Hệ thức Chasles Toán 11 | Công thức góc lượng giác và bài tập

Trong chương trình Toán 11, hệ thức Chasles là kiến thức quan trọng giúp học sinh xác định và tính số đo góc lượng giác thông qua các tia trung gian. Hệ thức Chasles cho các góc lượng giác biểu thị mối liên hệ giữa các góc có chung tia đầu, tia cuối và cho phép cộng số đo góc có tính đến bội của \(360^\circ\) (hoặc \(2\pi\) rad). Bài viết dưới đây giúp học sinh hiểu hệ thức Chasles là gì, nắm vững công thức Chasles, cách chứng minh và vận dụng vào các dạng bài tập hệ thức Chasles lớp 11 có lời giải chi tiết.

Hệ thức Chasles là gì?

Hệ thức Chasles là công thức biểu diễn mối quan hệ giữa số đo của các góc lượng giác có chung gốc, trong đó tia cuối của góc thứ nhất đồng thời là tia đầu của góc thứ hai. [1]

Nói cách khác, khi một tia quay từ vị trí ban đầu đến vị trí cuối cùng thông qua một vị trí trung gian, tổng số đo của hai góc lượng giác liên tiếp sẽ bằng số đo của góc lượng giác từ vị trí đầu đến vị trí cuối, có thể sai khác một số nguyên lần vòng tròn. [1]

Hệ thức này giúp học sinh thực hiện các phép tính liên quan đến góc lượng giác mà không cần xác định trực tiếp toàn bộ quá trình quay.

Công thức Chasles cho các góc lượng giác: \[\operatorname{sđ}(Ou,Ov)+\operatorname{sđ}(Ov,Ow)=\operatorname{sđ}(Ou,Ow)+k360^\circ\]

với \(k\in\mathbb Z\).

Nguồn gốc và cách đọc tên hệ thức Chasles

Hệ thức Chasles được đặt theo tên nhà toán học người Pháp Michel Chasles (1793–1880), nổi tiếng với những đóng góp cho hình học xạ ảnh. Tên ông được dùng để gọi các hệ thức trong hình học và góc lượng giác. [2]

Về cách đọc, “Chasles” là tên riêng tiếng Pháp, phát âm /ʃɑl/ (gần với “shal”), trong đó chữ “s” cuối không phát âm. [3]

Vị trí trong chương trình

Trong chương trình Toán 11 Kết nối tri thức, hệ thức Chasles nằm trong Chương I, Bài 1: Giá trị lượng giác của góc lượng giác, ngay sau khái niệm góc lượng giác và số đo của nó. Đây là nền tảng giúp học sinh hiểu số đo góc lượng giác, đường tròn lượng giác, tính tuần hoàn của các hàm số lượng giác và giải các bài toán liên quan. [1]

Nhắc lại khái niệm góc lượng giác

Trước khi tìm hiểu công thức Chasles, học sinh cần phân biệt góc hình học thông thường và góc lượng giác.

Góc hình học được tạo bởi hai tia chung gốc, thường có số đo từ \(0^\circ\) đến \(180^\circ\).

Trong khi đó, góc lượng giác được hình thành khi một tia quay quanh gốc cố định từ tia đầu đến tia cuối theo một chiều xác định. [1]

Quy ước:

• Chiều quay ngược chiều kim đồng hồ là chiều dương.

• Chiều quay cùng chiều kim đồng hồ là chiều âm.

• Một vòng quay đầy đủ tương ứng với \(360^\circ\) hoặc \(2\pi\) radian.

Cho hai tia (Ou) và (Ov), số đo của một góc lượng giác từ (Ou) đến (Ov) được kí hiệu là:\[\operatorname{sđ}(Ou,Ov)=\alpha\]

Do tia có thể quay thêm nhiều vòng trước khi đến vị trí cuối, những góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối có số đo sai khác nhau một bội nguyên của \(360^{\circ}\). [1]

Công thức tổng quát theo độ:\[{\alpha+k360^\circ,\quad k\in\mathbb Z}\]

Công thức tổng quát theo radian: \[\alpha+k2\pi,\quad k\in\mathbb Z\]

Trong đó, k là số nguyên, có thể dương, âm hoặc bằng 0. Các biểu thức trên mô tả toàn bộ số đo của những góc lượng giác cùng tia đầu, tia cuối với một góc có số đo \(\alpha\).

Tham khảo thêm: Cách đổi từ độ sang radian và radian sang độ

Công thức hệ thức Chasles lớp 11

Với ba tia (Ou), (Ov), (Ow) bất kỳ có chung gốc (O), tổng số đo của góc lượng giác từ (Ou) đến (Ov) và góc lượng giác từ (Ov) đến (Ow) bằng số đo của góc lượng giác từ (Ou) đến (Ow), sai khác một bội nguyên của một vòng quay. [1]

Công thức hệ thức Chasles theo đơn vị độ là: \[{\begin{aligned} &\operatorname{sđ}(Ou,Ov)+\operatorname{sđ}(Ov,Ow)\\ &=\operatorname{sđ}(Ou,Ow)+k360^\circ \end{aligned}}\]

Với \(k\in\mathbb Z\).

Công thức hệ thức Chasles theo đơn vị radian là:\[{\begin{aligned} &\operatorname{sđ}(Ou,Ov)+\operatorname{sđ}(Ov,Ow)\\ &=\operatorname{sđ}(Ou,Ow)+k2\pi \end{aligned}}\]Với \(k\in\mathbb Z\).

Ở đây:

• Tia (Ou) là tia đầu của góc lượng giác thứ nhất.

• Tia (Ov) là tia trung gian, đồng thời là tia cuối của góc thứ nhất và tia đầu của góc thứ hai.

• Tia (Ow) là tia cuối của góc lượng giác thứ hai.

• k là số nguyên biểu thị độ chênh lệch về số vòng quay giữa các số đo được lựa chọn.

Lưu ý: Hệ thức Chasles không đòi hỏi ba tia phải được sắp xếp theo một thứ tự hình học nhất định. Công thức vẫn đúng khi các tia nằm ở những vị trí bất kỳ.

Các công thức biến đổi thường dùng

Từ hệ thức Chasles, học sinh có thể biến đổi để tính số đo góc lượng giác chưa biết bằng cách lấy số đo góc tổng trừ đi số đo góc đã cho. Chẳng hạn, khi biết số đo hai góc lượng giác có cùng tia đầu, ta có thể xác định số đo góc giữa hai tia cuối thông qua phép trừ tương ứng. Phương pháp này được sử dụng phổ biến trong các bài tập về góc lượng giác. [1]

Tính góc từ tia trung gian đến tia cuối:\[{\begin{aligned} \operatorname{sđ}(Ov,Ow) &=\operatorname{sđ}(Ou,Ow)\\ &-\operatorname{sđ}(Ou,Ov)+k360^\circ \end{aligned}}\]

Tính góc từ tia đầu đến tia trung gian:\[{\begin{aligned} \operatorname{sđ}(Ou,Ov) &=\operatorname{sđ}(Ou,Ow)\\ &-\operatorname{sđ}(Ov,Ow)+k360^\circ \end{aligned}}\]

Tính góc giữa hai tia thông qua một tia mốc:

Với ba tia (Ox), (Ou), (Ov), ta có: \[{\begin{aligned} \operatorname{sđ}(Ou,Ov) &=\operatorname{sđ}(Ox,Ov)\\ &-\operatorname{sđ}(Ox,Ou)+k360^\circ \end{aligned}}\]

Trong cả ba công thức, \(k\in\mathbb Z\). Nếu sử dụng radian, thay \(k360^\circ\) bằng \(k2\pi\).

Đây là những công thức thường xuất hiện trong bài tập xác định số đo góc lượng giác của chương trình Toán 11.

Chứng minh hệ thức Chasles

Ta có thể giải thích hệ thức Chasles dựa trên tính chất của số đo góc lượng giác.

Cho ba tia (Ou), (Ov), (Ow) có chung gốc (O). Giả sử chọn một góc lượng giác từ (Ou) đến (Ov) có số đo \((\alpha)\), và một góc lượng giác từ (Ov) đến (Ow) có số đo \((\beta)\).

Khi ghép hai phép quay liên tiếp, ta được một phép quay từ tia (Ou) đến tia (Ow) có tổng số đo: \[\alpha+\beta\]

Gọi \((\gamma)\) là số đo của một góc lượng giác bất kỳ từ (Ou) đến (Ow).

Vì hai góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối nên số đo của chúng sai khác nhau một bội nguyên của \(360^\circ\).

Do đó:\[\alpha+\beta=\gamma+k360^\circ\]

Với \(k\in\mathbb Z\).

Thay các kí hiệu bằng số đo góc lượng giác tương ứng, ta được: \[\begin{aligned} &\operatorname{sđ}(Ou,Ov)+\operatorname{sđ}(Ov,Ow)\\ &=\operatorname{sđ}(Ou,Ow)+k360^\circ \end{aligned}\]

Đây chính là hệ thức Chasles cần chứng minh.

Tương tự, khi sử dụng đơn vị radian, một vòng quay tương ứng với \(2\pi\), nên:\[\begin{aligned} &\operatorname{sđ}(Ou,Ov)+\operatorname{sđ}(Ov,Ow)\\ &=\operatorname{sđ}(Ou,Ow)+k2\pi \end{aligned}\]

Các hệ quả từ hệ thức Chasle quan trọng

Từ hệ thức Chasles, học sinh có thể rút ra một số tính chất hữu ích. [1]

Hệ quả 1: Đổi chiều góc lượng giác

Nếu đổi vị trí tia đầu và tia cuối, ta có:\[\operatorname{sđ}(Ou,Ov) =-\operatorname{sđ}(Ov,Ou)+k360^\circ\]

Với \(k\in\mathbb Z\).

Như vậy, khi đổi chiều một góc lượng giác, số đo của góc mới có thể lấy bằng số đối của số đo ban đầu.

Ví dụ minh họa: Cho hai tia (Ou) và (Ov), biết một góc lượng giác \((Ou,Ov)\) có số đo \(120^\circ\). Tính các số đo của góc lượng giác \((Ov,Ou)\).

Lời giải:

Áp dụng hệ quả đổi chiều góc lượng giác, ta có:\[\begin{aligned} \operatorname{sđ}(Ov,Ou) &=-\operatorname{sđ}(Ou,Ov)+k360^\circ\\ &=-120^\circ+k360^\circ \end{aligned}\]

Với \(k\in\mathbb Z\).

Kết luận: Các số đo cần tìm là \(-120^\circ+k360^\circ\). Đặc biệt, ta có thể chọn số đo \(-120^\circ\)hoặc \(240^\circ\).

Nhận xét: Khi đổi chiều góc lượng giác, ta có thể lấy số đối của số đo ban đầu. Các số đo khác sai khác nhau một bội nguyên của \(360^\circ\).

Hệ quả 2: Góc lượng giác có tia đầu trùng tia cuối

\[{\operatorname{sđ}(Ou,Ou)=k360^\circ}\]

Hoặc theo radian: \({\operatorname{sđ}(Ou,Ou)=k2\pi}\)

Với \(k\in\mathbb Z\).

Ví dụ minh họa: Một kim đồng hồ bắt đầu ở vị trí chỉ số 12, quay theo chiều kim đồng hồ hai vòng rồi trở về vị trí ban đầu. Tính số đo góc lượng giác mà kim đồng hồ đã quay.

Lời giải:

Theo quy ước trong lượng giác, chiều quay ngược chiều kim đồng hồ là chiều dương, còn chiều quay cùng chiều kim đồng hồ là chiều âm. Vì vậy, khi kim đồng hồ quay hai vòng theo chiều kim đồng hồ, mỗi vòng được tính là \(-360^\circ\). Tổng số đo góc quay là:\[\alpha=-2\cdot360^\circ=-720^\circ\]

Theo đơn vị radian:\[\alpha=-2\cdot2\pi=-4\pi\]

Kết luận: Số đo góc quay là \(-720^\circ\) hoặc \(-4\pi\) radian.

Nhận xét: Khi tia đầu trùng tia cuối, số đo góc lượng giác luôn là một bội nguyên của \(360^\circ\) hoặc \(2\pi\). Tuy nhiên, số đo không nhất thiết bằng \(0^\circ,\) vì tia có thể đã quay một hoặc nhiều vòng.

Hệ quả 3: Mở rộng cho nhiều tia liên tiếp

Cho các tia \((Ou_1,Ou_2,\ldots,Ou_n)\) cùng gốc, ta có:\[\begin{aligned} &\operatorname{sđ}(Ou_1,Ou_2)+\operatorname{sđ}(Ou_2,Ou_3)\\ &+\cdots+\operatorname{sđ}(Ou_{n-1},Ou_n)\\ &=\operatorname{sđ}(Ou_1,Ou_n)+k360^\circ \end{aligned}\]

Với \(k\in\mathbb Z\).

Hệ quả này đặc biệt hữu ích khi bài toán liên quan đến nhiều bước quay hoặc nhiều tia.

Ví dụ minh họa: Cho bốn tia (Oa), (Ob), (Oc), (Od) có chung gốc (O), biết:\[\begin{aligned} \operatorname{sđ}(Oa,Ob)&=60^\circ\\ \operatorname{sđ}(Ob,Oc)&=90^\circ\\ \operatorname{sđ}(Oc,Od)&=-30^\circ \end{aligned}\]

Tính các số đo của góc lượng giác \((Oa,Od)\).

Lời giải:

Áp dụng hệ thức Chasles mở rộng:\[\begin{aligned} \operatorname{sđ}(Oa,Od) &=\operatorname{sđ}(Oa,Ob)\\ &+\operatorname{sđ}(Ob,Oc)\\ &+\operatorname{sđ}(Oc,Od)+k360^\circ \end{aligned}\]

Thay số:\[\begin{aligned} \operatorname{sđ}(Oa,Od) &=60^\circ+90^\circ-30^\circ+k360^\circ\\ &=120^\circ+k360^\circ \end{aligned}\]

Với \(k\in\mathbb Z.\)

Kết luận: Các số đo của góc lượng giác \((Oa,Od)\) là: \({120^\circ+k360^\circ,\quad k\in\mathbb Z}\)

Nhận xét: Khi có nhiều tia trung gian, ta chỉ cần cộng số đo các góc lượng giác liên tiếp theo đúng thứ tự, không cần tính riêng từng góc lớn.

Cách ghi nhớ hệ thức Chasles

Hãy nhìn tên các tia như một “chuỗi nối tiếp”: \((Ou,Ov)+(Ov,Ow)\). Tia \((Ov)\) ở giữa xuất hiện hai lần, một lần ở cuối góc thứ nhất và một lần ở đầu góc thứ hai, nên có thể hình dung tia trung gian được “triệt tiêu”, chỉ còn góc \((Ou,Ow)\). Cách ghi nhớ này tương tự quy tắc ba điểm trong phép cộng vectơ: \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\).

Tuy nhiên, với góc lượng giác, cần chú ý rằng các số đo có thể sai khác nhau một bội nguyên của \(360^\circ\) hoặc \(2\pi\) (với \(k\in\mathbb Z\)).

Ví dụ minh họa hệ thức Chasles

Dựa trên hệ thức Chasles và các phương pháp tính số đo góc lượng giác được trình bày trong chương trình Toán 11 . Dưới đây là những ví dụ minh họa từ cơ bản đến nâng cao, giúp học sinh làm quen với cách áp dụng công thức theo đơn vị độ và radian. [1]

Ví dụ 1: Tính số đo góc lượng giác theo độ

Đề bài: Cho ba tia (Ou), (Ov), (Ow), biết: \(\operatorname{sđ}(Ou,Ov)=120^\circ\) và \(\operatorname{sđ}(Ov,Ow)=75^\circ\). Tính các số đo của góc lượng giác \((Ou,Ow)\).

Lời giải:

Áp dụng hệ thức Chasles: \[\begin{aligned} \operatorname{sđ}(Ou,Ow) &=120^\circ+75^\circ+k360^\circ\\ &=195^\circ+k360^\circ \end{aligned}\]

Với \(k\in\mathbb Z\).

Kết luận: Các góc lượng giác từ (Ou) đến (Ow) có số đo là: \({195^\circ+k360^\circ,\quad k\in\mathbb Z}\)

Ví dụ 2: Tính số đo góc theo radian

Đề bài: Cho ba tia (Oa), (Ob), (Oc), biết: \(\operatorname{sđ}(Oa,Ob)=\frac{\pi}{3}\) và \(\operatorname{sđ}(Ob,Oc)=\frac{5\pi}{6}\). Tính các số đo của góc lượng giác \((Oa,Oc)\).

Lời giải:

Áp dụng hệ thức Chasles theo radian: \[\begin{aligned} \operatorname{sđ}(Oa,Oc) &=\frac{\pi}{3}+\frac{5\pi}{6}+k2\pi\\ &=\frac{2\pi}{6}+\frac{5\pi}{6}+k2\pi\\ &=\frac{7\pi}{6}+k2\pi \end{aligned}\]

Với \(k\in\mathbb Z\).

Kết luận: \({\operatorname{sđ}(Oa,Oc)=\frac{7\pi}{6}+k2\pi}\)

Ví dụ 3: Tính số đo góc theo đơn vị radian khi có góc âm

Đề bài: Cho ba tia (Ou), (Ov), (Ow) có chung gốc (O), biết: \(\operatorname{sđ}(Ou,Ov)=\frac{2\pi}{3}\) và \(\operatorname{sđ}(Ov,Ow)=-\frac{\pi}{4}\). Tính các số đo của góc lượng giác \((Ou,Ow)\).

Lời giải:

Áp dụng hệ thức Chasles theo đơn vị radian:\[\begin{aligned} \operatorname{sđ}(Ou,Ow) &=\operatorname{sđ}(Ou,Ov)\\ &+\operatorname{sđ}(Ov,Ow)+k2\pi \end{aligned}\]

Thay các giá trị đã cho:\[\begin{aligned} \operatorname{sđ}(Ou,Ow) &=\frac{2\pi}{3}+\left(-\frac{\pi}{4}\right)+k2\pi\\ &=\frac{8\pi}{12}-\frac{3\pi}{12}+k2\pi\\ &=\frac{5\pi}{12}+k2\pi \end{aligned}\]

Với \(k\in\mathbb Z\).

Kết luận: Các số đo của góc lượng giác (Ou,Ow) là: \({\frac{5\pi}{12}+k2\pi,\quad k\in\mathbb Z}\)

Ví dụ 4: Tính góc lượng giác thông qua một tia mốc

Đề bài: Cho các góc lượng giác: \(\operatorname{sđ}(Ox,Ou)=-250^\circ\) và \(\operatorname{sđ}(Ox,Ov)=125^\circ\). Tính các số đo của góc lượng giác \((Ou,Ov)\).

Lời giải:

Áp dụng hệ thức Chasles:\[\begin{aligned} \operatorname{sđ}(Ou,Ov) &=\operatorname{sđ}(Ox,Ov)\\ &-\operatorname{sđ}(Ox,Ou)+k360^\circ \end{aligned}\]

Thay số:\[\begin{aligned} \operatorname{sđ}(Ou,Ov) &=125^\circ-(-250^\circ)+k360^\circ\\ &=375^\circ+k360^\circ \end{aligned}\]

Vì \(375^\circ=15^\circ+360^\circ\), ta viết lại:\[\operatorname{sđ}(Ou,Ov)=15^\circ+m360^\circ\]

Với \(m\in\mathbb Z\).

Kết luận: \({15^\circ+m360^\circ,\quad m\in\mathbb Z}\)

Qua ví dụ trên, cần nhớ rằng khi trừ một góc âm, ta phải đổi thành phép cộng để tránh sai dấu.

Ví dụ 5: Áp dụng hệ thức Chasles với nhiều tia trung gian

Đề bài: Một tia quay lần lượt qua các vị trí \((Ou_1), (Ou_2), (Ou_3), (Ou_4)\), biết:\(\operatorname{sđ}(Ou_1,Ou_2)=50^\circ\) và \(\operatorname{sđ}(Ou_2,Ou_3)=-20^\circ\) và \(\operatorname{sđ}(Ou_3,Ou_4)=130^\circ\). Tính các số đo của góc lượng giác \((Ou_1,Ou_4)\).

Lời giải:

Áp dụng hệ thức Chasles mở rộng: \[\begin{aligned} \operatorname{sđ}(Ou_1,Ou_4) &=\operatorname{sđ}(Ou_1,Ou_2)\\ &+\operatorname{sđ}(Ou_2,Ou_3)\\ &+\operatorname{sđ}(Ou_3,Ou_4)+k360^\circ \end{aligned}\]

Thay các giá trị đã cho:\[\begin{aligned} \operatorname{sđ}(Ou_1,Ou_4) &=50^\circ+(-20^\circ)+130^\circ+k360^\circ\\ &=160^\circ+k360^\circ \end{aligned}\]

Với \(k\in\mathbb Z\).

Kết luận: Các số đo của góc lượng giác \((Ou_1,Ou_4)\) là: \({160^\circ+k360^\circ,\quad k\in\mathbb Z}\)

Như vậy, tia cuối \((Ou_4)\) có vị trí tương ứng với phép quay \(160^\circ\)theo chiều dương từ tia ban đầu \((Ou_1)\).

Ví dụ 6: Xác định số đo góc trong khoảng cho trước

Đề bài: Cho ba tia (Ou), (Ov), (Ow) có chung gốc (O), biết: \(\operatorname{sđ}(Ou,Ov)=200^\circ\) và \(\operatorname{sđ}(Ov,Ow)=250^\circ\). Tìm số đo của góc lượng giác \((Ou,Ow)\) thuộc khoảng \([0^\circ;360^\circ)\).

Lời giải:

Áp dụng hệ thức Chasles:\[\begin{aligned} \operatorname{sđ}(Ou,Ow) &=\operatorname{sđ}(Ou,Ov)\\ &+\operatorname{sđ}(Ov,Ow)+k360^\circ\\ &=200^\circ+250^\circ+k360^\circ\\ &=450^\circ+k360^\circ \end{aligned}\]

Với \(k\in\mathbb Z\).

Theo yêu cầu đề bài:\[0^\circ\le450^\circ+k360^\circ<360^\circ\]

Suy ra:\[-450^\circ\le k360^\circ<-90^\circ\]

Chia cả ba vế cho \(360^\circ\): \[-\frac54\le k<-\frac14\]

Vì \(k\in\mathbb Z\), ta chọn \(k=-1\).

Thay vào biểu thức: \[\begin{aligned} \operatorname{sđ}(Ou,Ow) &=450^\circ-360^\circ\\ &=90^\circ \end{aligned}\]

Kết luận: Số đo của góc lượng giác \((Ou,Ow)\) thuộc khoảng \([0^\circ;360^\circ)\) là: \({90^\circ}\)

Bài tập hệ thức Chasles lớp 11 có lời giải

Dưới đây là những dạng bài thường gặp, được sắp xếp từ mức độ nhận biết đến vận dụng.

Dạng 1: Tính số đo góc lượng giác khi biết hai góc liên tiếp

Bài 1. Cho ba tia (Oa), (Ob), (Oc) với: \(\operatorname{sđ}(Oa,Ob)=150^\circ\) và \(\operatorname{sđ}(Ob,Oc)=-80^\circ\). Tìm các số đo của góc lượng giác \((Oa,Oc)\).

Lời giải:

Áp dụng hệ thức Chasles:\[\begin{aligned} \operatorname{sđ}(Oa,Oc) &=150^\circ+(-80^\circ)+k360^\circ\\ &=70^\circ+k360^\circ \end{aligned}\]

Với \(k\in\mathbb{Z}\).

Đáp án: \({70^\circ+k360^\circ}\)

Dạng 2: Tính góc lượng giác chưa biết bằng phép trừ

Bài 2. Cho: \(\operatorname{sđ}(Ox,Ou)=210^\circ\) và \(\operatorname{sđ}(Ox,Ov)=-250^\circ\). Tính các số đo của góc lượng giác \((Ou,Ov)\).

Lời giải:

Theo hệ thức Chasles:\[\begin{aligned} \operatorname{sđ}(Ou,Ov) &=-250^\circ-210^\circ+k360^\circ\\ &=-460^\circ+k360^\circ \end{aligned}\]Ta có:\[-460^\circ=-100^\circ-360^\circ\]Do đó: \[\operatorname{sđ}(Ou,Ov)=-100^\circ+m360^\circ\]Với \(m\in\mathbb Z\).

Đáp án: \({-100^\circ+m360^\circ}\)

Dạng 3: Xác định số đo góc lượng giác thỏa mãn điều kiện

Bài 3. Cho: \(\operatorname{sđ}(Ou,Ov)=\frac{\pi}{4}\) và \(\operatorname{sđ}(Ou,Ow)=\frac{5\pi}{3}\). Tìm số đo\((\alpha)\) của một góc lượng giác \((Ov,Ow)\), biết: \(2\pi<\alpha<4\pi\).

Lời giải:

Áp dụng hệ thức Chasles: \[\begin{aligned} \alpha&=\operatorname{sđ}(Ou,Ow)\\ &-\operatorname{sđ}(Ou,Ov)+k2\pi \end{aligned}\]Suy ra:\[\begin{aligned} \alpha &=\frac{5\pi}{3}-\frac{\pi}{4}+k2\pi\\ &=\frac{20\pi-3\pi}{12}+k2\pi\\ &=\frac{17\pi}{12}+k2\pi \end{aligned}\]Vì \(2\pi<\alpha<4\pi\), ta có: \[2\pi<\frac{17\pi}{12}+k2\pi<4\pi\]Chia cả ba vế cho \(\pi>0\):\[2<\frac{17}{12}+2k<4\]Suy ra:\[\frac{7}{24}<k<\frac{31}{24}\]Do \(k\in\mathbb Z\), suy ra \(k=1\).

Thay vào công thức: \[\alpha=\frac{17\pi}{12}+2\pi =\frac{41\pi}{12}\]Đáp án: \({\alpha=\frac{41\pi}{12}}\)

Dạng 4: Vận dụng hệ thức Chasles qua nhiều tia trung gian

Bài 4. Cho bốn tia (Oa), (Ob), (Oc), (Od), biết: \(\operatorname{sđ}(Oa,Ob)=45^\circ\) và \(\operatorname{sđ}(Ob,Oc)=120^\circ\) và \(\operatorname{sđ}(Oc,Od)=-75^\circ\). Tính các số đo của góc lượng giác \((Oa,Od)\).

Lời giải:

Áp dụng hệ thức Chasles liên tiếp:\[\begin{aligned} \operatorname{sđ}(Oa,Od) &=\operatorname{sđ}(Oa,Ob)\\ &+\operatorname{sđ}(Ob,Oc)\\ &+\operatorname{sđ}(Oc,Od)+k360^\circ \end{aligned}\]Thay số:\[\begin{aligned} \operatorname{sđ}(Oa,Od) &=45^\circ+120^\circ-75^\circ+k360^\circ\\ &=90^\circ+k360^\circ \end{aligned}\]Với \(k\in\mathbb{Z}\).

Đáp án: \({90^\circ+k360^\circ}\)

Dạng 5: Bài toán thực tế liên quan đến chuyển động quay

Bài 5. Một cánh quạt bắt đầu ở vị trí tia (OA), quay ngược chiều kim đồng hồ \(150^{\circ}\) đến vị trí tia (OB). Sau đó, cánh quạt quay cùng chiều kim đồng hồ \(210^\circ\) đến vị trí tia (OC). Tính tổng góc quay có hướng của cánh quạt và xác định vị trí cuối so với vị trí ban đầu.

Lời giải:

Theo quy ước:

• Quay ngược chiều kim đồng hồ: góc dương.

• Quay cùng chiều kim đồng hồ: góc âm.

Vì vậy:\(\operatorname{sđ}(OA,OB)=150^\circ\) và \(\operatorname{sđ}(OB,OC)=-210^\circ\)

Áp dụng hệ thức Chasles, tổng góc quay thực hiện là: \[150^\circ+(-210^\circ)=-60^\circ\]Như vậy, vị trí cuối của cánh quạt tương ứng với góc quay \(60^{\circ}\) theo chiều kim đồng hồ so với vị trí ban đầu.

Các góc lượng giác có cùng tia đầu (OA) và tia cuối (OC) có số đo: \[{-60^\circ+k360^\circ,\quad k\in\mathbb Z}\]Đáp án: Tổng góc quay có hướng là \(-60^{\circ}\), vị trí cuối lệch \(60^{\circ}\) theo chiều kim đồng hồ so với vị trí đầu.

Dạng 6: Chứng minh đẳng thức bằng hệ thức Chasles

Bài 6. Cho ba tia (Oa), (Ob), (Oc) bất kỳ. Chứng minh: \[\begin{aligned} &\operatorname{sđ}(Oa,Ob)+\operatorname{sđ}(Ob,Oc)\\ &+\operatorname{sđ}(Oc,Oa)=k360^\circ \end{aligned}\]

Với \(k\in\mathbb Z\).

Lời giải:

Áp dụng hệ thức Chasles cho ba tia (Oa), (Ob), (Oc): \[\begin{aligned} &\operatorname{sđ}(Oa,Ob)+\operatorname{sđ}(Ob,Oc)\\ &=\operatorname{sđ}(Oa,Oc)+m360^\circ \end{aligned}\]Mặt khác, do hai góc lượng giác (Oa,Oc) và (Oc,Oa) có chiều ngược nhau nên: \[\operatorname{sđ}(Oa,Oc)+\operatorname{sđ}(Oc,Oa)=n360^\circ\]Với \(m,n\in\mathbb{Z}\).

Cộng các biểu thức tương ứng, ta được: \[\begin{aligned} &\operatorname{sđ}(Oa,Ob)+\operatorname{sđ}(Ob,Oc)\\ &+\operatorname{sđ}(Oc,Oa)=(m+n)360^\circ \end{aligned}\]Đặt \(k=m+n\). Vì m, n là các số nguyên nên \(k\in\mathbb{Z}\).

Suy ra điều phải chứng minh.

Nhận xét: Khi lần lượt quay qua ba tia rồi trở về tia ban đầu, tổng góc quay có hướng luôn bằng một bội nguyên của một vòng tròn.

Những lỗi thường gặp khi áp dụng hệ thức Chasles

Mặc dù công thức Chasles tương đối ngắn gọn, học sinh vẫn có thể mắc lỗi khi sử dụng. Một số sai lầm thường gặp gồm :

Thứ nhất, nhầm lẫn giữa góc hình học và góc lượng giác. Góc lượng giác có thể mang giá trị âm hoặc lớn hơn \(360^{\circ}\). Vì vậy, không nên tự ý giới hạn số đo góc lượng giác trong khoảng từ \(0^{\circ}\) đến \(180^{\circ}\).

Thứ hai, bỏ quên số nguyên k. Nếu bài toán yêu cầu tìm tất cả số đo của các góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối, đáp án cần có \(k360^{\circ}\) hoặc \(k2\pi\), với \(k\in\mathbb{Z}\).

Thứ ba, sai dấu khi trừ số đo góc âm. Ví dụ, \(125^{\circ}-(-250^{\circ})=375^{\circ}\), không phải \(-125^{\circ}\).

Thứ tư, cộng trực tiếp độ với radian. Trước khi áp dụng hệ thức, cần chuyển các góc về cùng đơn vị. Ghi nhớ: \(180^\circ=\pi\text{ rad}\).

Thứ năm, nhầm thứ tự của các tia. Trong hệ thức Chasles, tia cuối của góc thứ nhất phải trùng với tia đầu của góc thứ hai. Để tránh sai sót, học sinh nên xác định rõ tia đầu, tia trung gian và tia cuối trước khi thay số.

Một cách luyện tập hiệu quả là luyện tập theo ba bước: xác định đúng thứ tự tia, viết công thức tổng quát và cuối cùng mới thay số, rút gọn kết quả.

Hệ thức Chasles là công thức quan trọng trong Toán 11, giúp học sinh xác định mối liên hệ giữa các góc lượng giác thông qua hệ thức \((\operatorname{sđ}(Ou,Ov)+\operatorname{sđ}(Ov,Ow)=\operatorname{sđ}(Ou,Ow)+k360^\circ\)) (hoặc (2k\pi) rad), với \((k\in\mathbb{Z})\).

Nắm vững công thức hệ thức Chasles, cách chứng minh và vận dụng sẽ giúp học sinh tính số đo góc lượng giác, xác định góc chưa biết và giải chính xác các dạng bài tập hệ thức Chasles lớp 11. Khi áp dụng, cần chú ý thứ tự các tia, chiều quay và đơn vị đo góc. Để củng cố kiến thức và luyện tập thêm các dạng toán lượng giác, học sinh có thể tham khảo chuyên đề Toán 11 tại ZIM Academy.