Góc lượng giác | Lý thuyết, công thức và bài tập lớp 11

Góc lượng giác là góc được tạo bởi một tia quay quanh gốc cố định, có phân biệt chiều quay dương, chiều quay âm và số vòng quay. Khác với góc hình học thông thường, các góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối có thể có nhiều số đo khác nhau.

Bài viết tổng hợp kiến thức góc lượng giác lớp 11 theo chương trình Toán 11 Kết nối tri thức, gồm định nghĩa góc lượng giác, cách xác định số đo, đổi độ sang radian, bảng góc lượng giác, hệ thức Chasles, đường tròn lượng giác và các dạng bài tập góc lượng giác lớp 11 có lời giải.

Góc lượng giác là gì?

Góc lượng giác là góc được tạo bởi một tia quay quanh gốc cố định từ vị trí tia đầu đến vị trí tia cuối, có phân biệt chiều quay và số vòng quay. Góc lượng giác có thể mang số đo dương, âm hoặc bằng 0. [1]

Cụ thể, cho hai tia Ou, Ov có chung gốc O. Tia Om ban đầu trùng với Ou, quay quanh O theo một chiều xác định đến khi trùng với Ov, tạo thành góc lượng giác có tia đầu Ou và tia cuối Ov, kí hiệu là (Ou, Ov).

Theo quy ước, chiều dương là chiều ngược kim đồng hồ, chiều âm là chiều kim đồng hồ. Do tia có thể quay nhiều vòng, hai tia Ou và Ov cố định có thể tạo thành vô số góc lượng giác với các số đo khác nhau.

Công thức số đo tổng quát của góc lượng giác

\[\alpha=\alpha_0+k\cdot360^\circ,\quad k\in\mathbb{Z}\]

Trong đó, \(\alpha_0\) là số đo của một góc lượng giác đã biết có cùng tia đầu và tia cuối; \(k\) là số nguyên. Khi dùng radian, công thức tương ứng là \(\alpha=\alpha_0+2k\pi\), với \(k\in\mathbb{Z}\).

Cần phân biệt rõ hai khái niệm dễ nhầm: Góc hình học giữa hai tia Ou, Ov chỉ có một số đo không âm, không vượt quá 180° và không quan tâm đến chiều quay; trong khi góc lượng giác (Ou, Ov) có thể có nhiều số đo, âm hoặc dương, vượt quá 360°, tùy theo chiều quay và số vòng quay của tia Om. Góc lượng giác được dùng để mô tả chuyển động quay trong vật lí (bánh xe, con lắc, dao động điều hòa) hay trong hàng hải, vì hướng quay và số vòng quay đều mang ý nghĩa thực tế.

Hệ thức Chasles (Sa-lơ)

Khi cần tính số đo của một góc lượng giác thông qua một tia trung gian, ta dùng hệ thức Chasles: với ba tia Ou, Ov, Ow bất kỳ,

Công thức hệ thức Chasles:

\[\begin{aligned}\operatorname{sđ}(Ou,Ov)&+\operatorname{sđ}(Ov,Ow)\\&=\operatorname{sđ}(Ou,Ow)+k\cdot360^\circ\end{aligned}\]

Trong đó, \(k\in\mathbb{Z}\). Khi dùng radian, thay \(360^\circ\) bằng \(2\pi\).

Hệ thức này cho phép tính gián tiếp số đo của góc (Ou, Ow) bằng cách cộng số đo hai góc thành phần (Ou, Ov) và (Ov, Ow), rồi điều chỉnh một bội nguyên của 360° (hoặc \(2\pi\) rad) sao cho phù hợp với điều kiện đề bài. Một hệ quả thường dùng là:

\[\begin{aligned}\operatorname{sđ}(Ou,Ov)&=\operatorname{sđ}(Ow,Ov)\\&\quad-\operatorname{sđ}(Ow,Ou)+k\cdot360^\circ\end{aligned}\]

với \(k\in\mathbb{Z}\).

Chẳng hạn, nếu số đo của hai góc lượng giác (Ou, Ov) và (Ov, Ow) lần lượt là 55° và 70°, thì theo hệ thức Chasles, số đo tổng quát của các góc (Ou, Ow) là:

\[\begin{aligned}\alpha&=55^\circ+70^\circ+k\cdot360^\circ\\&=125^\circ+k\cdot360^\circ,\quad k\in\mathbb{Z}\end{aligned}\]

Đơn vị radian và bảng góc lượng giác thường gặp

Trên một đường tròn bán kính R bất kỳ, cung tròn có độ dài đúng bằng R được gọi là cung có số đo 1 radian (viết tắt là 1 rad). Góc ở tâm chắn cung đó cũng được gọi là góc có số đo 1 radian.

Bên cạnh đơn vị độ quen thuộc, góc lượng giác còn được đo bằng radian (rađian) – đơn vị gắn liền với độ dài cung tròn, thuận tiện khi sử dụng các công thức lượng giác và giải tích.

Vì chu vi đường tròn bán kính R là \(2\pi R\), ứng với góc ở tâm 360°, còn cung có độ dài R ứng với góc 1 rad, nên \(2\pi\) rad tương ứng với 360°. Từ đó suy ra \(180^\circ=\pi\) rad, hay 1 rad ≈ 57,3° và 1° ≈ 0,01745 rad. Một cách tổng quát, góc có số đo \(a^\circ\) thì bằng \(\dfrac{a\pi}{180}\) rad; góc có số đo \(b\) rad thì bằng \(\dfrac{180b}{\pi}\) độ.

Khi ghi số đo radian, người ta thường lược bỏ tên đơn vị (ví dụ, \(\alpha=\pi/3\) được hiểu là \(\dfrac{\pi}{3}\) rad). Do đó, số đo tổng quát của góc lượng giác có thể viết là \(\alpha=\alpha_0+2k\pi\), với \(k\in\mathbb{Z}\).

Từ định nghĩa radian cũng suy ra công thức tính độ dài cung tròn: với cung có bán kính \(R\) và số đo \(\alpha\ge 0\) rad, độ dài cung là \(l=R\alpha\). Nếu dùng số đo góc có dấu thì độ dài cung tia quay quét được là \(l=R|\alpha|\). Khi số đo cung cho bằng \(n^\circ\) với \(n\ge0\), ta có \(l=\dfrac{\pi Rn}{180}\). Ví dụ, đường tròn bán kính \(R=10\) cm có cung số đo \(\dfrac{2\pi}{3}\) rad thì \(l=10\cdot\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{20\pi}{3}\approx20{,}94\) cm.

Bảng dưới đây liệt kê số đo radian tương ứng của các góc đặc biệt, rất hay gặp khi làm bài tập:

Để thực hiện thêm các phép đổi trên máy tính cầm tay, học sinh có thể tham khảo bài cách đổi từ độ sang radian và radian sang độ trên máy tính.

Đường tròn lượng giác và cách biểu diễn góc lượng giác

Đường tròn lượng giác là đường tròn định hướng, tâm O, bán kính R = 1, có điểm gốc A(1; 0), và chiều dương là chiều ngược chiều kim đồng hồ. Hai trục tọa độ chia mặt phẳng thành bốn góc phần tư I, II, III, IV, được đánh số theo chiều dương, bắt đầu từ góc phần tư phía trên bên phải. Việc quy ước bán kính bằng 1 không phải ngẫu nhiên: nhờ đó, các giá trị lượng giác (sin, cos) của một góc sau này được tính trực tiếp bằng tọa độ của điểm biểu diễn, không cần chia thêm cho bán kính như khi làm việc trên một đường tròn bán kính tuỳ ý.

Với mỗi góc (OA, OM) có số đo \(\alpha\), điểm M – giao điểm của tia OM với đường tròn lượng giác – được gọi là điểm biểu diễn của góc có số đo \(\alpha\). Vì các góc hơn kém nhau một bội nguyên của \(2\pi\) (tương đương \(360^\circ\)) có cùng tia đầu OA và cùng tia cuối, nên chúng có chung điểm biểu diễn M. Nhờ đó, nhiều số đo góc lượng giác được biểu diễn bởi cùng một điểm trên đường tròn.

Để xác định điểm biểu diễn của một góc lượng giác, trước hết đưa số đo \(\alpha\) về một góc tương đương \(\beta\in[0;2\pi)\) bằng cách cộng hoặc trừ một bội nguyên của \(2\pi\). Khi đó, điểm M thuộc góc phần tư nào được xác định theo các khoảng sau:

• Góc phần tư I: 0 < β < π/2, M có hoành độ dương, tung độ dương.

• Góc phần tư II: π/2 < β < π, M có hoành độ âm, tung độ dương.

• Góc phần tư III: π < β < 3π/2, M có hoành độ âm, tung độ âm.

• Góc phần tư IV: 3π/2 < β < 2π, M có hoành độ dương, tung độ âm.

Chẳng hạn, góc có số đo \(\dfrac{5\pi}{6}\) (tức 150°) có điểm biểu diễn M thuộc góc phần tư II vì \(\dfrac{\pi}{2}<\dfrac{5\pi}{6}<\pi\). Tương tự, các góc có số đo \(\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi\) (\(k\in\mathbb{Z}\)) có cùng điểm biểu diễn M. Nếu điểm nằm trên một trục tọa độ thì không thuộc góc phần tư nào.

Bài tập góc lượng giác lớp 11 có lời giải

Phần này tổng hợp 5 dạng bài tập góc lượng giác lớp 11 thường gặp, gồm đổi độ sang radian, tính độ dài cung, tìm số đo góc, vận dụng hệ thức Chasles và xác định điểm biểu diễn. Mỗi dạng có đề bài và lời giải.

Dạng 1: Đổi độ sang radian và ngược lại

Đề bài: Đổi số đo góc 127°30′ sang radian.

Lời giải: Ta có 127°30′ = 127,5°. Áp dụng công thức đổi độ sang radian: \(127{,}5\cdot\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{17\pi}{24}\). Vậy 127°30′ = \(\dfrac{17\pi}{24}\) rad.

Ví dụ đổi ngược lại: \(\dfrac{7\pi}{12}\) rad \(=\dfrac{7\cdot180^\circ}{12}=105^\circ\).

Dạng 2: Tính độ dài cung tròn

Đề bài: Một cung tròn trên đường tròn bán kính 18 cm có số đo \(\dfrac{5\pi}{6}\) rad. Tính độ dài cung đó.

Lời giải: Vì \(R=18\) cm và \(\alpha=\dfrac{5\pi}{6}>0\), áp dụng \(l=R\alpha\), ta được \(l=18\cdot\dfrac{5\pi}{6}=15\pi\approx47{,}12\) cm.

Dạng 3: Tìm số đo góc lượng giác thỏa điều kiện cho trước

Đề bài: Các góc lượng giác (Ou, Ov) có số đo tổng quát \(\alpha=40^\circ+k\cdot360^\circ\), \(k\in\mathbb{Z}\). Tìm số đo góc thuộc khoảng (−360°; 0°).

Lời giải: Ta cần \(-360^\circ<40^\circ+k\cdot360^\circ<0^\circ\). Suy ra \(-\dfrac{10}{9}<k<-\dfrac{1}{9}\), nên \(k=-1\). Vậy góc cần tìm có số đo \(40^\circ-360^\circ=-320^\circ\).

Dạng 4: Vận dụng hệ thức Chasles

Đề bài: Cho một góc lượng giác (Ox, Oy) có số đo 65° và một góc lượng giác (Oy, Oz) có số đo −140°. Tìm số đo tổng quát của các góc lượng giác (Ox, Oz).

Lời giải: Theo hệ thức Chasles:

\[\begin{aligned}\operatorname{sđ}(Ox,Oz)&=65^\circ+(-140^\circ)\\&\quad+k\cdot360^\circ\\&=-75^\circ+k\cdot360^\circ\end{aligned}\]

Với \(k\in\mathbb{Z}\).

Dạng 5: Xác định điểm biểu diễn và góc phần tư

Đề bài: Điểm M biểu diễn góc có số đo \(-\dfrac{7\pi}{6}\) thuộc góc phần tư nào trên đường tròn lượng giác?

Lời giải: Cộng thêm \(2\pi\) để đưa góc về khoảng \([0;2\pi)\): \(-\dfrac{7\pi}{6}+2\pi=\dfrac{5\pi}{6}\). Vì \(\dfrac{\pi}{2}<\dfrac{5\pi}{6}<\pi\), điểm M thuộc góc phần tư II.

Chiến thuật làm bài

Khi gặp bài toán góc lượng giác, nên xác định trước đề bài dùng độ hay radian; viết số đo dạng tổng quát \(\alpha_0+k\cdot360^\circ\) hoặc \(\alpha_0+2k\pi\) nếu cần xét mọi góc có cùng tia đầu và tia cuối. Với bài tìm số đo thuộc một khoảng, lập bất đẳng thức theo \(k\) rồi chọn \(k\in\mathbb{Z}\). Với bài xác định điểm biểu diễn hoặc góc phần tư, đưa số đo về \([0;2\pi)\) hoặc \([0^\circ;360^\circ)\) trước khi so sánh với các mốc \(\pi/2\), \(\pi\), \(3\pi/2\).

Những lỗi thường gặp khi làm bài tập góc lượng giác

• Trộn lẫn đơn vị độ và radian: Cộng trực tiếp hai số đo khác đơn vị có thể dẫn đến kết quả sai. Cách khắc phục là đổi các số đo về cùng đơn vị trước khi tính toán; khi dùng công thức độ dài cung, phải dùng radian và lấy giá trị tuyệt đối nếu số đo góc âm.

• Quên điều kiện \(k\) nguyên: Khi giải bất phương trình tìm \(k\), phải chọn giá trị nguyên thỏa mãn điều kiện \(k\in\mathbb{Z}\), không lấy các giá trị thập phân làm đáp án.

• Xác định sai góc phần tư: Với góc âm hoặc lớn hơn \(2\pi\), nên cộng hoặc trừ bội của \(2\pi\) để đưa về \([0;2\pi)\), sau đó xác định góc phần tư hoặc vị trí trên trục tọa độ.

Góc lượng giác là kiến thức nền tảng trong chương trình Toán 11 Kết nối tri thức. Học sinh cần nắm vững định nghĩa góc lượng giác, cách xác định số đo, đổi độ sang radian, hệ thức Chasles và cách biểu diễn góc trên đường tròn lượng giác. Đồng thời, việc luyện tập các dạng bài tập góc lượng giác lớp 11 giúp củng cố kỹ năng tính toán, xác định góc phần tư và vận dụng kiến thức chính xác.

Học sinh có thể tham khảo thêm các chuyên đề Toán 11 để củng cố kiến thức về giá trị lượng giác, công thức lượng giác và hàm số lượng giác.