Công thức lượng giác cơ bản lớp 11 | Bảng tổng hợp và bài tập

Nắm vững công thức lượng giác cơ bản là nền tảng giúp học sinh lớp 11 giải quyết các bài toán về hàm số lượng giác, phương trình lượng giác và biến đổi biểu thức lượng giác. Trong chương trình Toán 11, học sinh cần ghi nhớ 6 công thức lượng giác cơ bản, hiểu mối liên hệ giữa sin, cos, tan, cot và điều kiện áp dụng từng hệ thức. Bài viết tổng hợp bảng công thức lượng giác cơ bản lớp 11, hướng dẫn cách vận dụng, chứng minh các hệ thức lượng giác thông qua ví dụ minh họa và bài tập có lời giải chi tiết, giúp học sinh củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.

Công thức lượng giác cơ bản lớp 11

Các công thức lượng giác cơ bản lớp 11 gồm 6 hệ thức liên hệ giữa sin, cos, tan, cot. Học sinh nên nắm điều kiện xác định trước khi sử dụng bảng công thức để tính giá trị lượng giác, rút gọn biểu thức và chứng minh đẳng thức.

6 công thức lượng giác cơ bản lớp 11 và điều kiện áp dụng

Hệ thức lượng giác cơ bản giữa sin, cos, tan và cot

Bảng 6 công thức lượng giác cơ bản dưới đây được dùng để xác định mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác của cùng một góc. Các điều kiện áp dụng cần được kiểm tra khi biểu thức chứa tan hoặc cot.

Với những bài toán yêu cầu xét điều kiện của tan và cot, học sinh có thể tham khảo thêm cách tìm tập xác định của hàm số lượng giác để tránh sử dụng hệ thức tại các góc không xác định.

Đây là nhóm công thức được dùng nhiều nhất. Vì điểm \(M(\cos \alpha; \sin \alpha)\) nằm trên đường tròn đơn vị \(x^2+y^2=1\) nên ta có hệ thức đầu tiên [1]:

\(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\)

Chia hai vế của hệ thức này cho \(cos^2\alpha\) hoặc \(sin^2\alpha\), ta thu được hai hệ thức [1]:

• \[1 + \tan^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha} \quad (\cos\alpha \neq 0 \Leftrightarrow \alpha\neq\dfrac{\pi}{2}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z})\]

• \[1 + \cot^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha} \quad (\sin\alpha \neq 0 \Leftrightarrow\alpha\neq k\pi,\quad k\in\mathbb{Z})\]

Từ định nghĩa, \(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\) khi \(\cos\alpha\ne0\) và \(\cot\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\) khi \(\sin\alpha\ne0\). Khi cả tan và cot đều xác định, ta có hệ thức:

\(\tan\alpha \cdot \cot\alpha = 1 \quad \left(\alpha \neq \frac{k\pi}{2},\ k \in \mathbb{Z}\right)\)

Nhóm công thức này giúp xác định các giá trị lượng giác còn lại khi biết trước một giá trị lượng giác của một góc. Tuy nhiên, khi áp dụng (đặc biệt là khai căn), cần phải xét điều kiện xác định và vị trí góc phần tư của góc đó trên đường tròn lượng giác để chọn dấu (\(+\) hoặc \(-\)) chính xác.

Ví dụ: Nếu \(cos \alpha = 0,6\) thì \(\sin^2\alpha = 1 - 0{,}6^2 = 0{,}64 \ \Rightarrow\ \sin\alpha = \pm 0{,}8\), nên \(sin \alpha = 0,8\) hoặc \(sin\alpha=-0,8\). Dấu của \(sin\alpha\) phụ thuộc vào góc phần tư chứa \(\alpha\), vì vậy đề bài thường cho thêm khoảng giá trị của \(\alpha\).

Hệ thức lượng giác bậc cao (mở rộng)

Từ hệ thức cơ bản \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\), đặt \(a =sin^2\alpha\) và \(b =cos^2\alpha\), khi đó \(a + b = 1\). Ta có: \[a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab = 1 - 2ab, \qquad a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b) = 1 - 3ab\]

Khi đó, ta suy ra các đẳng thức sau, đúng với mọi \(\alpha\):

\(\begin{aligned} (\sin\alpha \pm \cos\alpha)^2 &= 1 \pm 2\sin\alpha\cos\alpha \\ \sin^4\alpha + \cos^4\alpha &= 1 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha \\ \sin^6\alpha + \cos^6\alpha &= 1 - 3\sin^2\alpha\cos^2\alpha \end{aligned}\)

Kiến thức nền trước khi học công thức lượng giác cơ bản

Đơn vị độ và radian

Theo hệ đo lường bằng độ, một góc bẹt có số đo là \(180^\circ\). Theo hệ đo lường radian, góc bẹt này có số đo là \(\pi\) radian; nếu xét đường tròn bán kính \(1\) thì cung tương ứng có độ dài \(\pi\). Như vậy, ta có công thức liên hệ giữa hai đơn vị độ và radian là: \(180^\circ=\pi\) radian.

Đổi từ độ sang radian: Vì \(180^\circ\) tương ứng với \(\pi\) radian, nên nếu chia cả hai bên cho \(180\), ta sẽ biết \(1^\circ\) bằng bao nhiêu radian: \(1^\circ = \frac{\pi}{180}\)rad

Quy tắc: Để đổi một số đo từ độ sang radian, lấy số đo đó nhân với \(\frac{\pi}{180}\).

Ví dụ:

• 45°: Lấy \(45 \times \frac{\pi}{180}\). Rút gọn phân số (chia cả tử và mẫu cho 45), ta được kết quả là \(\frac{\pi}{4}\) rad.

• 60°: Lấy \(60 \times \frac{\pi}{180}\). Rút gọn phân số (chia cho 60), ta được \(\frac{\pi}{3}\) rad.

• 90°: Lấy \(90 \times \frac{\pi}{180}\). Rút gọn phân số (chia cho 90), ta được \(\frac{\pi}{2}\) rad.

Đổi từ radian sang độ: Ngược lại, từ \(\pi\) rad = \(180^\circ\), nếu chia cả hai bên cho \(\pi\), ta sẽ biết 1 radian bằng bao nhiêu độ:\(1 \ \text{rad} = \left(\frac{180}{\pi}\right)^\circ\)

Quy tắc: Để đổi một số đo từ radian sang độ, lấy số đó nhân với \(\frac{180}{\pi}\). (Lúc này \(\pi\) ở tử số và mẫu số sẽ có thể rút gọn nếu xuất hiện ở cả tử và mẫu).

Ví dụ:

• Muốn đổi \(\frac{\pi}{6}\) rad sang độ: Lấy \(\frac{\pi}{6} \times \frac{180}{\pi} = \frac{180}{6} =30^\circ\).

Bảng tra cứu nhanh các góc cơ bản:

Tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông

Tỉ số lượng giác của một góc nhọn trong tam giác vuông là các tỉ số giữa độ dài các cạnh của tam giác đó. Để xác định các tỉ số này, khi xét một góc nhọn \(\alpha\) trong tam giác vuông, ta quy ước các cạnh như sau:

• Cạnh huyền: Cạnh dài nhất trong tam giác, nằm đối diện với góc vuông.

• Cạnh đối: Cạnh nằm đối diện trực tiếp với góc \(\alpha\).

• Cạnh kề: Cạnh nằm sát bên góc \(\alpha\) (cùng với cạnh huyền tạo thành góc \(\alpha\)).

Tỉ số lượng giác cơ bản:

• Sin (Sinus)

  • Định nghĩa: Tỉ số giữa độ dài cạnh đối và cạnh huyền.

  • Công thức: \(sin(\alpha)\) = Cạnh đối / Cạnh huyền

• Cos (Cosinus)

  • Định nghĩa: Tỉ số giữa độ dài cạnh kề và cạnh huyền.

  • Công thức: \(cos(\alpha)\) = Cạnh kề / Cạnh huyền

• Tan (Tang)

  • Định nghĩa: Tỉ số giữa độ dài cạnh đối và cạnh kề.

  • Công thức: \(tan(\alpha)\) = Cạnh đối / Cạnh kề

• Cot (Cotang)

  • Định nghĩa: Tỉ số giữa độ dài cạnh kề và cạnh đối.

  • Công thức: \(cot(\alpha)\) = Cạnh kề / Cạnh đối

Tính chất của các giá trị lượng giác:

• Giới hạn giá trị: Vì cạnh huyền luôn là cạnh dài nhất nên giá trị của \(sin(\alpha)\) và \(cos(\alpha)\) luôn lớn hơn \(0\) và nhỏ hơn \(1\).

• Tính nghịch đảo: \(tan\)và \(cot\)của cùng một góc là nghịch đảo của nhau. Nếu biết \(tan\), có thể tính \(cot\) bằng công thức: \(cot(\alpha)=\frac{1}{tan(\alpha)}\).

• Mối liên hệ giữa các giá trị: \(tan(\alpha)=\frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)}\) và \(cot(\alpha)=\frac{cos(\alpha)}{sin(\alpha)}\).

Cách ghi nhớ tỉ số lượng giác:

• Sin Đi Học (Đối / Huyền)

• Cos Không Hư (Kề / Huyền)

• Tan Đoàn Kết (Đối / Kề)

• Cot Kết Đoàn (Kề / Đối)

Đường tròn lượng giác trong công thức lượng giác

Có thể hình dung đường tròn lượng giác trên hệ trục tọa độ \(Oxy\). Tại gốc tọa độ \(O\), ta vẽ một đường tròn có bán kính đúng bằng \(1\). Đây chính là đường tròn lượng giác. Khi quét một góc \(\alpha\) (xuất phát từ phần dương của trục \(Ox\)), cạnh của góc này sẽ cắt đường tròn tại một điểm \(M\). Toàn bộ các giá trị lượng giác của góc \(\alpha\) đều được suy ra từ tọa độ của điểm \(M\)này.

Giá trị lượng giác trên đường tròn lượng giác: Với mỗi góc \(\alpha\), điểm \(M\)trên đường tròn lượng giác (tâm \(O\), bán kính \(1\)) có tọa độ (\(cos\alpha;sin\alpha\)). Hai giá trị còn lại được định nghĩa như sau:

• \(tan\alpha=\frac{sin\alpha}{cos\alpha}\) (điều kiện: \(cos\alpha\neq0\))

• \(cot\alpha=\frac{cos\alpha}{sin\alpha}\) (điều kiện: \(sin\alpha\neq0\))

Vì \(M\) nằm trên đường tròn bán kính \(1\) nên luôn có \(-1\le \sin \alpha \le1\) và \(−1\le \cos \alpha \le1\).

Dấu của các giá trị lượng giác. Xét dấu theo từng góc phần tư của đường tròn lượng giác:

• Góc phần tư I: \(sin, cos, tan, cot\) đều dương.

• Góc phần tư II: chỉ \(sin\) dương.

• Góc phần tư III: chỉ \(tan\) và \(cot\) dương.

• Góc phần tư IV: chỉ \(cos\) dương.

Có thể nhớ nhanh bằng câu: "Nhất cả, nhì sin, tam tan, tứ cos".

Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

Cách ghi nhớ bảng giá trị lượng giác đặc biệt: Với \(\sin\), hãy viết giá trị của các góc \(0^\circ\), \(30^\circ\), \(45^\circ\), \(60^\circ\), \(90^\circ\) dưới dạng \(\frac{\sqrt{0}}{2}\), \(\frac{\sqrt{1}}{2}\), \(\frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\frac{\sqrt{4}}{2}\). Rút gọn lại sẽ được \(0\), \(\frac{1}{2}\), \(\frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), \(1\). Với \(\cos\), chỉ cần viết dãy này theo thứ tự ngược lại. Còn\(\tan = \frac{\sin}{\cos}\) nên tính ngay được từ hai dãy giá trị trên.

Nhóm công thức lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt

Nhóm công thức này giúp đưa một góc lạ về góc quen thuộc trong khoảng từ \(0\) đến \(\frac{\pi}{2}\).

Công thức lượng giác biến đổi các góc liên quan

1. Hai góc đối nhau (\(\alpha\) và \(-\alpha\)) [1]:

   • \(\cos(-\alpha) = \cos\alpha\)

   • \(\sin(-\alpha) = -\sin\alpha\)

   • \(\tan(-\alpha) = -\tan\alpha\)

   • \(\cot(-\alpha) = -\cot\alpha\)

2. Hai góc bù nhau (\(\alpha\) và \(\pi-\alpha\)) [1]:

   • \(\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha\)

   • \(\cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha\)

   • \(\tan(\pi - \alpha) = -\tan\alpha\)

   • \(\cot(\pi - \alpha) = -\cot\alpha\)

3. Hai góc phụ nhau (\(\alpha\)và \(\frac{\pi}{2}-\alpha\)) [1]:

   • \(\sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cos\alpha\)

   • \(\cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin\alpha\)

   • \(\tan\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cot\alpha\)

   • \(\cot\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \tan\alpha\)

4. Hai góc hơn kém \(\pi\) (\(\alpha\)và \(\alpha+\pi\)) [1]:

   • \(\sin(\alpha + \pi) = -\sin\alpha\)

   • \(\cos(\alpha + \pi) = -\cos\alpha\)

   • \(\tan(\alpha + \pi) = \tan\alpha\)

   • \(\cot(\alpha + \pi) = \cot\alpha\)

5. Hai góc hơn kém \(\frac{\pi}{2}\) (\(\alpha\)và \(\alpha+\frac{\pi}{2}\)) [1]:

   • \(\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right) = \cos\alpha\)

   • \(\cos\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin\alpha\)

   • \(\tan\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right) = -\cot\alpha\)

   • \(\cot\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right) = -\tan\alpha\)

Có thể nhớ bằng câu: “Cos đối, sin bù, phụ chéo, hơn kém \(\pi\) thì tan và cot”. Nghĩa là: với góc đối, chỉ cos giữ nguyên; với góc bù, chỉ sin giữ nguyên; với góc phụ, sin đổi thành cos và tan đổi thành cot (và ngược lại); với góc hơn kém \(\pi\), chỉ tan và cot giữ nguyên.

Công thức lượng giác dựa vào tính tuần hoàn

Ta có: \(sin\) và \(cos\) lặp lại sau mỗi \(2\pi\), còn \(tan\) và \(cot\) lặp lại sau mỗi \(\pi\). Với mọi số nguyên \(k\):

\(\begin{aligned} \sin(\alpha + k2\pi) &= \sin\alpha, & \cos(\alpha + k2\pi) &= \cos\alpha \\ \tan(\alpha + k\pi) &= \tan\alpha, & \cot(\alpha + k\pi) &= \cot\alpha \end{aligned}\)

Trường hợp khái quát:

1. Góc dạng \(\alpha+k\pi\). Với mọi số nguyên \(k\):

   • \(\sin(\alpha + k\pi) = (-1)^k\sin\alpha\)

   • \(\cos(\alpha + k\pi) = (-1)^k\cos\alpha\)

2. Góc dạng \(k\cdot\frac{\pi}{2} \pm \alpha \quad (k \in \mathbb{Z})\). Ta có thể biến đổi rút gọn công thức lượng giác theo các bước sau:

   • Bước 1 (Xét số nguyên \(k\)): nếu \(k\) chẵn thì giữ nguyên hàm; nếu \(k\) lẻ thì đổi \(sin ↔ cos\) và \(tan ↔ cot\).

   • Bước 2: Coi \(\alpha\) là góc nhọn, xác định góc đã cho \(\left(k\cdot\frac{\pi}{2} \pm \alpha\right)\) nằm ở góc phần tư nào trên đường tròn lượng giác.

   • Bước 3: Lấy dấu của hàm số ban đầu tại góc phần tư đó, đặt trước hàm số mới đã biến đổi.

Ví dụ 1: Rút gọn: \(\sin\left(\frac{3\pi}{2} - x\right)\)

Lời giải:

Bước 1 (Xét số nguyên \(k\)): Ở đây \(k = 3\) là số lẻ nên \(sin\) đổi thành \(cos\).

Bước 2: Với \(x\) là góc nhọn, ta có: \(0<x<\frac{\pi}{2}\Leftrightarrow\pi<\frac{3\pi}{2}-x<\frac{3\pi}{2}\). Như vậy, góc đã cho nằm ở góc phần tư III.

Bước 3: Tại góc phần tư III, giá trị \(\sin\) (hàm số ban đầu) mang dấu âm (\(-\)). Đặt dấu (\(-\)) trước hàm số mới là \(cos\) để thu về kết quả.

Kết luận: \(\sin\left(\frac{3\pi}{2} - x\right)=-cosx\)
Ví dụ 2: Rút gọn: \(\cos\left(x - \frac{5\pi}{2}\right)\)

Lời giải:

Vì \(cos\) là hàm chẵn nên ta đổi dấu bên trong. Ta có: \(\cos\left(x - \frac{5\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{5\pi}{2} - x\right)\)

Bước 1 (Xét số nguyên \(k\)): Ở đây \(k=5\) là số lẻ nên \(cos\) đổi thành \(sin\).

Bước 2: Với \(x\) là góc nhọn, ta có: \(0<x<\frac{\pi}{2}\Leftrightarrow2\pi<\frac{5\pi}{2}-x<\frac{5\pi}{2}\Leftrightarrow0<\frac{5\pi}{2}-x<\frac{\pi}{2}\). Như vậy, góc đã cho nằm ở góc phần tư I.

Bước 3: Tại góc phần tư I, giá trị \(\cos\) (hàm số ban đầu) mang dấu dương (\(+\)). Đặt dấu (\(+\)) trước hàm số mới là \(sin\) để thu về kết quả.

Kết luận: \(\cos\left(x - \frac{5\pi}{2}\right)=\sin x\)

Ví dụ 3: Rút gọn: \(\sin(x + 2025\pi)\)

Lời giải:

Với góc dạng \(\alpha+k\pi\), ta có:

\(\sin(x + 2025\pi) = (-1)^{2025}\sin x = -\sin x\)

Công thức lượng giác cộng hai góc

Công thức cộng cho phép tính giá trị lượng giác của tổng hoặc hiệu hai góc và là “gốc” để suy ra nhiều công thức khác [1]: \(\begin{aligned} \sin(a + b) &= \sin a\cos b + \cos a\sin b \\ \sin(a - b) &= \sin a\cos b - \cos a\sin b \\ \cos(a + b) &= \cos a\cos b - \sin a\sin b \\ \cos(a - b) &= \cos a\cos b + \sin a\sin b \\ \tan(a + b) &= \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a\tan b} \\ \tan(a - b) &= \frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a\tan b} \end{aligned}\)

Lưu ý: Với công thức của \(tan\), cần có \(tan a\), \(tan b\) và \(tan(a \pm b)\) xác định, đồng thời mẫu số khác \(0\).

Cách ghi nhớ: Với \(sin\), dấu ở vế phải giữ nguyên như dấu ở vế trái; với \(cos\), dấu ở vế phải ngược với dấu ở vế trái. Công thức của \(sin\) có dạng “\(sin cos, cos sin\)”; công thức của \(cos\) có dạng “\(cos cos, sin sin\)”.

Ngoài ra, các công thức góc phụ cũng suy ra được từ công thức cộng. Chẳng hạn: \(\cos\left(\frac{\pi}{2} - a\right) = \cos\frac{\pi}{2}\cos a + \sin\frac{\pi}{2}\sin a = 0\cdot\cos a + 1\cdot\sin a = \sin a\)Lỗi hay gặp: Tách trực tiếp phép cộng trong ngoặc ra ngoài. Chẳng hạn, có thể nhầm lẫn và viết \(sin(a + b) = sin a + sin b\). Điều này sai, vì \(sin\) không “tách” được qua phép cộng. Hãy thử với hai góc bằng nhau:

\(\sin\left(30^\circ + 30^\circ\right) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \sin 30^\circ + \sin 30^\circ = 1\)

Hai kết quả khác nhau, nên hai biểu thức không bằng nhau.

Công thức lượng giác nhân đôi và hạ bậc

Công thức nhân đôi

Cho \(a = b\) trong công thức cộng, ta có công thức nhân đôi [1]:

Đối với công thức tan 2a, cần có cos a ≠ 0 và cos 2a ≠ 0 (tương đương mẫu số 1 − tan²a khác 0).

\(\begin{aligned} \sin 2a &= 2\sin a\cos a \\ \cos 2a &= \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a \\ \tan 2a &= \frac{2\tan a}{1 - \tan^2 a} \end{aligned}\)

Công thức hạ bậc

Từ biểu thức biểu diễn \(cos 2a\), ta suy ra công thức hạ bậc. Công thức này biến bình phương của \(sin, cos\) thành biểu thức bậc nhất theo \(cos 2a\):

\(\begin{aligned} \sin^2 a &= \frac{1 - \cos 2a}{2} \\ \cos^2 a &= \frac{1 + \cos 2a}{2} \\ \tan^2 a &= \frac{1 - \cos 2a}{1 + \cos 2a} \end{aligned}\)

Chọn biểu thức nào để biểu diễn \(cos 2a\): Ba dạng của \(cos 2a\) đều đúng, nhưng mỗi dạng hợp với một tình huống. Khi bài toán chỉ có \(cos\), hãy dùng dạng \(2cos^2a− 1\). Khi chỉ có sin, hãy dùng dạng \(1 −2sin^2a\). Khi có cả hai, dùng dạng \(cos^2a-sin^2a\).

Công thức mở rộng

Đọc ngược công thức: Cách đọc ngược thường dùng để rút gọn biểu thức:

• \(\sin a\cos a=\frac12\sin2a\)

• \(\cos^2a-\sin^2a=\cos2a\)

Trường hợp khái quát: Các công thức trên đúng với mọi góc \(a\), nên có thể thay \(a\) bằng \(\frac{a}{2}, 2a, 3a\), ... Chẳng hạn:

• \(\sin 4a = 2\sin 2a\cos 2a\)

• \(\cos a = 2\cos^2\frac{a}{2} - 1\)

• \(\cos 6a = 1 - 2\sin^2 3a\)

Công thức lượng giác biến đổi tích thành tổng

Dùng khi cần đổi một tích của \(sin, cos\) thành tổng để rút gọn hoặc tính giá trị [1]:

\(\begin{aligned} \cos a\cos b &= \frac{1}{2}\left[\cos(a - b) + \cos(a + b)\right] \\ \sin a\sin b &= \frac{1}{2}\left[\cos(a - b) - \cos(a + b)\right] \\ \sin a\cos b &= \frac{1}{2}\left[\sin(a - b) + \sin(a + b)\right] \\ \cos a\sin b &= \frac{1}{2}\left[\sin(a + b) - \sin(a - b)\right] \end{aligned}\)

Cách nhớ: Học sinh không cần học thuộc từng công thức, chỉ cần cộng hoặc trừ các công thức trong phép cộng vế theo vế. Chẳng hạn, cộng \(cos(a − b)\) với \(cos(a + b)\):

\(\cos(a - b) + \cos(a + b) = 2\cos a\cos b\)

Chia hai vế cho 2 là có công thức đầu tiên. Các công thức còn lại làm tương tự.

Công thức lượng giác biến đổi tổng thành tích

Dùng khi cần đưa một tổng hoặc hiệu về dạng tích để rút gọn phân thức hoặc giải phương trình [1]:

\(\begin{aligned} \cos a + \cos b &= 2\cos\frac{a + b}{2}\cos\frac{a - b}{2} \\ \cos a - \cos b &= -2\sin\frac{a + b}{2}\sin\frac{a - b}{2} \\ \sin a + \sin b &= 2\sin\frac{a + b}{2}\cos\frac{a - b}{2} \\ \sin a - \sin b &= 2\cos\frac{a + b}{2}\sin\frac{a - b}{2} \end{aligned}\)

Cách ghi nhớ: “cos cộng cos bằng 2 cos cos; cos trừ cos bằng trừ 2 sin sin; sin cộng sin bằng 2 sin cos; sin trừ sin bằng 2 cos sin”.

Bản chất của công thức biến đổi tổng thành tích: Nếu đặt \(u =\frac{a+b}{2}\) và \(v=\frac{a-b}{2}\) thì \(a = u + v\) và \(b = u − v\). Khi đó, công thức tổng thành tích chính là công thức tích thành tổng đọc ngược. Chẳng hạn:

\(\sin(u + v) + \sin(u - v) = 2\sin u\cos v\)

Cách áp dụng công thức: Nếu bài toán có một tích như \(sin 3x cos x\), hãy đổi tích thành tổng để các hạng tử đơn giản hơn. Nếu bài toán có một tổng như \(sin x + sin 3x\), hãy đổi tổng thành tích để rút nhân tử chung hoặc giải phương trình. Khi áp dụng, nên ghép các góc sao cho nửa tổng và nửa hiệu là những góc đẹp, chẳng hạn ghép \(5x\) với \(x\) để được \(3x\) và \(2x\).

Trường hợp khái quát cho \(tan\) và \(cot\): Từ định nghĩa \(tan =\frac{sin}{cos}\) và \(cot =\frac{cos}{sin}\), ta có:

\(\begin{aligned} \tan a + \tan b &= \frac{\sin(a + b)}{\cos a\cos b}, & \tan a - \tan b &= \frac{\sin(a - b)}{\cos a\cos b} \\ \cot a + \cot b &= \frac{\sin(a + b)}{\sin a\sin b}, & \cot a - \cot b &= \frac{\sin(b - a)}{\sin a\sin b} \end{aligned}\)

Điều kiện là các hàm \(tan, cot\) ở hai vế đều xác định.

Mở rộng: Công thức lượng giác nhân ba

Công thức nhân ba được suy ra từ công thức cộng và công thức nhân đôi. Với \(sin\), ta viết \(3a = 2a + a\):

\(\begin{aligned} \sin 3a &= \sin(2a + a) = \sin 2a\cos a + \cos 2a\sin a \\ &= 2\sin a\cos^2 a + (1 - 2\sin^2 a)\sin a \\ &= 2\sin a(1 - \sin^2 a) + \sin a - 2\sin^3 a \\ &= 3\sin a - 4\sin^3 a \end{aligned}\)

Với \(cos\), ta làm tương tự:

\(\begin{aligned} \cos 3a &= \cos(2a + a) = \cos 2a\cos a - \sin 2a\sin a \\ &= (2\cos^2 a - 1)\cos a - 2\sin^2 a\cos a \\ &= 2\cos^3 a - \cos a - 2(1 - \cos^2 a)\cos a \\ &= 4\cos^3 a - 3\cos a \end{aligned}\)

Tổng hợp lại, ta có công thức nhân ba:

\(\begin{aligned} \sin 3a &= 3\sin a - 4\sin^3 a \\ \cos 3a &= 4\cos^3 a - 3\cos a \\ \tan 3a &= \frac{3\tan a - \tan^3 a}{1 - 3\tan^2 a} \end{aligned}\)

Nhận xét tổng quát: Nhìn vào các công thức nhân đôi, nhân ba, nhân bốn, ta thấy \(cos\) của một góc bội luôn viết được thành đa thức của \(cos a\):

• \(\cos 2a = 2\cos^2 a - 1\)

• \(\cos 3a = 4\cos^3 a - 3\cos a\)

• \(\cos 4a = 8\cos^4 a - 8\cos^2 a + 1\)

Như vậy, \(cos na\) là một đa thức bậc \(n\) của \(cos a\), với mọi số nguyên dương \(n\).

Mở rộng (nâng cao). Có hai đẳng thức đẹp liên quan đến công thức nhân ba:

• \(\sin a\,\sin(60^\circ - a)\,\sin(60^\circ + a) = \frac{1}{4}\sin 3a\)

• \(\cos a\,\cos(60^\circ - a)\,\cos(60^\circ + a) = \frac{1}{4}\cos 3a\)

Mở rộng: Công thức lượng giác hạ bậc ba, bậc bốn và nhân bốn

Khi gặp lũy thừa bậc cao của \(sin\) hoặc \(cos\) , ta dùng công thức hạ bậc để đưa về biểu thức bậc nhất theo \(sin\) hoặc \(cos\) của các góc bội.

Công thức hạ bậc ba (suy ra từ công thức nhân ba):

• \(\sin^3a=\frac{3\sin a - \sin3a}{4},\)

• \(\cos^3 a = \frac{3\cos a + \cos 3a}{4}\)

Công thức hạ bậc bốn (Áp dụng công thức hạ bậc hai lần):

• \(\sin^4 a = \frac{3 - 4\cos 2a + \cos 4a}{8},\)

• \(\cos^4 a = \frac{3 + 4\cos 2a + \cos 4a}{8}\)

Công thức hạ bậc sáu (Tham khảo):

• \(\sin^6 a = \frac{10 - 15\cos 2a + 6\cos 4a - \cos 6a}{32}\)

• \(cos^6 a = \frac{10 + 15\cos 2a + 6\cos 4a + \cos 6a}{32}\)

Quy tắc chung: Lũy thừa chẵn của \(sin\) hoặc \(cos\) hạ bậc thành một hằng số cộng với các \(cos\) của góc bội chẵn (\(2a, 4a, 6a\), ...). Lũy thừa lẻ hạ bậc thành \(sin\) hoặc \(cos\) của góc \(a\) và các góc bội lẻ (\(3a, 5a\), ...).

Công thức nhân bốn (Áp dụng công thức nhân đôi hai lần):

\(\begin{aligned} \sin 4a &= 2\sin 2a\cos 2a = 4\sin a\cos a\cos 2a \\ \cos 4a &= 2\cos^2 2a - 1 = 8\cos^4 a - 8\cos^2 a + 1 \end{aligned}\)

Công thức lượng giác biến đổi theo \(tan\) nửa góc

Đặt \(t = \tan(\frac{a}{2})\). Khi đó \(sin a\), \(cos a\) và \(tan a\) đều biểu diễn được theo \(t\) bằng biểu thức hữu tỉ:

\(\sin a = \frac{2t}{1 + t^2}, \qquad \cos a = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}, \qquad \tan a = \frac{2t}{1 - t^2}\)

Điều kiện: \(cos(a/2)\) khác \(0\) để \(t\) xác định; với công thức của \(tan a\) cần thêm một điều kiện là \(1 −t^2\) khác \(0\).

Chứng minh công thức: Ta có: \(t =\tan(\frac{a}{2})\), nên \(\frac{1}{\cos^2(\dfrac{a}{2})}=1+t^2\). Khi đó, ta có:

• \(\sin a = 2\sin\frac{a}{2}\cos\frac{a}{2} = 2\tan\frac{a}{2}\cos^2\frac{a}{2} = \frac{2t}{1 + t^2}\)

• \(\cos a = \cos^2\frac{a}{2}\left(1 - \tan^2\frac{a}{2}\right) = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}\)

Công thức theo góc nửa: Từ công thức hạ bậc, thay \(a\) bằng \(a/2\):

• \(\sin^2\frac{a}{2} = \frac{1 - \cos a}{2}\)

• \(\cos^2\frac{a}{2} = \frac{1 + \cos a}{2}\)

• \(\tan\frac{a}{2} = \frac{\sin a}{1 + \cos a} = \frac{1 - \cos a}{\sin a}\)

Các công thức này chỉ dùng khi các mẫu số khác \(0\). Công thức theo \(t\) thường được dùng để đưa một phương trình lượng giác về phương trình đại số theo \(t\).

Công thức lượng giác cộng cho ba góc và ứng dụng trong tam giác

Công thức cộng ba góc

Áp dụng công thức cộng hai lần, bằng cách viết \(a + b + c = (a + b) + c\), ta được:\(\begin{aligned} \sin(a + b + c) &= \sin a\cos b\cos c + \cos a\sin b\cos c + \cos a\cos b\sin c - \sin a\sin b\sin c \\ \cos(a + b + c) &= \cos a\cos b\cos c - \cos a\sin b\sin c - \sin a\cos b\sin c - \sin a\sin b\cos c \\ \tan(a + b + c) &= \frac{\tan a + \tan b + \tan c - \tan a\tan b\tan c}{1 - \tan a\tan b - \tan b\tan c - \tan c\tan a} \end{aligned}\)

Ứng dụng trong tam giác ABC

Vì \(\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} =\pi\) nên \(\widehat{A} +\widehat{B} = \pi −\widehat{C}\). Do đó:

• \(\sin(A + B) = \sin C\)

• \(\cos(A + B) = -\cos C\)

• \(\tan A + \tan B + \tan C = \tan A\tan B\tan C\), với tam giác không có góc vuông.

Hai đẳng thức thường gặp khác trong tam giác là:

• \(\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 4\sin A\sin B\sin C\)

• \(\sin A + \sin B + \sin C = 4\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}\)

Công thức lượng giác cho biểu thức \(a sin x + b cos x\)

Với \(a\) và \(b\) không đồng thời bằng \(0\), ta có thể gộp biểu thức \(a sin x + b cos x\) thành một hàm \(sin\) duy nhất:

\(a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2 + b^2}\,\sin(x + \varphi)\)

với \(\cos\varphi = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}, \quad \sin\varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}\)

Ta có miền giá trị của biểu thức:

\(-\sqrt{a^2 + b^2} \le a\sin x + b\cos x \le \sqrt{a^2 + b^2}\)

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất lần lượt là căn của \((a^2+b^2)\) và số đối của nó. Với \(a,b\) không đồng thời bằng \(0\), phương trình \(a sin x + b cos x = c\) có nghiệm khi và chỉ khi: \(a^2 + b^2 \ge c^2\)

Hai trường hợp đặc biệt hay gặp:

• \(\sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)\)

• \(\sin x - \cos x = \sqrt{2}\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\)

Mở rộng: Công thức nghiệm của phương trình lượng giác

Công thức nghiệm cơ bản

Dạng cơ bản: Với mọi số nguyên \(k\), ta có:

\(\begin{aligned} \sin x = \sin\alpha &\Leftrightarrow x = \alpha + k2\pi \ \lor\ x = \pi - \alpha + k2\pi \\ \cos x = \cos\alpha &\Leftrightarrow x = \pm\alpha + k2\pi \\ \tan x = \tan\alpha &\Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \\ \cot x = \cot\alpha &\Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \end{aligned}\)

Trường hợp khái quát với hai biểu thức u, v bất kỳ: Công thức vẫn đúng khi thay \(x\) và \(\alpha\) bằng các biểu thức chứa \(x\):

\(\begin{aligned} \sin u = \sin v &\Leftrightarrow u = v + k2\pi \ \lor\ u = \pi - v + k2\pi \\ \cos u = \cos v &\Leftrightarrow u = \pm v + k2\pi \\ \tan u = \tan v &\Leftrightarrow u = v + k\pi \end{aligned}\)

Các phương trình khác dạng được đưa về dạng trên nhờ góc liên quan đặc biệt:

\(\begin{aligned} \sin u = \cos v &\Leftrightarrow \sin u = \sin\left(\frac{\pi}{2} - v\right) \\ \cos u = -\cos v &\Leftrightarrow \cos u = \cos(\pi - v) \\ \sin u = -\sin v &\Leftrightarrow \sin u = \sin(-v) \end{aligned}\)

Khi giá trị không phải là giá trị đặc biệt: Với giá trị không đặc biệt, sử dụng các hàm lượng giác ngược \(arcsin, arccos, arctan, arccot\), có thể tra kết quả bằng máy tính cầm tay:

\(\begin{aligned} \sin x = m &\Leftrightarrow x = \arcsin m + k2\pi \ \lor\ x = \pi - \arcsin m + k2\pi \quad (-1 \le m \le 1) \\ \cos x = m &\Leftrightarrow x = \pm\arccos m + k2\pi \quad (-1 \le m \le 1) \\ \tan x = m &\Leftrightarrow x = \arctan m + k\pi \\ \cot x = m &\Leftrightarrow x = \operatorname{arccot} m + k\pi \end{aligned}\)

Nếu \(m\) nằm ngoài đoạn từ \(−1\) đến \(1\) thì \(sin x = m\) và \(cos x = m\) vô nghiệm. Còn \(tan x = m\) và \(cot x = m\) luôn có nghiệm với mọi \(m\).

Các trường hợp đặc biệt

Trường hợp đặc biệt của \(sin\):

\(\begin{aligned} \sin x = 0 &\Leftrightarrow x = k\pi \\ \sin x = 1 &\Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k2\pi \\ \sin x = -1 &\Leftrightarrow x = -\frac{\pi}{2} + k2\pi \end{aligned}\)

Trường hợp đặc biệt của \(cos\):

\(\begin{aligned} \cos x = 0 &\Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi \\ \cos x = 1 &\Leftrightarrow x = k2\pi \\ \cos x = -1 &\Leftrightarrow x = \pi + k2\pi \end{aligned}\)

Ba dạng phương trình thường gặp

Dạng 1: bậc hai theo một hàm lượng giác

\(a\sin^2 x + b\sin x + c = 0\)

Cách giải: Đặt \(t = sin x\) với điều kiện \(−1 ≤ t ≤ 1\), giải phương trình bậc hai theo \(t\) rồi quay lại tìm \(x\) từ \(\sin x=t\). Với \(cos\) làm tương tự; với \(tan\) và \(cot\)thì \(t\) không bị giới hạn.

Dạng 2: bậc nhất theo sin và cos

\(a\sin x + b\cos x = c\)

Cách giải: Dùng công thức ở phần trên để đưa về phương trình \(sin(x + φ)\) bằng một hằng số, có nghiệm khi \(a^2+b^2\ge c^2\).

Dạng 3: phương trình bậc hai theo sin và cos

\(a\sin^2 x + b\sin x\cos x + c\cos^2 x = 0\)

Cách giải: Trước hết, kiểm tra xem \(cos x = 0\) có phải nghiệm không. Nếu không, chia hai vế cho \(cos^2x\) để được phương trình bậc hai theo \(tan x\):

\(a\tan^2 x + b\tan x + c = 0\)

Sau khi giải phương trình bậc hai theo t = tan x, ta trở lại tìm x bằng công thức nghiệm tương ứng.

Bảng công thức lượng giác cơ bản lớp 11 và công thức mở rộng

Các bảng dưới đây tóm gọn toàn bộ công thức của phần 1 để học sinh tra cứu và ôn nhanh trước khi làm bài.

Giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt

Hệ thức lượng giác cơ bản

Giá trị lượng giác của các góc liên quan đặc biệt

Công thức cộng, nhân đôi và hạ bậc

Biến đổi tích thành tổng và tổng thành tích

Công thức bậc cao và công thức mở rộng

Nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản (k là số nguyên)

Những lỗi thường gặp cần tránh khi dùng công thức lượng giác

• Quên xét dấu khi lấy căn bậc hai. Từ \(\sin^2 \alpha =\dfrac{16}{25}\), ta chỉ kết luận được \(\sin \alpha = \pm \dfrac{4}{5}\); cần dựa vào góc phần tư của \(\alpha\) để chọn một dấu.

• Nhầm dấu trong công thức cộng của \(cos\). Hãy nhớ: \(cos(a + b)\) có dấu trừ, \(cos(a − b)\) có dấu cộng.

• Dùng công thức của \(tan\) khi \(cos\) hoặc \(sin\) của góc bằng \(0\). Luôn kiểm tra điều kiện xác định trước khi biến đổi.

• Viết sai công thức nhân đôi, chẳng hạn cho rằng \(sin 2a = 2 sin a\). Có thể kiểm tra bằng cách thay một góc cụ thể để nhận thấy công thức không đúng.

• Thiếu chu kì trong nghiệm. Với \(sin\) và \(cos\), nghiệm có dạng cộng \(k2π\); với \(tan\) và \(cot\), nghiệm có dạng cộng \(kπ\).

• Quên đổi đơn vị giữa độ và radian trước khi áp dụng công thức nghiệm.

Ví dụ áp dụng công thức lượng giác cơ bản và mở rộng

Các ví dụ dưới đây đi từ cơ bản đến nâng cao. Hãy tự giải trước khi đọc lời giải để kiểm tra mức độ hiểu công thức của mình.

Tính giá trị bằng công thức lượng giác khi biết một giá trị

Ví dụ: Cho \(\alpha\) thuộc khoảng (\(\frac{\pi}{2};\pi\)) và: \(\sin\alpha = \frac{3}{5}\). Tính \(\cos \alpha\) và \(\tan\alpha\)

Lời giải:

Từ hệ thức \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\), ta có:

\(\cos^2\alpha = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \Rightarrow \cos\alpha = \pm\frac{4}{5}\)

Vì \(\alpha\) thuộc góc phần tư II nên \(\cos\alpha<0\), do đó:

\[\cos\alpha = -\frac{4}{5}, \qquad \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4}\]

Rút gọn biểu thức bằng công thức lượng giác với góc liên quan đặc biệt

Ví dụ: Rút gọn: \(A = \sin(\pi - x) + \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) + \sin(x + \pi)\)

Lời giải:

Dùng công thức của góc bù, góc phụ và góc hơn kém \(\pi\), ta có:

\(\begin{aligned} \sin(\pi - x) &= \sin x \\ \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) &= \sin x \\ \sin(x + \pi) &= -\sin x \end{aligned}\)

Vậy: \(A = \sin x + \sin x - \sin x = \sin x\)

Tính giá trị biểu thức với góc lớn

Ví dụ: Tính: \(P = \sin 150^\circ \cdot \cos 300^\circ + \tan 225^\circ\)

Lời giải:

Đưa từng góc về góc đặc biệt:

\[\begin{aligned} \sin 150^\circ &= \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \\ \cos 300^\circ &= \cos(360^\circ - 60^\circ) = \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \\ \tan 225^\circ &= \tan(180^\circ + 45^\circ) = \tan 45^\circ = 1 \end{aligned}\]

Vậy: \(P = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} + 1 = \frac{5}{4}\)

Dùng công thức lượng giác cộng

Ví dụ: Tính: \(\sin 75^\circ\)

Lời giải:

Tách góc thành tổng của hai góc đặc biệt rồi áp dụng công thức cộng:

\[\begin{aligned} \sin 75^\circ &= \sin\left(45^\circ + 30^\circ\right) = \sin 45^\circ\cos 30^\circ + \cos 45^\circ\sin 30^\circ \\ &= \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \end{aligned}\]

Dùng công thức lượng giác nhân đôi

Ví dụ: Cho \(\alpha\) thuộc khoảng (\(0;\frac{\pi}{2}\)) và \(sin\alpha = \frac{1}{3}\). Tính \(\cos2\alpha\) và \(\sin2\alpha\)

Lời giải:

Dùng công thức \(\cos2\alpha=1-2sin^2\alpha\):

\(\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha = 1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}\)

Vì \(\alpha\) thuộc góc phần tư I nên \(\cos\alpha>0\):

\(\cos\alpha = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}\)

Do đó: \(\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha = 2\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{4\sqrt{2}}{9}\)

Dùng công thức lượng giác biến đổi tích thành tổng

Ví dụ: Tính \(D = \cos 75^\circ \cdot \cos 15^\circ\)

Lời giải:

Áp dụng công thức lượng giác tích thành tổng cho \(\cos a \ \cos b\):

\[D = \frac{1}{2}\left[\cos 60^\circ + \cos 90^\circ\right] = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2} + 0\right) = \frac{1}{4}\]

Dùng công thức lượng giác biến đổi tổng thành tích

Ví dụ: Rút gọn: \(C = \frac{\sin 5x + \sin x}{\cos 5x + \cos x}\)

Lời giải:

Đổi tử và mẫu thành tích:\[\sin 5x + \sin x = 2\sin 3x\cos 2x, \qquad \cos 5x + \cos x = 2\cos 3x\cos 2x\]

Vậy (với \(cos 3x\) và \(cos 2x\) khác 0):

\(C = \frac{2\sin 3x\cos 2x}{2\cos 3x\cos 2x} = \frac{\sin 3x}{\cos 3x} = \tan 3x\)

Dùng công thức lượng giác giải phương trình lượng giác cơ bản

Ví dụ: Giải phương trình: \(2\cos x - 1 = 0\)

Lời giải:

Phương trình tương đương với \(cos x = 1/2 = cos(\pi/3)\). Áp dụng công thức nghiệm của \(cos\):

\[\cos x = \frac{1}{2} = \cos\frac{\pi}{3} \Leftrightarrow x = \pm\frac{\pi}{3} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})\]

Dùng công thức lượng giác tính giá trị biểu thức khi biết \(\tan\alpha\)

Ví dụ: Cho: \(\tan\alpha = 2, \qquad A = \frac{\sin\alpha + \cos\alpha}{\sin\alpha - \cos\alpha}\). Tính A.

Lời giải:

Vì \(\tan\alpha=2\) nên \(\cos\alpha\) khác 0, ta chia cả tử và mẫu cho \(\cos\alpha\):

\(A = \frac{\tan\alpha + 1}{\tan\alpha - 1} = \frac{2 + 1}{2 - 1} = 3\)

Nhận xét: Khi tử và mẫu đều là biểu thức bậc nhất theo \(\sin\alpha\) và \(\cos\alpha\), nếu đề đã cho \(\tan\alpha\), có thể chia cả tử và mẫu cho \(\cos\alpha\) (khác 0) để tính trực tiếp mà không cần tìm riêng sin và cos.

Dùng công thức lượng giác chứng minh đẳng thức

Ví dụ: Chứng minh: \((\sin x + \cos x)^2 = 1 + \sin 2x\)

Lời giải:

Khai triển vế trái rồi dùng \(\sin^2x+\cos^2x=1\) và \(2 sin x cos x = sin 2x\):

\[(\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x\cos x + \cos^2 x = 1 + \sin 2x\]

Nhận xét: Với bài chứng minh, hãy biến đổi một vế về dạng của vế còn lại.

Dùng công thức lượng giác cộng khi biết sin và cos của hai góc

Ví dụ: Cho \(a, b\) thuộc khoảng \((0;\frac{\pi}{2})\) và: \(\sin a = \frac{3}{5}, \qquad \cos b = \frac{5}{13}\). Tính: \(\cos(a − b)\).

Lời giải:

Vì \(a, b\) thuộc góc phần tư I nên \(cos a\) và \(sin b\) đều dương:

\(\cos a = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \frac{4}{5}, \qquad \sin b = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \frac{12}{13}\)

Áp dụng công thức cộng:

\[\cos(a - b) = \cos a\cos b + \sin a\sin b = \frac{4}{5}\cdot\frac{5}{13} + \frac{3}{5}\cdot\frac{12}{13} = \frac{20 + 36}{65} = \frac{56}{65}\]

Dùng công thức lượng giác hạ bậc

Ví dụ: Tính: \(\cos^2\frac{\pi}{8}\)

Lời giải:

Áp dụng công thức hạ bậc \(\cos^2 a = \frac{1 + \cos 2a}{2}\), với \(a =\frac{\pi}{8}\):

\(\cos^2\frac{\pi}{8} = \frac{1 + \cos\frac{\pi}{4}}{2} = \frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{4}\)

Đọc ngược công thức nhân đôi trong công thức lượng giác

Ví dụ: Tính: \(M = \sin 15^\circ\cos 15^\circ, \qquad N = \cos^2 22{,}5^\circ - \sin^2 22{,}5^\circ\)

Lời giải:

Đọc ngược công thức nhân đôi:

• \(M = \frac{1}{2}\cdot 2\sin 15^\circ\cos 15^\circ = \frac{1}{2}\sin 30^\circ = \frac{1}{4},\)

• \(N = \cos\left(2\cdot 22{,}5^\circ\right) = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

Dùng công thức lượng giác chứng minh một tổng lượng giác bằng 0

Ví dụ: Chứng minh: \(\cos 20^\circ + \cos 100^\circ + \cos 140^\circ = 0\)

Lời giải:

Ghép hai số hạng sau và đổi tổng thành tích:

\[\cos 100^\circ + \cos 140^\circ = 2\cos 120^\circ\cos(-20^\circ) = 2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)\cos 20^\circ = -\cos 20^\circ\]

Do đó:

\(\cos 20^\circ + \cos 100^\circ + \cos 140^\circ = \cos 20^\circ - \cos 20^\circ = 0\)

Dùng công thức lượng giác trong giải phương trình tìm nghiệm

Ví dụ: Giải phương trình: \(\sin 2x = \sin x\)

Lời giải:

Áp dụng công thức nghiệm của \(sin\) với \(u = 2x\) và \(v = x\):

\[\begin{aligned} \sin 2x = \sin x &\Leftrightarrow 2x = x + k2\pi \ \lor\ 2x = \pi - x + k2\pi \\ &\Leftrightarrow x = k2\pi \ \lor\ x = \frac{\pi}{3} + \frac{k2\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z} \end{aligned}\]

Dùng công thức lượng giác trong giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ

Ví dụ: Giải phương trình: \(2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0\)

Lời giải:

Đặt \(t = \sin x\) với \(−1 ≤ t ≤ 1\), phương trình trở thành:

\(2t^2 + t - 1 = 0 \Leftrightarrow (2t - 1)(t + 1) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2} \ \lor\ t = -1\)

Cả hai giá trị đều thỏa điều kiện. Quay lại tìm \(x\):

\(\begin{aligned} \sin x = \frac{1}{2} &\Leftrightarrow x = \frac{\pi}{6} + k2\pi \ \lor\ x = \frac{5\pi}{6} + k2\pi \\ \sin x = -1 &\Leftrightarrow x = -\frac{\pi}{2} + k2\pi \end{aligned}\)

Dùng công thức lượng giác rút gọn biểu thức với góc dạng đặc biệt

Ví dụ: Rút gọn: \(B = \cos\left(x - \frac{5\pi}{2}\right) + \sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right)\)

Lời giải:

Áp dụng quy tắc 3 bước ở mục phần công thức lượng giác với góc dạng \(k\pi/2\pm\alpha\)cho từng số hạng. Số hạng đầu có \(k = 5\) lẻ nên \(cos\) đổi thành \(sin\), còn số hạng sau có \(k = 3\) lẻ nên \(sin\) đổi thành \(cos\). Xét dấu theo góc phần tư (coi \(x\) nhọn):

\(\begin{aligned} \cos\left(x - \frac{5\pi}{2}\right) &= \cos\left(\frac{5\pi}{2} - x\right) = \sin x \\ \sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) &= -\cos x \end{aligned}\)

Vậy: \(B = \sin x - \cos x\)

Dùng công thức lượng giác nhân ba

Ví dụ: Cho: \(\sin a = \frac{1}{3}\). Tính \(\sin3a\)

Lời giải:

Áp dụng công thức nhân ba:

\[\sin 3a = 3\sin a - 4\sin^3 a = 3\cdot\frac{1}{3} - 4\cdot\frac{1}{27} = 1 - \frac{4}{27} = \frac{23}{27}\]

Kết hợp dùng công thức lượng giác nhân đôi và nhân ba

Ví dụ: Tính: \(\sin 18^\circ\)

Lời giải:

Đặt \(a = 18\) độ. Vì \(5a = 90\) độ nên \(2a = 90^\circ− 3a\), suy ra \(sin 2a = cos 3a\). Từ đó, ta có:

\(2\sin a\cos a = 4\cos^3 a - 3\cos a\)

Chia hai vế cho \(cos a\) (khác 0) rồi thay \(cos^2a=1-sin^2a\):

\[2\sin a = 4(1 - \sin^2 a) - 3 \Rightarrow 4\sin^2 a + 2\sin a - 1 = 0\]

Giải phương trình bậc hai theo \(sin a\), loại nghiệm âm vì \(a\) là góc nhọn:

\(\sin 18^\circ = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4}\)

Dùng hệ quả của công thức lượng giác cơ bản

Ví dụ: Cho: \(\sin\alpha + \cos\alpha = \frac{1}{2}\). Tính: \(\sin^4\alpha+\cos^4\alpha\)

Lời giải:

Bình phương hai vế để tìm tích \(\sin\alpha\cos\alpha\):

\(1 + 2\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{4} \Rightarrow \sin\alpha\cos\alpha = -\frac{3}{8}\)

Dùng công thức hệ quả đã được nêu ở phía trên:

\(\sin^4\alpha + \cos^4\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha = 1 - 2\cdot\frac{9}{64} = \frac{23}{32}\)

Dùng công thức lượng giác theo \(tan\) nửa góc

Ví dụ: Cho: \(t = \tan\frac{a}{2} = \frac{1}{2}\). Tính \(\sin\alpha,\cos\alpha\) và \(\tan\alpha\)

Lời giải:

Áp dụng công thức ở phần trên:

\(\begin{aligned} \sin a &= \frac{2t}{1 + t^2} = \frac{1}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{4}{5} \\ \cos a &= \frac{1 - t^2}{1 + t^2} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{4}} = \frac{3}{5} \\ \tan a &= \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{4}{3} \end{aligned}\)

Dùng công thức lượng giác chứng minh đẳng thức trong tam giác

Ví dụ: Chứng minh rằng trong tam giác ABC:

\(\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 4\sin A\sin B\sin C\)

Lời giải:

Vì \(\widehat{A} +\widehat{B} = \pi −\widehat{C}\) nên \(sin(A + B) = sin C\) và \(cos C = −cos(A + B)\). Ta có:

\(\begin{aligned} \sin 2A + \sin 2B &= 2\sin(A + B)\cos(A - B) = 2\sin C\cos(A - B) \\ \sin 2C &= 2\sin C\cos C = -2\sin C\cos(A + B) \end{aligned}\)

Cộng hai đẳng thức, rồi đổi hiệu hai \(cos\) thành tích:\[\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 2\sin C\left[\cos(A - B) - \cos(A + B)\right] = 2\sin C\cdot 2\sin A\sin B = 4\sin A\sin B\sin C\]

Dùng công thức lượng giác giải phương trình bậc nhất theo \(sin\) và \(cos\)

Ví dụ: Giải phương trình: \(\sqrt{3}\sin x + \cos x = 1\)

Lời giải:

Ở đây \(a=\sqrt{3},\ b=1\) nên căn của \((a^2+b^2)\) bằng \(2\). Chia hai vế cho \(2\):

\(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x + \frac{1}{2}\cos x = \frac{1}{2}\)

Vì \(\frac{\sqrt{3}}{2}=cos(\frac{\pi}{6})\) và \(\frac{1}{2}=sin(\frac{\pi}{6})\), vế trái chính là \(sin(x+\frac{\pi}{6})\):

\(\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} = \sin\frac{\pi}{6}\)

Áp dụng công thức nghiệm của \(sin\):

\[\begin{aligned} &\Leftrightarrow x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + k2\pi \ \lor\ x + \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} + k2\pi \\ &\Leftrightarrow x = k2\pi \ \lor\ x = \frac{2\pi}{3} + k2\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \end{aligned}\]

Dùng công thức lượng giác tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của: \(y = 3\sin x + 4\cos x\)

Lời giải:

Áp dụng miền giá trị đã được nêu ở trên với \(a = 3, b = 4\):

\[-\sqrt{3^2 + 4^2} \le 3\sin x + 4\cos x \le \sqrt{3^2 + 4^2} \Leftrightarrow -5 \le y \le 5\]

Vậy giá trị lớn nhất của \(y\) bằng \(5\) và giá trị nhỏ nhất bằng \(−5\).

Dùng công thức lượng giác trong giải phương trình bậc hai

Ví dụ: Giải phương trình: \(\sin^2 x - \sin x\cos x - 2\cos^2 x = 0\)

Lời giải:

Nếu \(cos x = 0\) thì \(sin^2x=1\), thay vào phương trình ta được \(1 = 0\), vô lý. Vậy \(cos x\) khác \(0\), ta chia hai vế cho \(cos^2x\):

\[\tan^2 x - \tan x - 2 = 0 \Leftrightarrow (\tan x - 2)(\tan x + 1) = 0 \Leftrightarrow \tan x = 2 \ \lor\ \tan x = -1\]

Vậy nghiệm của phương trình là:

\(x = \arctan 2 + k\pi \ \lor\ x = -\frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\)

Bài tập công thức lượng giác cơ bản lớp 11 có lời giải

Bài 1: Cho \(\alpha\) thuộc khoảng \((\pi;\frac{3\pi}{2})\) và: \(\cos\alpha = -\frac{5}{13}\). Tính \(\sin\alpha\) và \(\tan\alpha\)

Lời giải:

Vì \(\alpha\) thuộc góc phần tư III nên \(sin\alpha<0\):

\(\sin^2\alpha = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169} \Rightarrow \sin\alpha = -\frac{12}{13}\)

Từ đó: \(\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{-\frac{12}{13}}{-\frac{5}{13}} = \frac{12}{5}\)

Bài 2: Tính giá trị biểu thức: \(A = \sin 120^\circ \cdot \cos 210^\circ + \tan 135^\circ\)

Lời giải:

Đưa từng góc về góc đặc biệt:

\(\begin{aligned} \sin 120^\circ &= \sin\left(180^\circ - 60^\circ\right) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \cos 210^\circ &= \cos\left(180^\circ + 30^\circ\right) = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \tan 135^\circ &= \tan\left(180^\circ - 45^\circ\right) = -\tan 45^\circ = -1 \end{aligned}\)

Vậy: \(A = \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + (-1) = -\frac{3}{4} - 1 = -\frac{7}{4}\)

Bài 3: Rút gọn: \(K = \sin(x + 2026\pi) + \cos\left(\frac{7\pi}{2} - x\right)\)

Lời giải:

Vì \(2026\) là số chẵn nên số hạng đầu giữ nguyên. Mặt khác, \(\frac{7\pi}{2}=\frac{3\pi}{2}+2\pi\), vì thế theo tính tuần hoàn và công thức góc liên quan đặc biệt, \(\cos\left(\frac{7\pi}{2}-x\right)=-\sin x\) với mọi x. Do đó:

• \(\sin(x + 2026\pi) = (-1)^{2026}\sin x = \sin x,\)

• \(\cos\left(\frac{7\pi}{2} - x\right) = -\sin x\)

Vậy: \(K = \sin x - \sin x = 0\)

Bài 4: Cho: \(\tan a = \frac{1}{2}, \quad \tan b = \frac{1}{3}\). Tính \(\tan \left(a+b\right)\)

Lời giải:

Áp dụng công thức cộng của \(tan\):

\(\tan(a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a\tan b} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{6}} = \frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}} = 1\)

Bài 5: Cho \(\alpha\) thuộc khoảng \((0;\frac{\pi}{2})\) và \(\sin\alpha = \frac{4}{5}\). Tính \(\sin2\alpha\) và \(\cos2\alpha\)

Lời giải:

Vì \(\alpha\) thuộc góc phần tư I nên \(\cos\alpha>0\):

\(\cos\alpha = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \frac{3}{5}\)

Áp dụng công thức nhân đôi:

\(\begin{aligned} \sin 2\alpha &= 2\sin\alpha\cos\alpha = 2\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{3}{5} = \frac{24}{25} \\ \cos 2\alpha &= 1 - 2\sin^2\alpha = 1 - 2\cdot\frac{16}{25} = -\frac{7}{25} \end{aligned}\)

Bài 6: Tính: \(E = \sin 75^\circ \cdot \cos 15^\circ\)

Lời giải:

Áp dụng công thức tích thành tổng \(sin a cos b\) = \(\frac{1}{2}\left[\sin(a - b) + \sin(a + b)\right]\):

\[E = \frac{1}{2}\left[\sin 60^\circ + \sin 90^\circ\right] = \frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + 1\right) = \frac{\sqrt{3} + 2}{4}\]

Bài 7: Rút gọn (với các mẫu số khác 0):

\(F = \frac{\cos x - \cos 3x}{\sin 3x - \sin x}\)

Lời giải:

Đổi hiệu ở tử và mẫu thành tích:

\(\begin{aligned} \cos x - \cos 3x &= -2\sin 2x\sin(-x) = 2\sin 2x\sin x \\ \sin 3x - \sin x &= 2\cos 2x\sin x \end{aligned}\)

Vậy:

\(F = \frac{2\sin 2x\sin x}{2\cos 2x\sin x} = \tan 2x\)

Bài 8: Tính: \(\sin 20^\circ\sin 40^\circ\sin 80^\circ\)

Lời giải:

Viết 40 độ = 60 độ − 20 độ và 80 độ = 60 độ + 20 độ, rồi dùng đẳng thức nâng cao ở phần công thức lượng giác nhân ba:

\[\sin 20^\circ\sin\left(60^\circ - 20^\circ\right)\sin\left(60^\circ + 20^\circ\right) = \frac{1}{4}\sin\left(3\cdot 20^\circ\right) = \frac{1}{4}\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{8}\]

Bài 9: Giải phương trình: \(2\cos^2 x - 3\cos x + 1 = 0\)

Lời giải:

Đặt \(t = \cos x\) với \(−1 ≤ t ≤ 1\), phương trình trở thành:

\[2t^2 - 3t + 1 = 0 \Leftrightarrow (2t - 1)(t - 1) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2} \ \lor\ t = 1\]

Cả hai giá trị đều thỏa điều kiện. Quay lại tìm \(x\):

\(\begin{aligned} \cos x = \frac{1}{2} &\Leftrightarrow x = \pm\frac{\pi}{3} + k2\pi \\ \cos x = 1 &\Leftrightarrow x = k2\pi \end{aligned}\)

Bài 10: Giải phương trình: \(\sin x + \sqrt{3}\cos x = \sqrt{2}\)

Lời giải:

Ở đây \(a=1,\ b=\sqrt{3}\) nên căn của \((a^2+b^2)\) bằng \(2\). Chia hai vế cho \(2\):

\(\frac{1}{2}\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

Vì \(cos(\pi/3) = 1/2\) và \(sin(\pi/3) = \sqrt{3}/2\), vế trái chính là \(sin(x + \pi/3)\):

\(\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} = \sin\frac{\pi}{4}\)

Áp dụng công thức nghiệm của \(sin\):

\[\begin{aligned} &\Leftrightarrow x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{4} + k2\pi \ \lor\ x + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{4} + k2\pi \\ &\Leftrightarrow x = -\frac{\pi}{12} + k2\pi \ \lor\ x = \frac{5\pi}{12} + k2\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \end{aligned}\]

Bài viết đã hệ thống các công thức lượng giác cơ bản lớp 11, gồm 6 hệ thức giữa sin, cos, tan, cot, bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt và những công thức mở rộng như công thức cộng, nhân đôi, hạ bậc, biến đổi tổng thành tích. Để vận dụng chính xác, học sinh cần ghi nhớ điều kiện xác định, quy tắc xét dấu và cách lựa chọn hệ thức phù hợp khi rút gọn biểu thức, chứng minh đẳng thức hoặc giải phương trình lượng giác.

Nắm vững bảng công thức lượng giác cơ bản và luyện tập các dạng bài có lời giải sẽ giúp học sinh củng cố kiến thức, phát triển kỹ năng biến đổi lượng giác. Học sinh có thể tiếp tục ôn tập các chuyên đề liên quan tại chuyên mục Toán 11 của ZIM Academy.