Hình có tâm đối xứng | Khái niệm, cách nhận biết và ví dụ

Hình có tâm đối xứng là hình trùng khít với chính nó khi quay 180° quanh một điểm gọi là tâm đối xứng. Bài viết giúp học sinh Toán 6 nhận biết các hình có tâm đối xứng, xác định tâm của hình chữ nhật, giải thích vì sao tam giác đều không có tâm đối xứng và vận dụng vào bài tập dựng hình, ví dụ thực tế.

Hình có tâm đối xứng là gì?

Hình có tâm đối xứng là hình trùng khít với chính nó sau khi quay 180° (nửa vòng) quanh một điểm O. Điểm O được gọi là tâm đối xứng của hình. Đây là nội dung Bài 22, Chương V, Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống. [1]

Hình có tâm đối xứng trong thực tế

Mặt đồng xu hình tròn khi chỉ xét đường viền, mặt bàn hình chữ nhật không xét hoa văn và chong chóng hai cánh giống nhau đặt đối nhau là những ví dụ có thể mô hình hóa thành hình có tâm đối xứng. Cần kiểm tra toàn bộ hình đang xét: hình dáng, màu sắc hoặc họa tiết có thể làm thay đổi kết quả.

Chong chóng ba cánh đều nhau có thể trùng khít sau khi quay 120°, nhưng không trùng khít khi quay 180°, nên không có tâm đối xứng. Không phải hình nào quay được cũng có tâm đối xứng.

Đối với hình phẳng, ta cũng có một số hình có tâm đối xứng như sau:

Tâm đối xứng của một số hình phẳng đặc biệt

Đối với một số hình phẳng đặc biệt, ta có:

• Tâm đối xứng của hình bình hành, hình thoi, hình vuông, hình chữ nhật là giao điểm của hai đường chéo.

• Tâm đối xứng của hình lục giác đều là giao điểm của các đường chéo chính. [1]

Với hình lục giác đều, đường chéo chính là đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện. Ba đường chéo chính cùng đi qua tâm của hình.

Hình chữ nhật có bao nhiêu tâm đối xứng?

Hình chữ nhật có đúng một tâm đối xứng, là giao điểm hai đường chéo. Khi quay nửa vòng quanh điểm này, mỗi đỉnh chuyển đến đỉnh đối diện và toàn bộ hình trùng khít với vị trí ban đầu.

Hình tam giác đều có tâm đối xứng không?

Tam giác đều không có tâm đối xứng, dù có ba trục đối xứng. Khi quay 180° quanh tâm của tam giác đều, các đỉnh không trùng với các đỉnh ban đầu. Phép quay 120° làm hình trùng khít không đáp ứng điều kiện của đối xứng tâm.

Phân biệt tâm đối xứng và trục đối xứng

Tâm đối xứng là một điểm, được kiểm tra bằng phép quay 180°; trục đối xứng là một đường thẳng, được kiểm tra bằng cách gấp hình để hai phần chồng khít. Một hình có trục đối xứng chưa chắc có tâm đối xứng.

Cách vẽ hình dựa trên tâm đối xứng đã cho trước

Tính chất của tâm đối xứng

Nếu A và A′ là hai điểm tương ứng qua tâm O thì O là trung điểm của AA′: A, O, A′ thẳng hàng, O nằm giữa A và A′, đồng thời OA = OA′. Riêng điểm O đối xứng với chính nó. Điều kiện này phải đúng với mọi cặp điểm tương ứng của hình; chỉ kiểm tra một cặp điểm chưa đủ kết luận O là tâm đối xứng.

Trong hình trên, ta chọn hai điểm A và A’ sao cho A và A’ nằm ở đường viền của hình bình hành và A, O và A’ thẳng hàng. Khi đó nếu quay hình bình hành một nửa vòng quay quanh O, ta sẽ thấy vị trí của A’ nằm ở đúng vị trí A của trước khi quay, do đó OA = OA’.

Cách vẽ một hình hoàn chỉnh với tâm đối xứng cho trước

Dạng toán này thường cho trước một điểm O và một phần của hình dạng cần xác định, do đó yêu cầu người học vẽ phần hình còn lại sao cho hình hoàn chỉnh nhận điểm O làm tâm đối xứng.

Để vẽ được một hình hoàn chỉnh, ta có thể làm như sau:

• Bước 1: Xác định toàn bộ các đỉnh (hoặc các điểm chốt quan trọng) của phần hình đã cho trước.

• Bước 2: Với từng đỉnh và điểm chốt quan trọng đó, ta vẽ một điểm mới đối xứng với điểm đó qua điểm O (ta xác định điểm này sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng nối điểm này với đỉnh tương ứng).

• Bước 3: Nối các điểm mới vừa tìm được theo đúng thứ tự nối của các điểm tương ứng ở phần hình ban đầu.

Chú ý ở bước 3, để xác định được đoạn thẳng mới cần vẽ, người học cần:

• Xác định một đoạn thẳng thuộc hình ban đầu.

• Xác định hai điểm đối xứng với hai đỉnh của đoạn thẳng này qua O.

Khi đó đoạn thẳng nối hai điểm này là đoạn thẳng cần vẽ.

Ví dụ dựng hình trên giấy ô vuông

Lấy điểm O ở một nút lưới. Đánh dấu A ở bên trái O 4 ô và phía trên O 1 ô; B ở bên trái O 2 ô và phía trên O 3 ô; C ở bên phải O 1 ô và phía trên O 2 ô. Nối A–B–C. Hãy vẽ thêm để toàn bộ hình nhận O làm tâm đối xứng.

Hướng dẫn: Lấy A′ ở bên phải O 4 ô và phía dưới O 1 ô; B′ ở bên phải O 2 ô và phía dưới O 3 ô; C′ ở bên trái O 1 ô và phía dưới O 2 ô. Nối A′–B′–C′ theo đúng thứ tự tương ứng. Giữ cả đường gấp khúc ban đầu và đường vừa dựng.

O là trung điểm của AA′, BB′ và CC′. Khi quay 180° quanh O, hai đường gấp khúc đổi chỗ và hợp của chúng trùng khít với hình ban đầu. Không tự nối thêm C với A hoặc C′ với A′ vì đề bài không cho các đoạn đó.

Cách tạo một hình có tâm đối xứng bằng nghệ thuật cắt giấy

Gấp và cắt giấy là một phương pháp thủ công hiệu quả giúp người học hiểu được tính đối xứng qua tâm của các hình, đồng thời thể hiện óc sáng tạo của bản thân trong việc tạo ra các hình dạng độc đáo.

Để tạo ra một hình có tâm đối xứng, ta làm như sau:

• Bước 1: Chuẩn bị một mảnh giấy hình vuông cạnh 6 cm. Gấp đôi theo hai đường nối trung điểm của các cặp cạnh đối diện; hai nếp gấp vuông góc và giao nhau tại O.

• Bước 2: Trên phần giấy đã gấp, vẽ một đường cong từ một cạnh gấp đến cạnh gấp còn lại như hình minh họa. Giữ điểm O trong phần giấy định giữ lại.

• Bước 3: Cắt đồng thời qua các lớp giấy theo nét vẽ, giữ phần chứa O rồi mở ra. Kiểm tra hình thu được bằng cách quay nửa vòng quanh O.

Ngay sau bước 1, ta đã có thể xác định tâm đối xứng của tờ giấy hình vuông chính là điểm O. Việc gấp giấy thực chất là việc chồng 4 phần bằng nhau của hình vuông.

Hai lần gấp theo hai đường vuông góc tạo bốn lớp giấy. Khi cắt các lớp cùng nhau rồi mở ra, hình thu được có hai trục đối xứng vuông góc, do đó có tâm đối xứng tại O. Cách gấp một lần thường chỉ bảo đảm đối xứng trục.

Bài tập hình có tâm đối xứng có lời giải

Bài 1: Nhận biết tâm đối xứng trong thực tế

Một mẫu lát gồm hình tròn và hai hình vuông bằng nhau đặt bên trái, bên phải hình tròn. Ba tâm cùng nằm trên một đường thẳng; hai hình vuông cùng hướng, cùng màu và cách đều tâm O của hình tròn. Cả mẫu có tâm đối xứng không? Nếu chỉ đổi màu hình vuông bên trái thì kết quả thế nào?

Lời giải: Ban đầu, mẫu có tâm đối xứng O: quay 180° giữ nguyên hình tròn và đổi chỗ hai hình vuông giống nhau. Sau khi chỉ đổi màu một hình vuông, mẫu xét cả màu sắc không còn tâm đối xứng; nếu chỉ xét đường viền thì O vẫn là tâm đối xứng.

Bài 2: Phân biệt đối xứng tâm và đối xứng trục

Chọn khẳng định đúng:

A. Hình tam giác đều có tâm đối xứng.

B. Hình thang cân luôn có tâm đối xứng.

C. Hình vuông có 4 trục đối xứng nhưng không có tâm đối xứng.

D. Hình lục giác đều vừa có trục đối xứng, vừa có tâm đối xứng.

Hướng dẫn giải:

Phân tích đề bài: Bài tập nói đến tính chất của tâm đối xứng các hình đa giác đặc biệt. Người học cần ghi nhớ cách xác định tâm đối xứng của từng loại đa giác để làm được bài tập này.

Giải: Ta phân tích từng khẳng định:

• A sai: tam giác đều không có tâm đối xứng.

• B sai: một hình thang cân có hai đáy không bằng nhau không trùng khít sau phép quay 180°, nên không phải mọi hình thang cân đều có tâm đối xứng.

• C sai: hình vuông có tâm đối xứng tại giao điểm hai đường chéo.

• D đúng: lục giác đều có một tâm đối xứng và sáu trục đối xứng, gồm ba đường thẳng đi qua các cặp đỉnh đối diện và ba đường thẳng đi qua trung điểm các cặp cạnh đối diện.

Do vậy, chỉ có khẳng định D là đúng.

Đáp án: D

Bài 3: Vẽ thêm để được hình có tâm đối xứng

Vẽ lại hình dưới trên giấy ô vuông rồi bổ sung phần còn thiếu để toàn bộ hình nhận O làm tâm đối xứng. Giải thích vì sao không cần vẽ thêm điểm đối xứng với C và D.

Hướng dẫn giải:

Phân tích đề bài: Bài toán cho một phần hình vẽ và một điểm O nằm trên đường viền của hình vẽ này. Để vẽ một hình hoàn chỉnh có điểm O là tâm đối xứng, người học cần chú ý các bước làm đã được nêu trên để xác định từng điểm mới đối xứng với các đỉnh của hình ban đầu và nối các điểm mới thật chính xác để có được hình hoàn chỉnh.

Giải:

Bước 1: Xác định toàn bộ các đỉnh (hoặc các điểm chốt quan trọng) của phần hình đã cho trước.

Bước 2: Với từng đỉnh và điểm chốt quan trọng đó, ta vẽ một điểm mới đối xứng với điểm đó qua điểm O.

Bước 3: Nối các điểm mới vừa tìm được theo đúng thứ tự nối của các điểm tương ứng ở hình ban đầu.

Kiểm tra: C và D đã đối xứng qua O nên C′ = D, D′ = C. Nối A′–B′–C′–D′–E′–F′–A′ theo thứ tự của hình ban đầu, đồng thời giữ lại phần hình đã cho. Mỗi điểm mới và điểm tương ứng nằm ở hai phía O, cách O bằng nhau.

Bài 4: Dựng hình đối xứng qua một điểm

Vẽ hình đối xứng của ngũ giác ABCDE dưới đây qua O. Trong hình, A cách O 14 ô về bên trái và 3 ô lên trên; hãy mô tả vị trí A′ so với O.

Hướng dẫn giải:

Phân tích đề bài: Khác với bài 3, bài toán này yêu cầu vẽ hình mới đối xứng với hình ban đầu qua điểm O, tuy nhiên cách làm vẫn giống như cách làm bài toán xác định hình hoàn chỉnh dựa trên tâm đối xứng cho trước.

Giải:

Bước 1: Xác định toàn bộ các đỉnh (hoặc các điểm chốt quan trọng) của hình đã cho trước.

Bước 2: Với từng đỉnh và điểm chốt quan trọng đó, ta vẽ một điểm mới đối xứng với điểm đó qua điểm O.

Bước 3: Nối các điểm mới vừa tìm được theo đúng thứ tự nối của các điểm tương ứng ở hình ban đầu.

Trả lời thêm: A′ ở bên phải O 14 ô và phía dưới O 3 ô. Nối A′B′, B′C′, C′D′, D′E′ và E′A′. Hình mới là ảnh đối xứng của hình ban đầu; hợp của hai hình mới nhận O làm tâm đối xứng, còn từng ngũ giác riêng lẻ không nhất thiết có tâm đối xứng.

Hình có tâm đối xứng trùng khít với chính nó khi quay 180° quanh tâm đối xứng. Để nhận biết và dựng hình chính xác, học sinh cần xác định đúng tâm, vận dụng tính chất trung điểm của hai điểm đối xứng và phân biệt tâm đối xứng với trục đối xứng.

Học sinh có thể luyện tập thêm các chuyên đề Toán 6 tại ZIM Academy để củng cố kiến thức về hình phẳng, thực hành dựng hình và vận dụng tính đối xứng vào bài tập.