của dãy số.

Dãy số bị chặn dưới là gì?

Dãy số \((u_n)\) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số thực m sao cho:

\(u_n \geq m, \ \forall n \in \mathbb{N}^*\)

Số m khi đó được gọi là một chặn dưới của dãy số.

Lưu ý rất quan trọng: M và m không nhất thiết lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của dãy số. Chẳng hạn, với dãy \(u_n = \dfrac{1}{n}\), ta có thể chọn chặn trên là \(M = 1\) (đúng bằng \(u_1\), số hạng lớn nhất), nhưng cũng hoàn toàn có thể chọn \(M = 2\) hay \(M = 100\) – tất cả đều là chặn trên hợp lệ vì định nghĩa chỉ yêu cầu tồn tại một số M thỏa mãn, không đòi hỏi đó là số nhỏ nhất có thể. Tương tự, dãy này có thể chọn chặn dưới \(m = 0\), dù không có số hạng nào của dãy thực sự bằng 0. Vì vậy, khi chứng minh tính bị chặn, học sinh không cần tìm "cận tốt nhất" (max/min), mà chỉ cần chỉ ra được một cận bất kỳ thỏa mãn điều kiện.

Dãy số là một hàm số trên tập các số nguyên dương, nên tính bị chặn được hiểu tương tự hàm số bị chặn: toàn bộ giá trị nằm giữa hai hằng số cố định. Với dãy số hữu hạn, luôn có thể lấy số hạng nhỏ nhất và lớn nhất làm hai cận.

Cách xét tính bị chặn của dãy số

Để xét tính bị chặn của một dãy số cho trước, ta thực hiện tuần tự theo 4 bước sau.

Bước 1 – Xác định yêu cầu cần chứng minh

Trước khi bắt tay vào biến đổi, cần đọc kỹ đề bài để xác định rõ: đề yêu cầu chứng minh dãy bị chặn trên, bị chặn dưới, hay bị chặn theo cả hai phía. Đây là bước rất dễ bị bỏ qua nhưng lại quyết định toàn bộ hướng làm bài.

Lỗi phổ biến nhất ở bước này là chỉ chứng minh được một cận (ví dụ chỉ chứng minh \(u_n \leq M\)) rồi vội kết luận "dãy bị chặn" – trong khi đề thực sự yêu cầu chứng minh bị chặn theo cả hai phía. Hãy luôn tự hỏi: "mình đã chứng minh đủ hai cận chưa?" trước khi viết kết luận cuối cùng.

Bước 2 – Biến đổi số hạng tổng quát và dự đoán cận

Bước này là bước then chốt: biến đổi số hạng tổng quát \(u_n\) về một dạng thuận lợi để đánh giá giá trị của nó, thường bằng cách tách thành tổng của một hằng số và một phần biến thiên theo n có thể đánh giá được dấu và độ lớn.

Trong quá trình biến đổi, cần triệt để khai thác điều kiện \(n \in \mathbb{N}^*\) (tức \(n \geq 1\) và n nguyên) kết hợp các bất đẳng thức phù hợp để thu hẹp miền giá trị của biểu thức.

Khi quan sát công thức \(u_n\), hãy chú ý đến dấu và bậc của tử số, mẫu số (nếu là phân thức), sự xuất hiện của căn thức, hoặc yếu tố đan dấu như \((-1)^n\) – mỗi đặc điểm này gợi ý một kỹ thuật đánh giá khác nhau (xem chi tiết ở mục phương pháp bên dưới).

Bước 3 – Chứng minh cận đúng với mọi n

Sau khi đã có hướng đánh giá, ta thực hiện tìm và chứng minh từng cận:

• Tìm m sao cho \(u_n \geq m\) đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}^*\).

• Tìm M sao cho \(u_n \leq M\) đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}^*\).

• Viết kết luận bằng một bất đẳng thức kép duy nhất: \(m \leq u_n \leq M\).

Bước 4 – Kiểm tra và kết luận

Trước khi kết luận, cần kiểm tra hai điều: cận m (hoặc M) tìm được có phải là một hằng số thực sự độc lập với n hay không (nếu biểu thức cận vẫn còn chứa n thì đó chưa phải là một cận hợp lệ); và bất đẳng thức đó có thực sự đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}^*\), hay chỉ đúng với một vài số hạng đầu. Một cận chỉ đúng với \(n = 1, 2, 3\) rồi sai ở các n lớn hơn thì không có giá trị chứng minh gì cả. Chỉ khi cả hai điều kiện này được thỏa mãn, ta mới được phép kết luận dãy số bị chặn (trên/dưới/cả hai) theo đúng yêu cầu đề bài.

Các phương pháp chứng minh dãy số bị chặn thường gặp

Tùy theo dạng của số hạng tổng quát \(u_n\), ta lựa chọn một trong bốn phương pháp chứng minh phổ biến dưới đây.

Đánh giá trực tiếp số hạng tổng quát

Phương pháp này áp dụng khi có thể biến đổi \(u_n\) thành tổng, hiệu của một hằng số với một biểu thức đã biết rõ dấu và miền giá trị theo n.

Ví dụ: Xét dãy \(u_n = \dfrac{2n-1}{n+1}\). Ta tách: \(u_n = \dfrac{2(n+1) - 3}{n+1} = 2 - \dfrac{3}{n+1}\). Vì \(n \geq 1\) nên \(n+1 \geq 2\), suy ra \(0 < \dfrac{3}{n+1} \leq \dfrac{3}{2}\). Do đó \(2 - \dfrac{3}{2} \leq u_n < 2\), tức \(\dfrac{1}{2} \leq u_n < 2\) với mọi n. Vậy dãy số bị chặn (chặn dưới \(m = \dfrac{1}{2}\), chặn trên \(M = 2\)).

Sử dụng bất đẳng thức

Khi biểu thức \(u_n\) không dễ tách trực tiếp, ta có thể vận dụng các bất đẳng thức cơ bản (bình phương không âm, bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân...) kết hợp điều kiện \(n \geq 1\) để đánh giá tử số, mẫu số thay vì thay thử nhiều giá trị của n.

Ví dụ: Xét dãy \(u_n = \dfrac{n}{n^2+1}\). Rõ ràng \(u_n > 0\) với mọi n (chặn dưới \(m = 0\)). Mặt khác, từ bất đẳng thức \((n-1)^2 \geq 0\) suy ra \(n^2+1 \geq 2n\), do đó \(u_n = \dfrac{n}{n^2+1} \leq \dfrac{n}{2n} = \dfrac{1}{2}\). Vậy \(0 < u_n \leq \dfrac{1}{2}\) với mọi n, nên dãy bị chặn.

Dựa vào tính tăng hoặc giảm của dãy số

Theo cách gọi trong KNTT, dãy tăng thỏa \(u_{n+1}>u_n\) và dãy giảm thỏa \(u_{n+1}<u_n\) với mọi n. Dãy tăng bị chặn dưới bởi \(u_1\); dãy giảm bị chặn trên bởi \(u_1\). Các kết luận một phía này cũng đúng với dãy không giảm hoặc không tăng, khi thay dấu nghiêm ngặt bằng dấu ≥ hoặc ≤.

Cần nhấn mạnh: tính đơn điệu (tăng hoặc giảm) chỉ giúp xác định một phía của cận, chứ không tự động suy ra dãy bị chặn. Muốn kết luận dãy bị chặn, vẫn phải tìm thêm cận còn lại bằng một phương pháp khác (đánh giá trực tiếp hoặc bất đẳng thức).

Ví dụ: Xét dãy \(u_n = \dfrac{n}{n+1}\). Ta có \[\begin{aligned}u_{n+1} - u_n = \dfrac{n+1}{n+2} - \dfrac{n}{n+1} \\&= \dfrac{1}{(n+1)(n+2)} > 0\end{aligned}\]

nên dãy tăng, suy ra bị chặn dưới bởi \(u_1 = \dfrac{1}{2}\). Để tìm chặn trên, tách \(u_n = 1 - \dfrac{1}{n+1} < 1\) với mọi n. Kết hợp cả hai: \(\dfrac{1}{2} \leq u_n < 1\), vậy dãy bị chặn.

Sử dụng phương pháp quy nạp với dãy truy hồi

Với dãy truy hồi, quy nạp toán học thường giúp chứng minh mọi số hạng đều nằm trong một khoảng cố định. Đây là một phương pháp mở rộng; tùy hệ thức truy hồi, cũng có thể tìm công thức tổng quát hoặc đánh giá trực tiếp. Khi dùng quy nạp, thực hiện các bước:

• Dự đoán một cận phù hợp dựa vào vài số hạng đầu tiên của dãy.

• Kiểm tra mệnh đề đúng tại \(n = 1\).

• Giả sử mệnh đề đúng tại \(n = k\) (giả thiết quy nạp), chứng minh mệnh đề cũng đúng tại \(n = k+1\).

Ví dụ: Cho dãy \(u_1 = 1\), \(u_{n+1} = \sqrt{2 + u_n}\). Chứng minh \(1 \leq u_n < 2\) với mọi n.

Bước cơ sở (n = 1): \(u_1 = 1\), thỏa \(1 \leq 1 < 2\).

Giả thiết quy nạp: Giả sử \(1 \leq u_k < 2\) đúng với một số nguyên dương k nào đó.

Bước quy nạp: Từ giả thiết, \(3 \leq u_k + 2 < 4\), nên \(u_{k+1} = \sqrt{u_k+2} \in [\sqrt{3}; 2)\). Vì \(\sqrt{3} > 1\), ta có \(1 \leq u_{k+1} < 2\), tức mệnh đề đúng tại \(n = k+1\).

Theo nguyên lý quy nạp toán học, \(1 \leq u_n < 2\) đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}^*\). Vậy dãy số bị chặn.

Cách chứng minh dãy số không bị chặn

Để chứng minh một dãy số không bị chặn, ta sử dụng phủ định của các định nghĩa đã nêu ở trên.

Phủ định của "bị chặn trên": Dãy \((u_n)\) không bị chặn trên nếu với mọi số M, luôn tìm được một chỉ số n sao cho \(u_n > M\). Nói cách khác, dù M lớn đến đâu, dãy vẫn có số hạng vượt qua M.

Phủ định của "bị chặn dưới": Dãy \((u_n)\) không bị chặn dưới nếu với mọi số m, luôn tìm được một chỉ số n sao cho \(u_n < m\).

Nếu đã học giới hạn, có thể dùng \(u_n\to+\infty\) để kết luận dãy không bị chặn trên, hoặc \(u_n\to-\infty\) để kết luận dãy không bị chặn dưới. Tuy nhiên, không bị chặn không đồng nghĩa với có giới hạn vô cực: một dãy có thể dao động với độ lớn tăng dần.

Dãy không bị chặn khi không bị chặn trên hoặc không bị chặn dưới, hoặc cả hai. Chỉ cần chứng minh một phía không có cận là đủ. Chẳng hạn, \(u_n=n\) vẫn bị chặn dưới nhưng là dãy không bị chặn. Không được hiểu “không bị chặn” là bắt buộc phải thiếu cả hai cận.

Ví dụ 1 (chỉ bị chặn dưới, không bị chặn trên): Xét \(u_n = n\). Dãy bị chặn dưới bởi \(m = 1\) (vì \(u_n \geq 1\) với mọi n), nhưng không bị chặn trên: với mọi số M, chỉ cần chọn n là một số nguyên dương lớn hơn M thì \(u_n = n > M\).

Ví dụ 2 (chỉ bị chặn trên, không bị chặn dưới): Xét \(u_n = -n\). Dãy bị chặn trên bởi \(M = -1\), nhưng không bị chặn dưới vì \(u_n \to -\infty\) khi \(n \to +\infty\).

Bài tập xét tính bị chặn của dãy số lớp 11

Phần này tổng hợp 4 dạng bài tập xét tính bị chặn của dãy số thường gặp trong chương trình Toán 11, sắp xếp theo mức độ từ nhận biết đến vận dụng, kèm lời giải chi tiết và bài tập tự luyện có đáp án.

Dạng 1: Nhận biết dãy bị chặn trên, chặn dưới

Đề bài: Cho \(u_n=\frac{2n+3}{n}\). Xét các khẳng định:

a) M = 6 là một chặn trên của dãy.

b) m = 4 là một chặn dưới của dãy.

c) Dãy số đã cho bị chặn.

Lời giải: \(u_n=2+\frac{3}{n}\). Vì \(0<\frac{3}{n}\le3\), suy ra \(2<u_n\le5\) với mọi n.

a) Đúng, vì \(u_n\le5<6\).

b) Sai, vì \(u_2=\frac{7}{2}<4\).

c) Đúng, vì m = 2 và M = 5 là hai cận cố định hợp lệ.

Dạng 2: Xét tính bị chặn của dãy cho bằng công thức tổng quát

Bài tập dãy đa thức. Đề bài: Xét tính bị chặn của dãy \(u_n = -n^2 + 4n - 1\).

Lời giải: Biến đổi \(u_n = -(n-2)^2 + 3\). Vì \((n-2)^2 \geq 0\) với mọi n, nên \(u_n \leq 3\) với mọi n – dãy bị chặn trên bởi \(M = 3\). Tuy nhiên, khi \(n \to +\infty\) thì \((n-2)^2 \to +\infty\) nên \(u_n \to -\infty\) – dãy không bị chặn dưới. Vậy dãy không bị chặn (dù có bị chặn trên).

Bài tập dãy phân thức. Đề bài: Xét tính bị chặn của dãy \(u_n = \dfrac{3n+2}{n+1}\).

Lời giải: Tách \(u_n = \dfrac{3(n+1) - 1}{n+1} = 3 - \dfrac{1}{n+1}\). Vì \(n \geq 1\) nên \(0 < \dfrac{1}{n+1} \leq \dfrac{1}{2}\), suy ra \(\dfrac{5}{2} \leq u_n < 3\) với mọi n. Vậy dãy bị chặn.

Bài tập dãy đan dấu. Xét tính bị chặn của \(u_n=\frac{(-1)^n n}{n+1}\).

Lời giải: Vì \(n \geq 1\) nên \(0 < \dfrac{n}{n+1} < 1\), do đó \(|u_n| = \dfrac{n}{n+1} < 1\) với mọi n. Suy ra \(-1 < u_n < 1\) với mọi n. Vậy dãy bị chặn (chặn dưới \(m = -1\), chặn trên \(M = 1\)), dù các số hạng liên tục đổi dấu.

Bài tập dãy căn thức. Xét \(v_n=\sqrt{n^2+4}-n\). Nhân liên hợp:

\(v_n=\frac{4}{\sqrt{n^2+4}+n}\). Vì \(\sqrt{n^2+4}>n\ge1\), mẫu số lớn hơn 2n, nên \(0<v_n<\frac{2}{n}\le2\). Vậy dãy bị chặn dưới bởi 0 và bị chặn trên bởi 2.

Dạng 3: Xét tính tăng, giảm và bị chặn

Đề bài: Cho dãy \(u_n = \dfrac{2n}{n+3}\). Xét tính tăng, giảm và tính bị chặn của dãy số.

Lời giải: Xét hiệu \[\begin{aligned}u_{n+1} - u_n = \dfrac{2(n+1)}{n+4} - \dfrac{2n}{n+3} \\&= \dfrac{6}{(n+3)(n+4)} > 0\end{aligned}\]

với mọi n, nên dãy tăng. Suy ra \(u_n \geq u_1 = \dfrac{1}{2}\) với mọi n – dãy bị chặn dưới.

Để tìm chặn trên, tách \(u_n = \dfrac{2(n+3) - 6}{n+3} = 2 - \dfrac{6}{n+3} < 2\) với mọi n. Kết hợp: \(\dfrac{1}{2} \leq u_n < 2\) với mọi n. Vậy dãy vừa tăng, vừa bị chặn.

Dạng 4: Chứng minh dãy truy hồi bị chặn

Đề bài: Cho dãy \(u_1 = 2\), \(u_{n+1} = \dfrac{u_n + 3}{2}\). Chứng minh dãy số bị chặn.

Lời giải: Dự đoán: \(2 \leq u_n < 3\) với mọi n (dựa vào \(u_1 = 2\), \(u_2 = 2{,}5\)).

Bước cơ sở (n = 1): \(u_1 = 2\), thỏa \(2 \leq 2 < 3\).

Giả thiết quy nạp: Giả sử \(2 \leq u_k < 3\) đúng với một số nguyên dương k.

Bước quy nạp: Từ giả thiết, \(5 \leq u_k + 3 < 6\), chia cả hai vế cho 2: \(2{,}5 \leq u_{k+1} < 3\). Vì \(2{,}5 \geq 2\), ta có \(2 \leq u_{k+1} < 3\), mệnh đề đúng tại \(n = k+1\).

Theo nguyên lý quy nạp, \(2 \leq u_n < 3\) đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}^*\). Vậy dãy số bị chặn.

Bài tập tự luyện

Câu 1: Xét tính bị chặn của dãy \(u_n = \dfrac{n^2+1}{n^2}\).

Đáp số: \(u_n = 1 + \dfrac{1}{n^2}\), vì \(0 < \dfrac{1}{n^2} \leq 1\) nên \(1 < u_n \leq 2\) với mọi n – dãy bị chặn (\(m=1\), \(M=2\)).

Câu 2: Chứng minh dãy \(u_n = 2n - 5\) không bị chặn.

Đáp số: Dãy tăng nên bị chặn dưới bởi \(u_1 = -3\), nhưng \(u_n \to +\infty\) nên không bị chặn trên. Vậy dãy không bị chặn.

Câu 3: Cho \(u_1=2\), \(u_{n+1}=\sqrt{u_n+6}\). Chứng minh dãy bị chặn.

Hướng dẫn: Chứng minh \(2\le u_n<3\) bằng quy nạp. Cơ sở: \(u_1=2\) thỏa mãn. Nếu \(2\le u_k<3\) thì \(8\le u_k+6<9\), suy ra \(2<\sqrt{8}\le u_{k+1}<3\). Do đó m = 2, M = 3 là hai cận của dãy.

Câu 4: Dãy nào bị chặn: a) \(u_n=2+\cos n\); b) \(u_n=n!\); c) \(u_n=(-2)^n\)?

Đáp án: a) Bị chặn vì \(1\le2+\cos n\le3\). b) Không bị chặn trên: \(n!\ge n\) và n có thể lớn tùy ý. c) Không bị chặn cả hai phía: \(u_{2k}=4^k\to+\infty\) còn \(u_{2k-1}=-2\cdot4^{k-1}\to-\infty\).

Lỗi thường gặp khi xét tính bị chặn của dãy số

• Chỉ chứng minh được một cận nhưng kết luận dãy bị chặn: Nhiều học sinh chứng minh \(u_n \leq M\) rồi kết luận ngay "dãy bị chặn" mà quên mất còn phải chứng minh chặn dưới. Cách khắc phục là luôn kiểm tra lại đề bài yêu cầu gì và đảm bảo đã chỉ ra đủ cả hai cận trước khi kết luận "bị chặn".

• Chọn M hoặc m vẫn còn phụ thuộc vào n: Đây là lỗi nghiêm trọng vì một cận hợp lệ phải là hằng số cố định, không đổi theo n. Cách khắc phục là sau khi tìm ra "cận", hãy kiểm tra lại xem biểu thức đó có chứa biến n hay không; nếu còn chứa n thì phải tiếp tục đánh giá, biến đổi cho đến khi thu được một hằng số thực sự.

• Chỉ kiểm tra một vài số hạng đầu rồi suy rộng cho toàn bộ dãy: Việc tính \(u_1, u_2, u_3\) rồi "đoán" cận chỉ là bước dự đoán ban đầu, không thay thế được việc chứng minh tổng quát (bằng đánh giá đại số hoặc quy nạp). Cách khắc phục là luôn chứng minh bất đẳng thức đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}^*\), không dừng lại ở việc thử vài giá trị cụ thể.

• Nhầm tính bị chặn với tính tăng, giảm của dãy số: Một dãy tăng không có nghĩa là nó bị chặn trên (ví dụ \(u_n = n\) tăng nhưng không bị chặn trên); tương tự một dãy bị chặn không nhất thiết phải đơn điệu (dãy có thể dao động như dãy có số hạng đan dấu). Cách khắc phục là luôn xét hai tính chất này độc lập với nhau, không suy luận tính chất này từ tính chất kia.

• Cho rằng M và m bắt buộc phải là số hạng của dãy: Nhiều học sinh cố tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất thực sự của dãy thay vì chỉ cần một cận hợp lý. Cách khắc phục là ghi nhớ định nghĩa chỉ yêu cầu tồn tại một số M (hoặc m) thỏa mãn bất đẳng thức, không đòi hỏi M, m phải là giá trị mà dãy thực sự đạt được.

• Bỏ sót điều kiện "với mọi \(n \in \mathbb{N}^*\)" trong lời giải: Thiếu cụm từ này khiến bài giải không thể hiện rõ bất đẳng thức đúng trên toàn bộ dãy. Cách khắc phục là luôn viết tường minh "với mọi n" (hoặc "\(\forall n \in \mathbb{N}^*\)") ngay sau mỗi bất đẳng thức đánh giá.

• Nhầm dãy số bị chặn với hàm số bị chặn, mở rộng nội dung ngoài phạm vi bài học: Dù hai khái niệm tương tự nhau, dãy số chỉ xét trên biến n nguyên dương, còn hàm số được xét trên tập xác định đã cho – không nên trộn lẫn hai bài toán hoặc áp dụng sai công cụ của bên này cho bên kia. Cách khắc phục là xác định rõ đối tượng đang xét (dãy hay hàm) trước khi chọn phương pháp.

Dãy số bị chặn khi tồn tại hai hằng số \(m, M\) sao cho \(m\leq u_n\leq M\) với mọi \(n\geq1\). Khi xét tính bị chặn của dãy số, học sinh cần chọn phương pháp đánh giá phù hợp, chứng minh đủ hai cận và bảo đảm các cận độc lập với \(n\). Tính tăng, giảm chỉ giúp xác định một phía, chưa đủ để kết luận dãy bị chặn.

Học sinh có thể luyện tập thêm các chuyên đề Toán 11 tại ZIM Academy để củng cố kiến thức và rèn kỹ năng chứng minh dãy số bị chặn.